当前位置：文档之家› 高等代数(北大版)第7章习题参考答案

高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章线性变换

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3）在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；

6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n

n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n

n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx

),,2()

,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=

= k A )(α，

故A 是P 3

上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。

7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n

n P

?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4

a=(x,y,z)，所以A 4=B 4=C 4

=E 。

2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以AB ≠BA 。

3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2

(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A 2B 2=B 2A 2

。

4)因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2

(a)=(-x,-y,z)，

所以(AB )2≠A 2B 2

。

3.在P[x] 中，A '

)(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。证任取∈)(x f P[x]，则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('

f ))(x =;

)(xf x f +)(x -'

xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。

4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A k

B-BA k

=k A 1

-k (k>1)。

证采用数学归纳法。当k=2时

A 2

B-BA 2

=(A 2

B-ABA)+(ABA-BA 2

)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。归纳假设m k =时结论成立，即A m

B-BA m

=m A 1

-m 。则当1+=m k 时，有

+m B-BA

+m =(A

+m B-A m BA)+(A m BA-BA

+m )=A m

(AB-BA)+(A m

B-BA m

)A=A m

E+m A

-m A=)1(+m A m

。

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。

证设A 是可逆变换，它的逆变换为A 1-。

若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。因此,A 是一个双射。 6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关。

证因A (1ε,2ε, ,n ε)=(A 1ε,A 2ε, ,A n ε)=(1ε,2ε, ,n ε)A ，

故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；

2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→，试求A 在基i ε=!

)

1()1(i i x x x +-- (I=1,2, ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ，3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax

sin bx ，

1ε=22

x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空

间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2, ,6)下的矩阵；

5) 已知P 3

中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是????

??-121011101，

求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3

中，A 定义如下：

???

??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(3

21ηηηA A A ，其中

???

??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3

21ηηη，求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。解 1)

A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，

故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???

? ??-001110012。

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=

211ε+212ε，A 2ε=2

1ε+212ε，

故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????

??2121212

。又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???

??1000，另外，

（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=

1ε+212ε，

所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =????

210210。 3）因为 )!

1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε，所以A 0110=-=ε，

A 01)1(εε=-+=x x ，

A )!

1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=

-n n x x x n n x x x n ε

1()]

3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }

=2-n ε，

所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =???

??011010 。

4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,

D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，

所以D 在给定基下的矩阵为D =??????

?---00

0000010000100

001

01a b b a a b b a a

b b a

。 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

??--111101

011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???

??---101110111=(1η,2η,3η)X ，

故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为

B =X 1

-AX=????? ??--111101

011????? ??-121011101????? ??---101110111=????

??--203022211。

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301，

所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301,

但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??----963110505，

故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505????

??--0121103011

=(1ε,2ε，3ε)??

??? ??----963110505???????

??---717

172717672

737371 =(1ε,2ε，3ε)??

???

??-----7247

187

27727574

72072075。 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??

?? ??--0121103011

-，

所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)????

? ??--0121103011

-????

??----963110505 =(1η,2η,3η)???

??---011101532。

8．在P

2?中定义线性变换A

(X )=???

??d c b a X, A 2

(X )=X ???

??d c b a , A 2

(X )=

???? ??d c b a X ???

? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。解因 A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,

故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=??????

?d c

c b a b a

00000

00。又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,

故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=???

?d b c a d

b c

a 00000000

。

又因A 3E 11= a 2

E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22， A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2

E 21+cd E 22， A 3E 21= ab E 11+b 2

E 12+ad E 21+bd E 22， A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2

E 22，

故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为????

?=22223d bd

cd bc cd ad c ac bd b ad

ab bc ab ac

a A 。 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

? ??3332

232221

131211

a a a a a a a a a ， 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵；

2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵，其中且；

3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵。解 1)因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε， A 2ε=+332εa +222εa 112εa ， A 1ε=+331εa +221εa 111εa ，

故A 在基123,,εεε下的矩阵为????

??=1112

212223

3132333a a a a a a a a a B 。 2)因 A 1ε=111εa +

+)(221

εk k

a 331εa ， A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka ， A 3ε=13a 1ε+

a 23

(2εk )+333εa ，故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ?????

? ?

?=3332

31232221

131211

2a ka a k a a k a

a ka a B 。 3)因 A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε， A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa ， A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa ，

故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为???

