第四章 习题解答
习 题 4-1
1.求下列不定积分：
(1)
(2) 2(23)d x x x +?；
(3)
?+)1(d 22x x x
；
(4) 2cot d x x ??
+??
?；
(6) 2
1
(1)x x -?
； (7)
1
d 1cos 2x x
+?；
(9)
221
d sin cos x x x ?；
(10){}max ||,1d x x ?.
2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.
3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1
cos24x -是某同一函数的原函数.
解答：
1.求下列不定积分： （1
）解
532
25
12
5
212d 1()3
x x x C x C -
-+-==
+=-++-?． （2）解：?+x x x
d )32(2
C x
x x +3
ln 29+6ln 62+2ln 24=
（3）
=+-=+???22221d d )1(d x x x x x x x C x x
+--arctan 1
(4) 解：?
??
-+-=+-x x x x x x x d )1(csc d 1
1d )cot 1
1(
2222
=C x x x +cot arcsin
（
5
）113135
2222222242
(2)d 235x x x x x x x x x C -==-+=-++?
??
(6) 33571
2
44444214(1)(1)d ()d 47
x x x x x x x x x C x ----=-?=-=++???
(7) 解
2111
d d tan 1cos 22cos 2x x x C x x ==++??
(8) 解：?x x
x x
d sin cos 2cos 2
2??-=-=x x x x x x x x d )cos 1sin 1(d sin cos sin cos 222222 C x x +--=tan cot
(9) 解：222222221sin cos 11
d d d d sin cos sin cos cos sin x x x x x x x x
x x x x +==+???? 22sec d csc d tan cot x x x x x x C =+=-+??
(10) 解：},,1max{)(x x f =设???
??>≤≤--<-=1,11,11
,)(x x x x x x f 则.
上连续在),()(+∞-∞x f Θ，
)(x F 则必存在原函数，1
>,+2
11≤≤1,+1<,+2
1=)(32
212
x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F Θ
)+21(
lim =)+(lim 121
→21
→+C x C x x x ，,2
1
112C C +-=+-即 )(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12
1
23C C +=+即 ,1C C =联立并令.1,2
1
32C C C C +==＋可得
.1,12111,211,21},1max{2
2
????
?
?
???>++≤≤-++-<+-=?x C x x C x x C x dx x 故
2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为
3d d x x
y
=，从而 ?+=
=C x x x y 4
34
1d .
由0)0(=y ，得0=C ，因此所求曲线方程为44
1x y =
. 3.解：x 2sin 21x x cos sin =， x x x sin cos cos 212='
??? ??- x x x x cos sin 2sin 212cos 41=='
??
?
??-
所以x 2sin 21、 x 2
cos 21-、 x 2cos 4
1-都是x x cos sin 的原函数.
习 题 4-2 1.求下列不定积分： (1) 1
d 12x x -?
; (2) 100(23)d x x -?
;
(3) 12
e
d x
x x ?
; (4)
211sin()d x x x ?;
(5) ?-2
94d x x
;
(7) 1
d ln lnln x x x x
?;
(8)
x e x d 11
?+;
(9)
?
+3x
x dx ; (10)
x x x x x d )cos 2(sin sin 2cos 2
?+-; (11)3cos d x x ?;
(12)
?+x x d 41
2;
(14)
2sin d cos 6cos 12x x
x x -+?;
(15)x ; (16) dx x ?
5
cos
(17) ?
x x x d cos sin 5
2
(18)cos5sin 4d x x x ?;
(19)
?+x x
x d sin 1sin ; (20)
x e
x
d 112?
+
(21) x
x ?
;
(22)
x . 2. 求下列积分： （1） sin 2d x x x ?；
（2）?
-x e x x d 2；
（3）()?-x x x d 1ln ；
（4）(31)sin3d x x x +?
； （5）x x d sin
3
?
；
（6） e sin 2d x x x -?； （7） 2arctan d x x x ?；
（8） 2cos d x x x ?； （9）
x ；
（10）?
x x e x d sin ；
（11）3csc d x x ?
；
（12）()d xf x x ''?.
3.已知x x f 2
2
tan )(sin ='，求函数)(x f .
