一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
例计算
写成以下这种形式：
然后商和余数可以这样计算：
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷x = x2).
2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之
下 (x2· (x? 3) = x3? 3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个
正项），结果写在下面。((x3? 12x2) ? (x3? 3x2) = ?12x2+ 3x2 = ?9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (?123) 就是余数。
的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），
这种变换叫做除法变换，是从算数等式
.[1]得到的。
应用:多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个
n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。
相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。
使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。 寻找多项式的切线
R(x) 是 P(x)/(x-r)2
的余式——也即，除以 x 2
-2rx+r 2
——那么在 x=r §2 一元多项式及整除性
下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。
学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。
定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式
其中是数域中的数，是非负整数）
称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。
例如：
是多项式
不是多项式，因为不是非负整数。
定义5 如果数域上多项式
，同次项系数都相等，称与相等记为：
=
一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定
定义6 在（1）中如果，称为多项式的次数，
记为。
零多项式不定义次数。
P x )
1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- i a P n P )(x f k k x a k x x x f 521)(3
+=
123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g i
i x x =?10≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++= )()(x f x f ，或次?
下面给出多项式加法与乘法： 设
是数域是的多项式。规定
。
易验证多项式加法与乘法满足下列算律：
加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律 乘法结合律
乘法对加法的分配律 关于多项式次数，我们有
定理2 设，是数域上的两个多项式，则
(1) 当+时
+
(2) 当时
证明：略。
明显地利用定理5不难证明
推论：若 则
一个三位数 1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？
设十位数为x ，百位数（x+5），各位3x 。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.
第五讲 多项式
∑==n i i
i x a x f 1
)(∑==m
i i
i x b x g 1
)(P 0 0 ≠≠≤m n b a n m ∑=±=±n i i
i i x b a x g x f 1
)()()(k k k k n
m i i
i n m b a b a b a c x c x g x f b b 011011 )()( 0 ++==?===-+=+∑其中01)()()()(x f x g x g x f +=+02)]()([)()()]()([x h x g x f x h x g x f ++=++030405)(x f ,0)(≠x f P ,0)(≠x f 0)(≠x g )(x f 0)(≠x g )((x f ?)}(),(max{))(x g x f x g ??≤0)()(≠?x g x f ??)((x f )()())(x g x f x g ?+?=)()()()(x h x f x g x f =,0)(≠x f )()(x h x g =
1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)(本页)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)
如果多项式既是的因式, 又是的因式, 那么称为
与的公因式.
定义 3
设. 如果上多项式满足以下条件:
(1) 是与的公因式;
(2) 与的任何公因式都是的因式,
则称是与的一个最大公因式.
引理
如果有等式
成立, 那么, 和, 有相同的公因式.
由于在上述引理中, 我们可得到次数比的次数小的. 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式,
的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.
1 2 4 1 3 3 7 ＋＋＋＋ ＋＋多項式的除法原理(綜合除法) 1.多項式的除法定理： 設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r ＝?＋成立，其中r(x)0＝或r(x) 222 ax (b ae) x- e ax bx c ax aex (b ae)x c (b ae)x-e(b ae) c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )] ＋＋＝－＋＋ 綜合除法表示： ＋e 餘式 思考1： 為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。 思考2： 設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？ (2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。 2 a b c ae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋ 如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再 [1] 試求以x – 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. 答案： 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1 所得的商式為x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 餘式為0 [2] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. [3] 試求以x – 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. [4] 試求以x + 1 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. 答案： 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 – 1 所得的商式為x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 餘式為0 [5] 試求以x + 2 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. [6] 試求以x +3 除x 6 – 1 所得的商式及餘式. [7] 試利用綜合除法求)4()4312732982(234567-÷+-++-+-x x x x x x x x 的商式與餘式。 