?+----+-=3332

3231132312

2212

11222113

1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 。 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A

ε1

-k ≠0,但A εk =0，求证：

ε,A ε,, A ε1-k (k >0)线性无关。

证设有线性关系01

21=+++-εεεk k A l A l l ，

用A

-k 作用于上式,得

1l A

ε1

-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立)，

又因为A

ε1

-k ≠0,所以01=l ,于是有

01232=+++-εεεk k A l A l A l ，

再用A 2-k 作用之,得2l A ε1

-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得

021====k l l l , 即证ε,A ε,, A

ε1

-k (k >0)线性无关。

11.在n 维线性空间中，设有线性变换A 与向量ε使得A ε1

-n 0≠，求证A 在某组下的矩阵

是 ???

??0101010

。证由上题知, ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 线性无关，故ε,A ε,A ε2,, A ε1

-n 为线性空间

V 的一组基。又因为A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0 A

ε1

-n ，

A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2

+?+0 A ε1

-n ，

…………………………… A （A

ε1

-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0 A ε1-n ，

故A 在这组基下的矩阵为

???

??0101010

。 12．设V 是数域P 上的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数

乘变换。

证因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE ，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K 。

13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

证设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=(ij a )，只要证明A 为数量矩阵即可。设X 为任一非退化方阵，且

(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21 )X ，则12,,

,n ηηη也是V 的一组基，且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-，从而有AX=XA ，这

说明A 与一切非退化矩阵可交换。若取

????

? ??=n X

211，则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j)，即得

A=??????

? ?

?nn a a a

，再取

2X =???????

??0001100001000010

由A 2X =2X A ，可得 nn a a a === 2211。

故A 为数量矩阵，从而A 为数乘变换。

14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 在这组基下的矩阵为

????

??---21225521312112

01， 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下的矩阵； 2) 求A 的核与值域；

3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵。解 1)由题设,知

(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)????

?---21110110003

20001，故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为

B=AX X 1-=1

110110003

20001

-??????

?---???????

??---21225521312112

???

??---211

1011

000320001 =?????

?-----871

03403403163831031034322332。 2) 先求A

-(0).设∈ξ A

-(0)，它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ)，且A ε

在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,)，则

???????

??---21225521312112

??????? ??4321x x x x =???

??? ??0000。

因rank(A)=2，故由 ??

=+++-=++0

32024321431x x x x x x x ，

可求得基础解系为X 1=)0,1,2

,2('-

-,X 2=)1,0,2,1('--。若令1α=(321,,εεε,4ε)X 1，2α=(321,,εεε,4ε)X 2，则12,αα即为A 1

-(0)的一组基，所以

-(0)=12(,)L αα。

再求A 的值域A V 。因为

A 1ε=43212εεεε++-， A 2ε=432222εεε-+，

A 3ε=432152εεεε+++， A 4ε3ε=4321253εεεε-++，

rank(A)=2，故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2，且A 1ε ,A 2ε线性无关，故A 1ε ,A 2

ε可组成A V 的基，从而A V=L(A 1ε ,A 2ε)。

4) 由2)知12,αα是A 1-(0)的一组基，且知,1ε2ε, 12,αα是V 的一组基，又

(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????

?--

-10

00010022310

120

，故A 在基,1ε2ε, 12,αα下的矩阵为

0010022310120

-??????

? ?

?--

-???

???

??---21225521312112

??????

? ?

?--

-10

00010022310120

=????

??-0022002100129002

。

4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基，且

(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)????

?--10210121002

10001

，故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为

1021012100210001

-???????

??--???????

??---212

25521

312

112

???

??--102

1012

10021000

=??????

? ?

?00

0000002231291225。 15. 给定P 3的两组基

???

??===)1,1,1()0,1,2()

1,0,1(3

21εεε ???

??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3

21ηηη，定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)，

1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵。

解 1)由(321,,ηηη)=(321,,εεε)X ，引入P 3

的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1)，则

(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???

? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A ，

所以

(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???

? ??----111122

221

=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B ，故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为

X= A 1

-B=1

101110121-????? ??????

? ??----111122

221

=????

???

---252112323123232。 2)因

A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????

???

-252112323

23232，故A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

???

-252112323

123232。 4) 因A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X ，

故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.。

16.证明

??????? ?

?n λλλ

1与????

?n i i

i λλλ

1相似，其中(n i i i ,,,21 )是1,2,n , 的一个排列。

证设有线性变换A ，使

A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ????