4. 已知x
e
x f -=)(，求不定积分
?
'x x
x f d )
(ln . 5. 求e d n x n I x x =?
的递推公式，其中n 为自然数，并计算2I 的值．
6. 已知)(u f 有二阶连续的导数，求∫
d )
e (′′e
2x f x x
；
解答：
1.求下列不定积分：
(1) 解： 令2u x =，有
2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+???，
将2u x =回代，得2sin 2d x x ?cos2x C =-+. (2) 解 100
100
10111(23)
d (23)d(23)(23)3303
x x x x x C -=-
--=--+?
? (3) 解：?x x
e
x
d 21
C e x e x x +=)1-d( =11∫
(4) 解：
211111sin()d sin d()cos x C x x x x x
=-=+?? (5) 解：
=-?294d x x
c x
x x x x +|323+2|ln 121=d 321+3+2141∫ (6) 解：
x x x x d )ln (ln 12?+C x
x x x x x +-==?ln 1
)ln d()ln (12
(7) 解：
x x x x d ln ln ln 1?C x x x x x x +===??ln ln ln )ln d(ln ln ln 1
)d(ln ln ln ln 1
(8) 解：x e
e x e e e x e x
x
x x x x d )11(d 11d 11???+-=+-+=+=C e x x ++-)1ln( (9) 解 令)0( 6
>=t t x ，则
??
+=+2353
6t t dt
t x x dx
dt t
t t )11
1(62?+-+-=
C t t t t ++-+-=))1ln(2
3(62
3
C x x x x ++-+-=)1ln(6 6 32663
(10) 解：)cos 2+(sin d )cos 2+(sin 1 =d )cos 2+(sin sin 2cos
∫∫2
2x x x x x x x x x =C x
x ++-
cos 2sin 1
(11) 解：?x x d cos 3
?=x x x d cos cos 2
)d(sin sin 12
?-=x x C x
x +-=3
sin sin 3 (12) 解：∫∫2d 2
+
1121=d +4122x x
x x =C x
+2arctan 21.
(13)
解：
2x 231
arcsin d(arcsin )(arcsin )3x x x C ==+?．
(14)
解：
22sin d d(cos 3)cos 6cos 12(cos 3)3x x x C x x x -=-=+-+-+?? (15) 解：
x x x x d )
1(arctan ?
+)d()
(1arctan 2d 1arctan 22
x x x
x x x ??
+=+=
C x x x +==?2)(arctan )d(arctan arctan 2
(16) x x x x x x sin d )sin -1( =sin d cos =d cos ∫
∫
∫
2
24
5
=C x x x ++-5
2
sin 5
1sin 3
2sin .
(17) ?
??+-=-=x x x x x x x x x x sin d )sin sin 2(sin sin d )sin 1(sin d cos sin 64222252
c x x x ++-=753sin 7
1
sin 52sin 31 (18) 解：C x x x x x x x x ++-=-=??cos 2
1
9cos 181d 2sin 9sin d 4sin 5cos
(19) 解：∫∫∫d )tan +sec (tan =d sin -1)
sin +1(sin =d sin +1sin 22
x x x x x x
x x x x x ?
-+=x x x x d )1sec sec (tan 2
=C x x x +-+tan sec .
(20) 解：令)1ln(212-=
t x ，则t t t x d 1
d 2-=，于是
C t t t t t t t t x e
x ++-=-=-?=+???
11ln 21d 11d 11d 11
222 =
C
x e e x x +-++-)212ln(2122
(21) 解：设sin (0)2
x a t t π
=<<，d cos d x a t t =，则
2242
1sin cos cos d sin 2d 4x x a t a t a t t a t t =??=???? 444111(1cos 4)d sin 48832a t t a t a t C =-=-+?
44211
sin cos (12sin )88a t a t t t C =--+
42211
arcsin 2)88
x a a x C a =--+． (22) 解：令sec x a t =，d sec tan d x a t t t =?，则
?
22tan sec tan d tan d (sec 1)d sec a t
a t t t a t t a t t a t
=??==-??? (tan )a t t C =-
+arccos )a
a C a x
=-+． 2.求下列不定积分
（1）解：?x x x d 2sin )2cos d(21?-=
x x ?