答案： 2 + 0 + 1 - 5 - 18 + 1 – 8 + 11 商式為818522346-+--+x x x x x ，餘式為11。 [8] 利用綜合除法求x x x x x f +-+=2342)(除以下列各式所得的商式與餘式：23 ,2+-x x 。 答案：(1))(x f 除以 x – 2 1 + 2 – 1 + 1 + 0 故商式為157423+++x x x ，餘式為30。 (2))(x f 除以23+x 1 + 2 – 1 + 1 + 2 -8 - +34 - 31 +942717-+81 61 故商式為81612717943123+-+x x x ，餘式為81122 -。 [9] 設1)(3 -=x x f ，22)(-=x x g ，試求利用綜合除法求 (1))()(x g x f ÷之商=＿＿＿＿ (2))()(x g x f ÷餘式為____ (3)____)2 1(=f [10] 設1)(3+=x x f ，12)(-=x x g ，試求利用綜合除法求)()(x g x f ÷之商=_____，餘式為_____，____)2 1(=f [11]設62451007073125)(234-+++=x x x x x f ，則)3(f ＝＿＿＿＿ 因式分解 精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。 下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？ （1）()()1122+-+=+-y x y x y x ； （2）()()2122 --=+-x x x x ； （3）232236xy xy y x ?=； （4）()()()() 221a y x a x y y x --=-+-； （5） .96962 ?? ? ??++=++x x xy y xy y x 1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++() 2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()， 完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±() () 2222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ 3. 十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()() ()()()22a p q ab p qb a pb a qb +++?=++ 4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。 课后习题 一、选择题 1.如果多项式mx+A 可分解为m(x-y)，则A 等于 . （A ）m (B)my (C)-y (D)-my 2.如果x(y-1)-y+1=0，则 . （A ）x=1 (B)y=1 (C)x=1或y=1 （D ）x=1且y=1 3.分解因式结果为（x n -y m ）2的多项式是 . （A ）x 2n -y 2m (B)x n -2x n y m +y m （C ）x 2n -2x n y m +y 2m (D)x 2n -2x n y m -y 2m 4.分解因式x 2+kx+ab=(x-a)(x-b)，则k 的值是 . （A ）a+b (B)-a- (C)-a+b (D)a-b 5.若4a 4-(b-c)2=M ·(2a 2-b+c)，则M 等于 . （A ）2a 2-b+c (B) 2a 2-b-c (C)2a 2+b-c (D)2a 2+b+c 6.多项式27（ab ）m+n -9a 2m b 2n -3(ab)2n (其中m ，n 为正整数，且m>n)的公因式是 . （A ）3(ab)n (B)-3(ab)m (C)-3(ab)m+n (D)3(ab)2n 浅谈多项式的整除问题 摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法 关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法 Discusses the multinomial shallowly the aliquot question Abstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method 本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论[1]；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法. 1.利用单位根及因式定理 此方法的关键是熟练掌握因式定理[2]和单位根的性质. 例1 证明2331 32 1m n p x x x x x ++++|++（m , n , p 是三个任意的正整数）. 证明 可求得2 10x x ++=的根为1132i -+ ω= ，2 132 i -- ω= ，所以 2 121()()x x x x ++=-ω-ω 又因32 1(1)(1)0i i i i ω-=ω-ω+ω+= (1,2)i =，知31i ω=,从而333m n p i i i ω=ω=ω 设 331 32 ()m n p f x x x x ++=++则有 331 32 2 ()10,(1,2)m n p i i i i i i f i ++ω=ω+ω+ω=+ω+ω== 故由因式定理知12()()()x x f x -ω-ω|，即21() x x f x ++|. 2.利用熟知的乘法公式 此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如： (1)(2) 1()1 (1)(1)n m s m m s m s m x x x x x x ---=-=- + +++ [3] 等）理解公式包涵的 整除意义，再去解题. 例2 证明1d x -整除1n x -当且仅当d 整除n . 证明 充分性 设d n |，假定n dt =，则有 (1) (2) 1()1(1)(1)n d t d d t d t d x x x x x x ---=-=-++++ 从而有11d n x x -|- 必要性 已知11d n x x -|-，假定n dt r =+，0r d ≤<，则 111(1)(1)n dt r dt r r r dt r r x x x x x x x x x +-=-=?-+-=-+- 余式定理 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 因式定理 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的， 可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式 为对称多项式直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系 数即可 3意义 多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 例计算 写成以下这种形式： 然后商和余数可以这样计算： 1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线 之上(x3÷x = x2). 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下(x2·(x?3) = x3?3x2). 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写 在下面。((x3?12x2) ?(x3?3x2) = ?12x2 + 3x2 = ?9x2)然后，将分子的下一项“拿 下来”。 4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项 5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (?123) 就是余数。 算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。除法变换 使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数）， 这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1]得到的。 