2016年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）
高三数学（文科）
（时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}{}
211,|6M N x x x =-=-<，，则下列结论正确的是
A. N M ?
B. N M =?
C. M N ?
D. M N R =
2.已知i 是虚数单位，则复数
()2
1-1i i
+在复平面内对应的点在
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是
A. 1y x =
B. lg y x =
C. 1y x =-
D. ln 12x
y ??
= ?
??
4.已知数列{}n a 的前项和为n S ，若(
)=2-4n n S a n N *
∈，，则=n
a
A. 1
2
n + B. 2n C. -1
2
n D. -2
2
n
5.设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ①若,//m n αα?，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； ③若=//n m n αβ ，，则//m α且//m β； ④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ； 其中真命题的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.执行如图所示的程序框图，则输出的实数m 的值为
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
7.已知,x y满足约束条件
1,
1,
49,
3,
x
y
x y
x y
≥
?
?≥-
?
?
+≤
?
?+≤
?
，若目标函数
()0
z y mx m
==>的最大值为1，则m的值是
A.
20
-
9
B. 1
C. 2
D. 5
8.若0,0
a b
>>，且函数()32
=422
f x x ax bx
--+在1
x=处
有极值，若t ab
=，则t的最大值为
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
9.如右图，圆C内切于扇形AOB,
3
AOB
π
∠=,若向扇形AOB内
随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为
A. 100
B. 200
C. 400
D. 450
10.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为
11.设[]
,0
αβπ
∈，,且满足sin cos cos sin1,
αβαβ
-=，则()()
sin2sin2
αβαβ
-+-
的取值范围为
A. []
-1,1
B. ??
C.
??
?? D.
?
?
12.设抛物线2
:4
C y x
=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A,B两点，M为抛物线C 的准线与x
轴的交点，若tan AMB
∠=AB=
A. 4
B. 8
C.
D. 10
第Ⅱ卷（非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3， ，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .
14.已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且12=2=3a a ，，则2016a 的值为 . 15.在球O 的内接四面体A BCD -中，610,2
AB AC ABC π
==∠=
，，且四面体
A BCD -体积的最大值为200，则球O 的半径为 .
16.设()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()-2=0f ，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2.bc C a =
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若1cos 7A =
，求c
a
的值.
18.（本小题满分12分）
为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润
z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =-
；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：1
1
2
2
21
1
()()()-()
n n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nx y
b a y b x x x x nx
====---=
=
=--∑∑∑∑
，
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中P A B C D -，底面ABCD
为边长为.PA BD ⊥
（Ⅰ）求证：;PB PD =
（Ⅱ）若E,F 分别为PC,AB 的中点，EF ⊥平面,PCD 求三棱锥的D ACE -体积.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过点()10M ，的直线l 交椭圆C
与A,B 两点，,MA MB λ=且当直线l 垂直于x 轴时，AB =
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若1,22λ??∈????
，求弦长AB 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数()()2
=0x x f x x e
>，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当0a =时，判断函数()y f x =极值点的个数； （Ⅱ）若函数有两个零点()1212,x x x x <，设2
1
,x t x =证明：12+x x 随着t 的增大而增大.
请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）[选修4—1，几何证明选讲]
如图，O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P .
（Ⅰ）若81
9PD CD PO ===，，，求O 的半径； （Ⅱ）若E 为上O 的一点， AE AC =,DE 交AB 于点F ，求证：.PF PO PA PB =
23.（本小题满分10分）【选修4-4，坐标系与参数方程】
在直角坐标系x O y 中，直线l
的参数方程为,23,2
x y t ?=
????=+??（t 为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos .ρθθ=-
（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A,B,求PA PB 的值.
24.（本小题满分10分）【选修4-5，不等式选讲】 设()=
1.f
x a x -，
（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[]-6,2，求实数a 的值；
（Ⅱ）当=2a 时，若存在x R ∈，使得不等式()()21173f x f x m +--≤-成立，
求实数m 的取值范围.