+-=x x x x d 2cos 212cos 2 C x x x ++-=2sin 4
1
2cos 2
（2）解：?-x e x x d 2?
?---+-=-=x xe e x e x x x x d 2d 22
?
?-----+--=--=x e xe e x e x e x x x x x x d 22d 222
C e xe e
x x x x
+---=---222
（3）解：()?-x x x d 1ln ()????
?
??-=2d 1ln 2x x
()?---=x x x x x d 11211ln 222 ()???
? ??-++--=x x x x x d 111211ln 22 ()()C x x x x x +-----=1ln 2
1
21411ln 222（4）
(31)sin3d x x x +?1
(31)d(cos3)3
x x =+-? 1
(31)cos3cos3d 3x x x x =-++?
11
(31)cos3sin 333
x x x C =-+++.
（5）解：令t x =3，则3t x =，t t dx d 32
=
原式?
?-=?=t t t t t cos d 3d 3sin 22
∫∫sin d 6+cos 3=d 2cos 3+cos 3=22
t t t t t t t
t t
?
-+-=t t t t t t d sin 6sin 6cos 32
C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32
C x x x x x +++-=33333
2
cos 6sin 6cos 3 （6）解：因为?
-x x e
x
d 2sin ?--=x
e x d 2sin )2d(sin 2sin ?--+-=x e x e x x
)d(2cos 22sin ?----=x x e x x e )2d(cos 22cos 22sin ?---+--=x e x e x e x x x
?------=x x e x e x e x x x d 2sin 42cos 22sin
于是?-x x e x
d 2sin C x
e x e x x +--=
--5
2cos 22sin （7）解：?x x x d arctan 2
??-==x x x x x x arctan d 3
arctan 33d arctan 3
33
∫d +131arctan 3
=233
x x x x x ?+-+-=x x
x
x x x x d 131arctan 32
33 C x x x x +++-=)1ln(3
1
arctan 3223 （8）解：?x x x d cos 2
??+=+=x x x x x x x d )2cos (2
1
d 22cos 1?+=
x x x x d 2cos 2142 ?+=x x x 2sin d 4142?-+=x x x x x d 2sin 41
2sin 4142 C x x x x +-+=2cos 8
12sin 4142 （9）解：
?
x x x
d arcsin 1??-==x x x x x x arcsin d 2arcsin 2d arcsin 2
∫d 11
arcsin 2=x x
x
x C x x x +-+=12arcsin 2 （10）解：e sin d sin d e x x x x x =??
e sin e dsin x x x x =-?e sin e cos d x x x x x =-?
e sin cos de x x x x =-?e sin (e cos e dcos )x x x x x x =--? e sin e cos e sin d x x x x x x x =--?.
因此得
2e sin d e (sin cos )x x
x x x x =-?
. 即
1e sin d e (sin cos )2
x
x
x x x x C =
-+?
.
（11）解：32csc d csc (csc )d csc d(cot )x x x x x x x ==-???
2csc cot cot csc d x x x x x =--??3csc cot csc d csc d x x x x x x =--+?? 3csc cot csc d ln csc cot x x x x x x =--+-?，
从而 3
1
csc d (csc cot ln csc cot )2
x x x x x x C =-
--+?
（12）解 ?''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-
'='=??)()(d )()()(d
3.已知x x f 2
2
tan )(sin ='，求函数)(x f .
解 依题求得x
x x f -=
'1)(，因此 C x x x x x
x x x x f +---=--=-=???
|1|ln d d 11d 1)(. 4. 已知x
e
x f -=)(，求不定积分
?
'x x
x f d )
(ln . 解
=+='='??
C x f x x f x x
x f )(ln ln d )(ln d )
(ln C x +1.
5. 解 11e d de e e d e n x n x n x n x n x n n I x x x x n x x x nI --===-=-???
，即
1e n x n n I x nI -=-
为所求递推公式．
而221e 2x
I x I =-，11e d de e e d e e x x x x x x I x x x x x x C ===-=-+???
，故
22(22)e x I x x C =-++．(12C C =-)
6. 解
?''x f x x
d )
e (e
2()?''=x x x f e d )e (e []
?'=)e (d e x x f
?
