绝密★启用前
数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．3i（）
A．-1 B．i-C．1 D．i
答案：B
直接根据复数的乘方法则计算可得；
解：
解：32
i i i i
故选：B
点评：
本题考查复数代数形式的乘方运算，属于基础题.
2．在极坐标系中，与点
π
1,
6
A
??
-
?
??
关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（）
A．
7π
1,
6
??
?
??
B．
5π
1,
6
??
?
??
C．
π
1,
6
??
?
??
D．
2π
1,
3
??
?
??
答案：C
根据极坐标的对称关系，即可求出答案. 解：
根据极坐标的对称关系，
点
π
1,
6
A
??
-
?
??
关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是
π
1,
6
??
?
??
.
故选：C
点评：
本题考查了极坐标的对称关系，考查了极坐标的概念，属于基础题. 3．已知a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（）
A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a b c d ＞
答案：A
利用不等式的基本性质即可判断出．
解：
根据不等式的同向可加性，若a ＞b ，c ＞d ，则必有a +c ＞b +d ， 利用特例法可知,,B C D 均错误， 故选：A ． 点评：
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 4．设x ∈R ，则“3x >”是“1x >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：A
利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 解：
根据题意可知“3x >”?“1x >”， 反之，“1x >”
“3x >”，
所以“3x >”是“1x >”的充分不必要条件. 故选：A 点评：
本题考查了充分条件、必要条件的定义，需理解定义，属于基础题. 5．若复数z 满足z ＝12i
i
+，则z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：D
根据复数的基本运算进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可． 解： 由12i z i +=
，可得()1111
2222
i i i z i i i i +?+===-?， 对应点的坐标为：11,22??
- ???
，∴z 对应的点位于第四象限， 故选：D. 点评：
本题主要考查复数几何意义的应用，结合复数基本运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题． 6．下列说法正确的是（）
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”为真命题
B ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为假命题
C ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”
D ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” 答案：C
由逆命题、否命题、逆否命题的定义逐一判断可得选项. 解：
若x 2＝1，则1x =±，故A 选项不正确；
“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2＝1”且该命题是真命题，故B 选项不正确；
命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”，故C 选项正确； 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若21x ≠，则x ≠1”，故D 选项不正确， 故选：C. 点评：
本题主要考查命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义及其关系，属于基础题. 7．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 8＋b 8＝() A ．28 B ．47 C ．76 D ．123
答案：B
试题分析：由于2
2
3
3
4
4
5
5
1,3,4,7,11,
,a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=通过观察
发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此
66778811718,181129,291847a b a b a b +=+=+=+=+=+=,故选B.
【考点】归纳推理．
8．椭圆22143
x y +=上的点到直线290x -=的距离的最大值为（）
A ．
B
C D
答案：A
利用椭圆的参数方程以及点到直线的距离公式即可求解. 解：
由
22
1
43
x y
+=
，则椭圆上的点为()
2cos,R
θθθ∈，
由点到直线的距离公式可得
d==
=≤=，（其中
4
tan
3
?=），
所以椭圆
22
1
4
3
x y
+=上的点到直线290
x+-=的距离的最大值为
故选：A
点评：
本题考查了椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、辅助角公式，三角函数的性质，综合性比较强，但难度不大，属于基础题.
9．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的22
?列联表：
参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a
b c d
=+++.
附表：
参照附表，得到的正确结论是（）
A．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
B．有99.9%以上的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”答案：D
根据题中数据，计算2
K，结合临界值表，即可得出结果.
解：
由题中数据可得，
()2
2
50201551025
8.3337.879
252530203
K
?-?
==≈>
???
，
所以有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，
即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”.
故选：D.
点评：
本题主要考查进行独立性检验，熟记独立性检验的基本思想即可，属于基础题型. 10．给出以下四个说法：①在回归直线方程y＝12﹣0.3x中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均减少0.3个单位；②对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；③在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越小，说明拟合的效果越好；④残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小.其中正确的说法是（）
A．②④B．③④C．①②D．①③
答案：C
根据回归直线方程的意义，可判断①的正误；
②根据独立性检验的定义，即可判断．
③相关指数2
R来刻画回归的效果，2R值越大，说明模型的拟合效果越好；
利用残差图判断模型的拟合效果，从而可判断④的正误；
解：
解：①在回归直线方程120.3x
y=-中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y 平均减少0.3个单位；故①正确；
②对分类变量X与Y，它们的随机变量2
K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关
系”的把握程度越小，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．故②正确； ③相关指数2R 来刻画回归的效果，2R 值越大，说明模型的拟合效果越好，因此③错误； ④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，相关指数的绝对值越接近1，而不是越小，故④错误； 故选：C. 点评：
本题以命题的真假判断为载体考查了线性回归及独立性检验的基本概念，难度不大，熟练掌握相关概念是解答的关键，属于基础题．
11．若对任意实数x 不等式2
13x x m m +++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,1- B ．[]2,1-
C ．()1,2-
D ．[]1,2-
答案：A
由条件利用绝对值的意义求得|1||3|x x +++的最小值为2，从而求得实数m 的取值范围． 解：
解：|1||3|x x +++表示数轴上的x 对应点到1-、3-对应点的距离之和，故
|1||3|x x +++的最小值为2．
再根据2
13x x m m +++>+对任意实数x 恒成立，可得22m m >+， 解得21m -<<， 故选：A ． 点评：
本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．
12．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+<，
()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为
（） A ．()0,∞+ B ．()2019,+∞
C ．(),2020-∞
D ．(),0-∞
答案：D
构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果即可. 解：
设()()x
x
g x e f x e =-，
则()()()()()1x x x x
g x e f x e f x e e f x f x '''??=+-=+-??，
()()1f x f x '+<，0x e >，
()()()10x g x e f x f x ''∴=+-
又()()0
002019g e f e =-=，
∴()2019x x e f x e >+，即()()20190g x g >=的解集为(),0-∞.
