第5章 定积分及其应用
学习目标
理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.
熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.
定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.
5.1 定积分的概念与性质
定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.
5.1.1实例分析
1.曲边梯形的面积
在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.
所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.
现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：
(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形
在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<
(a)
],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ???=-=?-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个
小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ???=?.
(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积
在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ???=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩
形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则
),,2,1()(n i x f A i i i ???=?≈?ξ.
(3)求和——求n 个小矩形面积之和
n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即
n A A A A ?+???+?+?=21n n x f x f x f ?+???+?+?≈)()()(2211ξξξ
i n
i i x f ?=
∑
=)(1
ξ.
(4)取极限
令{}i n
i x ?=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式i n
i i x f ?∑=)(1
ξ的极限便是曲边
梯形的面积A ，即
i n
i i x f A ?=∑
=→)(lim
1
ξλ.
2．变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到2T t =间所经过的路程S .
我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：
(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段
图5.2
在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<
),,2,1(1n i t t t i i i ???=-=?-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ???=?.
(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ???=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间
],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有
),,2,1()(n i t v S i i i ???=?≈?ξ.
(3)求和——求n 个小时间段路程之和
将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即
n S S S S ?+???+?+?=21n i t v t v t v ?+???+?+?≈)()()(2211ξξξ
i n
i i
t v ?=
∑=)(1
ξ
.
(4)取极限
令{}i n
i t ?=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式i n
i i t v ?∑=)(1ξ的极限便是
所求的路程S .即
i n
i i
t v S ?=∑=→)(lim
1
ξ
λ
从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.
5.1.2定积分的概念
定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<
i x ?=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ???=ξ作和式i n
i i x f ?∑=)(1
ξ，
当0→λ时，若极限i n
i i x f ?∑
=→)(lim
1
ξλ存在（这个极限值与区间],[b a 的分法及点i ξ的取法无
关），则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作?b
a dx x f )(，即
?b
a
dx x f )(i n
i i x f ?=∑
=→)(lim
1
ξλ .
其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A 是曲线)(x f y =在区间],[b a 上的定积分.
?
=
b a
dx x f A )((0)(≥x f ).
②变速直线运动的物体所走过的路程S 等于速度函数)(t v v =在时间间隔],[21T T 上的定积分.
?
=
21
)(T T dt t v S .
关于定积分的定义作以下几点说明：
⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(x f 和积分区间],[b a ，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有?
?=
b a
b
a
dt t f dx x f )()(.
⑶在定积分的定义中，有b a <，为了今后计算方便，我们规定：
??
-=b
a
a b dx x f dx x f )()(.
容易得到 0)(=?a
a dx x f .
5.1.3定积分的几何意义
设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的 曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：
（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b
a =?)(
（2）当0)(≤x f 时，A dx x f b
a
-=?)(
（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，
使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时
定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有
321)(A A A dx x f b a
+-=?
其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.
例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明2
111
2
π
=
-?-dx x .
证 令]1,1[,12
-∈-=x x y ，显然0≥y ，
则由2
1x y -=
和直线1,1=-=x x ，0=y
所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积π=A ，
所以 半圆的面积为2
π
.
由定积分的几何意义知：
2
111
2
π
=
-?
-dx x .
5.1.4定积分的性质
由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.
性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即
??
=b
a
b a
dx x f k dx x kf )()(.
性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即
[]?
?
?±
=
±b a
b a
b
a
dx x g dx x f dx
x g x f )()()()(.
这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c ，有
?
?
?
+
=
b c
c a
b a
dx x f dx x f dx x f )()()(.
注意 c 的任意性意味着不论c 是在],[b a 之内，还是c 在],[b a 之外，这一性质均成立.
性质5.1.4如果被积函数c c x f (,)(=为常数),则
?
-=b a
a b c cdx )(.
特别地,当1=c 时,有?-=b
a
a b dx .
性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间],[b a 上,恒有)()(x g x f ≥，则
?
?
≥
b a
b a
dx x g dx x f )()(.
性质5.1.6（积分估值定理）如果函数)(x f 在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m ,则
).()()(a b M dx x f a b m b a
-≤≤
-?
性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在),(b a 内至少有一点ξ,使得
?
-=b a
a b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.
证 因)(x f 在],[b a 内连续，所以)(x f 在],[b a 内有最大值M 和最小值m ， 由性质5.1.6知： ).()()(a b M dx x f a b m b a
-≤≤-?
从而有 .)(1
M dx x f a
b m b a
≤-≤?
这就说：
?
-b a
dx x f a
b )(1是介于m 与M 之间的一个实数.
由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()(1
ξf dx x f a
b b a
=-?.
即
?
-=b a
a b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.
注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线
)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成
曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形
的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的 高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ， 如图5.5所示.
显然，由性质5.1.7可得?-=
b a
dx x f a
b f )(1
)(ξ，)(ξf 称为函数)(x f 在区间],[b a 上
的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.
