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2010年高考压轴题跟踪演练数学系列(全6套)

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =

24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，()

()

2122112114222a MF MF =+=

+++

-+=+

()

222221212

322

2221

322

222

a a

b a

c x y ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+

=++ 椭圆方程为：

………………………………（4分）

对于双曲线，122222a MF MF '=-=-

22222

21322

2221

322222

a a

c a x y '∴=-'∴=-'''∴=-=-∴-

=-- 双曲线方程为：

………………………………（6分）

（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H

令()11113,,,22x y A x y +??

∴ ??

? C ………………………………………………（7分） ()()2

111111322

DC AP x y x CH a x a ∴==-++=-=-+

()()()22222

2111212

1132344-2324622222

DH DC CH x y x a a x a a

a DH DE DH l x ????∴=-=-+--+???

?=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 为定值此时的方程为： …………（12分）

2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()

1,n n n A a a +在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点

(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.

（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（Ⅱ）若()()()

n n a f n b ??=???, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k

值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式

11202111111n n

n n a a n a b b b +-≤??????-++++ ? ?????????

成立，求正数a 的取值范围.

解：（Ⅰ）将点()

1,n n n A a a +代入21y x =+中得

()11111115:21,21

n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）

（Ⅱ）()()()521n f n n ?+?=?+??

, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）

()()

()()()()27274275421,42735

227145,2

4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴=

= 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

……………………（8分）

（Ⅲ）由

11202111

111n n

n n a a n a b b b +-≤??????-++++ ? ????????? (

)()()()

121212111

111111231

111111111251231232424

1232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n n f n b n n n ++??????≤

+++ ? ???+????????????=

+++ ? ???+??????????????∴+=++++

??? ???+????????+??++++∴=

?+=?= ?+++?? 即记 ()()()()()22

min 252341616

41615

1,1

4451,315545015

n n n n n n f n f n f n f n f a +?+++=

>++∴+>∴==?

=∴<≤

即递增，

………………………………（14分）

3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.

求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .

解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知??

?='=',

y 2y ,

x x ………………(2分)

又,4y x 2

='+'∴1y 4x 4y 4x 22

=+?=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4

x 22

=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,

㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O,

不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=

由?????=++=4

y 4x 3my x 22消去x,

得01my 32y )4m (22=-++………………①

∴,4

m m

3y 20+-

=………………(6分)

∴4m 3

44m 34m 34m m 33my x 2

222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4

m m

3,4m 34(22+-+ .………………(8分)

①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4

m m

32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上,

得1)

4m (m 12)4m (482

2222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 2

2-== 舍去). 由方程①得,14

m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=-

又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=-

∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)

②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (42

2=++∴ .8m 2

= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 2

y >±= ,

由?????=+>±=4y 4x )0x (x 2

2y 22 解得???

????±==36

y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(±

∴OE ON 2=.

综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)

4.（本小题满分14分）已知函数241

)x (f x

)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4

,21( 对称;

(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m

(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和

;S m

(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2

n 1n b b b +=+. 设1

b 11b 11b 1T n 21n ++

++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.

解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4

,21( 的对称点为)y ,x (P .

由???????=+=+412

y y 2

2x x 00 得?????-=-=.y 21

y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2

,x 1(00-- .………………(2分)

由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2

y 0x 0+=.

∵,)

24(244244241)x 1(f 00

000

x x x x x 10+=?+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400

x x + ∴点P )y 2

1,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)4

,21( 对称. ………………(4分)

(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2

)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,

即,2

a a , 21)m k m (

f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分) 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ①

得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,6

12m 61221m a 221)1m (S 2m m -=?+-=+?-= ∴).1m 3(121

S m -=

………………(8分) (3) ∵,3

1b 1=)1b (b b b b n n n 2

n 1n +=+=+, ………………③

∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④

由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1

b 11b 1+-

=+. ∴1

n 1n 11n n 3221n b 1

3b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-

=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥.

∵,81

52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==

∴.52

b 13T T 12n =-=≥………………(12分)

∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,39

4639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）E 、F 是椭圆22

24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.

（1）当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；

（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值. 解：（1）22

282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=? M F E O

（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ?+=?

?++=?

+=??