???

??n λλλ

1=)21,,,(n εεε D 1，则A ( ,,21i i εε,n i ε)=( ,,21i i εε,n i ε)????

?n i i

i λλλ

1=( ,,21i i εε,n i ε)D 2，于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故

??????? ?

?n λλλ

与????

?n i i

i λλλ

1相似。 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似。

证因A 可逆,故A 1-存在，从而A 1-(AB)A=( A 1-A)BA=BA ，所以AB 与BA 相似。 18.如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明：0000A B B D ????

? ?????

与相似。

证由已知，可设B=X 1

-AX, D=Y 1

-CY ，则???

? ??--1100Y X ???? ??C A 00???? ??Y X

00=???

? ??D B 00，这里???? ??--1100Y X =????

??Y X

001-，故???? ??C A 00与???

??D B 00相似。 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩

阵为：

1)A=???? ??2543 2)A=???? ??-00a a 3)A=?

? ??------111111*********

1 4)A=?????

??---121101365 5)A=????? ??001010100 6)A=????? ??---031302120 7)A=????

? ??----284014013

解 1)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且A 的特征多项式为

A E -λ=

----λλ=2

λ-5λ-14=(7-λ)(2+λ)，故A 的特征值为7，-2。

先求属于特征值λ=7的特征向量。解方程组??

?=+-=-0550442121x x x x ，它的基础解系为?

??11，因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=1ε+2ε。

再解方程组???=--=--0450452121x x x x ，它的基础解系为???

??-54，因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ(k 0≠)，其中2ξ=41ε-52ε。

2)设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ，且当a=0时，有A=0，所以A

E -λ=

λ00=2

λ，故A 的特征值为1λ=2λ=0。解方程组??

?=+=+0000002121x x x x ，它的基础解系为???? ??01,?

??10，因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε，2ξ=2ε，故A 以V 的任一非零向量为

其特征向量。

当a ≠0时，A

E -λ=

λa a -=2

λ+a 2=(ai +λ)(ai -λ)，故A 的特征值为1λ=ai ，

2λ= -ai 。

当1λ=ai 时，方程组???=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为???

??-1i ，故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ(k 0≠)，其中1ξ=-1εi +2ε。

当2λ= -ai 时，方程组???=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为???

? ??1i ，故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=1εi +2ε。 3)设A 在给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A ，因为A E -λ=(2-λ)3(2+λ)，故A 的

特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ。

当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ????

??=??????? ??=??????? ??=1001,0101,0011321X X ，故A 的属

于特征值2的全部特征向量为 11εk +22k ε+k 33ε (k 321,,k k 不全为零)，其中1ξ=1ε+2ε，

2ξ=1ε+3ε，3ξ=1ε+4ε。

当2-=λ时，特征方程组的基础解系为X =4????

? ??---1111，故A 的属于特征值-2的全部特

征向量为 k 4ξ (k 0≠)，其中4ξ=1ε-2ε-43εε-。 4）设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ==+-----1

5λλλ43-λ422++λλ=(2-λ)(31--λ)(31+-λ)，故A 的特征值为1λ=2，2λ

=3λ

当1λ=2时, 方程组???

??=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?

???

??-012，故A 的属于特征值2

的全部特征向量为 k 1ξ (k 0≠)，其中1ξ=12ε-2ε。

当λ=1+3时, 方程组??

??=++--=-++=+-+-0

)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为?????

??--3213，故A

的属于特征值1+3的全部特征向量为 k 2ξ (k 0≠)，其中2ξ=13ε-2ε+(23-)3ε。

当λ=1-3时, 方程组??

??=-+--=--+=+---0

)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为????? ??+-3213，故A

的属于特征值13-的全部特征向量为 k 3ξ (k 0≠)，其中3ξ=13ε-2ε+(23+)3ε。 5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ=λ

λλ0

0---=(1-λ)2(1+λ)，

故A 的特征值为1,132

1-===λλ

λ。

当12

1==λ

λ，方程组??

?=+-=-00

3131x x x x 的基础解系为,101?

???

? ??010??

? ???

，故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零，其中311εεξ+=,22εξ=。

当13-=λ时，方程组?????=--=-=--0020

231x x x x x 的基础解系为101?? ?

? ?

-??，故A 的属于特征值-1的全

部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中313εεξ-=。 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ==---λ

λλ31321

2)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ，

故A 的特征值为i i 14,14,032

1-===λλ

λ。

当01=λ时，方程组?????=+=-=--030320221

3132x x x x x x 的基础解系为312?? ?

