【好题】高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)
一、选择题
1．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
2．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
3．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5??
-
+∞ ???
B ．23,15??
-
????
C ．()1,+∞
D ．23,
5?
?
-∞ ???
4．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞
B
．()
-+∞
C ．[)3,-+∞
D
．)
?-+∞?
5．若x ，y 满足20
400x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
6．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
7．已知数列{an}的通项公式为an ＝2
()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A +=
)
222S b a c =+-，则B ∠=
A ．90?
B ．60?
C ．45?
D ．30?
9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且
被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134
B ．135
C ．136
D ．137
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3
＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3
＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013 11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8 B ．-8 C ．1 D ．-1 12．已知4213 3 3 2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 二、填空题 13．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且8 7 1a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________. 14．已知12 0,0, 2a b a b >>+=，2+a b 的最小值为_______________. 15．若数列{}n a 通项公式是12,12 3,3 n n n n a n --?≤≤=?≥?，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞ =______. 16．数列{}n b 中，121,5b b ==且* 21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________. 17．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有 2343n n S n T n -=-，则93 5784 a a b b b b +++的值为_______． 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列 {}n a 的通项公式n a =____． 19．在ABC ?中，4a =，5b =，6c =，则 sin 2sin A C =__________． 20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5 10119122a a a a e +=，则 1220ln ln ln a a a +++L 等于__________． 三、解答题 21．在ABC V 中，5cos 13A =- ，3cos 5 B =． (1)求sin C 的值； (2)设5BC =，求ABC V 的面积． 22．已知向量() 1 sin 2A =，m 与() 3sin A A =， n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小； （2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 23．数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）若13n a n b n ??=+ ??? ，求{}n b 的通项公式及前n 项和. 24．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2 1()2 n n n S a S =?-． （1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝ 21 n S n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5 A =． （1）求2 sin cos 22 B C A ++的值； （2）若2b =，ABC ?的面积3S =，求a 的值． 26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{1 2 n n b a + }为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时， () ()()2 2111112n n n a S S n n n n n -??=-=++--+-+=?? ,把1n =代入上式可得 123a =≠.综上可得3,1 {2,2 n n a n n ==≥.所以3,1 {2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数 .数列{}n b 的前50项 和为 ()() 503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492 2 ++=--? +? =.故A 正确. 考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题. 2．D 解析：D 【解析】 【分析】 把已知2 214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．， 【详解】 因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2 11111(21)(46).2 a a a a -=-=-， 故选D. 【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题． 3．A 解析：A 【解析】 【分析】 利用分离常数法得出不等式2a x x > -在[]15x ∈，上成立，根据函数()2 f x x x =-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围 【详解】 关于x 的不等式220x ax +->在区间[] 1,5上有解 22ax x ∴>-在[]15 x ∈，上有解 即2 a x x > -在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2 f x x x = -，[]15x ∈， ()2 2 10f x x ∴'=- -<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数 且()f x 的值域为2315?? -???? ， 要2a x x > -在[]15x ∈，上有解，则235 a >- 即a 的取值范围是23,5?? - +∞ ??? 故选A 【点睛】 本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题． 4．D 解析：D 【解析】 由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ? ? ≥-+ ??? 对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ????≥-+ ???? ???Q 当2x =时，2x x ? ?-+ ???取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取 值范围是) 22,?-+∞?，故选D. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 5．D 解析：D 【解析】 作出不等式组20400x y x y y -+≥?? +-≤??≥? ，所表示的平面区域，如图所示， 当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时， max 2z =， 当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ． 点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（ y b x a ++型）和距离型（()()22 x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形. 6．B 解析：B 【解析】 试题分析：因为 ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3 0,23623 --=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5 0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小. 7．A 解析：A 【解析】 解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1) n ＋1 －n n ＝· n ， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2× 2 ＝.故选A. 解法二 ＝＝ ， 令 >1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令 <1，解得n >2.又a n >0， 故a 1a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2× 2 ＝.故选A. 8．D 解析：D 【解析】 【分析】 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】 由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A += ()2sin sin sin 1C B A A ?+=?=,因为000180A <<，所以090A =； 由余弦定理、三角形面积公式及) 2223S b a c = +-，得13sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】 本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题． 9．B 解析：B 【解析】 【分析】 由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】 因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由 15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B. 【点睛】 本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题. 10．D 解析：D 【解析】 ∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )· (m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2 2 2 2132?0162016024m n mn m n n ??=-++> ?? ?＋－＋， ∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴() () 120164201320162016201620162 2 a a a a S ++= = =. 很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项. 11．D 解析：D 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-?-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-， 因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2 111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-. 故选：D . 【点睛】 本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 12．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 因为42223 3 3 3 2=4,3,5a b c ===，且幂函数23