8.5 分式方程 (第3课时)
学习目标：
会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。
学习重点：如何结合实际分析问题，列出分式方程
学习难点：相等关系的探索
学习过程：
一、复习巩固
1、 解分式方程的一般步骤：
2、练习：解方程：（1）
13-x =x 4;（2）1210-x +x
215-=2.
二、例题讲解
例1．为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？
例2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？
例3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？
总结用分式方程解实际问题的一般步骤：
学生练习：第56页1、2
三、小结 本节课你学到了哪些知识？ 你有什么感想？
当 堂 检 测
1、解方程：x 300－x
2480=4
2、小丽与小明同时为艺术节制作小红花，小明每小时比小丽多做2朵，那么小明做100朵小红花与小丽做90朵小红花所用时间相等吗？
3、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？
4、市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将原定的工作效率提高25%。原计划完成这项工程需要多少个月？
分式方程第三课时教案 〔第3课时〕 教学目标：会列出分式方程解决简单的实际咨询题，并能依照实际咨询题的意义 检验所得的结果是否合理。 教学重点：如何结合实际分析咨询题，列出分式方程 教学难点：分析过程，得到等量关系 教学方法：探究法 教学过程： 教学活动 集体讨论 一、 复习巩固 1、解分式方程的一样步骤 〔1〕去分母 〔2〕去括号 〔3〕移项，合并同类项 〔4〕系数化为1 〔5〕检验 2、练习： 解方程： 〔1〕13-x =x 4;〔2〕1210-x +x 215-=2. 二、例题讲解 例4．为迎接市中学生田径运动会，打算由某校八年级 〔1〕班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任 务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。如此，这两个 小组的每个同学就要比原打算多做 4面。假如这3个小组的 人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 分析：此题中的等量关系是什么？ 你会依照等量关系列出分式方程吗？ 例5、甲、乙两公司各为〝见义勇为基金会〞捐款30000 元，乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比 乙公司的人数多20%。咨询甲、乙两公司各有多少人？ 例6、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记 本共用去21元，每本硬面笔记本比软面笔记本贵1。2元， 小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？ 总结用分式方程解实际咨询题的一样步骤： （1） 设未知数
（2） 依照题意列方程 （3） 解方程 （4） 检验 （5） 答 学生练习：第68页1、2 三、 思维拓展 某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米 水费上涨3 1。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费那么是30元，小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多53m ，求该市今年居民用水的价格。 四、 小结 五、 板书设计 六、 教后记
15.3分式方程（三） 【学习目标】：能分析工程问题中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤 【学习重点】：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结论。 【学习难点】：寻求实际问题中的等量关系，正确列出分式方程 一、自主学习 阅读课本P152 ～ 153页，思考 1、列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 分式方程的应用主要就是，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤： 2、我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本数学关系是什么？ (1)行程问题： _______ _____. 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．它们常用的数学关系有哪些？ (2)工程问题：_______ _____. (3)数字问题（在数字问题中要掌握十进制数的表示法）． (4)顺水逆水问题顺水速度=____________; 逆水速度=________________ 二、合作交流探究与展示： 阅读例3 、例4完成下列问题 甲，乙两个工程队共同完成一项工程，乙队单独做一天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的2/3，求甲、乙两队单独完成各需多少天？ 三、当堂检测： 1.填空：(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克. 2、p154练习1、2
3.4.3 分式方程（三） ●教学目标 （一）教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. （二）能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解 决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. （三）情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验. ●教学重点 1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点 寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法. ●教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张：做一做，（记作§3.4.3 A） 第二张：例3，（记作§3.4.3 B） 第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C） ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程. 接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课 出示投影片（§3.4.3 A ） ［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. （1） ［生］还有一个等量关系： 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. ［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. ［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？ ［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元，根据题意，得 x 102000=x 96000+500 解这个方程，得x=12 经检验x=12是原方程的解，也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. ［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得： 第一年每间房屋的租金为 1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12 102000=8500（元）.