性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设)(x f 在对称区间],[a a -上连续,则有 ①如果)(x f 为奇函数,则?-=a a dx x f 0)(； ②如果)(x f 为偶函数,则?
?-=a a
a
dx x f dx x f 0)(2)(.
例5.1.2 估计定积分dx e x ?--11
2
的值.
解 设2
)(x e x f -=,2
2)('x xe x f --=，令0)('=x f ,得驻点0=x ，比较0=x 及区间端点1±=x 的函数值,有
1)0(0==e f ,e
e
f 1)1(1
=
=±-.
显然2
)(x e x f -=在区间]1,1[-上连续,则)(x f 在]1,1[-上的最小值为e
m 1=,最大值
为1=M ，由定积分的估值性质,得
221
1
2
≤≤
?
--dx e
e x
.
例5.1.3 比较定积分dx x ?1
2
与dx x ?1
3的大小.
解 因为在区间]1,0[上,有32x x ≥,由定积分保序性质,得
dx x ?
10
2
dx x ?
≥
10
3
.
习题5.1
1.用定积分表示由曲线322
+-=x x y 与直线4,1==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.
2.利用定积分的几何意义,作图证明：
(1)?=1
012xdx (2)2
2
2
4
R x
R
R π
=
-?
3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.
(1)dx x ?10
,dx x ?102 (2)dx e x ?10,dx e x ?-1
2
(3)?43
ln xdx ,xdx ?4
3
2
ln (4)?
40cos π
xdx , ?
40
sin π
xdx
4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1)dx e x ?1
(2)?-2
)2(dx x x
(3)dx x x ?
+21
2
1
(4)dx x
x ?
--20
2
95
5.试用积分中值定理证明0sin lim
1=?
++∞
→dx x
x n n
n .
5.2 定积分的基本公式
定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.
5.2.1变上限定积分
定义5.2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分?x
a
dt t f )(和x 对应，因此?x
a
dt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为
?
=
Φx a
dt t f x )()(，],[b a x ∈.
称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.
变上限积分函数的几何意义是： 如果0)(>x f ，对][b a ,上任意x ，都
对应唯一一个曲边梯形的面积)(x Φ， 如图5.6中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数.
函数)(x Φ具有如下重要性质.
定理 5.1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则?
=
Φx a
dt t f x )()(在],[b a 上可导，
且)()()()(b x a x f dt t f dx
d x x a
≤≤==
Φ'?
.
证 给定函数)(x Φ的自变量x 的改变量x ?，函数)(x Φ有相应的改变量?Φ.则
?
?
?
?+?+=
-
=
Φ-?+Φ=?Φx x x
x a
x x a
dt t f dt t f dt t f x x x )()()()()(.
由定积分的中值定理，存在),(),(x x x x x x ?+?+∈或ξ，使x f dt t f x x x
?=?
?+)()(ξ成立.
所以)()
(lim )(lim )(lim
lim
)()(0
x f f f x
x f x
x x f x
x x x 连续
ξξξξ→→?→?→?==??=??Φ=Φ'.
由定理5.1可知，如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数?
=
Φx a
dt t f x )()(就是
)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.
定理5.2（原函数存在定理） 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为
?
=
Φx a
dt t f x )()(.
注 这个定理一方面肯定了闭区间],[b a 上连续函数)(x f 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.
例5.2.1 计算tdt e
dx
d x t
sin 0
?
-.
解
tdt e
dx
d x t
sin 0
?
-=]sin [0
'?-tdt e x
t =x e
x
sin -.
例5.2.2 求?
+→x x dt t x
2
)1ln(1lim
.
解 当0→x 时，此极限为0
0型不定式，两次利用洛必塔法则有
?
+→x x dt t x
2
)1ln(1lim
=2
)1ln(lim
x
dt t x x ?
+→ =x
x x 2)1ln(lim
+→
=211
lim 0
x x +→=2
1
例5.2.3 求
dt t dx
d x )1(2
1
2
+?
.
解 注意，此处的变上限积分的上限是2
x ，若记2
x u =，则函数dt t x )1(2
1
2
+?可以看
成是由dt t y u )1(1
2+=
?
与2
x u =复合而成，根据复合函数的求导法则得
dt t dx
d x )1(2
1
2
+?
=dx
du dt t du
d u ]
)1([
1
2
+?
=x u 2)1(2
+
=x x 2)1(4
+=x x 225
+.
一般地有，如果)(x g 可导，则
)()]([])([])([)()(x g x g f dt t f dt t f dx d x x g a
x g a
'='=?
?
.
上式可作为公式直接使用.
例5.2.4 求极限40
2
sin lim
x
tdt x x ?
→. 解 因为0lim 4
=→x x ，??
==
→2
00
0sin sin lim
x x tdt tdt ，
所以这个极限是0
0型的未定式，
利用洛必塔法则得
4
2
sin lim
x
tdt x x ?
→=3
2
42sin lim x x x x ?→=2
2
2sin lim
x
x x →
=2
2
sin lim 2
1x
x x → =2
1.
