幂函数分数指数幂
正分数指数幂的意义是：
m
n m
n
a a
=（0
a>，m、n N
∈，且1
n>）
负分数指数幂的意义是：
1
m
n
n m
a
a
-
=（0
a>，m、n N
∈，且1
n>）
一、幂函数的定义
一般地，形如y xα
=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如
11
234
,,
y x y x y x-
===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
二、幂函数的图像
幂函数n
y x
=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记
忆的方法．熟练掌握n
y x
=，当
11
2,1,,,3
23
n=±±±的图像和性质，列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
①它们都过点()
1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
②
11
,,1,2,3
32
a=时，幂函数图像过原点且在[)
0,+∞上是增函数．
③
1
,1,2
2
a=---时，幂函数图像不过原点且在()
0,+∞上是减函数．
④任何两个幂函数最多有三个公共点．
n y x =
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
1n >
01n <<
0n <
三、幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断
例1．在函数22031
,3,,y y x y x x y x x
===-=中，幂函数的个数为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A ．3x y -=
B ．3-=x y
C ．32x y =
D ．13
-=x y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
x
O
y
题型二.幂函数图像问题
例 2.幂函数n m
y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
（ ） ()A m 、n 为奇数且1m
n <
()B m 为偶数，n 为奇数，且
1m
n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m
n <
()D m 奇数，n 为偶数，且1m
n
>
练2.右图为幂函数y x α
=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是
（ ）
()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
解：取12
x =
， 由图像可知：11112222c
d
b
a
????????
>>> ? ? ? ?????????
，
a b d c ?>>>，应选()C ．
题型三.幂函数比较大小的问题 例3.比较下列各组数的大小： （1）13
1.5，13
1.7，1；
（2）()372
-，()373-，()37
5-；
（3）23
22-??- ? ???，23
107-??
- ???，()431.1--．
解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，
可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．
∵13
y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>， ∴113
3
1.7 1.51>>．
（2）底数均为负数，可以将其转化为()
()337
72
2-=-
，()()337
733-=-
，()
()
337
7
55-=-
．
∵3
7y x =在()0,+∞上单调递增，且532>>，
∴
()()()333777532>>，即()
()
()
3337
7
7
532-<-
<-，
∴()()()3337
7
7
532-<-<-．
x
O
y a y x =
b y x =
c y x =
（3）先将指数统一，底数化成正数．
2
23
3
2222--
????-= ? ? ? ???
??
，223
3
101077-
-
??
??
-= ? ?????
，()()42331.1 1.21---=． ∵23
y x -
=在()0,+∞上单调递减，且
72 1.21102
<<， ∴()223
23
3
72 1.21102---????>> ? ? ???
??， 即：()22
3
43
372 1.1102---????
->->- ? ? ?????
． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型四.幂函数含参数问题
例4.若()()113
3
132a a -
-
+<-，求实数a 的取值范围． 分析：若113
3
x
y -
-<，
则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质，
有三种可能：10320a a +?或10320132a a a a +-?或10
320132a a a a
+>??
->??+>-?
，
解得：()23,1,32a ??
-∞- ??∈?
．
练4．已知幂函数2
23
m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m
的值．
解：∵幂函数223
m m y x
--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．
练5．幂函数()3521----=m x m m y ，当x ∈(0,+∞)时为减函数，则实数m 的值为( )
A. m ＝2
B. m ＝－1
C. m ＝－1或m ＝2
D. 2
5
1±≠m
题型五、幂函数与函数的性质综合题
例5、求函数y ＝52x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）值域．
解析：设t ＝x 5
1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
∴函数y ＝5
2x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
练6．已知f(x)＝2
x
2，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最
大值．
解： 函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如下：
任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1 f(x 1)－f(x 2)＝2x 12－2x 22＝2(x 22－x 12)x 12x 22＝2(x 2＋x 1)(x 2－x 1) x 12x 22 ∵0 (2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2. 【同步练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．y x = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案：Ｃ 2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ） Ａ．13 y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ 3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ） Ａ．23y x = Ｂ．32 y x = Ｃ．23 y x - = Ｄ．32 y x - = 答案：Ｄ 4．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是（ ） A ．{x |x ≠0或x ≠2} B ．（－∞，0） （2，＋∞） C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］ D ．（0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B 5．函数y ＝（1－x 2 ）2 1的值域是（ ） A ．［0，＋∞］ B ．（0，1） C ．（0，1） D ．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D 6．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为（ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，0） C ．［0，＋∞］ D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝5 2x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 2 1 ＜a 2 1－，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞0 C ．1＞a ＞0 D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C 8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。 解析：由（15＋2x －x 2）3≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5． 答案：A 9．函数y ＝ 2 21m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________． 解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1． 答案：m ＝－1 10、讨论函数y ＝5 2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y ＝5 2x 是幂函数． （1）要使y ＝5 2x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0． （3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝5 2x 是偶函数； （4）∵n ＝5 2 ＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝5 2x 是偶函数， ∴幂函数y ＝5 2x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示． 12．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2 ≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］． （2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1， ∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大， ∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］． 幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两 点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ） 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 幂函数的图像与性质 Prepared on 22 November 2020 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()94 5()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 例3．比较大小：幂函数题型归纳
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幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结