2017年3月湖北省七市（州）高三联合考试
理 科 数 学
命题单位：荆门教研室 十堰教科院
审题单位：荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院
本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。考试用时150分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字凃黑。用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，监考人员将答题卡收回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}1 , 0 , 1 , 2 , 3A =-,{}2log (1)2B x x =+<，则A B 等于
A ．{1,0,1,2}-
B ．｛0,1,2｝
C ．｛-1,0,1,2,3｝
D ．｛0,1,2,3｝
2．设i 为虚数单位，则复数1+2i z i
=
错误！未找到引用源。的虚部为
A. 2-
B. i -
C. i
D. 1-
3．在各项都为正数的数列{}n a 中,首项12a =，且点(221 , n n a a -)在直线90x y -=上, 则数列{}n a 的
前n 项和n S 等于
A. 31n
- B. ()132
n
-- C. 132n + D. 232n n +
4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：
由上表可得回归方程为??10.2y
x a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 A ．101.2 B ．108.8 C ．111.2 D ．118.2 5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例， 若输入,n x 的值分别为3,4，则输出v 的值为 A ．6 B ．25
C ．100
D ．400
6．函数π()sin()(0 , >0 , )2
f x A x A ω?ω?=+><的部分图象如图所示， 若12ππ
, (,)63
x x ∈-
，12
x x ≠且 12()()f
x f x =，则12()f x x += A ．1 B ．
12
C ．
2D ．
2
7．已知()f x
是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a
满足
3log (2
)(a f f >，则a 的取值范围是
A. (-∞
B.
C. )∞
D.
8．已知圆222:(1)(0)C x y r r -+=>．设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直线
30x
+=的距离为1，则p 是q 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
第6题图
第5题图
9．从数字1，2，3 ，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位 数字之和等于12的概率为 A ． 225 B ． 13125
C ．
12518 D ． 9125
10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体
外接球的表面积为
A. 36π
B.
112π3
C. 32π
D. 28π
11．关于曲线C ：241x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l
满足l >
④曲线C 所围成图形的面积S 满足π4S <<. 上述命题中，真命题的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．已知正三角形ABC 的顶点 , A B 在抛物线24y x =上，另一个顶点(4 , 0)C ，则这样的正三角形
有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13．平面向量 , , a b c
不共线，且两两所成的角相等，若||||2,||1a b c === ，
则||a b c ++=
▲ ．
14．8()()x y x y +-展开式中36x y 的系数为 ▲ ．
15．已知实数 , x y 满足40 ,50 ,11
124x y x y y x ?
?-?+-???+
?
≥≤≥则 y
x 的最小值为 ▲ ．
第10题图
侧视图
俯视图
23
44
42244
正视图
第17题图
C
B
A
第19题图
P
F
E
D C B
A
16．数列{}n a 满足1(1)1n n n a a n ++-=+，则{}n a 前40项的和 ▲ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分12分）
如图，已知ABC △中，角,,A B C 的对边 分别为,,a b c ，120C =?．
（Ⅰ）若1c =，求ABC △面积的最大值； （Ⅱ）若2a b =，求tan A . 18（本小题满分12分）
某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米 (四舍五入,精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出
频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右 前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14， 0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 .
（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记X 表示两人中进入决赛的人数，求X 的
分布列及数学期望；
(Ⅲ) 经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米
之间，现甲,乙各跳一次，求甲比乙远的概率.
19（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是长方形，侧棱PD ⊥底面A B C D ，且1 ,2P D A D D C ===，过D 作DF PB ⊥于F ，
过F 作FE PB ⊥交 PC 于E .
（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成
二面角的余弦值.
20（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy
上取两个定点12(A A 再取两个动点1(0 , )N m ，2(0 , )N n ，且2mn =．
第18题图
（Ⅰ）求直线11A N 与22A N 交点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过(3 , 0)R 的直线与轨迹C 交于P ,Q ，过P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨
迹C 的右焦点，若(1)RP RQ λλ=> ，求证：NF FQ λ=
.
21（本小题满分12分）
函数21()ln ()2f x x x ax a R =+
+∈，23
()2
x g x e x =+． （Ⅰ）讨论()f x 的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于0x ?>，总有()()f x g x ≤.（i ）求实数a 的范围； （ii ）求证：对于0x ?>，
不等式2
(1)2x
e
e x e x x
+-++
>成立．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为24(cos sin )3ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求圆C 的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点( , )P x y 是圆C 上动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直
角坐标.