- ? ?

??，故A 的属于特征值0的全

部特征向量为)0(1≠k k ξ，其中321123εεεξ+-=。

当i 142=λ时，该特征方程组的基础解系为????

??-+-+101432146i

，故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ，其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i 。

当i 14-=λ时，该特征方程组的基础解系为????

??----101432146i

i ，故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ，其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i 。

7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A ，因

A E -λ=2

013+-+--λλλ=(1-λ)2

(2+λ)，

故A 的特征值为2,132

1-===λλ

λ。

当12

1==λ

λ，该特征方程组的基础解系为3620??

- ? ???

，故A 的属于特征值1的全部特征

向量为)0(1≠k k ξ，其中32112063εεεξ+-=。

当23-=λ，该特征方程组的基础解系为001?? ?

? ???

，故A 的属于特征值-2的全部特征向量

为)0(2≠k k ξ，其中32εξ=。

20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵T ，并验算T

-AT 。

解已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1)~6)可以化成对角形,而7)不能.下面分别求过渡矩阵T 。 1) 因为12(,)ξξ=(21,εε)????

??-5141 ，所以过渡矩阵T=?

??-5141， T 1-AT=??????

??-919

19495???? ?

?2543???? ??-5141=???? ??-2007。 2)0,a =当时已是对角型。

???? ??-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当，过渡矩阵T=????

??-11i i ，

T 1

-AT=???? ??-=???? ??-???? ??-?????

??-ai ai i i a a i i

001100212

212

。 3)因为(4321,,,ξξξξ)=(4321,,,εεεε)???????

??---110010101001

，过渡矩阵T=??

?---11001010

1001

1111，

T 1

-AT=?????

? ??-22

22。 4)因为(),,321ξξξ=(???

? ??+----32320111

332

),,321εεε，过渡矩阵T=????? ??+----32320111332，T ?????

??-+=-313121AT 。 5)因为 (),,321ξξξ=(321,,εεε)???

??-101010101，过渡矩阵

T=????

??-101010101，

1110001101100220100100100101110010100102

2T AT -?? ??????? ? ??? ?

== ? ??? ? ??? ? ?--??????-

???。

6)因为 (????

??----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,

即过渡矩阵为 T=????

??----+---+101021432143211461463i i i i ,

且T ???

?? ?

?-=-i i AT 14000140

。 21.在P[x]n (n>1)中,求微分变换D 的特征多项式，并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。

解取P[x]n 的一组基1,x,21

,...,2(1)!

n x x n --，则D 在此基下的矩阵为 D=???

???

?0 (00)

01...000...............0...1000 (010)

，

从而n D E λλλλλ=?????

?---=-...

0001...000.........

......0...

00 0

1，故D 的特征值是n (0=λ重)，且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1，它小于空间的维数n ，故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。

22.设 A=142034043?? ?- ? ???

，求A k

。

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 . 设 M N , 证明： M N M , M N N 。 1 证任取M , 由 M N , 得 N , 所以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任取 M 或N , 但 M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N）（ M L）。在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L）故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）（kk 1） 2

高等代数北大版第章习题参考答案

第七章线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10，。进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc

第五章二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2x 2 x 3 ； 2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ； 3） x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ； 4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ； 5） x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ； 6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ； 7） x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 2 x 3 2x x 4 。 1 2 3 4 3 解1）已知 f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换 x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 （ 1） x 3 y 3 则 f x 1 , x 2 , x 3 4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3 4y 2 4y y y 2 y 2 4y 2 1 1 3 3 3 2 2 y 1 3 y 32 4 y 22 ， y 3 再作非退化线性替换 y 1 1 z 1 1 z 3 2 2 y 2 z 2 （ 2） y 3 z 3 则原二次型的标准形为

f x 1 , x 2 , x 3 z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为 x 1 1 z 1 z 2 1 z 3 2 2 x 2 1 z 2 1 （ 3） z 1 z 3 2 2 x 3 z 3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 ， 1 0 0 1 2 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 1 2 ）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得 f x , x , x x 2 2x x 2 x 2 x 2 4x x 3 4x 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 x 1 x 2 2 x 2 2x 3 2 ，于是可令 y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ， y 3 x 3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 y 2 y 2 ， 1 1 2 且非退化线性替换为

(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。