归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法 学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。 重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程： 一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？ 二、新课导入： 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设：江水流速为v 千米/时，可得方程： 总结： 分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？ 例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路： 把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。 解分式方程的方法： 在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。 总结： 解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________
三、课堂达标检测： 解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结： 解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。 五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（ ） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程 教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
2021年八年级数学下册 16.3分式方程第三课时教案人教新课标版情境导入： 1、某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。 （1）你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2）根据这一情境你能提出哪些问题？ （3）你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？ 2、解读探究 问：能从不同的角度找出这一情境中的等量关系吗？大家分组探讨一下 探讨后综合：等量关系有下面一些：（1）第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500。（2）第一年出租的房屋间数＝第二年出租的房屋间数。（3）出租的房屋间数＝所有出租的房屋的租金÷每间房屋的租金 若设第一年每间房屋的租金为x元 列出方程为 例3某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5，求该市今年居民用水的价格 相互交流一下，看这道题中有哪些等量关系？ 等量关系：小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量＝5
解：设该去年居民的用水价格为x 元/，则今年的水价为（1＋）x 元/ 根据题意得 515)3 11(30=-+x x 练习：1、某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m 3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m 3 ，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m 3的部分每立方米收费多少元？ 解：设超出5m 3部分的水，每立方米收费x 元，则1月份，张家超出5m 3部分的水费为（17.5-1.5×5）元，超出5m 3的用水量为 李家超出5m 3部分的水费为（27.5-1.5×5）元，超出5m 3的用水量为 根据题意，得 3 2555.15.27555.15.17???? ??+?-=+?-x x 解这个方程，得 x=2 经检验，x=2是所列方程的根。 所以超出5m 3部分的水，每立方米收费2元。
青松岭中学八年级（上）数学学案 编号： 课题: 《分式和分式方程》复习1 课型：复习课 编制人：刘玉良 项 欣 编制日期： 使用日期： 学习目标： 1、进一步理解分式意义，熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则； 2、能熟练准确地进行分式的运算； 3、通过对例题的学习，进一步提高分析问题，解决问题的能力。 本章知识结构图 一、知识链接 考点1：分式的概念 分式的概念：分式的形式⑴形如：________； ⑵分母B 中含有__________；⑶ A 、B 为整式且B ____________. 2、形如B A ： 考点2：分式的性质 分式的基本性质用字母表示为______________________ 。 约分：要找出分子、分母的 .方法：系数的 ，相同字母的 . 通分：要找出各分母的 .方法：系数的 ，所有字母的 . 分式 的最简公分母是_________. 考点3：分式的运算 1. 分式的乘除法则： a c b d ?=_______；a c b d ÷=______ = . 2. 分式的乘方：( b a )n = (n 为正整数) .计算 b a .2b a = ；2 2y 1-x .1y +x = . 2．分式的加减法则：同分母：a b c c ± = ；异分母→同分母 a c b d ±=________． 3、混合运算：运算顺序是 考点4：分式条件求值 先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 先化简代数式：（ 2 x x 2x x +- -）÷2x x 4-，然后从0，1，2，-1，-2中选取一个你喜欢的x 值代入求值． 二、强化训练 1、当x=________时，分式 0) 1x )(3x (3 |x |=+-- 2、下列运算中正确的是（ ） b a 1b 1a A =++、 b a b b b a B =?÷1、 b a a 1b 1C -=-、 01x x 1x 11x D =-----、 3、化简求值 )21 (12 --?-x x x x 其中x = 2 4、 有意义 无意义 值为零 ab 4c ,a 3b ,b 2a 2 1 1 1 4x 2–9y 2 2x+3y 2x –3y ÷ + ( )
1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算； 类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则 培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算 灵活运用所学的知识解题 小组合作交流，精讲多练 一.创设情境，引入新课 上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？ 下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把 作为积的分子，把 作为积的分母； 两个分数相除， 。 即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则 分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似： 两个分式相乘， 两个分式相除， 2.例题讲解 ［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一 定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想 （1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？ （2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做