，

则 5.AF BF +=

（1）设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠

221

32232222223

(

)(1)663

t t t t t t t -?=-÷+==≤++，当6t =时，3

303

tan EPF EPF ∠=?∠=

6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2

221n

n n S a S =-，

（2）求n S 的表达式及2

lim n n n a

S →∞的值；

（3）求数列{}n a 的通项公式；（4）设3

11(21)

(21)

n b n n =

+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <.

解：（1）21111

211

22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=?-=?-=≥-

所以1n S ???

???

是等差数列.则1

21n S n =

+. 222lim

lim 2212lim 1n n n n n

n n a S S S →∞→∞→∞

===---.

（2）当2n ≥时，12112

212141

n n n a S S n n n --=-=

-=+--，综上，()()2

2214n n a n n ?=??=??≥?-?.

（3）令11,2121a b n n ==-+，当2n ≥时，有1

b a <<≤ （1）法1：等价于求证()()

331111

21212121n n n n ->--+-+.

当2n ≥时，110,213n <

≤-令()231

,0,3

f x x x x =-<≤ ()23313

232(1)2(1)2(1)02223

f x x x x x x x '=-=-≥-?=->，

则()f x 在1

(0,]3递增. 又111

021213n n <<≤+-，所以33

()(),2121

g g n n <+-即n n a b <. 法（2）223333

1111

()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=---=---+-+-

22()()a b a b ab a b =-++-- （2）

22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22

b a

a b a a b b =-+-++- （3）

因333

111110222223

a b a b a +-<+-<-<-=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-<

由（1）（3）（4）知n n a b <.

法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102

g b b a b -'=+-=?=

所以()()(){}{}22

0,,32g b max g g a max a a a a ≤=--

因1

0,3

a <≤

则()210a a a a -=-<，2214323()3()0339a a a a a -=-≤-<

所以()220g b a b ab a b =++--< （5）

由（1）（2）（5）知n n a b < 7． (本小题满分14分)

设双曲线22

22b

y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，

P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2 = |→-OQ ·→

--OR | ( O 为坐标原点)；

(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y = a

(x – a ),

解得：→

--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→

-OQ = (b ak ab +,b ak kab

+),

∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab

+| =|

b k a |)k 1(b a 2

22222-+. 4分设→

--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:

m 2

=22222k a b b a -, n 2

= 2

22222k a b b a k -, ∴ |→

--OP |2 = :m 2 + n 2

= 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=2

22222k a b )k 1(b a -+ ,

∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .

∴无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2

= |→-OQ ·→

--OR | . 4分

（2）由条件得：2

22222k a b )

k 1(b a -+= 4ab, 2分

即k 2

= 2

2a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.

第21题

(2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n)

解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,

∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？

(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]

1,[0,1]x x x x +∈-??

-∈?

，是否满足题设条件？

解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

43∈[–1，1]，v = 2

∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | =

| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]，则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40

若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) =

x x

+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,

∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–

1x 12+–1 + 1x 1

1+= )

1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,

∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增.

法2. 由f ` ( x ) = 2

)1x (1

+> 0 得x ≠ –1,

∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥ |

a |4

> 0 ,

∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|

a |4

+= 4|a |4+

f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4

|a |4

+=1.

即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值

，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

2,2??-??

上；（3）若+212(13)

,(N )23

n n n n n n

x y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）3

1().3

f x x x =-…………………………5分

（2）()20,0,2,3??- ? ???或()20,0,2,.3??

- ? ???

…………10分（3）用导数求最值，可证得4

()()(1)(1).3

n n f x f y f f -<--<……15分

5．（本小题满分13分）

设M 是椭圆22

1124

x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

112

222

1,(1)12

4 1.(2)12

x y x y ?+=????+=?? ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1

.3MN QN k k ?=-………………………………6分

又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-所以11

.3QN y

k x =

直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11

y x y =-……10分

从而得1111

,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-

代入（1）可得2

21(0),3

x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）

过抛物线y x 42

=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=?PB PA

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+?FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存

在，请说明理由.

解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(212

2211x x x x B x x A ≠

由,42y x =得：2

x y =

,221x

k x k PB PA ==∴

4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA PB PA ………………………………3分

直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即4

11x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：4

2x x x y -= ② 由①②得：??