故选：D 点评：
本题考查了构造新函数、利用新函数的单调性解抽象不等式解集的问题，属于中档题. 二、填空题 13．满足不等式21
11
x x -<+的实数x 的取值范围是__________. 答案：()1,2-
先进行移项通分进行化简后即可求解． 解： 由
2111
x x -<+可得：
2
01x x -<+， ∴12x -<<，
∴不等式的解集为：()1,2- 故答案为：()1,2- 点评：
本题主要考查了分式不等式的求解，考查运算能力，属于基础试题．
14．在同一直角坐标系下，曲线22
194x y +=经过伸缩变换1
312x x y y ?=???
=''???
后的曲线方程是______.
答案：2
2
1x y +=
由伸缩变换可知32x x y y =??=''?
，代入曲线22
194x y +=后就是变换后的曲线方程.
解：
由伸缩变换可知32x x y y
=??=''?，代入曲线22
194x y +=，
可得22
1x y ''+=，所以伸缩变换后的曲线方程是22
1x y +=.
故答案为：22
1x y += 点评：
本题考查根据伸缩变换求变换后的解析式，属于基础题型，本题的关键是分清变换前，后的变量，否则容易出错.
15．设P 是边长为a 的正ABC ?内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则
1232
h h h a ++=
；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=___________．
答案：
3
a . 由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化． 解：
根据等边三角形面积公式2
S =
，因为
P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，所以
()212312a h h h ??++=
即1232
h h h a ++=
正四面体的体积为312
V a =
P 点到四个面的距离为1234h h h h 、、、，所以()2312341312
h h h h a ?+++=
所以1234h h h h +++= 点评：
本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．
16．已知函数()2
f x x =，()ln x
g x x
=
，有下列四个命题： ①函数()()()h x f x g x =-是奇函数；
②函数()()()h x f x g x =-是定义域内的单调函数； ③当0x <时，方程()()f x g x =有一个实数根； ④当0x >时，不等式()()f x g x >恒成立， 其中正确命题的序号为__________. 答案：③④
利用反例可说明()h x 不是奇函数且不是定义域内的单调函数，利用导数可证明
()()f x g x =有一个实数解，利用导数可证明()()f x g x >在0,
上恒成立，从
而可得正确命题的序号. 解：
对于①②，()2ln x
h x x x
=-
，()()11,11h h =-=，因()()11h h -≠-， 所以()h x 不是奇函数.而()()11h h =-，故()h x 在定义域内不是单调函数， 故①②错误. 对于③，
方程()()f x g x =在,0上是否有一个实数根等价于()3ln x x =-是否有一个实
数根，
也就是()()3
ln s x x x =--在
,0是否有一个零点.
因为()2
1
30s x x x
'=-
>（0x <），故()s x 在,0上为单调增函数，
因为311
+10s e e
??-=-
> ???
，()310s e e -=--<，故()s x 在,0有一个零点.
所以方程()()f x g x =在
,0上有一个实数根，故③正确.
对于④，当0x >时，不等式()()f x g x >等价于3ln x x >，
令()3
ln u x x x =-，0x >，则()32
131
3x u x x x x
-'=-=，
当1
3103x ??<< ???时，()0u x '<，当13
13x ??> ?
??
时，()0u x '>，
故()u x 在13
0,3-?? ???上为减函数，在133,-??+∞ ???
为增函数，
所以()13min
1ln 33033
u x u -??==+> ???，故()0u x >在0,上恒成立，
所以()()f x g x >在0,上恒成立，故④正确.
故答案为：③④. 点评：
本题考查函数的奇偶性、单调性、方程的解以及不等式的恒成立，说明函数不具有奇偶性、单调性，应根据反例说明，方程的解或不等式的恒成立，可以通过构建新函数，利用导数研究其单调性、最值等，从而使问题得到解决. 三、解答题
17．已知2:7100p x x -+≤，22:430q x mx m -+≤，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 答案：（1）[]4,5；（2）5
,23
??????
.
（1）求出两个命题为真命题时的解集，然后利用p q ∧为真，求解x 的取值范围． （2）依题意可得p q ?，q p ≠>，所以p q ，即可得到不等式组，解得即可； 解：
解：（1）由27100x x -+≤，解得25x ≤≤，所以:25p x ≤≤ 又22430x mx m -+≤，
因为0m >，解得3m x m ≤≤，所以:3q m x m ≤≤． 当4m =时，:412q x ≤≤，
又p q ∧为真，p ，q 都为真，所以45x ≤≤．即[]4,5x ∈ （2）由p 是q 的充分不必要条件，即p q ?，q p ≠>，所以p q
所以235
m m ≤??
