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利用导数解决不等式问题

要求：1、本周日13：30—15：30数学，15：40—17：40化学，下周物理英语，间周循环，完全自愿上课。2、课前必须把会做的做完，尤其是大题的第一、二问一定要做完，否则效果很

差。3、课后必须用红笔整理，保存好学案，以便复习巩固。

利用导数解决不等式问题

【学习目标】知识技能1、会利用导数作为工具证明不等式;2、能够构造函数,结合放缩和函数的单调性、最值达到证明目的【教学重点难点】1.灵活准确的构造函数2.利用可导函数解决不等式证明；

【教学过程】一、课前思考：利用导数能解决哪些问题？

1、证明含对数和指数的不等式的两种常用方法：

作差法构造函数证明

如：（1）x x <+)1ln()

0(>x （2）1+>x e x )

0(>x 如：（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(

n n n ->+都成立二、观察分析，初步探究

例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，

求证：．a )(a f >b )

(b f 变式:1、定义在R 上的奇函数)(x f 满足：0x F F 的解集为

；

如果满足)()('x f x xf <呢？

2、已知定义域为R 的函数()y f x =满足：)()('x f x f <，1)4(),2()2(=-=+f x f x f 则x

e x

f <)(的解集为3、定义在,

0(π上的函数()y f x =满足：x x f x f tan )()('<恒成立，则（）A.3(2)4(3ππf f > B.1sin 6(2)1(πf f < C.)4()6(2ππf f > D.)3()6(3ππf f <三、启迪思维，深入探究

例2、设函数1

)1(ln )(+--=x x a x x f （1）0=a 时，求)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）0≥a

时，讨论函数()f x 的单调性；（3）0>>n m 时，求证：2

ln ln n m n m n m +<--变式练习1、设函数R a a ax x x x F ∈+-+=,22ln )(22

，若0)()(==n F m F （其中)0n m <<且2

0n m x +=，问：函数)(x F 在))(,(00x f x 处的切线能否平行于x 轴，若能，求出切线方程；若不能请说明理由。

变式练习2、设函数x x f ln )(=，若存在两个实数2121,x x x x ≠且满足11)(ax x f =，22)(ax x f =，求证：2

21e x x >反思总结：观察式子的结构特征，换元法由两个元变成一个元，从而构造新函数，达到证明不

等式的目的。

例3、函数21()ln(12)222

m f x x x mx m =-++-，其中0m <．（Ⅰ）试讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）已知当2e m ≤-

（其中e 是自然对数的底数）时，在11,22e x -??∈- ???上至少存在一点0x ，使0()1f x e >+成立，求m 的取值范围；

（Ⅲ）求证：当1m =-时，对任意()12,0,1x x ∈，12x x ≠，有2121()()13

f x f x x x -<-．备注：当2)21ln(1)(12+-++=-=x x x x f m 时，

变式练习：设函数21()ln ().2

a f x x ax x a R -=+-∈(Ⅰ)当3a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；(Ⅲ)对任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有2121

()()2f x f x a x x -<+-恒成立，求a 的取值范围．例3、设函数1)1(ln )(2

+-+=x p x p x f ，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：n n 131211)1ln(++++

<+ 先思考：若已知数列)

12)(12(1+-=n n a n ，数列{}n a 的前项和为21

21)12)(12(1.....531311<+-+?+?n n 变式1：设函数1ln )(+-=x x x f ，时且2*≥∈n N n ，证明：4

)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n 变式2：n

n n 1ln 33ln 22ln

变式3：e n <+??????++2

11()211211(2四、归纳结论，揭示本质

思考：依据上述分析，可得出什么结论？

设计意图：通过例3的设计，使学生认清此类问题的本质是找通项，适当整理后构造式子做差或做商，明确证明思路，充分利用前两问证得的不等式，等价转化到理想形式自己构造函数单独证明，让学生轻松找到解决此类问题的主要依据，（1）重要不等式ln(x+1)

（2）有效的放缩（1）

、湖北、

（2）浙江、已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++++???+>+*()n N ∈.

)

1(11)1(12-<<+n n n n n

利用导数研究不等式问题

1.已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116 . 2．(优质试题·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )． (1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是????12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．

3．(优质试题·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1. (1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； (2)求证：在(1)的条件下，当x >1时，12x 2＋ax －a >x ln x ＋12 成立． 4.已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a <0时，讨论f (x )的单调性； (2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 5．(优质试题·福州质检)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)当a >0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1<(n ＋1)n ＋1.

答案精析 1．(1)解 f ′(x )＝2x －a －a x ，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1. (2)证明由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－????－x 33＋5x 22 －4x ＋116 ＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116 ，由g ′(x )＝x 2 －3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x (x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116 成立． 2．解 (1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)，由h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x (x >0)，若h (x )的单调减区间是????12，1，由h ′(1)＝h ′????12＝0，解得a ＝3，而当a ＝3时，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x (x >0)．由h ′(x )<0，解得x ∈????12，1，即h (x )的单调减区间是????12，1， ∴a ＝3. (2)由题意知x 2－ax ≥ln x (x >0)， ∴a ≤x －ln x x (x >0)．令φ(x )＝x －ln x x (x >0)，

利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法吉林省长春市东北师范大学附属实验学校金钟植岳海学利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上单调递减即可。证明：令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0，证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ，即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' ∴0)()(=