???∈-==+=),(,

142212

121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：),14,

(211-=x x FA ),14

,(2

2-=x x FB )1,2(21-+x x P 4),2,2

(212

1-=-+=x x x x FP

2)14)(14(2

21222121x x x x x x FB FA +--=--+=? …………………………10分

44)()(2

2212212

++=++=x x x x FP

所以0)(2=+?FP FB FA

故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=?PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y 由??

?=+=y

x m kx y 42

得：0442

=--m kx x 016162=+=?∴m k 即2k m -=…………………………3分

即直线PA 的方程是：2

k kx y -=

同理可得直线PB 的方程是：21

1k x k y --=

由??

???--=-=2211k x k y k kx y 得：?????

-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22

---k k P k k B k k A

)11

,2(),1,2(22--=-=k

k FB k k FA

)2,1

(--=k

k FP

)1(2)11)(

1(422

22k

k k k FB FA +--=--+-=?………………………………10分 )1

(24)1()(2222k

k k k FP ++=+-=

故存在λ=1使得0)(2=+?FP FB FA λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数x ax

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数. （1）求正实数a 的取值范围；（2）设1,0>>a b ，求证：.ln 1b

a b b a b a +<+<+ 解：（1）01

)(2

≥-=

ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立又

≤x

1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴

>>b

a b a ，一方面，由（1）知x ax

x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f

0ln 1>+++?+-

∴

b b a b b a a b b a 即b

a b b a +>+1

ln ……………………………………8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(01

11)('>>-=-=x x

x x x G

∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G

∴x x ln > 即b

a b b a +>+ln 综上所述，

.ln 1b

a b b a b a +<+<+………………………………………………14分 8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠= ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．

(1) 求双曲线E 的方程；

(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E

相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且M P P N λ=

，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-

？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

O C

解：(1) 设双曲线E 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．

由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．

∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?

+=-??-=?

（3分）

解之得1a =，∴2,3c b ==．

∴双曲线E 的方程为2

213

y x -=．

（5分） (2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-

．

设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=

，得120y y λ+=．

即12

y λ=- ① （6分）

∵(4,0)BC =

， 1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-

， ∴()BC GM GN λ⊥-

12()x t x t λ?-=-．即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得

12122()()0ky y m t y y +-+= ③ （9分）

把x m ky -=代入22

y x -=并整理得

2(31)63(1)0k y kmy m -++-=

其中2310k -≠且0?>，即21

3k ≠且2231k m +>．

121222

63(1)

,3131

km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得

2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，

化简得 kmt k =．

当1

t m

=时，上式恒成立．

因此，在x 轴上存在定点1

(,0)G m

，使()BC GM GN λ⊥- ．（12分）

9．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1

的常数），记12121C C C ()2n

n n n n

a a a f n S ++++= ． (1) 求n a ；

(2) 试比较(1)f n +与

()2p f n p

+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：21

11(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -??

??++-+++--?? ?-??????

剟，（*n ∈N ）．解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，

① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．

②

②－①，得

11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，

O C

B N

即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．

∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．

（4分）

(2) 由(1)可得(1)(1)

n n n p p p p S p p --==--．

12121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n n

n n n p p p p p =++++=+=+ ． ∴12121C C C ()2n

n n n n

n n

a a a f n S ++++= 1(1)2(1)n n n p p p p -+=?-，

（5分）

(1)f n +1

111(1)2(1)

n n n p p p p +++-+=?-．而1()2p f n p +1

111(1)2()

n n n p p p p p +++-+=?-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->．

∴(1)f n +<1

()2p f n p +，（*n ∈N ）．（8分） (3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1

()2p f n p

+，（*n ∈N ）．

∴当2n …时，211111()

(1)()(2)()(1)()2222n n

p p p p f n f n f n f p p p p

-++++<-<-<<= ． ∴221

111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -??

??++++++-+++ ? ?????

…

11112n p p p p -????++=-?? ?-??????

，（10分）

（当且仅当1n =时取等号）．

另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时， 2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---??

-+++-=+??--??

2221(1)(1)22(1)2(1)k n k

k k n k n k p p p p p p ----++??

--… 212(1)1

2(1)(1)

n n k

n k p p p p p --+=?

2212(1)1

n n

n k n k p p p p p p --+=?