应用:多项式的因式分解 有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x 2-(r+s)x+rs 。 使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。 寻找多项式的切线 §2 一元多项式及整除性 下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。 学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。 定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式 其中 是数域中的数，是非负整数） 称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。 例如： 是多项式 不是多项式，因为不是非负整数。 定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等 记为： = 一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定 定义6 在（1）中如果 ，称为多项式的次数，记 P x ) 1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- i a P n P )(x f k k x a k x x x f 521 )(3+=123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g i i x x =?10 ≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++= 4.3 多项式的整除性 教学内容：4.3多项式的整除性 教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。理解和掌握带余除法。 授课时数：2学时 教学重点：多项式整除的概念及基本性质 教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明） 教学过程： 在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。 一、多项式整除的概念及性质 1. 定义 定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是) (x f 的倍式。如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x . 由定义1知：1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地，0|0. 2?)(|,x f c F c ∈?. 3?,c d F ?∈,0≠c ，有d c |.如2|0。 4?高次多项式不能整除低次多项式。 课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？ 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？ 2. 整除的基本性质 我们可以将整数的整除性质平移过来 1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ; 2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±; 3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ； 4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ?∈= 则 | )(x h ∑=n i i i x f x c 1 )()(； (整除倍式和) 5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈; 6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =. 二.带余除法 ⒈ 实例（中学中的多项式除多项式） 例2 3 2 2 ()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。 由中学的知识，得121()()(),()()()()1f x f x g x x r x f x f x g x =-?==-?， ()()()()1()(1)()f x g x x r x g x g x x r x =++=++。故()1,()5q x x r x x =+=-+， (())(())r x g x ?? 4.多项式的综合除法 多项式的除法定理： 设)(),(x g x f 是两个多项式，且0)(≠x g ，则恰有两个多项式)(),(x r x q 使得 )()()()(x r x q x g x f +=成立，其中0)(=x r 或者deg )(x r deg )(x g 。 （1），称为余式。称为商式，称为除式，称为被除式，)()()()(x r x q x g x f (2),被除式=除式×商式+余式。 （3），简式：A=BQ+R 综合除法中定义)()(a x x g -为一次多项式，a 为为任意数。 一、用综合除法写出)(x f 按降幂排列的系数，设 01111)(c x c x c x c x f n n n n =+++=-- 则有：)))) ))((((((())) ))(((((()); ))((((()()(143211432143012121101221 n n n n n n n n n n n n n n n n n n ac c a a c a c a c a c a e ac c a a c a c a c a d ac c a a c a c a b e c d c b c ac c a c ac c c e d b ac c a ac c c c c c c a ++++=++++=+++=+++++++-+-------- 则 e c x r x d c x b c x ac c a c x ac c x q n n n n n n n +=++++++++=-----012221211)(,)()())(()()( 注意：缺项的系数为0。 多项式除以多项式 教学目标： 1．会用竖式（长除法）计算多项式除以多项式； 2．对于余式为零的多项式的除法，会根据：被除式=除式商式，进行验算。 3．能根据被除式与除式的次数确定商的次数。 4．对于余式不为零的多项式的除法，会根据被除式=除式商式+余式，已知其中三个，求另一个。 教学重点：用竖式（长除法）计算多项式除以多项式。 教学难点：对于余式为零的多项式的除法，确定被除式中的字母。 教学过程： 一、引入 计算： 多位数除以多位数我们可以用竖式进行计算，同样我们也可以用竖式进行多项式除以多项式的计算。 二、新课 （一）教师通过举例介绍多项式除以多项式竖式计算的步骤及验算的方法。 例1 计算 我们在进行多项式的加减法、乘法时首先要做什么工作？将多项式按某个字母进行降幂排列。 解： 学生阅读书本p186多项式除以多项式竖式计算的步骤。 提问：我们可以通过什么办法验算刚才计算的正确性呢？ 根据被除式=除式商式，我们可以验算上面的例子。 所得的积与原被除式相同，所以上面的除法计算是正确的。 （二）例题巩固，运用新知 例２用竖式计算并进行验算： （１） （２） 说明：把被除式、除式都按某一字母降幂排列，当被除式有缺项时要留出空位。解：（１） ∴ （２） 验算略∴ 提问：上面的例子中，被除式是几次多项式，除式是几次多项式，商是几次多项式？ 商的次数与被除式、除式的次数有何关系？ 例３计算 （１）（２） 说明：在某些多项式的除法里，有时可以利用乘法公式，直接写出除法运算的结果。 在多位数除以多位数中会出现有余数的情况，同样在多项式除以多项式中也会出现这种情况。多位数除法中余数小于除数，那么在多项式除法中，余数有什么要求呢？ 例４计算 ∴得商式，余式。 余式的次数小于除式的次数。 写出被除式、除式、商式、余数之间的关系式。 被除式=除式商式+余式 ②利用竖式进行多项式除法 例1．计算 解：将被除式与除式均按x降幂排列 ∴原式=。 例2．计算 解：先将被除式与除式均按x的降幂（y的升幂）排列原式= ∴原式=5x+y. 小结：利用竖式进行多项式除法的步骤 （1）被除式和除式都要按同一字母降幂排列 （2）若被除式或除式中缺项，要补零（或留有空位） （3）余式的次数应低于除式的次数。 