最新极值、最值与导数习题(附答案)

极值、最值与导数

1.若函数f(x)=2x3－3x2+c的极大值为6，那么c的值为( )

A.0

B.5

C.6

D.1

2.设函数2

()ln

f x x

x

=+，则( )

A .

1

2

x=为f(x)的极大值点 B .

1

2

x=为f(x)的极小值点

C .x=2为f(x)的极大值点

D .x=2为f(x)的极小值点

3.函数f(x)=(x－3)e x的单调递增区间是________.

4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，给出下列命题：

①－2是函数y=f(x)的极值点; ②1是函数y=f(x)的极值点;

③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(－2，2)上单调递增. 则正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)

5.已知函数f(x)=－x3+3x2+9x－2.

(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值.

答案：

1.C

2.D

3.(2，+∞)

4.①④

5. (Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，+∞).

(Ⅱ)函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为f(2)=20，最小值为f(－1)=－7.

高中数学：导数与函数的极值、最值练习

高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．

5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)

导数应用之极值与最值 学案

导数的应用学案 【教学目的】 1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间； ③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性； ⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题； ⑥导数与解析几何相综合的问题。 【教学过程】 一、准备知识 1.导数的意义 从代数上来说： 从几何上来说： 单调性与导数的关系(注意区间)： 2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。 二．新课教授 1.极值定义： 一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值。 2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值。 问：(1)极值点的导数一定是0吗？ (2)导数为零的点一定是极值点吗？ (3)极大值一定比极小值大吗？ 2.如何求极值和最值

高中数学 利用导数研究函数的极值和最值

专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '￠f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ?I f (x )￡f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ?I f (x )3f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,

第三十九讲：函数的极值最值与导数

第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

(完整版)导数与极值、最值练习题

三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A.

5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x)

第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值

课时规范练 A 组 基础对点练 1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e 解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A. 答案：A 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 即????? 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得????? a ＝－3，b ＝3，或????? a ＝4， b ＝－11. 而当????? a ＝－3， b ＝3 时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0， 故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C. 答案：C 3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x )

C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x 解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D. 答案：D 4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为() A．2 B．3 C．6 D．9 解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0?a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D. 答案：D 5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是() A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对 解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减． 所以x＝0为极大值点，也为最大值点． 所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5. 所以最小值是－37. 答案：A 6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()

《函数的最大(小)值与导数》教案

《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

2015-2017年高考文科数学试题汇编--导数与极值最值

1.【2016高考四川文科】已知函数3()12f x x x =-的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解， 但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点， 2.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π ∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的 （） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 当1k <时，s i n c o s s i n 22 k k x x x =，构造函数()sin 22 k f x x x = -，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增， 故()()022 f x f ππ <=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1 sin 22 x x <，构造 函数1()sin 22g x x x =-，则'()cos 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2x π ∈递增，故 ()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2 x π ∈， sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ． 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，

函数的极值和最值与导数

高二理科数学下学期训练四 函数的极值与最值 姓名学号分数 1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．非充分非必要条件 2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3) 3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是() 4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为() A．1，－3B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．(－1,2) B．(－3,6) C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是() A．12，－8 B．1，－8 C．12，－15 D．5，－16 7．函数y＝ln x x的最大值为() A．e－1B．e C．e2D．10 8．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 9．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 10．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的

导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值 【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题 ?考法1根据函数图象判断函数极值的情况 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D ?考法2求已知函数的极值 【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a) ＝(x－1)(e x－2a)， ∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ①当a＝e 2时，f′(x)＝(x－1)(e x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值． ②当0＜a＜e 2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 ③当a＞e 2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值

综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ； 当a ＝e 2 时，f (x )无极值； 当a ＞e 2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2. ?考法3 已知函数极值求参数的值或范围 【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e) B .? ? ???－∞，－e 2 C .? ? ???－∞，－12 D ．(－∞，－e) (1)－7 (2)D [方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． A ．2或6 B ．2 C .23 D ．6 (2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围 是( )

导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(√) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√) 2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有() A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x ＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

导数与函数的极值、最值练习含答案

第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当00；当x >1 a 时，f ′(x )<0.

∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.

数学导数极值与最值

导数极值与最值 1，则()3f '= ( ) 【答案】B 【解析】 试题分析： ()e f x =考点：函数求导数 f 2． 如果 32()(0)f x ax bx c a =++>()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ） A 5][,)6π π C 25)[,]36ππD ．2[0,][,)23 πππ 【答案】D 【解析】 试题分析： 32()(0)f x ax bx c a =++>的导数为'2()32f x ax bx =+，因为其图像 ，所以 '2()32f x ax bx =+图象开口向上，最小值为，任一点的切线的倾斜角α的取值范围是2][,)3 π π，选D 。 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线的倾斜角，二次函数的图象和性质，正切函 数的性质。 点评：小综合题，曲线在某点的导数，就是过该点的切线的斜率。 3．已知 ，则 = ( ) A. 3 B. 4 C.3.5 D. 4.5 【答案】C 【解析】 试题分析：如图，由定积分的几何意义，等于图中阴影部分的面积3.5，故 选C 。

考点：本题主要考查定积分的计算，定积分的几何意义。 点评：简单题，数形结合，利用定积分的几何意义。 4．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ） 【答案】C 【解析】 试题分析：由)(x f y '=的图象知：<0>2x x 或时，)(x f '>0；当0<<2x 时，)(x f '<0. 所以)(x f y =在()()-,02,+∞∞和内单调递增，在()0,2内单调递减，所以选C 。 考点：利用导数研究函数的单调性。 点评：此题我们可以根据函数的单调性判断函数的图像，做此题的关键是根据) (x f y '=的图像求出)(x f '>0和)(x f '<0的解集。考查了学生识图，用图的能力。属于中档题。 5．曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（ ） A. 1y x =-+ B.1y x =- C.y ex e =- D.y ex e =-+ 【答案】B. 【解析】