--+．

∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…．

∴12(1)()(2)2()2(1)

n n p p f k f n k f n p p -++-?=-…，（当且仅当k n =时取等号）．（13分） ∴21

1()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====

+-=-∑

∑∑…．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，21

11(21)()()

112n n k p p n f n f k p p --=??

??++--??∑ ?-??????

剟，（*n ∈N ）．（14分）

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列

三

1．（本小题满分13分）

如图，已知双曲线C ：x a y b

a b 222

2100-=>>()，的右准线l 1与一

条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点. （I ）求证：OM MF →⊥→

；

（II ）若||MF →

=1且双曲线C 的离心率e =

，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、

Q 之间，满足AP AQ →=→

λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.

解：（I ）右准线l 12

：x a c

=，渐近线l 2：y b a x =

∴=+M a c ab c F c c a b ()()2222

0，，，，，∴→=OM a c ab c ()2，

MF c a c ab c b c ab

→=--=-()()22，， OM MF a b c a b c OM MF →?→=-=∴→⊥→

2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=6212

2222，，

||()MF b c a b c b b a c

b a →=∴+=∴+=∴==11111

422222222

22，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2

1-= ……7分（III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，，

由x y y kx 22221

-==+???得()1244022

--+=k x kx

l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q

∴-≠=+->+=->=-->??????

???∴≠±<<-

120221

120222122

122

2k k k x x k k x x k k k k k ?() ∴-<<-12

k ……11分

AP AQ x y x y →=→

∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ

∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()14124121164124212221

222

λλλλx k k x k k k k k k ，

-<<-∴<-<∴+>1220211142

2k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()142102

2λλλλ

∴λ的取值范围是（0，1） ……13分

2．（本小题满分13分）

已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈???

0111，，

数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；

（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求S n S n n N ()()(*)--∈1；

（III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足

条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.

（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞

+++12 存在，并求出这个极限值.

解：（I ） n N ∈*

∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1

……1分

∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323

……

f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()()

-=++++=

+012312

f f n n n ()()()0012=∴=

∴=+∈a n n n N n ()

(*)12

……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1

∴--=-+?=+-S n S n f n f n a a n n ()()()()

112121

=-++=1212122

[()()]n n n n n ……6分

（III ）设满足条件的正整数N 存在，则

n n n n

n ()+->?>?>12100522

100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，， ∴=N 201020122998，，……，均满足条件

它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分

（IV ）设b a n n

，即b n n n n n =

+=-+212111()() 则b b b n n n n 12211212131314111211

+++=-+-+-++-

+=-+ [()()()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-

+=1221

2 ……10分

注：b c a n n

=（c 为非零常数），b b q q n a n n a

n n n

==<<++()(||)12012121

，等都能使lim()

n n b b b →∞+++12 存在.

19. （本小题满分14分）

设双曲线y a

x 222

31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；

（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明

轨迹是什么曲线；

（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→

=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（I ） e c a =∴=2422，

c a a c 22312=+∴==，，

∴-=双曲线方程为y x 2

231，渐近线方程为y x =±3

4分

（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，

[

]

25525

2210

3333

22333

3331012121221221122121212121212122

122

||||

||||()()()()

()

()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==?=∴-+-==

=-=+=+∴+=--=+∴

+++????

?=又，，，， ∴+=+=3213210075325

22()()y x x y ，即

则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为103

的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l

设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122

[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00

11010

1212122

121221212()()()()

由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=???

?--+-=+=-=--()()()

13131633063133

312222212221222 由（i ）（ii ）得k 2

30+=

∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分

3. （本小题满分13分）

已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.

（I ）求证数列{}a n 是等比数列；

（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 1111

=-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞

+++3122334

…+-b b n n 1)成立？解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()() S m ma n n =+-()1 （2）

由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*

都成立

{} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分

<-∴=

++11

（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()

∴==

==+∴==+≥∈---a b I q f m m

m b f b b

b n n N n n n n 1111111

2，从而由（）知，()()()

∴=+-=∴????

??∴=+-=+=+∈--1111111131212

911

b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列

，分

()()*

a m m n n =+?? ??

-11

∴→∞=→∞-++=+→∞

+++=→∞-+-+++-+?? ??