3.7 分式方程学案（一） 1、经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，了解分式方程的意义。 2、经历探索分式方程的解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，会检验一个数是不是分式方程的增根。 二、尝试练习： 1、分母中的方程叫做分式方程。 2、解分式方程的基本思路是：，。 三、自主探究： 1、分式方程的意义 （1）同学们自己阅读课本P76—77页“交流与发现”1、2，并解决所提问题。 （2）有效训练： ①下列方程中是分式方程的是（） A、 B、 C、 D、（a,b是常数，且ab≠0） ②在方程①；②；③（a,b为常数）；④；⑤ ；⑥（a是常数）中是分式方程的有（只填序号）。 2、分式方程的解法： 例1、解方程：（1）（2） 有效训练：解方程 ①②③
总结归纳：解分式方程的一般步骤是： （1）在方程的两边都乘以，约去，化为。 （2）解这个。 （3）（这是解分式方程必不可少的步骤）。 强化训练： 解方程：（1）（2）（3） （4）（5） 四、课堂总结： 我学会了 应注意问题 五、当堂检测： 1、在方程①，②，③，④，⑤中 是分式方程的有（填序号）。 2、解方程： （1）（2）（3）
3.7 分式方程学案（二） 班级：姓名：设计人：张来志 一、学习目标： 1、掌握理解分式方程的步骤，体会把分式方程转化为整式方程求解的转化思想。 2、了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，会检验分式方程的根，体会对于某些数学活动的结果进行检验的必要性。 二、尝试练习： 1、在分式方程变形的过程中，产生的不适合叫做方程的增根，增根应当。 2、可以把求出的根代入，如果求出的根使是0，那么这个根就是方程的增根。 3、数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐。例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do, mi, so,研究15，12，10这三个数的倒数发现： 。我们称15，12，10这三个数为一组调和数。现有一组调和数：x, 5, 3(x>5)，则x的值是。 三、自主探究： 1、分式方程的增根 解方程： 通过此方程，你了解分式方程为什么必须要检验这一步骤了吗？ 验根的方法是将求得的未知数的值代入，看最简公分母是否，若就是原方程的根，若就是原方程的增根，必须舍去。 2、有效训练 解方程：（1）（2） 四、拓展提高： 1、a为何值时，关于x的方程会产生增根。 对应训练：
《分式方程》（第3课时）教案doc 初中数学 [教学目标] 1．明白分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2，了解分式方程产生增根的缘故，会判定所求得的根是否是分式方程的增根． 3．会列出方程解决简单的实际咨询题，并能依照实际咨询题的意义检验所得结果是否合理． 此外，通过经历〝实际咨询题一建立数学模型(方程)一讲明、应用与拓展〞的过程，体验解决咨询题的差不多策略，进展应用意识和解决咨询题的技能． [教学过程(第三课时)] 1．情境创设 课本以3个实际咨询题，引导学生学习用分式方程解决实际咨询题的差不多方法，进一步感受〝实际咨询题一建立方程一求解并讲明〞的过程． 有时，所列出的分式方程尽管有解，但解却不符合实际情形，这时原实际咨询题无解，例3的设置正是为了表达这一点． 2．探究活动 采纳〝个人摸索一小组交流一汇报方案’’的方式，尝试从不同角度寻求解决咨询题的方法，并能用文字、图表等手段清晰地表达解决咨询题的过程，并会讲明结果的合理性．例如： 关于例4，有以下两种解决方案可供选择： 假设每小组有x 名学生，可得分式方程：432402240=-x x ，解得x=10，即每小组有10名学生； 假设原先每人平均做c 面彩旗，可得分式方程：x x 3240)4(2240=+，解得x=8，从而确定每个小组有 10名学生． 例5能够仿惯例4设计解决方案，但由于例5中的数量关系较例4略为复杂，因此可用表格的方式进行分析，找出数量之间的相等关系，从而得到方程．如： 依照〝乙公司比甲公司人均多捐20元〞，得方程： 20%)201(3000030000=+-x x 通过例6的探究和求解，让学生感受在解决实际咨询题时，存在如此的现象：所列方程以及求得的根尽管正确，但不符合咨询题的实际意义，因此原实际咨询
5.4《分式方程》教学设计 第3课时 一、教学目标 1.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识． 2.会用分式方程解决简单的实际问题． 二、教学重点及难点 重点：分式方程的应用． 难点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果． 三、教学用具 多媒体课件 四、教学过程 【问题导入】 教师提出问题：列方程的步骤是什么？ 引导学生归纳列方程的基本步骤： 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系． 二设：设未知数． 三列：列代数式，列方程． 【探究新知】 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 答案：（1）等量关系包括：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500；第一年出租房 屋的间数=第二年出租房屋的间数；出租房屋的间数=所有出租房屋的租金 ．每间房屋的租金 （2）求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金． （3）解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元． 由题意得96000102000 500 x x = + ．
