对数与对数函数
【考纲要求】
1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；
2.掌握对数函数的概念、图象和性质.
3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、对数概念及其运算
我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x
=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.
(一)对数概念:
1.如果()01b
a N a a =>≠，且，那么数
b 叫做以a 为底N 的对数，
记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数恒等式：
log log a b N
a a N
a N N
b ?=?=?=?
3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.
(二)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.
(三)对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.
对数与对数函数
图象与性质
对数运算性质
对数函数的图像与
对数的概念
指对互化运算
由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数
已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+；
推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、
(2)log log log a
a a M
M N N =-； (3)log log a a M M α
α=.
(五)换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a
a n
∈=
令 log a M=b ， 则有a b
=M ， (a b )n
=M n
，即n
b n M a =)(，
即n a
M b n
log
=，即:n a a M M n log log =.
(2) )1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a ，令log a M=b ，
则有a b
=M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b
c
即M a b c c log log =?， 即a
M
b c c log log =，
即)1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
)1,0,1,0(log 1
log ≠>≠>=
b b a a a
b b a .
考点二、对数函数及其图像、性质
1.函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.
2.在同一坐标系内，
当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；
当0 (1)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0，a ≠1)的图像过点(1，0) (3)当a>1时，0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>?? ==??<< a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>?? <<==??>< 当时， 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 83=；(2)13 log 92=-； (3)3x =； (4)45625=；(5)1 133-=；(6)2 1164-??= ? ?? . 【解析】(1)3 28=；(2)2 193-?? = ???； (3)3x =； (4)5log 6254=；(5)31 log 13=-；(6)14 log 162=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决 问题的重要手段. 举一反三： 【变式】求下列各式中x 的值： (1)642 log 3 x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2 -ln e x = 【解析】(1)2223() 3 23 331(64) (4) 4 416x - - ?--===== ； (2)11116 636 6 6 2 8()(8)(2)2x x x ====== ，所以 (3)10x =100=102 ，于是x=2； (4)由2 2 2ln ln 2x e x x e e e x --=-===-，得，即所以. 类型二、对数运算法则的应用 例2.求值 (1) log 89·log 2732 (2)9 1log 81log 251log 32log 532 64??? (3))36log 4 3 log 32(log log 42 122++ (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 【解析】(1)原式=9 1035322log 3log 5 32 233=?= ?. (2)原式=103log 2log 5log 2log 2 53322526-=--- (3)原式=1 222223 log (5log log 6)4-++ 22223 log (5log log 6)log 834 =-+== (4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251(3log 5log 5log 5)(3log 2)3 =++ 5213 3log 2log 5133 = ?= 举一反三： 【变式】已知：log 23=a ， log 37=b ，求：log 4256=? 【解析】∵ 3log 12log 23= ∴a 1 2log 3=， 33342333log 56log 7log 8 log 56log 42log 7log 6+==+ 3333log 73log 2log 71log 2 +=++ 1 3 113+++= + ++= a a b ab a b a b 类型三、对数函数性质的综合应用 例3.已知函数)2(log )(2 2 1x x x f +-= （1）求函数)(x f 的值域；（2）求)(x f 的单调性 【解析】 22222112 2 212 212 212 (1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10 log (-2)[0,). (2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v u u x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴Q 由题得当时，函数的值域为设函数在（）上是增函数，在（）上是减函数。是减函数 由复合函数的单调性得函数f(212 log (-2) 0,11,2x x +x)=在（）上是减函数，在（）上是增函数。 举一反三： 【变式】（2015 天津高考文）已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |―1（m 为实数）为偶函数，记a =f (log 0.53)， b =f (log 25)， c =f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） (A)a ＜b ＜c (B)c ＜a ＜b (C)a ＜c ＜b (D)c ＜b ＜a 【答案】B 【解析】由题意，()()f m f m =-，即|2| 2 10m -=，解得m =0，所以||()21x f x =- 因为0.50.50log 3log 42>>=-，22log 5log 42>=，2m =0 由函数()f x 关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调增可知：c a b <<.