?=-lim (lg )lim lg lg lim ()

lim n b a n n n m m m

m n b b b b b b n n n n n n n 1211

331314141

51112112231·……

由题意知lg

m m +=11，∴+=∴=-m m m 11010

， 13分

4．（本小题满分12分）

设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和

x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=

．

由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)13

,138(

0b x P ， 2分 ∴a x a x 2

1)135()138(0222

02=?=+．①， 4分

而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，

∴0=?AQ FA ．c

b x b cx 2

0,0==-∴．②， 5分

由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．

∴2

1.02322

=∴=-+e e e ． 6分

（2）满足条件的圆心为)0,2(2

c b O -'， )0,(,222

2222c O c c

c c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a c

a c

b r ==+=222

． 10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2

3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13

2=+y x ． 12分 5．（本小题满分14分）

（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+2

11的所有无穷等差数列{}n a ，试求

1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．

（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+2

11的所有无穷等差数列{}n a ，试求

1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．

（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 d

n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111

221+++++=+++++=+++=+++++++

d n n a n n 2

)

1()1(1+++=+ 4分

)(1()2)(1(1111a a a n nd

a n n n n -++=++=+++

)3(2

111a a n n -+=+． 7分

又2

11211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．

∴449449)23(332112

111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当2

31=+n a 时，等号成

立． 11分

∴8

)

49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=

+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8

)

49)(1(b n y -+=，

∴y 的最大值为8

)

49)(1(b n -+． 14分

（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分

)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111

221nd

a n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=++

+=+++++=++++=+++=+++++++++

)3(2

)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分

又2

11211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．

∴4

49449)23(332112

111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．

当且仅当2

1=+n a 时，等号成立． 11分

∴8

)

49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8

)

49)(1(b n y -+=．

∴y 的最大值为8

)

49)(1(b n -+． 14分

6．（本小题满分12分）

垂直于x 轴的直线交双曲线222

=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）

（Ⅰ）证明：;22

020为定值y x +

（Ⅱ）过P 作斜率为0

2y x -

的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设

)2(211

1++=

∴x x y y M A 的方程为直线 ①

直线A 2N 的方程为)2(2

---=x x y y ②……4分

①×②，得)2(2

1212

---=

x x y y

分

为定值的交点

与是直线即822),(2

2),2(2

,222

020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x （Ⅱ）02222),(2002

02000

00=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为

2012

222

y y y x d +=

于是……10分 112

11222

02020≥+=

∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,12

00取最小值时d y y =±=……12分

7．（本小题满分14分）

已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈

（Ⅱ）若);3

2(3)()(2:

),,0(],,0[x

f x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证

（Ⅲ）若)3

2(3)()(2,),)1(,(],)1(,[x

f x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想

的大小关系（不必写出比较过程）.

解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π

分

的值域为即求得所以上连续

在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤

（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin 3sin )(2)(x

x f x g +++-=θθ即

2cos cos (31)(x

x x g ++-='θ……6分

πθπθπ=='∈+∴∈∈x x g x x 得由,0)(),0(3

2),0(],,0[

.)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分

因而

有对的最小值为则上连续

在区间10)3

2(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x

f x f f

g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ

（Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时

2(3)()(2x

f x f f +≥+θθ 当k 为奇数时

2(3)()(2x

f x f f +≤+θθ……14分备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列四

1．（本小题满分14分）已知f(x)=

22+-x a

x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=

的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运

用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 2

22)

2()

2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，

即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x 2－ax －2，方法一：

?(1)=1－a －2≤0， ① ? ?－1≤a ≤1，

?(－1)=1+a －2≤0.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：

2a ≥0， 2

<0， ①? 或

?(－1)=1+a －2≤0 ?(1)=1－a －2≤0

? 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0 ? －1≤a ≤1.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.

（Ⅱ）由

222

+-x a x =x

，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ，

∴ 从而|x 1－x 2|=212

214)(x x x x -+=82+a .

x 1x 2=－2，

∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.

要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：

g(－1)=m 2－m －2≥0， ② ?

g(1)=m 2+m －2≥0，

?m ≥2或m ≤－2. 所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：

当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，

m>0， m<0， ②? 或

g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0

? m ≥2或m ≤－2. 所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 2．（本小题满分12分）

如图，P 是抛物线C ：y=

1x 2

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求

|||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，

解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.

由y=

1x 2

， ①

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

(完整word版)高三理科数学选择题填空题专项训练

高三理科数学限时训练一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +