2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化
2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。
3、规律探究类问题架构：
一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项
公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、一阶等差的实质：
通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个
在每一幅图形中，找出
个数，把图形按规律表示如下：
113+? 123+? 133+? 13+?n
由一阶等差的实质可得规律为：b dn a n +=。d 为求出的不变差，b 的求解可带第一组值求解。
3、首差法通项公式（通法）
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=
（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；
例1 如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆
第
30个“小屋子”要 枚棋子．
(1)
(2)
(3)
……
【规范答题】
法一：套通项公式。有图可得数据
61171=-，6=∴d ，带入公
做
差
6
511=-，
式，得到：166)1(5-=?-+=n n a n 。179
1-30630=?=∴a
法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个．
第2个图案中棋子的个数5611+=个．?．
每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+?=个．故答案为：179． 例 2 观察下列数：
14，39，516，725，9
36
?，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是( )
A ．
2
21
n n - B ．
2
21
n n + C ．
2
21(1)n n ++ D ．2
21
(1)n n -+ 【规范答题】 法一：观察分析。
212114(11)?-=+，232219(21)?-=+，2
5231
16(31)?-=
+，2724125(41)?-=+，2925136(51)?-=+，? 由上可知，第n 个数是
2
21
(1)n n -+．故选：D ．
法二：赋值思想。令1=n ，A ．
1112122=-=-n n ，∴A 错；B ．31
1
2122
=+=+n n ，∴B 错； C ．()434121122=+=++n n ，∴C 对； D ．
()4
1
4121122=-=+-n n ，∴D 错。
1 给定一列按规律排列的数：1，
34，59，7
16，?，则第(1)n n 个数为( ) A ．221n n
-
B ．2
2n n C ．
2
21n n - D ．
221
n n
+
【解答】由已知观察，分母是自然数1，2，3，?，n 的平方，分子是正奇数，则第n 个数是2
21
n n -，故选：C ．
2 已知下列一组数：1，
34，59，716，9
25
，?；用代数式表示第n 个数，则第n 个数是( ) A ．
21
32
n n -- B ．2
21
n n - C ．
2132n n +- D ．221
n n
+ 【解答】221111?-=
；2322142?-=；2523193?-=
；∴第n 个数是：2
21n n -故选：B ． 3 按一定规律排列的一列数依次是
23、1、87、119
、1411、17
13?按此规律，这列数中第100个数是( ) A ．
299
199
B ．
299
201
C ．
301
201
D ．
303
203
【解答】由
23、55、87、119
、1411、1713、?可得第n 个数为3121n n -+．100n =，∴第100个数为：299201 故选：B ．
4 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11
根小棒，?，则第n 个图案中有 根小棒．
【解答】第1个图案中有516+=根小棒，第2个图案中有252111?+-=根小棒，
第3个图案中有353216?+-=根小棒，?
∴第n 个图案中有5(1)51n n n n +--=+根小棒．故答案为：51n +．
5 如图是用棋子摆成的“小屋”，按照这样的方式摆下去，第6个这样的“小屋”需要 枚棋子．
【解答】第1个“小屋”，下边正方形棋子4244?-=，上边1枚，共415+=，
第2个“小屋”，下边正方形棋子4348?-=，上边3枚，共8311+=， 第3个“小屋”，下边正方形棋子44412?-=，上边5枚，共12517+=，?，
第n 个“小屋”，下边正方形棋子4(1)44n n ?+-=，上边21n -枚，共42161n n n +-=-， 当6n =时，6166135n -=?-=．故答案为：35．
6 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n 个图形需要棋子
枚．（用含n 的代数式表示）
【解答】第一个图需棋子314+=；第二个图需棋子3217?+=；第三个图需棋子33110?+=；?
第n 个图需棋子(31)n +枚．故答案为：(31)n +．
7 如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1）、（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，
按照这样的规律继续叠放下去，至第n 个叠放的图形中，最下面一层小正方体木块总数应是 ．
【解答】观察图形知：第1个图形中最下面一层的小正方体的个数为114(11)=+-个；
第2个图形中最下面一层的小正方体的个数为514(21)=+-个； 第3个图形中最下面一层的小正方体的个数为914(31)=+-个；?