例3．已知关于x的多项式A被除所得的商式为2x－3，余式为7。求这个多项式A。 解：根据带余除法的关系式， 2-3 多項式除法 一、基礎篇 （）1.2x2＋5x－7除以x＋3的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？ （A）－9 （B）－5 （C）－3 （D）7 ）3.(2x2＋5x－1)÷(x＋2)的商式為A，餘式為B，則下列敘述何者正確？ ）7.x2＋x－2除以x-1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？ ）8.3x2＋2x－1除以x-2的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？ 9.x2＋3x+1除以x＋1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋ ＋c ＝？ 11.(x 2＋3x －2)÷(x-1)的商式為A ，餘式為B ， 12.(2x 2-4x+1)÷(x ＋1)的商式為A ，餘式為B ， ）13.(2x 2-6x+4)÷(2x-2)的商式為A ，餘式為B ， ）14.(x 2＋x ＋1)÷(x-1)的商式為A ，餘式為B ， 25.(x 2+3x+1)÷(x-2) 3-1-3多項式的除法 一、單一選擇題（計五十題）： 1. （ ）若（x 2－1）2－（x ＋2）2x 2 ＋x ＋1 ＝x 2＋ax ＋b ，則 a ＋b ＝？ (Ａ)－4 (Ｂ)－3 (Ｃ)－2 (Ｄ)－1。 2. （ ）已知 6x 2－7x ＋m 可以被 2x －3 整除，則 m ＝？ (Ａ)－3 (Ｂ) 3 (Ｃ)－1 (Ｄ) 1。 3. （ ）下列哪一選項不能整除 2x 2＋4x －6？ (Ａ) 3x －3 (Ｂ) x ＋3 (Ｃ) x －1 (Ｄ) x ＋1。 4. （ ）下列何者可以被 x 整除？ (Ａ) 4x 2＋4x ＋5 (Ｂ) 3x ＋6 (Ｃ) x 2＋24 (Ｄ) x 2＋1。 5. （ ）已知一個矩形的面積是 12x 2－6x ，若矩形的長為 3x ，則矩形的寬為多少？ (Ａ) 4x ＋ 2 (Ｂ) 4x －2 (Ｃ) 4x ＋ 3 (Ｄ) 4x －3。 6. （ ）已知多項式 B 除以 x －1 得商式為 x ＋5，餘式為 8，如果改將多項式 B 除以 x ＋1，則 餘式＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 7. （ ）假設 2x 4－x 3＋mx 2＋x ＋n 可被 2x 2＋x ＋1 整除，則 2m ＋n ＝？ (Ａ)－8 (Ｂ)－10 (Ｃ) 10 (Ｄ) 8。 8. （ ）若7x 6x 5x 2－＋－＝x ＋2＋7 x R －，其中 R 為一常數，則 R ＝？ (Ａ) 20 (Ｂ) 18 (Ｃ)－12 (Ｄ)－10。 9. （ ）試求（4x 2－3x ＋4）÷（2x －1）的商式為下列何者？ (Ａ) 2x ＋ 25(Ｂ) 2x ＋2 1 (Ｃ) 2x － 25(Ｄ) 2x －2 1 。 10. （ ）章老師做一個多項式除法的示範後，擦掉計算過程中的六個係數，並以 a 、b 、c 、d 、 e 、 f 表示，求 a ＋b ＋d ＋e ＝？ (Ａ) 18 (Ｂ) 26 (Ｃ) 38 (Ｄ) 44。 多项式除以多项式一般用竖式进行演算 （1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项． （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 多项式除法示例 余式 2例[编辑]编辑 计算 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式： 然后商和余数可以这样计算： . 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3÷ x = x2). . . 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x?3) = x3?3x2). . . 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x3?12x2)?(x3?3x2) = ?12x2+3x2 = ?9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。 . . 把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式） . . 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。 . 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (?123) 就是余数。 算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。 3整除编辑 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除 4应用编辑 多项式的因式分解 有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Rational root theorem（英语：）得到的。如果一个 次多项式 的一个根 多项式带余除法 1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足 ()()()()f x q x g x r x =+ 其中(())(())r x g x ? 模约减：在乘法和平方算法中需要模约减以使结果的次数低于m，模约减运算由多项式长除法完成。设c(x)为一个次数i(i<=2m-2)的多项式，设f(x)为m次不可约多项式。我们可以通过消除最高项x^i来降低c(x)的次数。 c(x)=c(x)+f(x)*x^(i-m) 这个过程一直持续到c(x)的次数低于m。 如果不可约多项式想普通多项式一样存储在内存中，即由它的系数组成二进制比特串来表示，上述公式可以通过将f(x)左移(i-m)位然后加到c(x)来实现，次数大于等于m的项都需要进行多项式移位。如果内存空间不是问题，那么可以通过预计算f(x)*x^j(j=0,1...w-1)来提高运算速度,w表示二进制比特串的位数。 这种方法被用在下图所示的算法.图中，步骤1执行预运算，如果多个约减计算的f(x)相同，则步骤1可只计算一次。在步骤2中，对c(x)从高到低逐位扫描，如果该项为1，则将f(x)加到c(x)上来消除该项。由于步骤1的预运算，步骤2.1中不需要对f(x)进行移位操作。 过程分析：令c(x)=110011101,f(x)=100101 ,m=5，此处w=1， i=8：c[8]=1,j=8-5 =3 c(x)=110011101+f(x)*x^3=110011101+100101000=010110101 i=7：c[7]=1,j=7-5 =2 c(x)=010110101+f(x)*x^2=010110101+010010100=000100001 i=6：c[6]=0,c(x)= 000100001 i=5：c[5]=1,c(x)=000100001+100101=000000100 注：本算法的原理如下图所示 这里r(x)=00101，算法中使用f(x)参与计算个人理解应该是为了达到直接消除最高次项的目的，否则要在最后对c(x)和000011111进行按位相与处理，算法的本质是对c(x)进行按位求模运算。下面的算法与此相同。 因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： ) 2 4 3 )( ( ] 2 ) ( 2 ) )[( ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 3 b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a + + - - = + - + - - = - + - + - = 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 1368 987 521 1368 987 456 1368 987 268 1368 987 123? + ? + ? + ? 