故选B. 例4．求函数y=2 1log (-x 2 +2x+3)的值域和单调区间. 【解析】设t=-x 2+2x+3，则t=-(x-1)2 +4. ∵ y=2 1log t 为减函数，且0 ∴ y ≥4log 2 1=-2，即函数的值域为[-2，+∞). 再由：函数y=2 1log (-x 2 +2x+3)的定义域为-x 2 +2x+3>0，即-1 ∴ t=-x 2 +2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=2 1log t 为减函数. ∴ 函数y=2 1log (-x 2 +2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3). 例5. 判断下列函数的奇偶性. (1)1-()lg ;1x f x x =+ (2)())f x x =. 【解析】由1-0-111x x x ><<+可得 所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称 又1111()lg lg()-lg ()111x x x f x f x x x x -+---====--++ ()()f x f x -=-即 所以函数1-()lg 1x f x x =+是奇函数； 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形. (2)0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称，又 (-))f x x == )-()x f x === 即f(-x)=-f(x)；所以函数())f x x =是奇函数. 【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 例6．（2015 泸州模拟）已知函数()()1lg 01ax f x a x +=>-为奇函数，函数()()11b g x x b R x =++∈-. (1)求函数()f x 的定义域. (2)当11,32x ?? ∈???? 时，关于x 的不等式()()lg f x g x ≤有解，求b 的取值范围. 【解析】（1）由()()1lg 01ax f x a x +=>-为奇函数得()()0f x f x -+= 即22 2 111lg lg lg 0111ax ax a x x x x -+-+==+-- 22 2 111a x x -∴=-解得1a = ()1lg 1x f x x +∴=- 101x x +∴>-解得11x -<< ()f x ∴的定义域为()1,1-. （2）不等式()()lg f x g x ≤等价于 1111x b x x x +≤++ -- 即2 b x x ≥+在11,32 x ??∈???? 有解，故只需( ) 2 min 11,32b x x x ?? ≥+∈???? 函数2 21124y x x x ? ?=+=+- ???在11,32x ??∈????上单调递增 ()2 min 114 339 y ??∴=+= ??? b ∴的取值范围是4,9?? +∞???? . 例7. （2015年北京理）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤ 【答案】C 【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象. 满足不等式2()log (1)f x x ≥+的x 的范围是11x -<≤；所以不等式2()log (1)f x x ≥+的解集是 {}|11x x -<≤ 【巩固练习】 一、选择题 1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有( ) A. b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.b a c 212+= 2.（2015宝安区校级二模）设3log a π=，2log 3 b =，3log 2 c =，则（ ） .Aa b c >> .B a c b >> .C b a c >> .Db c a >> 3．图中曲线是对数函数y=log a x 的图象，已知a 值取10 1 ,53,34,3，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.10153343，，， B.53101343，，， C.10153334，，， D.5 3101334，，， 4.(2015 枣庄校级模拟)已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时 2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像交点共有（ ） .10A 个 .9B 个 C.8个 .1D 个 5．设偶函数f(x)=log a |x-b|在(-∞，0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( ) A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2) C.f(a+1) 6．设方程2x +x-3=0的根为α，方程log 2x+x-3=0的根为β，则αβ+的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 二、填空题 7．已知函数y=log a (kx 2 +4kx+3)，若函数的定义域为R ，则k 的取值范围是__________； 若函数的值域为R ，则k 的取值范围是________. 8．设函数f (x )＝? ??>-≤-1,log 11 ,221x x x x 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 . 9．（2015年安徽文科）=-+-1)2 1 (2lg 225lg . 10. （2015年新课标1理科）若函数f (x )=x ln （x ）为偶函数，则a = 三、解答题 11．设log a c ， log b c 是方程x 2 -3x+1=0的两根，求c b a log 的值. 12.已知函数2 2 2(3)lg 6 x f x x -=-， (1)求()f x 的定义域； (2)判断()f x 的奇偶性. 13.已知函数232 8()log 1 mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值. 14．设x x x x f +-++= 11lg 21)( 1)判断f(x)的单调性，并给出证明； 2)若f(x)的反函数为f -1(x)，证明f -1 (x)=0有唯一解； 3)解关于x 的不等式2 1)]2 1 ([< -x x f . 15.(2015天津校级模拟) 对于函数()()212 log 3f x x ax =-+，解答下列问题： （1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围. （2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围. （3）若()f x 在[)1,-+∞上有意义，求a 的取值范围. （4）若()f x 的值域是(],1-∞-，求a 的取值范围. （5）若()f x 在(],1-∞-内为增函数，求a 的取值范围. 【参考答案与解析】 一、选择题 1．设3a =4b =6c =k ， 则a=log 3k ， b=log 4k ， c=log 6k ， ∴3log log 113k k a ==， 同理4log 1k b =，6log 1k c =， 而2log 3log 1 ,2log 21k k k c b +==， ∴b a c 2111+=，即b a c 122+=. 