'-'=)e (d )e ()e (e x x x
x
f f C f f x x x +-'=)e ()e (e
习 题 4-3
1. 求下列积分： （1） sin 2d x x x ?；
（2）?
-x e x x d 2；
（3）()?-x x x d 1ln ；
（4）(31)sin3d x x x +?
； （5）x x d sin
3
?
；
（6） e sin 2d x x x -?； （7） 2arctan d x x x ?；
（8） 2cos d x x x ?； （9）
x ；
（10）?
x x e x d sin ；
（11）3csc d x x ?
；
（12）()d xf x x ''?.
2. 求e d n x n I x x =?
的递推公式，其中n 为自然数，并计算2I 的值．
3. 已知)(u f 有二阶连续的导数，求
?''x f x x
d )
e (e
2；
解答
1.求下列不定积分 （1）解：?x x x d 2sin )2cos d(21?-=
x x ?+-=x x x x d 2cos 2
12cos 2 C x x x ++-=2sin 4
1
2cos 2
（2）解：?-x e x x d 2?
?---+-=-=x xe e x e x x x x d 2d 22
?
?-----+--=--=x e xe e x e x e x x x x x x d 22d 222
C e xe e
x x x x
+---=---222
（3）解：()?-x x x d 1ln ()????
?
??-=2d 1ln 2x x
()?---=x x x x x d 1
1211ln 222
()???
? ??-++--=x x x x x d 111211ln 22 ()()C x x x x x +-----=1ln 2
1
21411ln 222（4）
(31)sin3d x x x +?1
(31)d(cos3)3
x x =+-? 1
(31)cos3cos3d 3x x x x =-++?
11
(31)cos3sin 333
x x x C =-+++.
（5）解：令t x =3，则3t x =，t t dx d 32
=
原式?
?-=?=t t t t t cos d 3d 3sin 22
∫∫sin d 6+cos 3=d 2cos 3+cos 3=22
t t t t t t t
t t
?
-+-=t t t t t t d sin 6sin 6cos 32
C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32
C x x x x x +++-=33333
2
cos 6sin 6cos 3
（6）解：因为?-x x e x d 2sin ?--=x e x d 2sin )2d(sin 2sin ?
--+-=x e x e x x
)d(2cos 22sin ?----=x x e x x e )2d(cos 22cos 22sin ?---+--=x e x e x e x x x ?------=x x e x e x e x x x d 2sin 42cos 22sin
于是?-x x e x
d 2sin C x
e x e x x +--=
--5
2cos 22sin （7）解：?x x x d arctan 2
??-==x x x x x x arctan d 3
arctan 33d arctan 3
33
∫d +131arctan 3
=233
x x x x x ?+-+-=
x x x
x x x x d 131arctan 32
33 C x x x x +++-=)1ln(3
1
arctan 3223 （8）解：?x x x d cos 2
??+=+=x x x x x x x
d )2cos (2
1
d 22cos 1?+=x x x x d 2cos 2142
?+=x x x 2sin d 4142?-+=x x x x x d 2sin 412sin 4142 C x x x x +-+=2cos 8
12sin 4142 （9）解：
?
x x x
d arcsin 1??-==x x x x x x arcsin d 2arcsin 2d arcsin 2
∫d 11
arcsin 2=x x
x
x C x x x +-+=12arcsin 2 （10）解：e sin d sin d e x x x x x =??
e sin e dsin x x x x =-?e sin e cos d x x x x x =-?
e sin cos de x x x x =-?e sin (e cos e dcos )x x x x x x =--? e sin e cos e sin d x x x x x x x =--?.
因此得
2e sin d e (sin cos )x x x x x x =-?
.
即
1e sin d e (sin cos )2
x
x
x x x x C =
-+?
. （11）解：32csc d csc (csc )d csc d(cot )x x x x x x x ==-???
2csc cot cot csc d x x x x x =--??3csc cot csc d csc d x x x x x x =--+?? 3csc cot csc d ln csc cot x x x x x x =--+-?，
从而 3
1
csc d (csc cot ln csc cot )2
x x x x x x C =-
--+?