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式) 521 456 268 123 ( 1368 987 + + + ? = 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组，求代数式的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。 解： 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式） 又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得 到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式 直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可 3意义 熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式， 这样就可以较便利的分解因式了。 同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解，也可以用来判断能否进行因式分解。 4多项式的因式分解 因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。 若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：先设法找出多项式的一个零点。 利用因式定理确认是多项式的因式。 利用长除法计算多项式。 中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。 另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式[1] 推论：（一）若多项式各项系数为0，则一定有（x-1）因式 （二）若多项式奇，偶次项系数和相等，则一定有（X+1）项 更多内容参考《竞赛自招（一）》8页 关于多项式除以多项式 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下： ∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2． 由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项 6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式． 整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)． 解： 所以商式为2x＋1，余式为2x＋8． 与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系： 9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)． 这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项． 当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下： 于是得到 商式=2x＋1，余式=2x＋8． 对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下： 所以， (2x3－5x－4)(3x2－7x＋8) =6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32． 如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题． 1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)． 2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)． 3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)． 4．(x＋y)(x2－xy＋y2)． 多项式除以单项式 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 多项式除以单项式教学建议 知识结构 重点、难点分析 重点是多项式除以单项式的法则及其应用。多项式除以单项式，其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式，结果仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。因此多项式除以单项式的运算关键是将它转化为单项式除法的运算，再准确应用相关的运算法则。 难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算。由于，故多项式除以单项式的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。 教法建议 （1）多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算，因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行巩固。 （2）多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，不要漏项。 （3）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只要抓住这关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算。 （4）符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。 教学设计示例 教学目标： 1．理解和掌握多项式除以单项式的运算法则。 2．运用多项式除以单项式的法则，熟练、准确地进行计算． 3．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力．训练学生的综合解题能力和计算能力． 4．培养学生耐心细致、严谨的思维品质． 重点、难点： 1．多项式除以单项式的法则及其应用． 2．理解法则导出的根据。 课时安排： 一课时． 多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤： 多项式除以多项式一般用竖式进行演算 （1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项 用零补齐． （2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项． （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项 结合起来． （ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式 如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除 多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例 1 计算( x29x 20) ( x 4) 规范解法 ∴( x 29x20)(x 4)x 5. 解法步骤说明： （1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面． （4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法如何进行多项式除以多项式的运算
多项式的综合除法
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余式定理 因式定理
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多项式的综合除法
多项式除以多项式
多项式除法
多项式除以多项式
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二进制域多项式基表示的模约减运算算法(多项式求余算法)
精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
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