2.A 【解析】332223log log 3log 2log 3log 2log 2π>=>>>Q a b c ∴>>故选A . 3. 在第一象限内，1a >，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大，433>； 在第四象限内，01a <<，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大，31 510 >； 所以相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为431 33510 ，，，.选A. 4.A 【解析】Q 函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2 ()f x x = 所以可以做出函数()y f x =的图像，可知函数()y f x =的值域为[]1,1- 再作出lg y x =的图像，发现lg y x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增且当1,0x y ==； 10,1x y == 结合图像可知两函数图像的交点共有10个. 5．由f(x)是偶函数，得b=0； 又因为f(x)在(-∞，0)上是增函数，得0 所以0 6．将方程整理得2x =-x+3，log 2x=-x+3，如图所示， 可知α是指数函数y=2x 的图象与直线y=-x+3的交点A 的横坐标； β是对数函数y=log 2x 的图象与直线y=-x+3的交点B 的横坐标. 由于函数y=2x 与函数y=log 2x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称， 所以A ，B 两点也关于直线y=x 对称，所以()A αβ，，()B βα，. 注意到()A αβ，在直线y=-x+3上，所以有3βα=-+，即3αβ+=. 二、填空题 7．），）；，∞+4 3[43 0[.要使函数的定义域为R ， 只需对一切实数x ， kx 2 +4kx+3>0恒成立， 其充要条件是k=0或?? ?<-=?>,01216, 02 k k k 解得k=0或430< 3 ,0[. 要使函数的值域为R ，只需kx 2 +4kx+3能取遍一切正数， 则???≥-=?>, 01216,02 k k k ，解得43≥k . 故k 的取值范围是),4 3 [+∞. 8．24 1. ∵1 ∴1 222 1 log 24 3log 3 log 2421111(3log 3)() ()()2 22 24 f ++==== . 又∵当x<4时，f(x+1)=f(x)， ∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=24 1. 9．-1 原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 10. 1 由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 三、解答题 11．依题意得：???=?=+,1log log ,3log log c c c c b a b a 即 ???????=?=+1log log 13log 1log 1b a b a c c c c ， 即 ???=?=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴543log log 4)log (log )log (log 2 22=-=?-+=-b a b a b a c c c c c c . ∴5log log ±=-b a c c . 故5 5 51log log 1log 1log ±=±=-= = b a b a c c c c b a . 12.(1)∵()()222 2233(3)lg lg 633 x x f x x x -+-==---， ∴3()lg 3 x f x x +=-， 又由06 2 2 >-x x 得233x ->， ∴ ()f x 的定义域为()3,+∞. (2)∵()f x 的定义域不关于原点对称，∴()f x 为非奇非偶函数. 13.由2 32 8()log 1 mx x n f x x ++=+，得22831y mx x n x ++=+， 即() 23830y y m x x n --+-=g ∵,644(3)(3)0y y x R m n ∈∴?=---≥， 即23 ()3160 y y m n mn -++-g ≤ 由02y ≤≤，得139y ≤≤， 由根与系数的关系得19 1619m n mn +=+?? -=?g ，解得5m n ==. 14．1)由??? ??≠+>+-0 2,011x x x 得-1 设-1 f(x 1)-f(x 2)= )11lg 21 (11lg 212 22111x x x x x x +-++-+-++ ) 1)(1() 1)(1(lg )2)(2(21212112x x x x x x x x -++-+++-=， 又因为(1-x 1)(1+x 2)-(1-x 2)(1+x 1) =(1-x 1+x 2-x 1x 2)-(1+x 1-x 2-x 1x 2)=2(x 2-x 1)>0， (1-x 1)(1+x 2)>0， (1+x 1)(1-x 2)>0， 所以 1) 1)(1() 1)(1(2121>-++-x x x x 所以0) 1)(1() 1)(1(lg 2121>-++-x x x x ， 又易知 0) 2)(2(211 2>++-x x x x ， ∴ f(x 1)-f(x 2)>0 ， 即f(x 1)>f(x 2). 故f(x)在(-1，1)上是减函数. 2)因为2 11lg 21)0(=+= f ，所以0)21 (1=-f ， 即f -1 (x)=0有一个根2 1x =. 假设f -1(x)=0还有一个根2 10≠x ，则f -1 (x 0)=0， 即2 1 )0(0≠=x f ，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾. 故2 1=x 是方程f -1 (x)=0的唯一解. 3)因为21)0(=f ，所以)0()]2 1 ([f x x f <-. 又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以1)2 1(0<- 17 1,21()0,4171( +-∈Y x . 15.【解析】对于函数()() 212 log 3f x x ax =-+ （1）()f x Q 的定义域为R 230x ax ∴-+>在R 上恒成立 即2 120a ?=-< 得：(a ∈- （2）()f x Q 的值域为R 23y x ax ∴=-+的图像不能在x 轴上方 即2 120a ?=-> 解得：( () a ∈-∞+∞U （3）()f x Q 在[)1,-+∞上有意义 230x ax ∴-+>在[)1,-+∞上恒成立 即0?<或1 240 a a ?≤-???+>? 解得：(()4,2---U （4）()f x Q 的值域为(],1-∞- 23y x ax ∴=-+的值域为[)2,+∞ 最小值2 41324 a ??-=，解得2a =± （5）()f x Q 在(],1-∞-上为增函数 23y x ax ∴=-+在(],1-∞-内为减函数，且230x ax -+>在(],1-∞-上恒成立. 1240 a a ?≥-?∴??+>?解得2a ≥-. 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 基本初等函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1)(2)(3) 知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数名称指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么①加法：②减法：③数乘： ④⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数名称对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 对数函数知识点 1 ?