2015-2016质检二数学（文科）答案
一、选择题
1-5CCCAB 6-10CBDCD 11-12 AB 二、填空题
13 15 14 -1
15 13 16 ()()2,02,-+∞ 三、解答题
17解: (Ⅰ) a c C b 2cos 2=+,
由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,------------2分
π=++C B A
C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴…………………4分 )sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+ C B C sin cos 2sin =
因为π< 1cos = B , 因为π< π =B .------------6分 (Ⅱ)三角形ABC 中，3π = B ，1cos 7 A = ， 所以sin 7 A = -------------8分 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=10分 sin 5sin 8 c ACB a BAC ∠==∠ .------------12分 18.解：(Ⅰ)3x =，5y = 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，…………………2分 5 1 15 i i x ==∑ ， 5 1 25 i i y ==∑， 5 162.7 i i i x y ==∑ 错误！未找到引用源。 5 21 55 i i x ==∑， 解得：? 1.23b =-错误！未找到引用源。?8.69a = ………………4分 所以：?8.69 1.23y x =-错误！未找到引用源。.…………………6分 (Ⅱ)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………8分 21.23 6.69x x =-+…………………10分错误！未找到引用源。 所以 2.72x =时，年利润错误！未找到引用源。最大.…………………12分 19解: (Ⅰ)连接AC 交BD 于点O ， 因为底面ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥且O 为BD 的中点. 又,,PA BD PA AC A ⊥?= 所以⊥BD 平面PAC ， -------------2分 由于?PO 平面PAC ,故⊥BD PO . 又DO BO =,故PD PB =. ---------------4分 (Ⅱ)设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ ∥=12 CD , 所以AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ， 因为⊥EF 平面PCD ， 所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q , 所以AP AD == ---------------6分 由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥， 又AD CD ⊥，又AQ AD A ?= 所以CD ⊥平面PAD 所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥, 所以PA ⊥平面ABCD ---------------8分 （注意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分） 11 32 D AC E E ACD ACD V V PA S --?==?? ………………………10分 111 3226 =?= 故三棱锥D-ACE 的体积为 6 .……………………12分 20解：(Ⅰ) 由已知：2e = ，2 c a ∴=，……………2分 又当直线垂直于x 轴时， AB = ，所以椭圆过点(1,2 ， 代入椭圆： 221112a b +=， 在椭圆中知：222 a b c =+,联立方程组可得：222,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为：2 212 x y +=.……………………4分 (Ⅱ)当过点M 直线斜率为0时,点A 、B 分别为椭圆长轴的端点 , ||32||PA PB λ= ==+> 或||1 3||2PA PB λ===-,不合题意. 所以直线的斜率不能为0.…………………………（没有此步骤，可扣1分） 可设直线方程为：1x my =+ 1122(,),(,)A x y B x y ， 将直线方程代入椭圆得: 2 2 (2)210m y my ++-=，由韦达定理可得： 1221222(1) 2 1(2) 2m y y m y y m ? +=-??+? ?=-?+? ，……………………6分 将（1）式平方除以（2）式可得： 由已知MA MB λ=可知， 1 2 y y λ=-， 2 122 21422 y y m y y m ++=-+， 所以2 21 422 m m λλ--+=-+，……………………8分 又知1,22λ??∈???? ，1 12,02 λλ??∴--+∈-???? ， 22 14022m m ∴-≤-≤+，解得：220,7m ?? ∈???? .……………………10分 2 2 212 22 2 22121222(1)11(1)()48()8(1) 22AB m y y m m y y y y m m =+-+??=++-==-??++ 220,7m ??∈???? ，21 71,2162 m ?? ∴∈??+?? ， 8AB ∴∈? .…………………12分 21解：(Ⅰ)当0a =时，()2 (0) x x f x x e =->， ()222()(2) ()x x x x x e x e x x f x e e -?--?-'== 令()0f x '=，则2x = …………………2分 则()(0,2),0x f x '∈<，()y f x =单调递减 ()(2,),0x f x '∈+∞>，()y f x =单调递增 所以2x =是函数的一个极小值点，无极大值点。…………………4分 (Ⅱ)令( )20,x x f x e ==则3 2x x ae = 因为函数有两个零点1212,()x x x x < 所以1 132 x x ae =，2232 x x ae =，可得 113 ln ln 2 x a x =+，223ln ln 2x a x =+. 故221211 333ln ln ln 222x x x x x x -= -=. …………………6分 设21x t x =，则1t >，且2121,3ln ,2x tx x x t ì=???í?-=??? 解得13ln 21t x t =-，23ln 21t t x t =-. 所以：()121ln 321 t t x x t ++= -. ① …………………8分 令()()1ln 1 x x h x x += -，()1,x ?? ， 则()() 2 1 2ln 1x x x h x x -+- ￠= -. …………………10分 令()1 2ln u x x x x =-+-，得()2 1x u x x 骣-÷?￠=÷?÷ ?桫. 当()1,x ?? 时，()0u x ￠>.因此，()u x 在()1,+￥上单调递增， 故对于任意的()1,x ?? ，()()10u x u >=， 由此可得()0h x ￠>，故()h x 在()1,+￥ 上单调递增. 因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大. …………………12分 选做题 22. 证明 (Ⅰ)∵PA 交圆O 于B,A PC 交圆O 于C,D, PD PC PB PA ∴= ………………2分 ()()PD PC PO r PO r =-- …………………3分 22289993 r r r ?=-== ---------------5分 (Ⅱ)连接EO CO ∵ AE = AC ∴EOA COA ∠=∠ ∵2EOC EDC ∠=∠ EOA COA ∠=∠ ∴EDC AOC ∠=∠∴COP FDP ∠=∠ …………………7分 P P ∠=∠ PDF POC ?? ---------------9分 124,41362,42324,2x x x x x x ? --≤-?? ? =--<< ?? ? +≥?? PF PO PD PC PD PC PB PA ∴== PF PO PA PB ∴= ---------------10分 23. 解析：(Ⅰ)直线错误！未找到引用源。的普通方程为30x y -+=，…………………2分 24sin 2cos ρρθρθ=-，…………………3分 曲线C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y ++-=.………………5分 (Ⅱ) 将直线的参数方程3+2 x y ?=????=??错误！未找到引用源。（t 错误！未找到引用源。为参数）代入曲线C ：22(1)(2)5x y ++-= ，得到：2 30t +-=，…………7分 123t t =-，…………………9分 123PA PB t t ==.………………10分 24. 解：(Ⅰ)显然0a ≠，…………………1分 当0a >时，解集为13[,]a a -， 13 6,2a a -=-=，无解；……………………3分 当0a <时，解集为31[,]a a -，令13 2,6a a -==-，12a =-， 综上所述，1 2 a =-.……………………5分 (Ⅱ) 当2a =时，令()(21)(1)4123h x f x f x x x =+--=+-- ………………7分 由此可知，()h x 在1 (,)4-∞-单调减，在13(,)42-单调增，在3(,)2+∞单调增，则当14 x =-时，()h x 取到最小值 7 2 - ，………………8分 由题意知， 7 73 2 m -≤-，则实数m的取值范围是 7 , 2 ?? -∞ ? ?? ……………10分
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