第n 个图形中最下面一层的小正方体的个数为14(1)(43)n n +-=-个；故答案为：43n -
8 下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中★的个数为 ．(n 为正整数）
【解答】第一个图形有133?=个，第二个图形有236?=个，第三个图形有339?=个，第四个图形有4312?=
个，?，∴第n 个图形共有：33n n ?=．故答案为：3n ．
9 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五
角星 个．
【解答】当n 为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有
12n +个，故共有1
3()2
n +个； 当n 为偶数时，中间一行有
12n +个，故共有312n +个．所以当99n =时，共有991
31502
+?=个．
再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转化。
1、再差法通项公式
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a
（2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为c ，二次差的结果为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：??
????
-+
-+=)2(2)1(1n d c n a a n （4）若记不住公式，可设为：c bn kn a n ++=2
，代入开始的3组数据，即可得到通项公式。
例3 将半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第
3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， ……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
【规范答题】
法一：通项公式法。有图可得数据
第二次做差得常数，第一次做差的第一个数4=c 带入公式计算，得到：
???
???-+-+=)2(224)1(6n n a n 42++=n n 。46
4662
6=++=∴a
法一：二次函数法。设：c bn kn a n ++=2
，代入()6,1、()10,2、()16,3
得：?????++=++=++=c b k c b k c b k 391624106，解方程组，得??
???===411
c b k ，所以n a 42++=n n ，
46
46626=++=∴a
10 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需
要8个黑色棋子，?，按照这样的规律摆下去，第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 （用含n 的代数式表示）．
【解答】结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是233133?-=?=（个)；第2个图形中的棋子数是
344248?-=?=（个)；
第3个图形中的棋子数是4553515?-=?=（个)，以此类推，发现：第(n n 是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是2(2)2n n n n +=+（个)．
11 观察下列砌钢管的横截面图，则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示）
【解答】第一个图中钢管数为123+=；第二个图中钢管数为2349++=；
第三个图中钢管数为345618+++=；第四个图中钢管数为4567830++++=，
依此类推，第n 个图中钢管数为2233(1)(2)2(2)2222n n n n n n n n n n n ++++++?+=+?+=+，
故答案为：233
22
n n +．
12 如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第n 个图案中有 根火柴棒。（用含n 的代数式表示）
【解答】依题意得：1n =，根数为：421(11)=??+；2n =，根数为：1222(21)=??+；
3n =，根数为：2423(31)=??+；?n n =时， 根数为：2(1)n n +．故答案为：2(1)n n +．
13 将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第 行左起第 个数．
【解答】由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，?，则第n 行n 个数，
故前n 个数字的个数为：(1)1232n n n ++++?+=
，当63n =时，前63行共有6364
20162
?=个数
字，202020164-=，2020∴在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．
14 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
【解答】第1个图案只有1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共239=，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共2525=，其中黑色的有13块，? 第n 个图案有黑色与白色地砖共2(21)n -，其中黑色的有21
[(21)1]2
n -+，
当14n =时，黑色地砖的块数有211
[(2141)1]73036522
?-+=?=．故答案为：365．
15 当n 等于1，2，3?时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n 个图形中
白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．（用n 表示，n 是正整数）
【解答】第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形414?=个，共有145+=个；
第2个图形：白色正方形224=个，黑色正方形428?=个，共有4812+=个； 第3个图形：白色正方形239=个，黑色正方形4312?=个，共有91221+=个；?， 第n 个图形：白色正方形2n 个，黑色正方形4n 个，共有24n n +个．故答案为：24n n +．
通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。这部分内容亦可以通过观察题目所给的数据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。
1、商比法规律探究
（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个记为n a
（2）对这组数据两两之间做比，比为一个固定常数，记为d ； （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：1
1-=n n d a a
例4 按一定规律排列的单项式：a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，??，第n 个单项式是( )
A ．n a
B ．n a -
C ．1(1)n n a +-
D ．(1)n n a -
【规范答题】
法一：观察分析。a ，2a -，3a ，4a -，5a ，6a -，??，1(1)n n a +-．故选：C ．
法一：套公式。可得数据
做比得常数d ，带入公式计算，得到：
n
n n n a a a a ?-=-?=--11)1()(。因为1)1(--n 与1
)1(+-n 等价，所以选C
法三：赋值思想。
例5 如图，在Rt △1APB 中，
30A ∠=?，190APB ∠=?，1483P B =，C 在1AP 上，CD AB ⊥于D ，且20CD =，过1P 作11PQ AB ⊥于1Q ，过1Q 作121Q P AP ⊥于2P ，过2P 作22P Q AB ⊥于2Q ，过2Q 作231Q P AP ⊥于3P ??则有11PQ = ，若n n P Q 在线段CD 的右侧，则n 的最大值为 ．
【规范答题】在Rt △11APQ 中，1BP =30A ∠=?，11172PQ ∴=， 由30?的直角三角形的性质可知，2211337244P Q PQ ==?，2
3322
3372()44PQ P Q ==?，?，1
3
72()4n n n P Q -=?