对数函数的概念 形如y =log a x(a . 0且a = 1)的函数叫做对数函数. 说明：(1) 一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1 ； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数? 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数y二log a x(a ? 0,a = 1)是指数函数y=a x(a .0,a=1)的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。 ②若函数y = f(x)上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数图象上，反之若(b, a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数y二a x(a .0,a")的定义域x R，值域y?0, 容易得到对数函数y"og a x(a .0,a=1)的定义域为x 0，值域为R，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3 4 要牢记y = 2X, y =（1）x, y = 10x, y = （￡）x的反函数 y =log2X, y =log! x, y =lg x, y =log ! x的图象，并由此归纳出表中结论。 2 10 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数a -1为增；0 ：：：a ：：：1为减）比较。 ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 ③如果两对数的底数不同而真数相同，女口y = log ai x与y = log a2x的比较（a 0,印=1, a2 0,a2 = 1）. 当a, a2 ? 1时，曲线y1比y的图象（在第一象限内）上升得慢，即当x 1时，m；当0：：：x”：1时，y1 y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大（同［考题2］的含义）当0 ::: a? ：：? <1时，曲线y比月2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x 1时， y ■■■ y ;当0 ”：x ::: 1时，y1 y即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小。 6、求参数范围 凡是涉及对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定 要分类讨论。 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1) 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log —对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ＝ b 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾： 1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其 图象关于直线x y =对称 二、例题与习题 1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __； 2. 已知函数=-=+-=)(,2 1 )(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.04 1 log 2 12≤-x ，则________∈x 4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a 5.若函数m y x +=+-1 2 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ） （A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m 6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 7．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个． 10.)2lg(2 x x y +-=的递增区间为___________ ，值域为 . 11.求)1,0() (log ≠>-=a a a a y x a 的定义域。 12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。 13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(| 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方 根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对 对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实 数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 x y > O x y 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 对数函数 知识点一：对数函数的概念 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数． 注意： ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 两个常用对数： (1)常用对数 简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数 简记为: lnN （以e 为底） 例1、求下列函数的定义域、值域： (1)4 121 2 - = --x y ( 2))52(log 2 2++=x x y (3))54(log 2 3 1++-=x x y (4))(log 2x x y a --= 知识点二：对数函数的图象 方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。 同样：也分1>a 与10< （3） x y 3log =（4） x y 3 1log = 思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y 函数的相同性质和不同性质. 相同性质： 不同性质： 例2、作出下列对数函数的图象： 知识点三：对数函数的性质 由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质． 思考：底数a 是如何影响函数 x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结） 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例3、比较下列各组数中两个值的大小：专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
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