（12）解 ?''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-
'='=??)()(d )()()(d
2. 解 11e d de e e d e n x
n x n x
n x
n x n n I x x x x n x
x x nI --===-=-?
?
?
，即
1e n x n n I x nI -=-
为所求递推公式．
而221e 2x
I x I =-，11e d de e e d e e x x x x x x I x x x x x x C ===-=-+???
，故
22(22)e x I x x C =-++．(12C C =-)
3. 解
?''x f x x d )e (e 2()?''=x x x f e d )e (e []
?'=)e (d e x x f
?
'-
'=)e (d )e ()e (e x x x x f f C f f x x x +-'=)e ()e (e ．
习题4-4
求下列不定积分：
(1)
23
d 56
x x x x +-+?； (2)21d (1)x x x -?； (3)22
d (1)(1)x
x x x +++?； (4)322
4d 56
x x x x x +++?．
x x x d )+1(1 5∫2
8）（； （6）2d 3sin x
x
+?；
（7）?++
3
11d x
x
(8)
sin d 1cos x x
x x ++?.
解答 (1) 解
233(3)(2)
56(2)(3)23(2)(3)
x x A B A x B x x x x x x x x x ++-+-==+=-+------，即
3(3)(2)x A x B x +=-+-，比较系数知1323A B A B +=??--=?(或者用赋值法：分别在
3(3)(2)x A x B x +=-+-中令3x =与2x =，也可解出A 与B )，解之得5
6
A B =-??=?，于是
6
2356d ()d ln(3)5ln 25623x x x x x C x x x x +-=+=---+-+--??65(3)ln 2x C x -=+-．
(2) 解 令
22
1(1)1(1)
A B C
x x x x x =++---，用待定系数法或者用赋值法可求出1A =，1B =-，1C =，故
221111d []d (1)1(1)x x x x x x x =-+---??2111d d d 1(1)x x x x x x =-+--???
1
ln ln 11
x x C x =---
+-． (3) 解 因为
222211
(1)(1)11
x x x x x x x x -+=+++++++，所以
2222d 1
()d (1)(1)11x x x x x x x x x x -+=+++++++??
222221d(1)1d(1)1d 212121
x x x x x x x x x +++=-+++++++???
2221
d()
1112ln(1)ln(1)13
222()24
x x x x x +=-+++++++?
2211ln 21x C x x +=-++．
(4) 解 由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132
x x x =--+
++，则 322498d (1)d 5632x x x x x x x x x +=--+++++??219ln 38ln 22
x x x x C =--++++． （5）解 ???+=+=+2
888
288728)
1()1()1(1x x dx dx x x x dx x x =
C x
x +)1
+1ln(+118188
（6）解
?+x x 2sin 3d ?-=x x 2cos 7d 2x u tan =?+243d u u
?+=2
)
32(1d 31u u C x +=3
tan 2arctan 3
21
（7）解 ?++3
11d x
x
3
1x t +=?+t t t 1d 32t t t d )111(3?++-=C t t t +++-=1ln 232
(8)解 注意到sin d d(1cos )x x x =-+及
211d d d(tan )1cos 22cos
2
x
x x x x ==+，
可将原来的积分拆为两项，然后积分，即
sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x x x x +=++++???1
d(tan )d(1cos )21cos x x x x
=-++??
tan tan d ln(1cos )
22
x x
x x x =--+?1tan
2ln cos ln(1cos )22
x x
x x C =+-++
21tan
2ln cos ln(2cos )222x x x x C =+-+1tan (ln 2)
2
x x C C C =+=-．
习题4-5
利用积分表计算下列不定积分： （1）2
54x x -+；
（2）3ln d x x ?； （3）22
1
d (1)x x +?
；
（4）2
1
x x -；
（5）22x x x x -?； （6）2
21
x
x -
（7） 6cos d x x ?；
（8）2e sin3d x x x -?.
解答 （1）解：因为
?
+-2
45d x
x x ?
-+-=2
)
2(1)2d(x x
在积分表中查得公式（73）
C a x x a x x +++=+?
)ln(d 222
2
现在1=a ，2-=x x ，于是
?