方程两边乘x (x ＋500)，得 96(x ＋500)＝102x ． 解这个方程，得x =8000． 经检验x =8000是原方程的根，所以x ＋500=8500． 因此第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元． 设计意图：引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识． 【典例精讲】 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨3 1，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格． 分析：此题的主要等量关系是： 小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5 m 3． 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出． 解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3．则今年的水价为11+3x ? ? ??? 元/m 3，根据题意，得 30155113x x -=??+ ??? ． 解这个方程，得32x =． 经检验32 x =是所列方程的根． 311223???+= ??? （元/m 3）． 所以该市今年居民用水的价格为2元/m 3． 首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程． 设计意图：引导学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解
分式方程应用(4) 一．学习目标：1．理解分式方程的意义．掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法；了解解分式方程解的检验方法． 2.熟练掌握解分式方程的技巧．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程， 3.渗透数学的转化思想． 二．学习重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 三．学习难点：检验分式方程解的原因 四、温故知新： 1、前面我们学习了什么方程？如何求解？写出求解的一般步骤。 2、判断下列各式哪个是分式方程．____________(填序号) （1）21-=x (2)22=-x x (3)1214112-=+--x x x (4)05432=---x x 3.解分式方 22121--=--x x x 163242=--+x x 4、解方程 22 121--=--x x x 小亮同学的解法如下： 解：方程两边同乘以x-2,得 1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得x=2 小亮同学的解法对吗？为什么？ 五、例题讲解： 例1、一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，
则轮船顺流航行的速度为（ ）千米/时， 逆流航行的速度为（ ）千米/时， 顺流航行100千米所用的时间为（ ）小时， 逆流航行60千米所用的时间为（ ）小时。 三、随堂练习： 1、某梨园 m 平方米产梨n 千克,则平均每平方米产梨_____千克. 2、为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校6千米的新世纪商场采访，10分钟后，小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的2倍，结果两人同时到达。求两车的速度各是多少？ 自学提示：1）、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？ 2）、怎样设未知数，根据哪个关系？ 3）、填 表 4）、怎 样列方程，根据哪个关系？ 3、某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。 （1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2） 根据这一情境你能提出哪些问题？ 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？ 四、反馈检测： 1、某工厂原计划a 天完成b 件产品，若现在要提前x 天完成，则现在每天要比原来多生产产品___件 2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？ 路程（千米） 速度（千米／时） 时间（时） 自行车 公交车
第十五章 分式 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程： 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解； 解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为： 第一步，审清题意； 第二步，根据题意设未知数； 第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 C.300x －300x ＋1.2x ＝2060 D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --
15.3分式方程（3） 一、选择题 1．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ） A ：x x 1806120=+ B ：x x 1806120=- C ：6180120+=x x D ：6 180120-=x x 2．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是( )． A ．80705x x =- B ． 80705x x =+ C ．80705x x =+ D ．80705x x =- 3．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是 Ａ． 203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．x x 352025=+ 4．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A ．30x ＝4015x - B ．3015x -＝40x C ．30x ＝4015x + D ．3015x +＝40x 5．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是 A ．120x ＝100x －10 B ．120x ＝100x +10 C ．120x －10＝100x D ．120x +10＝100x 6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．x x -=+306030100 B ．306030 100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．30 6030100+=-x x 7．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ） A ．1%206060++=x x B. 1%206060-+=x x C. 1%2016060++=）（x x D. 1%2016060-+=）（x x
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
