2009-2010学年第一学期《线性代数》考试试卷--1
同济大学课程考核试卷 2009 — 2010学年第一学期
命题教师签名： 审核教师签名：
课号： 课名：线性代数 考试考查：
此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷
年级 专业
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空题（每空3分，共24分）
1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=,
()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 。 2. 设分块矩阵A O C O B ??
= ???
, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为 4 。
(A). 若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B). 若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C). 若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D). 若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化.
3、设23413
451
45617891
D =
，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 。 4、设向量组(I):12,,,r ααα 可由向量组(II):12,,,s βββ 线性表示，则 D 成立。(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关
5、已知方阵A 满足2
23A A O +=, 则()
1
A E -+=2A E +。
6、当矩阵A 满足下面条件中的 A, B, C 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立。（注：此题可多选）
(A).A 可逆 (B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠ 7、设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2-为A 的特征值，B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2, 6 。
8、设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 。 二、（10分）已知矩阵200011031A ?? ?= ? ???，100052021B ?? ?= ? ???, 112101030C ?? ?
=- ? ???
.
矩阵P ，X 满足PA B =,PX C =. 求矩阵X .
解：1
P BA -=，11
X P C AB C --==,
1
100012025B -??
?=- ? ?-??
, 224191131P ?? ?=- ? ?--??
三、（10分）设线性方程组12312312
3304235
x x x x x ax b x x x --=??
--=??-+=? ， 问当参数,a b 取何值时，
(1). 此方程组无解?
(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?
解：设A 为该方程组的系数矩阵，B 为此方程组增广矩阵。
131********
014011011121350555002-1321323132215
B a b a b a b r r r r r r r
r r
?------?????? ? ? ?
=--??????→--?????→ ? ? ? ? ? ?-+??????
+--
由此可知：
(1). 当2,1a b =≠时，()2,()3,()()R A R B R A R B ==≠，此方程组无解。 (2). 当2,a ≠时，()3R A ==未知量个数， 此方程组有唯一解。 (3). 当2,1a b ==时，()()23R A R B ==<，此方程组有无穷多解。
四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量0b ≠，()2R A =。若1234,,,p p p p 都是非齐次方程组Ax b =的解向量，且满足
1223342322
1
,
,
010421p p p p p p ??
???? ? ? ? ? ? ?+=+=+= ? ? ? ? ? ???????
(1).(6分) 求齐次方程组0Ax =的一个基础解系。
(2).(4分) 求Ax b =的通解。 解：
(1). 1234,,,p p p p 都是非齐次方程组Ax b =的解向量知
113122323120,02()()11422p p p p p p ξ-??????
? ? ? ? ? ?-= ? ? ?- ? ? ??????+-?=-=+= 22423341
()()132********p p p p p p ξ?????? ? ? ? ?- ? ?-=-=+-= ? ? ? ? ? ???????
+=
为0Ax =的两个线性无关的解向量，由A 为4阶矩阵，()2R A =知12,ξξ构成0Ax =的基础解系。
(2). 由()121211()22A p p Ap Ap b +=+=知12111
()02
2p p η??
=+? ? ? ???
=为该非齐次方程的一个解， 从而
Ax b =的通解为1122x k k ξξη=++，其中12,k k 为任意常数。
五、（16分）将二次型222123123121323(,,)46448f x x x x x x x x x x x x =+++++ 用正交变换化为标准型。
解：此二次型的对称阵为 122244246A ?? ?
= ? ???
由(10)(1)A E λλλ
λ-=---
解得A 的三个特征值为1，0
， 10
解方程组()0A E x -=求得1λ=的一个特征向量为()12,4,5T
ξ=，单位化得1
T
p =??
解方程组0Ax =求得0λ=的一个特征向量为()22,1,0T
ξ=-，单位化得255T
p ??=- ? ???
解方程组()100A E x -=求得10λ=的一个特征向量为()31,2,2T
ξ=-
，单位化得31
22,,33
3T
p ??
=- ???
取正交变换x Py =， 其中()123245,,6
30P p p p ?
?
==-?-，把此二次型化成标准型 2213
10f y y =+
六、（14分）设V 为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间。定义V 上的变换T 如下：对任意X V ∈，()T T X AX X A =-，其中1221A ??= ?