+-2
45d x x x
C x x x +-+-+=)245ln(2
（2）?
x x d ln 3
高等数学学习心得体会_高等数学学习总结 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！ 高等数学学习心得体会篇 1 高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。 然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢?下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。 首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。 第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些?应用了哪些公式定理?错在哪里?为什么会做错?学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。 最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。 高等数学学习心得体会篇 2 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学 主要内容有：二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分、无穷级数、常微分方程等。 第十章重积分 教学目标：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。会用重积分求解一些几何量(如体积、曲面面积等)。 重点：二重积分、三重积分的概念和思想，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算。 难点：二重积分的计算方法，三重积分的计算方法， CH10重积分 10.1二重积分概念及性质 10.2二重积分计算方法 10.3三重积分的概念及计算 10.4重积分应用 第十一章曲线积分与曲面积分 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。 重点：两类曲线和曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。 难点：格林公式，高斯公式。 CH11曲线积分与曲面积分 11.1对弧长的曲线积分
11.2对坐标的曲线积分 11.3格林公式及其应用 11.4对面积的曲面积分 11.5对坐标的曲面积分 11.6高斯公式 11.7斯托克斯公式（*） 第十二章 无穷级数 教学目标：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p -级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用,sin ,cos ,ln(1)x e x x x +和()1x μ+的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(,)ππ-和(,)l l -上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0,)l 上的函数展开为正弦或余弦级数。 重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和p -级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数的收敛域和和函数的求法，用间接法展开函数为幂级数。 难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。 【关键词】高等数学极限技巧 《高等数学》极限运算技巧 《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。 一，极限的概念 从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！ 从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。 二，极限的运算技巧 我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
1，连续函数的极限 这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型 我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。 第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个： 需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。 此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如： 等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。 当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。 在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 大一高数学习心得 大一高等数学学习心得转眼之间大一已经过去了一半，高数的学习也有了一学期，仔 细一想，高数也不是传说中的那么可怕，当然也没有那么容易，前提是的自己真的用心了。 记得刚开学的时候，我对高数还是很害怕的，我虽然上课认真听讲，但我还是不大明白，当然那是由于刚开始的课程确实是很抽象的，很难以高中时的解题思维理解，但后来 学的就不是那么的吃力了，再加上我的勤奋看书。 对于高数的学习大多数人都认为应该课前预习、上课认真听讲、课后复习。但那只能 是理想的状态下，事实是不允许我们那样做的。由于我的数学还算有点功底，一直以来， 我只做到了其中的一点半，而且成绩还算过得去，因此，我认为对于高数的学习，我们应 该上课认真听讲，时课后复习。我们主要应该在课堂上认真听讲，理解解题方法，我们现 在所需要的是方法，是思维，而不仅仅是例题本身的答案，我们学习高数不是为了将来能 计算算术，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。 在课后复习时，再根据例题好好体会解体的方法，一定要琢磨透。至于您的方法我觉 得还不错，容易的快速过，困难的花点时间耐心讲解。只是我们每学期都要放弃后边的一 部分内容，是否可以考虑相对放弃一些前面简单的，而加快进度讲完后面的一些内容。 回顾大一的高数学习历程，感慨颇多。高数在整个大学的学习课程中占据这着非常重 要的地位。其一，高数的学分是所有科目中最高的。第一学期5学分，第二学期6学分。 其二，高数在考研数学中将近80%的比例。而考研数学的成绩会很大程度上决定考研的最 终成绩。其三，高数是学习其他的课程的基础。比如我们大二上学期学的大学物理，还有 其他学院的线性代数等等。对于大一同学来说，高数就是一道必须迈过坎。作为一个过来人，今天我就说说关于高数的点滴想法。谨以此与大家分享。 学习任何东西都需要工具，学习数学更是要多种工具并进。