3.7分式方程（1）导学案 学习目标：1、理解分式方程的概念。 2、掌握分式方程去分母的方法、体会转换思想方法。 3、会解分式方程。 学习重点：分式方程的解法。 学习难点：把分式方程转换为整式方程。 导学流程： 一、知识回顾 （1） 5 153 2-=+x x 是什么方程？ （2）怎样解这个方程？ （3）怎样检验求出的x 的值是不是方程的解？ 二、探究新知 (一)探究一 问题一：王师傅承担了310个工件的焊接任务，加工了100个工件后开始采用焊接新工艺，功效提高到原来的1.5倍，共用八天完成了任务，如果不采用新工艺，王师傅还有多少天才能完成任务？ 分析：如果设采用新工艺前王师傅每天焊接x 个工件，那么加工100个工件需要______天，采用新工艺后王师傅每天加工_____个工件，加工剩余的工件用了_____天，根据题中的等量关系，可得出方程_________________。 问题二：甲乙两班的同学参加植树，乙班每小时比甲班多植3棵树，甲班植60棵树时，乙班植了66棵树，甲乙两班每小时各植多少棵？ 若设甲班每小时植树x 棵，那么根据题中的等量关系可列出方程 _________________________。 思考：（1）这两个方程是一元一次方程吗？ （2）这两个方程有什么共同点？ 与你的同伴交流你的探究结果。 总结：___________________________________________的方程式是分式方程。 对应训练一 下列方程中，哪些是分式方程？ （1）21-=x （2） 22 =-x x （3） 1 2 14 1 12 -= +- -x x x （4） 05 43 2=---x x （二）类比方程5 1 532-=+x x 的解法 （1）你认为上面问题1中的分式方程x 100+ 8 5.1210=x ，应先怎样做呢？ （2）试试看，你能否求出未知数的值
徐闻县和安中学 数学教研组 ◆八年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 执笔：林朝清 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 16 课时 姓名：________ 课题：16.3 分式方程（第3课时） 学习目标 我的目标 我实现 1．会分析题意找出等量关系. 2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 学习过程 我的学习 我作主 导学活动1：知识回顾 解下列方程 1．1441222-=-x x 2．x x x -=+--23123 解分式方程的步骤： 。 导学活动2：知识引入 1．引导说出列方程解应用题的步骤 . 2．相关背景：相关背景：时间速度路程?= 时间路程速度= 速度 路程时间= 导学活动3：知识转化 例4：从2004年5月起，某列车平均速度提速40千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶125千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？ 练习1．从2004年5月起，某列车平均速度提速v 千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
徐闻县和安中学 数学教研组 ◆八年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 学习评价 我的评价 我自信 当堂检测（限时：12分钟 ）我自信 我进取 1、解方程： 22 122=-+-x x x x 2．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发.结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑自行车同学速度的2倍，求骑车同学的速度. 3．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的2倍，他们比第二组早15分钟到达了顶峰，求两个小组的攀登速度各是多少？ 自我小结：列方程解应用题的步骤 自我评价：我完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 课后作业 我的作业 我承担 课本（P32）习题16.3 第6、7题
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15.3.2 分式方程导学案 【学习目标】： 1、知道分式方程无解的原因及验根的必要性. 2、掌握分式方程的解法步骤,并能熟练解可化为一元一次方程的分式方程. 学习重点：掌握分式方程的解法步骤,并能熟练解可化为一元一次方程的分式方程. 学习难点： 1、知道分式方程无解的原因. 2、最简公分母的确定. 【学习流程】 一、阅读教材,找出本节课的主要内容及自己弄不懂的问题. 二、解方程 (1) (2)2x =3 1-x (3) 三、尝试练习 解方程：（1）232x x =- 【分析】：要解分式方程,首先要 ,即方程两边同乘最简公分母 即可, 【解】： （2）解方程2110525x x =--（P27讨论） 想一想：这个分式方程怎么化为整式方程呢？ 【解】 思考：1、分式方程无解的原因是什么？结合具体例子加以说明. 2、解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤是什么？结合具体例子加以说明. 3、解可化为一元一次方程的分式方程和解一元一次方程有什么相同点和不同点？ 4、如何找分式方程的最简公分母？如何找一元一次方程的最简公分母？ 5、解可化为一元一次方程的分式方程和解一元一次方程的过程中蕴含了什么数学思想？
四、巩固练习 解方程： （1） 1112x x =+ （你能用几种方法解这个题） （2） x 2x 1x+13x+3=+ （这个题那个地方易出错） （3） 22510x x x x -=+- （4） x-331x-22x +=- 五、达标测评 1．方程x x --242=0的解是（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =±2 D ．方程无解 2．方程2512x x =-的解是 ． 3．解方程：2131x x =--． 4.解方程： 3131=---x x x 六、本节课你有何收获？
分式方程 一．教学目标： 1．知识目标： 会分析题意找出相等关系，并能列出分式方程解决实际问题. 2．能力目标： 通过让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，进一步体会化归思想。 3.情感目标： 通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。 二．教学重点﹑难点： 1．重点：列分式方程解决实际问题. 2．难点：找出相等关系列出分式方程，将实际问题数学化. 3．突破方法: 设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意. 三．教学过程： (一)复习提问： 1．解分式方程的步骤 (1)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程； (2)解整式方程； (3)验根． 2．列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？ 在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． 本节课我们将学习列分式方程解决实际问题。 (二)探究新知： 例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？ （鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究） 分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”. 等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1