-??
，T X 表示X 的转置矩阵． (1). (6分)证明T 是V 上的一个线性变换； (2). (8分) 求T 在V 的基1112212210010000,,,00001001E E E E ????????
==== ? ? ? ?????????
下的矩阵。 解：
(1). 对任意V 中的两个矩阵,B C ， 任意实数k 有：
()()()()()()()()
()()()()
T T T T T T T T T T B C A B C B C A AB AC B C A AB AC B A C A
AB B A AC C A T B T C T kB A kB kB A kAB kB A kT B +=+-+=+-+=+--=-+-=+=-=-=
故T 是V 上的一个线性变换。
(2).11122102()2220T E E E -??==--
?-??， 1212212201()414T E E E E ??
==-- ?--??
2111122141()410T E E E E -??==-+ ???， 22122102()2220T E E E ??
==+ ???
从而T 在这组基下的矩阵为004
0211
22112040
0??
?--
? ?--
?-??
。
七、(1). (8分)已知向量组12,,,n a a a 线性无关,向量组12,,,n b b b 满足：112
223111
n n n
n n b a a b a a b a a
b a a --=+??=+??
??=+?=+?? ，
分别讨论当4n =和5n =时，向量组12,,,n b b b 是否线性相关？
(2). (8分)设12,λλ为方阵A 的两个不同的特征值， 12,αα为A 相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 相应于2λ的两个线性无关的特征向量，证明向量组1234,,,αααα线性无关。
（1）解：由12,,,n b b b 由12,,,n a a a 的线性表出关系式可知B AK =，其中
()1
2
3n A a a a a = ，()12
3n B b b b b = ， 1
0011
1000
11000100001K ??
?
? ?= ?
? ???
，
设123n x x x x x ?? ? ?
?= ? ? ???
，则由12,,,n a a a 线性无关知0Bx AKx ==当且仅当0Kx =。
从而当1
1(1)0n K +=+-=时，即n 为偶数时，0Kx =有非零解， 12,,,n b b b 的线性相关。
当1
1(1)
0n K +=+-≠时，即n 为奇数时，0Kx =只有零解， 12,,,n b b b 的线性无关。
所以当4n =时, 12,,,n b b b 的线性相关。当5n =时, 12,,,n b b b 的线性无关。 （2）. 证:设1234,,,k k k k 使得112233440k k k k αααα+++=, 再设11223344,
k k k k αααβαα=+=+.
由12,αα为A 相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 相应于2λ的两个线性无关的特征向量可知
112233441112123234241200()0A A k k k k k k k k ααααλαλαλαλαλαλβ==+++=+++=+=,从而
112λαλβλβ=-=-, 由12,λλ为方阵A 的两个不同的特征值可得0β=, 由0αβ+=有0β=. 由12
,αα线性无关, 34,αα线性无关可知1234,,,k k k k 均为0, 所以向量组1234,,,αααα线性无关。
工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
《线性代数》课程教学大纲 英文名称：Linear algebra 课程编码：0 总学时：40 学分：2.5 适用对象：本科各理工科专业 先修课程：高等数学 大纲主撰人：万冰蓉大纲审核人： 一、课程性质、目的和任务 1、本课程是本科各理工科专业的一门学科基础课。线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛适用于各个学科。 2、目的是使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养逻辑推理能力，抽象思维能力，计算能力和解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础。 二、教学内容及要求 本课程内容按教学要求的不同分两个层次；对较高要求的必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用的概念理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述；对教学中必不可少的，但在要求上低于前者的概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 第1章：行列式 授课学时：6 基本要求： 1-1掌握二阶与三阶行列式的定义。 1-2了解全排列与逆序数。 1-3了解n阶行列式的概念。 1-4掌握行列式的性质，并会应用行列式的性质计算行列式。 1-5会用行列式按行（列）展开定理计算行列式。 1-6会用克莱姆（Cramer）法则。 重点：利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。
难点：n阶行列式的概念，利用行列式的性质及行列式按行（列）展开定理计算行列式。 作业：课本32页，3，4（4），5（2）、（4）、（5），6，7（3）、（4）、（6），8（1），9 第2章：矩阵及其运算 授课学时：6 基本要求： 2-1理解矩阵概念，了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵及其性质； 2-2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的行列式及其运算规律。 2-3理解逆矩阵的概念、逆矩阵存在的条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 2-4了解分块矩阵及其运算。 重点：矩阵的乘法、逆矩阵的定义及伴随矩阵算法。 难点：矩阵的乘法，分块矩阵的乘法。 作业：课本66页，2，3，5，6，8，9，10，11（4）、（6），12（3），13（2），16，18，19，20 第3章：矩阵的初等变换与线性方程组 授课学时：6 基本要求： 3-1掌握矩阵的初等变换，会用矩阵的初等行变换解线性方程组，了解初等矩阵的性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。 3-2理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，了解矩阵的秩的性质。 3-3理解齐次线性方程有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程有解的充分必分条件。 重点：求线性方程组通解的方法，矩阵的秩的概念和求逆矩阵的初等变换方法，线性方程组的相容性定理。 难点：矩阵的秩的概念，初等矩阵与矩阵的初等变换的关系，线性方程组的相容性定理。作业：课本92页，2，3，4，5（1），6（1），7（1）、（3），8，10，11（1），12（2） 第4章：向量的线性相关性 授课学时：8 基本要求： 4-1理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示，会用矩阵的秩判断向量的线性表示关系。 4-2理解向量组线性相关、线性无关的定义，会用矩阵的秩判别向量组的线性相关性，了解