首先，你要有足够的课外 参考书来供自己参考。没有参考书，只有课本是根本不行的。你可以去学校的图书馆借阅 相应的书籍。网络是所谓的公开式大学，有电脑的同学可以从网上查阅相关的资料，不会 就找“度娘”。既可以提高自己搜索信息的能力，又节省了时间。 概念定理永远是数学的灵魂。我在学习高数过程中非常重视概念的理解，定理的推导，知识点间的联系。例如：极限的概念及其证明，导数与极限的关系，连续与可微的关系函 数极限连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无 穷级数、常微分方程。很多同学会说“我也知道概念很重要，可我就是理解不了啊!”类 似这种情况的同学不在少数。我给的建议是：逐字逐句阅读。不会不懂就要借助以上所说 的工具来学习。概念理解了，很多东西就迎刃而解了。当时我对概念理解很是郁闷，没得 办法，只能一字一句的解析，一点一点的抠。慢工出细活嘛，时间长了就理解了。相信： 功到自然成。 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高数心得体会 篇一：高数心得 学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。 很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。 在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。 每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。 首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。 坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题 就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。 高数学习心得体会 篇一：学习高等数学体会论文 Hefei University 大一高等数学论文 院系：电子信息与电气自动化学生姓名：孙野学号： 31 专业：自动化 班级：一班 年级：一年级 指导老师:刘国旗 完成时期: 十二月十三号 摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university. The more I learn in automation specialty in very important. Experienced higher mathematics almost a semester has certain understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress. 关键词：高等数学、总结方法、极限 一：对高中数学的回顾 高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟 着老师教学的思路去学习，但是他要我们上课记下他在黑板上学习的板书，这样就导致我们光顾着去做笔记，却没有跟着他上课的思路去思考问题，不能去理解他讲的是什么，课下对着笔记我们又不记得他上课是怎么讲的。所以高中前部分我的数学一直都不好。后来因为一些原因我们换了一个数学老师，这是一个我估计快要退休的了老师，这个老师因 高等数学学习心得体会 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用.高等数学课程作为一种数学工具的功能正在逐步缩减.但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采，在此分享学习心得。下面是学习啦小编为大家收集整理的高等数学学习心得体会，欢迎大家阅读。 高等数学学习心得体会篇1 高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。 然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。 首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要 弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。 第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些应用了哪些公式定理错在哪里为什么会做错学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。 最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。 高等数学学习心得体会篇2 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用.高等数学课程作为一种数学工具的功能正在逐步缩减.但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采。一个多元线性方程组如何去解我们可以交给电脑去完成，只要会正确使用数学软件。但一个实际问题如 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 大学高数教学工作总结 英语向来都是学生们的弱势之一，直到大学也是这样，因此大学的老师们为此格外担心，是时候对这半个学期的教学工作做一个总结了。以下是由为大家整理的“大学英语期中教学检查总结”，仅供参 2019-04-30 英语向来都是学生们的弱势之一，直到大学也是这样，因此大学的老师们为此格外担心，是时候对这半个学期的教学工作做一个总结了。以下是由为大家整理的“大学英语期中教学检查总结”，仅供参 2019-04-30 英语向来都是学生们的弱势之一，直到大学也是这样，因此大学的老师们为此格外担心，是时候对这半个学期的教学工作做一个总结了。以下是由为大家整理的“大学英语期中教学检查总结”，仅供参 2019-04-30 (二)存在问题 由于我是一名年轻教师，对教材的熟悉程度以及在教学经验上还很欠缺。因此在教学过程中有时会出现一些问题。除此之外，现在注重考察的是学生应用知识的能力，但由于以前的教学模式，学生的这种能力培养还很弱，以后还需加强这方面的培养。 (三)今后努力的方向 1、加强学习，学习新的教学思想。 2、挖掘教材，进一步把握知识点和考点。 3、多听课，学习同科目教师先进的教学方法的教学理念。 4、加强转差培优力度。 5、让学生具有良好的数学思维。 一份耕耘，一份收获，教学工作苦乐相伴。在以后的教学工作中，我要不断总结经验，力求提高自己的教学水平，还要多下功夫加强对个别差生的辅导，相信一切问题都会迎刃而解，我也相信有耕耘总会有收获! 英语向来都是学生们的弱势之一，直到大学也是这样，因此大学的老师们为此格外担心，是时候对这半个学期的教学工作做一个总结了。以下是由为大家整理的“大学英语期中教学检查总结”，仅供参 2019-04-30 1.3.1教材处理上比较适度 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）高等数学课后习题及解答
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