≥?解得523m ≤≤，即5,23m ??
∈????
点评：
本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．
18．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos sin cos ρθθθ=-，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，已知M 点的直角坐标为()0,1，直线l 的参数方
程为12x y ?=????=+??
（t 为参数），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求MA MB ?的值.
答案：（1）2
:C y x x =+，:10l x y +-=；（2）2.
（1）利用cos sin x y ρθ
ρθ=??=?
即可求出曲线C 的直角坐标方程；消参可求出直线l 的普通方
程.
（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理以及参数t 的几何意义即可求解. 解：
（1）由2cos sin cos ρθθθ=-，则22
cos sin cos ρθρθρθ=-，
即2x y x =-，整理可得2
:C y x x =+.
由212x t y ?=-????=+??，两式相加可得1x y +=，即:10l x y +-=. （2
）将212x y ?=-????=+??
代入2
y x x =+
，可得220t --=，
则122t t ?=-，
所以12122t t MA MB t t ==?= 点评：
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通坐标方程、参数方程的几何意义，属于基础题.
19．已知函数()1f x x a x =+++，a R ∈. （1）若3a =-，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()2f x ≤有实数解，求实数a 的取值范围. 答案：（1）[]
2,4-；（2）[]1,3-.
（1）函数()f x 表示数轴上的x 对应点到1-和3对应点的距离之和，而数轴上的2-、4对应点到1-和3对应点的距离之和正好等于6，由此可得不等式()6f x 的解集． （2）根据()1f x x a x =+++的几何意义将原题转化为数轴上的点x 对应点到1-和
a -对应点的距离之和的最小值要小于等于2，即可得到不等式组，解得即可；
解：
解：（1）当3a =-时，()31f x x x =-++，函数()|1||3|f x x x =++-表示数轴上的x 对应点到1-和3对应点的距离之和，
而数轴上的2-、4对应点到1-和3对应点的距离之和正好等于6， 故不等式()6f x 的解集为[]
2,4-．
（2）函数()1f x x a x =+++表示数轴上的点x 对应点到1-和a -对应点的距离之和，要使不等式()2f x ≤有实数解，即数轴上的点x 对应点到1-和a -对应点的距离之和的最小值要小于等于2，又数轴上3-和1到1-的距离恰为2，所以
21a -≤-≤，解得13a -≤≤，即[]1,3a ∈-
点评：
本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
20．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控揩施，某医院组织专家统计了该地区1000名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.
（1）求这1000名患者潜伏期的众数、平均数； （2）计算出这1000名患者中“短潜伏者”的人数. 答案：（1）众数7，平均数6；（2）500人.
（1）由频率分布直方图取矩形面积最大的底边中点横坐标即可得出众数；利用平均数等于小矩形的面积与矩形底边中点横坐标之积的和即可求出平均数.
（2）根据平均数，结合频率分布直方图可得低于平均数的频率，由样本总数?频率即可求解. 解：
（1）由频率分布直方图可得众数为7， 平均数0.02210.08230.1525=??+??+??
0.18270.03290.032110.012136+??+??+??+??=.
所以这1000名患者潜伏期的众数7，平均数6.
（2）由频率分布直方图可知，小于等于6的概率为()0.020.080.1520.5++?=， 所以这1000名患者中“短潜伏者”的人数为10000.5500?=. 点评：
本题考查了频率分布直方图求平均数、众数以及求样本容量，考查了基本运算，属于基础题.
21．为了解某种产品的广告费x （单位：万元）对销量y （单位：吨）的影响，对近五年该产品的广告费和销量统计如下表： x 1 2 3 4 5 y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
（1）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（2）根据（1）中的回归方程预测当广告费为6万元时，销量为多少吨？
参考公式：()()()
1
1
2
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---?=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
答案：（1） 1.23 1.31y x =+；（2）8.69吨.
（1）利用表中数据，求出x 、y ，进而求出b ，将样本中心点代入回归直线求出a 即可.
（2）将6x =代入（1）中的回归直线即可求解. 解：
（1）根据表中数据可得12345
35
x ++++=
=，
2.2
3.8 5.5 6.57
55
y ++++=
=，
所以1222222
2
21
1 2.2
2 3.8
3 5.5
4 6.557535
1234553n
i i
i n
i i x y nxy
b x nx
==-?+?+?+?+?-??=
=
++++-?-∑∑
12.3
1.2310
=
=，5 1.233 1.31a =-?=， 所以y 关于x 的线性回归方程为 1.23 1.31y x =+.
（2）当6x =时，代入 1.23 1.31y x =+，可得 1.236 1.318.69y =?+=（吨）， 故当广告费为6万元时，销量为8.69吨. 点评：
本题考查了最小二乘法求线性回归方程、利用回归直线方程解决实际问题，考查了考生的数据处理能力以及基本运算求解能力，属于基础题.