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷 2009年6月22日 1、 设?? ??? ?? ?? ???-=* 8030010000100001A ,则A ＝ 、 2、 A 为n 阶方阵,T AA =E 且=+ 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分) 1、设D n为n阶行列式,则D n＝0的必要条件就是[ ]、 (A) D n中有两行元素对应成比例; (B) D n中各行元素之与为零; (C) D n中有一行元素全为零; (D)以D n为系数行列式的齐次线性方程组有非零解. 2.若向量组α,β,γ线性无关,α,β,σ线性相关,则[ ]、 (A)α必可由β,γ,σ线性表示; (B) β必可由α,γ,σ线性表示; (C)σ必可由β,γ,α线性表示; (D)γ必可由β,α,σ线性表示、 ３.设3阶方阵A有特征值0,－1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P＝(P1,P2,P3),则P－1AP＝[ ]、 (A) 100 010 000 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (B) 000 010 001 ?? ?? - ?? ?? ?? ; (C) 000 010 001 ?? ?? ?? ?? ?? － ; (D) 100 000 001 ?? ?? ?? ?? ?? － . ４.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的就是[ ]、 (A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1、 ５.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩Ｒ(A) =[ ]、 (A) 1; (B)2; (C)3; (D) 4. ６.实二次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件就是[ ]、 (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n、 三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-***** 线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（） A卷 2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案 （32学时必修） 专业班级 姓名 学号 开课系室应用数学系 考试日期 2016年1月15日 注意事项： 1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共7页。 说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵； )(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵. 一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若 6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】. 2.设1 3 5 2 4 1312010131 1--= D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子 式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】. 3．设102020103B ?? ? = ? ?-?? ，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】. 5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，??? ? ? ??-=m m 11β是线 性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】. 6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式 =+-|2|1E B 【 -8 】. 二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1. 设A 为3阶矩阵，且2 1||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】. (A) 2-； (B) 2 1 -； (C) 1-； (D) 2. 2. 矩阵110120001?? ? ? ??? 的逆矩阵为【 A 】． (A) 210110001-?? ?- ? ???； (B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-?? ? - ? ? ??； 110110001?? ? ? ??? . 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 江西财经大学 11－12第一学期期末考试试卷 试卷代码：12063A 考试时间 110分钟 授课课时：48 课程名称：Linear Algebra （主干课程） 适用对象：2010级国际学院 1. Filling in t he Blanks (3’×6=18’) (1) If ????????????=30 00320023404321A , then det (adj(A ))= . (2) If ????????????-=212 313 1211 1143 21A , then =+++44434241A A A A . (3)If ??????????--=1110161011A , and ???? ??????-=150401821B , then =T AB . (4) Let A be (4×4) matrix, and -1,2,3,6 are the eigenvalues of A . Then the eigenvalues of A -1 are . (5) Let ???? ??????-=??????????-=222,104βα. Then the tripe products )(βαα??