由题意13
72()204
n -?>，可得n 的最大值为5，故答案为5．
16 按一定规律排列的单项式：x 3
，﹣x 5
，x 7
，﹣x 9
，x 11
，……，第n 个单项式是（ ）
A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1
B ．（﹣1）n x
2n ﹣1
C ．（﹣1）
n ﹣1x 2n +1
D ．（﹣1）n x
2n +1
【解答】
311211(1)x x -?+=-，521221(1)x x -?+-=-，731231(1)x x -?+=-，941241(1)x x -?+-=-，1151251(1)x x -?+=-，
??由上可知，第n 个单项式是：1
21(1)
n n x -+-，故选：C ．
17 如图，在ABC ?中，1BC =，点1P ，1M 分别是AB ，AC 边的中点，点2P ，2M 分别是1AP ，1AM 的中点，点3P ，3M 分别是2AP ，2AM 的中点，按这样的规律下去，n n P M 的长为 (n 为正整数）．
【解答】 在ABC ?中，1BC =，点1P ，1M 分别是AB ，AC 边的中点，点2P ，2M 分别是1AP ，1AM 的中
点，点3P ，3M 分别是2AP ，2AM 的中点，可得：1112PM =
，22111
224
P M =?=，故12n n n P M =， 18 如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n
之间的关系是
【解答】观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，?，n ，右边三角形的数字规律为：2，22，?，
2n ，
下边三角形的数字规律为：12+，222+，?，2n n +，2n y n ∴=+．
周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复出现。
周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。题目求的量设为m ，周期记为T ，周期数为n ,余数记为d 。则该类型的规律为：d n T m ??????=÷
例 6 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 伴随点．已知点1A 的
伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，?，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，?，n A ，
?．若点1A 的坐标为(3,1)，则点3A 的坐标为 ，点2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为
(,)a b ，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 ．
【规范答题】
1A 的坐标为(3,1)，2(0,4)A ∴，3(3,1)A -，4(0,2)A -，5(3,1)A ，?，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，20144503÷=余2，∴点2014A 的坐标与2A 的坐标相同，
为(0,4)；点1A 的坐标为(,)a b ，2(1,1)A b a ∴-++，3(,2)A a b --+，4(1,1)A b a --+，5(,)A a b ，
?，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，
∴1010a a +>??
-+>?
，20
0b b -+>??>?，解得11a -<<，02b <<．故答案为：(3,1)-，(0,4)；11a -<<且02b <<． 例7 如图，在平面直角坐标系中，将ABO ?绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点1B 、
1C 处，
点1B 在x 轴上，再将△11AB C 绕点1B 顺时针旋转到△112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将△112A B C 绕点2C 顺时针旋转到△222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去?．若点(3,0)A ，(0,4)B ，则点2014B 的横坐标为 ．
【规范答题】
3AO =，4BO =，5AB ∴=，11235412OA AB B C ∴++=++=，
2B ∴的横坐标为：12，且224B C =，4B ∴的横坐标为：21224?=，
201421007÷=，∴点2014B 的横坐标为：10071212084?=．故答案为：12084．
19 如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边ABC ?的顶点B 与原点重合，将ABC ?绕顶点C 顺时针
旋转60?的1ACA ?，将四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则2017A 的坐标为 ．
【解答】边长为4的等边ABC ?的顶点B 与原点重合，4OA BC ∴==，60AOC ∠=?，
如图，过点A 作AD x ⊥轴于D ，1
22
BD DC BC ∴==
=，sin 4AD OA AOD =∠==
(2A ∴，．将ABC ?绕顶点C 顺时针旋转60?的1ACA ?，∴四边形1AOCA 是平行四边形，
14AA OC ∴==，1//AA OC ，1(24A ∴+，，即1(6A ，；
将四边形1ABCA 看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
2(242A ∴+?，，即2(10A ，；3(243A +?，，即3(14A ，；?