23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈． （Ⅰ）解关于x 的不等式()5f x >；
（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．
2017年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试
理科数学参考答案及评分说明
命题单位：荆门教研室 十堰教科院 审题单位：荆州教科院 孝感教科院 恩施教科院 一、选择题(共12小题，每小题5分)
1.B
2.D
3.A
4. C
5.C
6.D
7.B
8.C
9. A 10. B 11.A 12.D 二、填空题（共4小题，每小题5分）
13. 1 14.28- 15.13
16.440 三、解答题 17(12分)解：
（Ⅰ）由余弦定理得222cos1201a b ab +-= , ………………………………………2分
22123a b ab ab ab ab ++=+=≥，当且仅当a b =时取等号；
解得1
3
ab ≤ ， (4)
分
故1sin 2ABC S ab C =
=△，即ABC △12
.………………6分 （Ⅱ）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，…………………………………………8分
又120C =?，故60A B +=? ，
sin 2sin(60)sin A A A A ∴=?--，…………………………………………10分
2sin A A = ，tan 2
A ∴=
………………………………………………12分
18(12分)解：
（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴总人数为
7
500.14
=(人). …………………………………………………………………2分 ∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)
即进入决赛的人数为36. …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）X =0,1,2,进入决赛的概率为
3618
5025=
∴X ～18(2,)25
， ()0
22749
0(
)25625P x C ===
，
1
2718252(1)(
)()2525625
P X C ===
，()22
2183242()25625P x C ===. ……………………………6分 所求分布列为
183622525EX =?
= ，两人中进入决赛的人数的数学期望为36
25
. ………………………8分 (Ⅲ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为
810
9.510.5x y ??
?
≤≤≤≤， 事件A “甲比乙远的概率”满足的区域为x y >，如图所示. …………………………10分
∴由几何概型1111222()1216
P A ??=
=?. 即甲比乙远的概率为116. ……………………12分 19(12分)解：
解法一：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，
所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ?平面，所以BC DE ⊥. ………………………2分 又因为DF PB ⊥， FE PB ⊥
所以PB ⊥平面DEF . 而PB PBC ?平面，所以PB DE ⊥. ………………………4分 又BC DE ⊥，PB BC B = ，所以DE ⊥平面PBC . ………………………6分 （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. ………………………8分 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， ………………………10分 在Rt△PDB 中, 由
cos sin BDF PBD ∠=∠=, 故面DEF 与面ABCD
………………………12分
P
E
解法二：如图2, 由PD ABCD ⊥平面，
所以(0 ,0 ,1)DP =
是平面ABCD 的一个法向量； ……………………………………8分 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，
所以(1 , 2 , 1)PB =-
是平面DEF 的一个法向量 ……………………………………10分
设平面DEF 与平面ABCD 所成二面角为θ
则cos ||||BP DP BP DP θ?=? ， 故面DEF 与面ABCD
……………………………………12分
20(12分)解：
（Ⅰ）依题意知直线A 1N 1
的方程为y x =
① 直线A 2N 2
的方程为y x = ②………………………………2分 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得 22
(6)6
mn y x =-
-, 由mn ＝2，整理得22
162
x y +
=； ………………………………4分
（Ⅱ）设:3l x ty =+，112211( , ),( , ),( , )P x y Q x y N x y -
由 2222
3,(3)630162x ty t y ty x y =+??
?+++=?+
=??（*） ………………………………6分 由1122( 3 , )( 3 , )RP RQ x y x y λλ=?-=-
故12123(3),x x y y λλ-=-=, ………………8分
要证NF FQ λ=
,即证1122(2,)(2,)x y x y λ-=-,只需证：122(2),x x λ-=-
只需
11
2232
32
x x x x --=---即证 121225()120x x x x -++=即212122()0t y y t y y ++=,………10分 由（*）得：22121222
362()2033
t
t y y t y y t t t t ++=?-?=++，即证. ……………………12分 （本题亦可先证直线NQ 过焦点F ，再由12y y λ=得证）
21(12分)解：
（Ⅰ）解法一：由题意得211
()=
(0)x ax f x x a x x x
++'=++>， 令24a ?=- （1）当240a ?=-≤，即22a -≤≤时，2
10x ax ++≥对0x >恒成立
即21
()0x ax f x x
++'=
≥对0x >恒成立，此时()f x 没有极值点；…………2分 （2）当2
40a ?=->，即22a a <->或
①2a <-时，设方程2
1=0x ax ++两个不同实根为12,x x ，不妨设12x x < 则12120,10x x a x x +=->=>，故210x x >>
∴12x x x x <>或时()0f x >；在12x x x <<时()0f x < 故12,x x 是函数()f x 的两个极值点.