= . (6) If ???? ??????--=11334221t A and B is a nonzero matrix, AB =0, then t = . 2. There are four choices in each question, but only one is correct. You should choose the correct one into the blank. (3’×6=18’) (1) Let A and B are (3×3) invertible matrices, then ( ) is not always correct. (A) T T T A B AB =)( (B) 111)(---=A B AB (C) T T A A )()(11--= (D) 222)(A B AB = (2) Let A and B be (n ×n ) matrices, then ( ) (A) AB =0?A =0 or B =0 (B) AB ≠0?A ≠0 and B ≠0 (C) AB =0?|A|=0 or |B|=0 (D) AB ≠0?|A|≠0 and |B|≠0 1。 二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中： 是1，2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5。 下三角行列式： 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6。 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。 （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 :两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a 一 单项选择题（每题3分，共18分） 1． 设33)(?=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式， 则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a. 6 21； b. 611； c. 311 ； d. 6。 2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =???? ? ??=????? ??=若，， 3332 31 2322 21131211 001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。 3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关； c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。 4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. * *B A ； d. **B k A k 21＋。 5．已知矩阵???? ? ??=222222a a a A ，伴随矩阵0≠* A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ） a. 2=a ； b. 2=a 或4=a ； c. 4=a ； d. 2≠a 且4≠a 。 6．设βα， 是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ） 线性代数考试题及答案 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷A 一、选择题：（共20分，每小题2分） (一)、设A 为3阶方阵，且行列式0A a =≠，则2A *=（ ） A ．2 a B ．1 a - C ．82 a D ．3 a （二）、已知,A B 均为n 阶矩阵，且0,0A AB ≠=，下列结论必然成立的是（ ） A. 0B = B. ()2 22A B A B +=+ C. ()2 22A B A BA B -=-+ D. ()()22A B A B A B -+=- （三）、A 为m n ?矩阵，n m A r <=)(，下列结论正确的是（ ） A.齐次线性方程组0=Ax 只有零解 B. 非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解 C. A 中任一个m 阶子式均不等于零 D. A 中任意m 个列向量必线性无关。 （四）、设4阶方阵A 的行列式A ＝0，则A 中（ ） A ．必有一列元素为零 B ．必有一列向量是其余向量的线性组合 C ．必有两列元素对应成比例 D ．任一列向量是其余列向量的线性组合 （五）、已知,A B 都是可逆的对称矩阵，则不一定对称的矩阵是 （ ） A .1()A B - B .AB BA + C . A B + D . 11A B --+ （六）、若向量组γβα,,线性无关；δβα,,线性相关，则（ ） A. α必可由δγβ,,线性表示 B.β必不可由线性表示δγα,, C. δ必可由γβα,,线性表示 D. δ必不可由γβα,,线性表示 （七）、设123,,ααα都是非齐次线性方程组b Ax =的解向量,若123k ααα+-是导出 组0=Ax 的解， 则k =( ) 《线性代数》的主要知识点 第一部分 行列式 概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列）行）ττ+-()1( 2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则 2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积 注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置 满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下： （1）如果 1-Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ? （2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零 Linear Algebra Final Exam (C) 2003-2004 1. Filling in the blanks (3’×6=18’) (1) Let be (4×4) matrices, and det(A)=4, det(B)=1, then det(A+B)= . (2) Let A=, then the eigenvalues of A are . (3) Let be a linearly dependent set of vectors, where . Then the number k is . (4) Let A and B be (n×n) matrices, and A2=A, B2=B, A+B=I, then AB+BA= . (5) Let A and B be (3×3) matrices, and AB=2A+B, where ,then (A-I)-1= . (6) Let . Then the scalar triple product = . 