2017A ∴的坐标为(242017+?，，即2017(8070A ，；故答案为(8070，．
20 如图，在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(1,0)，将线段0OP 按照逆时针方向旋转45?，再将其长度
伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按照逆时针方向旋转45?，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，
?，(n OP n 为正整数），则点8P 的坐标为 ．
【解答】由题意可得，01OP =，1212OP =?=，22222OP
=?=，23
3222OP =?=， 344222OP =?=，?78
8222256OP =?==，
每一次都旋转45?，360458?÷?=，∴每8次变化为一个循环组， 8P ∴在4x 的正半轴上，8(256,0)P ，故答案为(256,0)．
21 如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC 的边时反弹，反弹后的路径与
长方形的边的夹角为45?，第1次碰到长方形边上的点的坐标为(3,0)，则第3次碰到长方形边上的点的坐标为 ，第2015次碰到长方形边上的点的坐标为 ．
【解答】根据题意，如下图示：
根据图形可知，第3次碰到长方形边上的点的坐标为(8,3)；通过上图观察可知，每碰撞6次回到始
点．201563355÷=?，∴第2015次碰到长方形边上的点的坐标为(1,4)．故答案为：(8,3)，(1,4)．
22 如图，在直角坐标系中，已知点(3,0)A -，(0,4)B ，对OAB ?连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、
③、④?，则三角形②直角顶点的坐标为 ．⑩的直角顶点的坐标为 ．
【解答】求出D 到x 轴的距离以及得出EO 的长，即可得出三角形②直角顶点的坐标，再利用勾股定理计
算出AB ，然后根据旋转的性质观察OAB ?连续作旋转变换，得到OAB ?每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了34512++=个单位，于是判断三角形⑩和三角形①的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形⑩的直角顶点的坐标．
过点D 作DE x ⊥轴于点E ，点(3,0)A -，(0,4)B ，4OB ∴=，3OA =，5AB ∴==，
5FM ∴=，4DF =，3DM =，DE FM DF DM ∴?=?，12
5
DE ∴=
，165EF = 1636455EO ∴=+=
，D ∴点坐标为：36(5，12)5，即三角形②直角顶点的坐标为：36(5，12
)5
， 对OAB ?连续作如图所示的旋转变换，
OAB ∴?每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了34512++=个单位，
而10331=?+，∴三角形⑩和三角形①的状态一样，则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同，
∴三角形⑩的直角顶点的横坐标为31236?=，纵坐标为0．故答案为：36(
5，12
)5
，(36,0)．
23 如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，1BC =，30A ∠=?，且BC 边在直线a 上， 将ABC ?绕点B
顺时针旋转到位置①可得到点1P ，此时12BP =；将位置①的三角形绕点1P 顺时针旋转到位置②， 可得到点2P
，此时22BP =；将位置②的三角形绕点2P 顺时针旋转到位置③， 可得到点3P
，此时33BP =?，按此规律继续旋转，直至得到点2015P
为止，则2015BP = ．
【解答】由图可知， 每旋转 3 次为一个循环组依次循环，
201536712÷=?，
2015AP ∴为 671 个循环组的长度2BP +
，33BP =
2015671(322015BP ∴=?+=+
2015+．
推理型规律探究中，对恒等式的规律探究以及证明往往比较容易，这部分规范性很重要；而针对反比例函数中的推理规律数形结合思想很重要，而且这部分内容综合性较强，需对函数知识点、坐标系的知识点、三角形的知识点熟练掌握。