②2a >时，设方程2
1=0x ax ++两个不同实根为12,x x ，
则12120,10x x a x x +=-<=>，故210,0x x <<
∴0x >时，()0f x >；故函数()f x 没有极值点. ……………………………4分 综上，当2a <-时，函数()f x 有两个极值点；
当2a ≥-时，函数()f x 没有极值点. ………………………………………5分
解法二：1
()f x x a x
'=+
+, …………………………………………1分 0,()[2,)x f x a '>∴∈++∞ ,
①当20a +≥，即[2,)a ∈-
+∞时，()0f x '≥对0x ?>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调增，()
f x 没有极值点； ……………………………………………………………3分 ②当20a +<，即(,2)a ∈-∞-时，方程2
10x ax ++=有两个不等正数解12 , x x ，
212()()
11()(0)x x x x x ax f x x a x x x x
--++'=++==>
不妨设120x x <<，则当1(0,)x x ∈时，()0,()f x f x '>增；12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<减；2(,)x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>增，所以12,x x 分别为()f x 极大值点和极小值点，()f x 有两个极值点.
综上所述，当[2,)a ∈-+∞时，()f x 没有极值点；
当(,2)a ∈-∞-时，()f x 有两个极值点. ………………………………5分
（Ⅱ）（i ）2()()ln x f x g x e x x ax ≤?-+≥，
由0x >，即2ln x e x x a x +-≤对于0x ?>恒成立，设2ln ()(0)x e x x
x x x
?+-=
>， 222
1
(2)(ln )
(1)ln (1)(1)()x x x e x x e x x e x x x x x x x x ?+--+--+++-'==
， 0x > ，(0,1)x ∴∈时，()0,()x x ??'<减，(1,)x ∈+∞时，()0,()x x ??'>增，
()(1)1x e ??∴=+≥，1a e ∴+≤． ……………………………………9分
（ii ）由（i ）知，当1a e ∴=+时有()()f x g x ≤，即：2231
ln (1)22
x
e x x x e x +
+++≥，2(1)ln x e x e x x ?+-+≥……①当且仅当1x =时取等号, ……………………………10分
以下证明：ln 2e x x +
≥，设()ln e x x x θ=+，221()e x e
x x x x
θ-'=-=， ∴当(0,)x e ∈时()0,()x x θθ'<减，(,)x e ∈+∞时()0,()x x θθ'>增，
()()2x e θθ∴=≥，ln 2e
x x
∴+≥，……②当且仅当x e =时取等号；
由于①②等号不同时成立，故有2
(1)2x e
e x e x x
+-++>.……………………………12分 第22、23题为选考题 22(10分)解：
（Ⅰ）因为2
4(cos sin )3ρρθθ=+-，
所以2
24430x y x y +--+=，
即22
(2)(2)5x y -+-=为圆C 的普通方程． ……………………………………3分
所以所求的圆C
的参数方程为2,
2x y θθ
=+=+???
??(θ为参数) …………………………5分
（Ⅱ） 解法一：设2x y t +=，得2x t y =-代入2
2
4430x y x y +--+=整理得
2254(1)430y t y t t +-+-+= (*)，则关于y 方程必有实数根 …………7分
∴2216(1)20(43)0t t t ?=---+≥，化简得2
12110t t -+≤
解得111t ≤≤，即2x y +的最大值为11. …………………………………………9分 将11t =代入方程(*)得28160y y -+=，解得4y =，代入211x y +=得3x = 故2x y +的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4). ………………………10分 解法二：
由（Ⅰ）可得，设点(2 , 2)P θθ++,
266)x y θθθθ+=++=+ ,
设sin α=
cos α= ，所以265sin()x y θα+=++ 当sin()1θα+=时，max (2)11x y +=，……………………………………………………8分 此时，π
2π,2k k Z θα+=
+∈,
即π2π()2
k k Z θα=
-+∈
，所以sin cos θα==
，cos sin θα==点P 的直角坐标为(3,4). ……………………………………………………10分 23(10分)解：
（Ⅰ）由()5f x >，得23x ->,
即23x -<-或23x ->, ……………………………………………………3分 1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}
15x x x <->或…………………………………5分
（Ⅱ）由()()f x g x ≥，得22x m x --≥对任意x R ∈恒成立, 当0x =时，不等式22x m x --≥成立,
当0x ≠时，问题等价于22x m x
-+≤对任意非零实数恒成立, ………………………7分
22
22
1 , 1x x m x
x
-+-+=∴
≥
≤ ,即m 的取值范围是( , 1]-∞.…………………10分