2. Determining the following statement whether it is true(T) or false(F) (2’×6=12’) (1) If A and B are symmetric (n×n) matrices, then AB is also symmetric. ( ) (2) A consistent (3×2) linear system of equations can never have a unique solution. ( ) (3) If u·v =0, then either u =0 or v =0 . ( ) (4) If x is an eigenvector for A, where A is nonsingular, then x is also an eigenvector for A-1. ( ) (5) If A, B, and C are (n×n) matrices such that AB=AC and det(A)≠0, then B=C. ( ) (6) If A is an (n×n) matrix such that det(A)=1, then Adj[Adj(A)]=A. ( ) 3. (15’) Calculate the determinant of the matrix . 4. (15’) Consider the system of equations , determine conditions on k that are necessary and sufficient for the system to be has only solution, infinite solutions, and no solution, and express the solutions by vectors. 《线性代数》试卷 共8页 第1页 《线 性代数》试卷 共8页 第2页 安徽师范大学2013－2014学年第一学期 化材学院专业基础课2013级《线性代数》课程期 末考试试卷 (A 卷 闭卷 120分钟) 1. 设A , B , C 都是n 阶方阵，且ABC =E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有??????? ( ) (A) BCA =E (B) CBA =E (C) BAC =E (D) ACB =E 2. 在下列五个矩阵中， ①???? ??1011 ②??? ? ??-1110 ③???? ??-1001 ④??? ? ??0001 ⑤???? ??0110 属 于 初 等 矩 阵 的 是 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ( ) (A) ①③④⑤ (B) ①②③⑤ (C) ①② ③ (D) ①③⑤ 3. 设A 是m ?n 矩阵，m 大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/c73976658.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。-10+3x+0+5-3x-2 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c)，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 ijsn a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a 1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2②2 n1③2n1④4 2.n维向量组1，2，，s（3sn）线性无关的充要条件是（）。 ① 1，2，，中任意两个向量都线性无关 s ② 1，2，，中存在一个向量不能用其余向量线性表示 s ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页 西南大学 数学与统计学院 《 线性代数 》课程试题 〖B 〗卷参考答案和评分标准 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。 一、填空题（共5题，4分/题，共20分） 1、已知三阶方阵A 的行列式3 1 = A ，则1*(3)4A A --= -3 。 2、设向量组)1,1,1(1=T α，)5,1,2(2=T α，)2,0,3(3=T α，)2,5,4(4=T α， 则向量组4321,,,αααα线性 相 关。 3、矩阵123450217400321A ?? ?= ? ??? ，则矩阵A 的秩为 3 。 4、已知A =???? ? ??300012025，则1A -= 12025 01003? ? ?- ? - ? ? ??? 。 特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处理。 5、1 2312301A a a ?? ?=--- ? ??? ，已知方程组0AX =有非零解，则a = 0 。 二、单项选择题（共5题，4分/题，共20分） 1、设C B A 、、均为n 阶方阵，下列式子中正确的是（ Ｃ ）。 （Ａ）：2222)(B AB A B A ++=+ （Ｂ）：若CB AB =，则C A = （Ｃ）：BA AB = （Ｄ）：T T T B A AB =)( 2、若向量组????? ??=0011α，????? ??=0102α，??? ? ? ??=c b a 3α线性无关，则（ Ｄ ）。 （Ａ）：c b a == （Ｂ）：0==c b （Ｃ）：0=c （Ｄ）：0≠c 3、设1α，2α是非齐次线性方程组AX b =的解，12,k k 为常数，若1122k k αα+也是AX b = 的一个解，则12k k +=（ Ａ ）。 （Ａ）：1 （Ｂ）：0 （Ｃ）：1- （Ｄ）：2 4、两个n 阶初等矩阵的乘积为（ Ｂ ）。 （Ａ）：初等矩阵. （Ｂ）：可逆矩阵. （Ｃ）：单位矩阵. （Ｄ）：不可逆矩阵. 5、已知向量组4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么下列结论一定成立的是（ Ｃ ）。 （Ａ）：4321,,,αααα线性无关 （Ｂ）：1α可由432,,ααα线性表示 （Ｃ）：4321,,,αααα线性相关 （Ｄ）：43,αα线性无关 三、判断题（共5题，3分/题，共15分） 1、若E A =2，则A 可逆。（ √ ） 2、设A 为四阶矩阵，且2A =，则*8A =。（ √ ） 3、若方阵A 的行列式为0，则0是A 的特征值。（ √ ） 4、若矩阵A 的所有1+r 阶子式全为0, 则r A R =)(。（ × ）同济大学线性代数第六版答案(全)
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