导数题型-极值最值型

题型三极值最值型 1.求函数的极值 必背结论一极大值极小值 ⑴在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值； ⑵在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值； ⑶极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 注：①极值是局部概念，只能反映在某一点附近的大小状况. ②在定义域或某区间上，极值可以不止一个，也可没有. ③极大值不一定大于极小值. ④极大值与极小值交替出现. ⑤极值只能出现在区间的内部，不会出现在区间端点。 必背结论二极值的判定 一般的，当函数y=f(x)在x0处连续时 ⑴如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)为函数的极小值； ⑵如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)为函数的极大值；注：①导数为0的点不一定是极值点，例如y＝x3在x＝0处的导数是0，但它并不是极值点. ②对于可导函数，极值点的导数必为0. ③函数导数不存在的点也可能是极值点. 例如y＝|x|在x＝0处取得极值，但导数不存在.

例1.函数f(x)＝ 3e x 3＋4x2 ，求f(x)的极值点. 例2.求f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)(a＞0)内的极值.

例3.f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求f(x)的极值.

例4.f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，讨论f(x)极值点的个数. 2.求函数的最值 必背结论三最大值，最小值 ⑴函数f(x)在区间[a，b]的最大值点x0是指：?x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，最大值在极大值点取得，或者在区间的端点取得.

导数极值与最值

导数极值与最值 1．若()3 x e f x x -=，则()3f '= ( ) A. 19 B.29 C.13 D.49 2． 如果 32 ()(0)f x ax bx c a =++>导函数图像的顶点坐标为(1,，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．25[,]36ππ B ．5[0,][,)26ππ π C ．25[0,)[,]236πππ D ．2[0,][,)23 πππ 3．已知 ，则 = ( ) A. 3 B. 4 C.3.5 D. 4.5 4．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ） 5．曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（ ） A. 1y x =-+ B.1y x =- C.y ex e =- D.y ex e =-+ 6．函数x x 6-y 3 =的极大值为（ ） A ．42 B. 32 C. -32 D. -42

7．曲线32y ax =-在点1x =-处切线的倾斜角为45?，那么a 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．1 3 D ．13 - 8．函数d cx bx ax x f +++=2 3 )(图象如图，则函数3 322c bx ax y ++=的单调递增区间为（ ） A 、]2,(--∞ B 、),3[+∞ C 、]3,2[- D 、),2 1[+∞ 9．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为234813 13 -+- =x x y ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 10． 函数()3 2 3922y x x x x =---<<有（ ） A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值 11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ） A ．e - B ．e C ．1 D ． 1- 12．设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=的图像可能为（ ） 13．()x f '是)(x f 的导函数，()x f '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是 A B C D 14．如图是导函数/ ()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( ) A B C D

导数与极值和最值1

导数极值与最值 1．（本小题满分12分）已知c bx ax x x f +++=2 3 )(，在1=x 与2-=x 时，都取得极值。 （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有2 1 1)(-> c x f 恒成立，求c 的取值范围。 【答案】（Ⅰ）a ＝3 2 ，b ＝－6. 0c <<或c >【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题设有b ax x x f ++=23)(2 '=0的两根为2,1-==x x ， a ＝ 3 2 ，b ＝－6. （6分） （Ⅱ）当[]2,3-∈x 时，由（1）得有{})1(),3(m in )(min f f x f -=，即c x f +-=2 7 )(m i n （8分） 所以由题意有min )(x f ＝－ 7 2 +c>1c -12 （10分） 解得 302c -<<或32c +> （12分） 考点：函数导数求极值，最值 点评：不等式恒成立转化为求函数最值 2．已知函数x a x x f 2 )(+=，x x x g ln )(+=，其中0>a 。 （1）若1=x 是函数)()()(x g x f x h +=的极值点，求实数a 的值。 （2）若对任意的1x ，[]e x ,12∈（e 为自然对数的底数）都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围。 【答案】（1）3= ∴a （2）a 的取值范围为?? ? ???+∞+,21e 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和最值的运用。

（1）x x a x x h ln 2)(2 ++= ，其定义域为（0，∞+） （1分） x x a x h 1 2)('22+-=∴ 1=x 是)(x h 的极值点0)1('=∴h 即032=-a 0>a 3= ∴a （2）对任意的1x ，[]e x ,12∈都有)()(21x g x f ≥成立?对任意1x ，[]e x ,12∈都有 [][]m a x m in )()(x g x f ≥，运用转化思想来求解最值即可 3．已知函数x b x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值． （I ）求a 与b 满足的关系式； （II ）若3>a ，求函数)(x f 的单调区间； （III ）若3>a ，函数3)(2 2 +=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2 m ∈，使得 12()()9f m g m -< 成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）a b -=1． （Ⅱ）单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． （Ⅲ）a 的取值范围是(3,4)a ∈． 【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定分类标准，利用函数的最值解决恒成立问题。 （Ⅰ）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，可得a 与b 满足的关系式； （Ⅱ）确定函数f （x ）的定义域，求导函数，确定分类标准，从而可得函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）当a ＞3时，确定f （x ）在1[,2]2上的最大值，g （x ）在1[,2]2 上的最小值，要使存在m 1，m 2∈[ 1 [,2]2 使得|f （m 1）-g （m 2）|＜9成立，只需要|f （x ）max -g （x ）min |＜9，即可求得a 的取值范围． 4．已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈． （1）求()f x 的单调区间； （2）设2 ()21g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，总存在[]20,1x ∈，使得 12()()f x g x <，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当0a <时，函数()f x 的单