“abc 猜想”讲义（16）
第十六讲
证明“abc 猜想”
主讲王若仲
对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：
（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；
（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；
（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。p 均为大于1的恒定的正整数；
（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。本讲就只分析第（1）的情形。
（二）对于②，rad（n ）和rad （g ）均为恒定的值。令b=g=h d 或b=g=1
11h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p 或c=n=111v g ·211v g ·311v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，
13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。d 和p 均为大于1的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。h ，1h ，2h ，3h ，…，s h ，
v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；当d 或11q ，12q ，13q ，…，s q 1恒定不变，只是指数变化时；1h ，2h ，3h ，…，s h 非全相等，1v ，2v ，3v ，…，e v 非全相等。p 或11g ，12g ，13g ，…，e g 1恒定不变，只是指数变化时；由第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，那么rad（m ）不可能为恒定的值。在此情形下，当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，幂差极值n-max (g )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数m 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数g 不断减小时，那么正整数m 也是不断增大。那么根数rad（m ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（m ）也趋向于正无穷大。
（1）b=g=h d ，c=n=v p ，因为m+g=n ，m=[rad（m ）]·H。这种情形下，求证+∞→+∞→m v lim m p v 存在正实数极限。令x+y d =z p ，x 和y 以及z 均为不小于1的实数。设函数f （z ，y ）=z p ÷（z p -y d ），则f （z ，y ）=z p ÷（z p -y d ）=z p ÷z p ÷[（z p -y d ）÷z p ]=1÷[1-y d ÷z p ]。因为v p ＞h d ，我们令z p =h·y d +r，由第六讲中的定义3.2和第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，h 是可变的。那么+∞→+∞→y z lim y d ÷z p =+∞→+∞→h y lim y d ÷（h·y d +r）≤+∞→h lim
h 1=0。则+∞→+∞→y z lim f（z ，y ）=+∞→+∞→y z lim z p ÷（z p -y d ）=1。那么--lim +∞→+∞→m v m p v =1。又++→→11lim y z f （z ，y ）=p÷（p-d），
则函数f（z ，y ）在z?[1+ε，+∞-ε]，y?[1+ε，+∞-ε]的闭区域中有界，那么存在恒定的正实数E （1＜E ＜+∞），使得1＜f（z ，y ）≤E 或者1＜f（z ，y ）＜E 恒成立。那么这种情形下，不管m 和v p 以及h d 如何变化，使得1＜m p v ≤E 或者1＜m p v
＜E 恒成立。则1＜v p ÷{[rad （m ）]·H }≤E 或者1＜v p ÷{[rad （m ）]·H }＜E 恒成立。
对于m 和rad（m ），因为m=v p -h d ，其中当出现m=w k 时，w 为正整数，k 为正实数，则令h d ＞w k 或h d ＜w k 。当出现m =111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1时,11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；
1k ，2k ，3k ，…，r k 均为正实数；则令h d ＞111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1或h d ＜111k p ·212k p ·313k p ·…·r k
r p 1。那么由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，在这种情形下，不可能存在这样如下的情形：即1u p =q +1h d ，2u p =e+2h d ，h 1≠h 2或u 1≠u 2，使得rad（q）=rad（e ）。不管怎样，我们都要想办法把上面这样的
情形转换到连续函数上来考虑，根据函数在某一实数点（去心邻域内）存在极限的定义，利用三段论判定连续函数在某闭区间有界。故设函数ψ（x，y）=x p -y d ，这种情形下，定义域中任一一组x 和y 的确定值有唯一一个函数ψ（x，y）的值与之对应。由第六讲中的定义3.2可知，任一函数ψ（x，y）的值有唯一rad （x p -y d ）的值与之对应。又由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，函数ψ（x，y）的值不可能恒为q y 或者111y q ·212y q ·313y q ·…·s y s q 1的形式，其中q 或11q ，12q ，13q ，…，s q 1恒定不变。那么这种情形下，我们总可以令x p -y d =az+r （r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x 1，y 1），总有一个正实数z 1，使得1x p -1y d =az 1+r 成立。那么对于任意两组正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12，必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得（11x p -11y d -r）÷z 11=（12x p -12y d -r）÷z 12。那么任一（x p -y d ）均可表为
az+r（r＜a）的形式，其中a 和r 均为恒定的正实数。这种情形下，我们总可以令rad（x p -y d ）=bz′+s（s＜b），其中b 和s 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x 2，y 2），总有一个正实数z 2，使得rad（2x p -2y d ）=bz 2′+s 成立。那么对于同样的任意两组正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12，必然存在两个正实数z 21和z 22（z 21≠z 22），使得[rad（11x p -11y d ）-s]÷z 21=[rad（12x p -12y d ）-s]÷z 22。那么任一rad（x p -y d ）均可表为bz′+s
（s＜b）的形式，其中b 和s 均为恒定的正实数。而az+r 形式中的z 与bz′+s 形式中的z′又是一种函数对应关系，即az+r 形式中的任一z 值，bz′+s 形式中有唯一z′值与之对应。
所以不妨设函数μ（z）=（az+r）÷（bz+s），那么-lim +∞→z μ（z）=-lim +∞
→z （az+r）′
÷（bz+s）′=a÷b，又+→1
lim z μ（z）=（a+r）÷（b+s），则函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有界。即存在恒定的正实数F?（1＜F?＜+∞），使得1＜μ（z）≤F?或者1＜μ（z）＜F?恒成立。
那么对于m÷rad（m ），不管m 和v 以及g 如何变化，1＜m÷rad（m ）≤F?或者1＜m÷rad（m ）＜F?恒成立。因为m=[rad（m ）]·H，那么1＜H≤F?或者1＜H＜F?恒成立。又因为1＜v p ÷{[rad （m ）]·H }≤E 或者1＜v p ÷{[rad （m ）]·H }＜E 恒成立。那么1＜v p ÷{[rad（m ）]}≤E ·F?或者1＜v p ÷{[rad（m ）]}＜E ·F?恒成立。说明对于)(m rad p v
，不管m 和v 以及g 如何变化，存在恒定的正实数F （1＜F ＜+∞），使得1＜)(m rad p v ≤F 或者1＜)(m rad p v ＜F 恒成立。
因为rad（n ）≥1，rad（g ）≥1，那么F ·rad（n ）·rad（m ）·rad（g ）≥v p 或者F ·rad（n ）·rad（m ）·rad（g ）＞v p 恒成立。
2020年9月18日