1、恒等式推理
（1）这部分内容对规律发掘不是很难，可以利用前面的一阶等差和二阶等差综合分析。
（2）这部分内容往往需要证明发现的恒等式。在证明中主要要体现：“左边= …… =右边”的主线 2、反比例函数推理
（1）这部分内容实则是考察坐标系中的知识点，对反比例函数，抓住一个原则：只要有点落在反比例函数
上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。 （2）常用的知识点：
①三角板中的勾股比例，这部分内容，考试时要能迅速通过成倍放大或缩小得出三边的边长。（也可以通过三角函数求出其它边长，但是对选择填空而言，用三角函数就是在浪费时间）
②一次函数的快速求法：o o
x x y y k --==11tan α，b 代表直线的纵截距，看直线与y 轴相交的点的纵坐标。
③k 的几何意义与面积模型
例9 观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
2221112--=，第二个等式：2232122--=，第三个等式22431
32--=
……… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n 个等式（用n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的． 【规范答题】
（1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：
22541
42
--=；
（2）猜想第n 个等式是：22(1)1
2
n n n +--=，
证明：左边=22(1)12n n +--[(1)][(1)]12n n n n +++--=2112n +-=22n
=
n ==右边， ∴第n 个等式是：22(1)1
2
n n n +--=．
例10 如图，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，?，点(n n
P x ，)n y 在函数1
(0)y x x
=>的图象上，△11POA ，△212P A A ，△323P A A ，?，△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，?，1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数），则点3P 的坐标是 ；点n P 的坐标是 （用含n 的式子表示）．
【规范答题】过点1P 作1
PE x ⊥轴于点E ，过点2P 作2P F x ⊥轴于点F ，过点3P 作3P G x ⊥轴于点G ， △11POA 是等腰直角三角形，1
111
2
PE OE A E OA ∴===， 设点1P 的坐标为(,)a a ，(0)a >，将点1(,)P a a 代入1
y x
=， 可得1a =，故点1P 的坐标为(1,1)，则12OA =，
设点2P 的坐标为(2,)b b +，将点2(2,)P b b +代入1
y x
=
，可得1b =，
故点2P 的坐标为11)，则121A F A F ==，2112OA OA A A =+=
设点3P 的坐标为(c +，)c ，将点3(P c +，)c 代入1
y x
=，可得c =，
故点3P 的坐标为，
综上可得：1P 的坐标为(1,1)，2P 的坐标为11)，3P 的坐标为，
总结规律可得：n P 坐标为：．
24 观察下列等式：
11212323+=??；11323438+=??；114
345415
+=??；?
（1）猜想并写出第n 个等式； （2）说明你写出的等式成立的理由． 【解答】（1）第n 个等式为
2111
(1)(2)1(1)1
n n n n n n ++=
++++-． （2）理由：左边221(2)21(1)1
(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2)
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++=+===
+++++++++， 右边2
2111
2112(2)
n n n n n n n n n +++=
==
++-++，所以左边=右边，即
2111
(1)(2)1(1)1
n n n n n n ++=
++++-． 25 观察下列式子：
011121,23122
213134,453344
=?+=?+
=?+=?+?
（1）根据上述规律，请猜想，若n 为正整数，则n = （2）证明你猜想的结论．
【解答】（1）根据题意得：11
(1)
n n n n n
-=++； （2）证明：211(1)(1)111(1)n n n n n n n n n n n -+--+++=+==，11(1)n n n n n
-∴=++． 26 如图，已知等边11B OA ?，顶点1A 在双曲线()03
>=
x x
y 上，点1B 的坐标为)0,2(．过1B 作121//OA A B 交双曲线于点2
A ，过2A 作1122//A
B A B 交x 轴于点2B ，得到第二个等边221B A B ?；过2
B
作2132//A B A B 交双曲线于点3A ，过3A 作2233//A B A B 交x 轴于点3B ，得到第三个等边332B A B ；以此类推，
，则点6B 的坐标为 ，点n B 的坐标为 ，
【解答】过作轴交于点，
设，则，是等边三角形，，
在中，，，
，，
点在上，，即，
解得或（舍去），经检验为原方程的解，
又，，，
作轴交于点，设，则，是等边三角形，
，在中，，，
，，点在上，
，即，
解得或（舍去），经检验为原方程的解，
，，，
坐标为，点的坐标为．
27 如图，已知△11OP A 、△122A P A 、△233A P A 、?均为等腰直角三角形，直角顶点1P 、2P 、3P 、?在函
数4
(0)y x x
=>图象上，点1A 、2A 、3A 、?在x 轴的正半轴上，则点2011P 的横坐标为 ．
【解答】 分别过1P 、2P 、3P 作x 轴的垂线，垂足为1H 、2H 、3H ，
则△11OPH ，△122A P H ，△233A P H 为等腰直角三角形，设111OH PH a ==，则2
4a =，
解得2a =（舍去负值），即1P 的横坐标为2，设1222A H P H b ==，则(4)4b b +=，
解得2(1b =-（舍去负值），即2P 的横坐标为42(1b +=+，
设2333A H P H c ==，则(22)4a b c c ++=，即)4c c =，解得2(c =（舍去负值），
即3P 的横坐标为22a b c ++=，2011P ?的横坐标为．
故答案为：+．
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。
中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．
一、选择题 1．（2017四川省内江市，第12题，3分）如图，过点A （2，0）作直线l ：3 3 y x 的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ） A ．20153( ) B ．20163()2 C ．20173 ()2 D ．20183() 【答案】B ． 【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OA n =3()2n OA =2×3 ()2 n ”，依此规律即可解决问题． 点睛：本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OA n =3)2n OA =2×3 2 n 是解题的关键． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题． 2．（2017四川省绵阳市，第12题，3分）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律
摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3 ，…，以此类推，则 19 3211111a a a a ++++ 的值为（ ） A ． 2120 B ．84 61 C ．840589 D ．760421 【答案】C ． 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【解析】a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）； ∴ 193211111a a a a ++++ =11111 (132435461921) +++++????? = 1111111111(1...)232435461921-+-+-+-++-=1111(1)222021+--= 840 589 ，故选C ． 点睛：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 考点：规律型：图形的变化类；综合题． 3．（2017四川省达州市，第9题，3分）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ） A ．2017π B ．2034π C ．3024π D ．3026π 【答案】D ． 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【解析】∵AB =4，BC =3，∴AC =BD =5，转动一次A 的路线长是： 904 180 π? =2π，转动第二次的路线长是：905180π? =52π，转动第三次的路线长是：903180π? =3 2 π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四
初中数学重难点 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
1. 函数（一次函数、反比例函数、二次函数）[点击可查看]中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。 特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2.整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。 中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3.应用题，中考中占总分的30%左右 包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。 一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。 现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为
这样更能让学生感受学习数学在自己生活中的运用，以激发其学习兴趣。 应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。 4.三角形（全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），中考中占总分25%左右。 三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点。 因为几何思维更灵活，定理、定义及辅助线的添加往往都是解决问题的关键，这就要求学生的思维更灵活，能多维度的思考问题，形成自己的解题思路和方法。也只有学好了三角形，后面的四边形乃至圆的证明就容易理解掌握了，反之，后面的一切几何证明更将无从下手，没有清晰的思路。其中解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。因此在初中数学学习中也是一个重点，而且在以后的高中数学学习中会将此知识点挖深，拓宽。成为高考的一个重点，因此，初中的同学们应将此知识点熟练掌握。 四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，深刻理解这些性质和判定、理清它们之间的联系是解决证明和计算的基础，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题（最后一题）中出现，对学生综合运用知识的能力要求较高。 5.圆，中考中占总分的10%左右
1 中考指导：在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这 类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．解决这类问题的常见方法有：规则图形直接利用公式计算、不规则图形利用图形的面积的和差计算、通过分割，割补转化为规则图形计算. 典型例题解析: 【例1】（浙江省鄞州区2017届九年级下学期教学质量检测一）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. π﹣2 B. 2 13π- C. π﹣4 D. 223 π- 【答案】A 【例2】（2017年浙江省金华市金东区中考数学模拟）在矩形ABCD 中，2BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）
2 A. 22 π - B. 22 2π - C. 2π- D. 22 π- 【答案】A 点睛：本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键． 【例3】（2018年河北邢台市宁晋县换马店镇初级中学中考模拟）AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直于AB 交于点E ，∠COB=60°，CD=23，则阴影部分的面积为（ ）
实用文档 用心整理 3 A. 3π B. 23 π C. π D. 2π 【答案】B 【解析】连接OD ． ∵CD ⊥AB ， ∴CE=DE= 1 2 3， 故S △OCE =S △ODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又∵∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S 扇形OBD =2602360?=23π，即阴影部分的面积为23 π． 故选B ． 强化训练 1．（山东省青岛市2018年中考数学试卷样题二）如图，正方形ABCD 的边AB=1， BD u u u r 和AC u u u r 都是以1为半径的圆 弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
初三中考数学二次函数较难题解析 二次函数的图像考点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 二次函数：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a ）． 顶点坐标（h ，k ） a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）
与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y >
中考数学热点练习２规律探究问题 数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题. 归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力. 结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳. 考向1 数字类规律探究型问题 1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______. 【答案】0，2 【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2. 2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵
中考数学重难点专题讲座 第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题 【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。 第一部分真题精讲 【例1】2010，海淀，一模 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B D C的面积为S， 2111 ?B D C的面积为S，…，?B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n 含n的式子表示）． B1B2B3B4B5 D1D 2 D3D4…… A C 1C2C 3 C4C5 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ?B AC,?B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332
2 3 3 = 2 3 .接下来通过总结 ,我们发现所求的 S = 1 n + 1 角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长 2 2 2 2 3 3 的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是 2 3 2 3 2 2 三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来 的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发 现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分 n 点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2 D C = n + 1 - 1 n n ? 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要 减 1?) S ?B n +1D n C n = 1 1 2n 3n D C ? 3 = 3 = 2 n n 2 n + 1 n + 1 【例 2】2010，西城，一模 在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ， 则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐 n n n n 标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的 n n n n 单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）． y 4 B A -8 O -4 D C 8 x 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 =?=米， 639 2 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米．
【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123， 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题． 3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中， ∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题： （1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数． （2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长． （3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
- 1 - 中考数学重难点专题 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】 已知：关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数2 3y ax bx c =++的图象 经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个 值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【例2】 关 于 x 的一元二次方程 22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （ 2）点 () 11A --，是抛物线 22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【解析】：
- 2 - 【例3】 已知P （3,m -)和Q （1， m ）是抛物线 221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程2 21x bx ++=0是 否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【解析】 【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2 5 a > ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【例5】 已知：关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛 物线()()2 121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个 固定点； （3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根， 把抛物线()()2 121y m x m x =-+--向右平移3个 单位长度，求平移后的解析式．
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二
的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b，c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E 作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下： ①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． (4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。 41
直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。 （1）求直线BC及抛物线解析式 （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标
如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0， -3），对称轴是直线x =1，直线BC 交抛物线对称轴交于点D . （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式； （3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P ，Q 两点，且点P 在第三象限. ①当线段PQ =3AB/4时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C ，D ，E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标. 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答. 第25题图 第25题备用图
2019年全国中考数学试题----规律试题（一） 1. （2019?安徽）观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92﹣4×( )2= ( )； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【解析】解：（1）32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 所以第四个等式：92﹣4×42=17； （2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1， 左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1， 右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1． 左边=右边 ∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1． 2. （2019?漳州）已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是( ) ．（用含n的代数式表示）. 【解析】解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是3n﹣1，故答案为：3n﹣1． 3. （2019?白银）观察下列各式： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 … 333
4. （2019?兰州）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32019的值是_______________ . 【解析】解：设M=1+3+32+33+…+32019 ①， ①式两边都乘以3，得 3M=3+32+33+…+32019 ②． ②﹣①得 2M=32019﹣1， 两边都除以2，得 M= ， 故答案为： ． 5. （2019?天水）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）． 【解析】解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）， OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2， P2（2.5，﹣0.25） P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5， p10的纵坐标是﹣0.25， 故答案为（10.5，﹣0.25）．
2021年温州市中考数学 重难点复习：二次函数 目录 一、历年真题 二、知识点讲解 三、各地真题及模拟题精讲
一、历年真题 一．选择题（共8小题） 1．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1 B ．y ＝x 2﹣3 C ．y ＝（x +1）2﹣2 D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2 【解答】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，即y ＝x 2﹣1． 故选：A ． 2．如图，抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．5 2 B ． 114 C ．3 D ． 134 【解答】解：将抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x +m ﹣3）2 +5， 根据题意得：{y =?(x +m)2+5y =?(x +m ?3)2+5， 解得：{x =3 2?m y =114， ∴交点C 的坐标为（3 2?m ， 114 ）， 故选：B ． 3．已知点A （﹣3，a ），B （﹣2，b ），C （1，c ）均在抛物线y ＝3（x +2）2+k 上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 【解答】解：函数的对称轴为：x ＝﹣2， a ＝3＞0，故开口向上， x ＝1比x ＝﹣3离对称轴远，故c 最大，b 为函数最小值， 故选：C ．
4．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（） A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a﹣b+c＞﹣1【解答】解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意； B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则?b 2a＜?1，又a＞0，所以2a﹣b＜0， 故符合题意； C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题意； D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，故 不符合题意． 故选：B． 5．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（） A．0B．1C．2D．3 【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0 ∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点． 故选：B． 6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）
第5题 第6题 中考数学专题复习——规律探索型问题 规律探索型问题是根据已知条件或问题中所提供的若干特例，通过观察，实验，归纳，类比等活动来发现或揭示所给信息中蕴含的本质规律特征的一类探究性问题，常见的规律探索型问题有数字类探究型问题，几何图形探究型问题，点的坐标变化探究型问题等。 类型一、数式递变规律： 1.（2019安徽）观察以下等式： 2.（2019云南）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，…，第n 个单项式为（ ） A. 121)1(---n n x B. 12)1(--n n x C. 121)1(+--n n x D. 12)1(+-n n x 3.（2018天水）按一定规律排列的一组数：21，61，121，201，…，a 1，901，b 1，（其中a ，b 为整数），则a+b 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A.182 B.172 C.242 D.200 4.（2019达州）a 是不为1的有理数，我们把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为2 1)1(11=--，已知51=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，以此类推，则2019a 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A.5 B. 4 1- C. 34 D. 54 5.（2018淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行第4列的数是12，则位于第45行第8列的数是 。 类型二、图形递变规律： 按照上述规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n 个等式： ； （用含n 的代数式表示），并证明。
2019中考数学重点难点：易错知识点梳理初三学期的学习知识范围更广，课程的内容更加抽象，更加难以理解，尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由小编为您提供的2019中考数学重点难点，希望给您带来启发! ●失分点集中在以下几个方面： 考查简单二次根式的化简求值，函数中自变量取值范围，易出错。 考查点和圆、直线和圆的位置关系，易将其判定相混，或不审题误把圆直径当半径。 考查简单直角三角形的应用，失分点在于对括号中给出精确度忽略而错选。视图时，考生由于缺乏空间想象力而易失分。考查一元二次方程的实际应用，特别是均变速运动有关问题是难点。 以图表形式提供信息考查统计知识，由于信息量及阅读量大，线索多，要求小伙伴们冷静、细心审题，否则易失分。考查几何变换中点的坐标及点或线段在变换中经过的路线，考生容易在三个方面失分，旋转中的旋转方向，坐标与线段转化过程中忽略点所在位置或者是弧长公式、扇形面积公式相混。 考查概率在实际问题中应用，用频率估分概率时考生容易出错。
策略：从往年的试卷可以看出，小伙伴们卷面上一般会出现大量“会而不对”、“对而不全”的现象。小伙伴们应注意以下三个问题。 解题速度慢，导致后面的解答题没有时间做，连看题都没有时间了。解题速度缓慢原因就是不熟练，基础知识不熟练，基本方法不熟练，这是平时训练不够所致，所以我们经常说回归课本，目的就是要让考生全面、系统地掌握课本中的基础知识和基本方法，吃透课本中的例题和习题。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。运算错误多。答卷的时候，经常会犯一些低级的错误，这是运算能力的问题，