5.2.2微积分基本公式
定理5.3 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么
?
-=b a
a F
b F dx x f )()()(.
证 由定理5.2知，?
=
Φx a
dt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则
)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即
C x F dt t f x a
+=?
)()(.
又因为C a F dt t f a a
+==
?
)()(0，所以)(a F C -=.于是有
)()()(a F x F dt t f x a -=?
.
所以 ?-=b
a
a F
b F dx x f )()()(成立.
为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为b
a x F )(或b
a x F )]([，所以公式可改写为
)()()
()(a F b F x F dx x f b
a
b a
-==?
上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，又称为微积分基本公式. 定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分，只需要求出)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数)(x F ，然后计算)()(a F b F -就可以了.
例5.2.5 计算dx x ?1
02.
解 因为C x dx x +=
?3
23
1，所以
dx x ?
10
2
=
1
033
1x
=
3
3
03
113
1?-
?=
3
1.
例5.2.6 求dx e
e
x
x ?
-+11
1.
解 dx e
e
x
x ?
-+11
1=?
-++11
1)1(x
x
e
e d =11
)
1ln(-+x
e
=)1ln()1ln(1-+-+e e =1.
例5.2.7 求dx x ?
--31
2.
解 根据定积分性质5.1.3，得
dx x ?--31
2=??
??
---+
-=-+
-2
1
32
2
1
32
)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x
=3
2
2
2
1
2
)22
1(
)
2
12(x x x x -+-
-=
2
12
9+
=5.
例5.2.8 求极限.)
321(lim
4
3
33n
n n ++++∞
→
解 根据定积分定义,得
.4
14
1)(1lim
)
321(lim
1
41
10
3
34
3
3
3
=
=
==++++∑
?
=∞
→∞
→x
dx x n
i n n
n n
i n n
习题5.2
1.求下列函数的导数： (1)dt t x F x ?
+=
2
1)( (2)dt t
t x F x a
?
=
2
sin )(
(3) dt e t x F x
t
?
-=
12)( (4)tdt x F x
x
?
-=
2
2
cos )(
2.求下列函数的极限： (1)x
tdt x x ?→0
2
cos lim
(2)2
1
1
)
1()1(lim
--?
→x dt
t t x x
(3)2
arctan lim
x
tdt x x ?
→ (4)2
)11(lim
x
dt
t t x x ?
--
+→
3.求函数?
-=
x dt t t x F 0
)2()(在区间]3,1[-上的最大值和最小值.
4.求由曲线x x y 22+-=与直线2,0==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.
5.求下列定积分的值：
(1)dx x x )1(2
1
2
-+? (2)dx x x )2(21
+?
(3)dx x
x ?
+20
2
1 (4)dx x
?21
1
(5)dx x ?π
cos (6)dx e x
?2
2
5.3 定积分的积分法
在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动
就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.
5.3.1定积分的换元积分法
定理5.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件： （1）)(t x ?=，且)(α?=a ，)(β?=b ；
（2）)(t ?在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ?'； （3）当t 从α变到β时，)(t ?从a 单调地变到b . 则有
?
?'=
b a
dt t t f dx x f β
α
??)()]([)(
上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用)(t x ?=把原积分变量x 换成新变量)(t ?，积分限也必须由原来的积分限a 和b 相应地换为新变量t 的积分限α和β，而不必代回原来的变量x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.
②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.
例5.3.1 求dx x
x ?
+30
1.
解 令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ， 于是
dx x
x ?
+30
1=tdt t
t 2121
2
?-?
=dt t ?-2
1
2
)1(2
=2
13
]3
1
[2t t -=
3
8
例5.3.2 求xdx x sin cos 20
3?π
.
解法一
设x t cos =，则xdx dt sin -=，当0=x 时，1=t ；当2
π
=
x 时，0=t ，于是
xdx x sin cos 20
3?
π
=)(013dt t -??=dt t ?103
=104]41[t =4
1.
解法二
xdx x sin cos 20
3
?
π=x xd cos cos 20
3
?
-
π
=204
]cos
4
1[π
x -
=
4
1.
解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求dx e x
?
-2ln 0
1.
解 令t e x
=-1，则)1l n (2
t x +=，dt t
t dx 2
12+=
，当0=x 时，0=t ；当2
ln =x 时，1=t ，于是
dx e x
?
-2ln 0
1=dt t
t t ?+?
1
2
12=dt t
t
?+10
2
2
12=dt t
)111(21
2
?+-
=1
0]arctan [2t t -=2
2π
-
.
例5.3.4 设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明： （1）如果)(x f 为奇函数，则?-=a a dx x f 0)(； （2）如果)(x f 为偶函数，则?
?-=a a
a
dx x f dx x f 0)(2)(.
这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明. 证 由定积分的可加性知
x d x f x d x f x d x f a a
a a
?
?
?
+
=
--0
0)()()(，
对于定积分?
-0)(a
dx x f ，作代换t x -=，得
?
-0)(a dx x f =?
--0)(a
dt t f =?-a dt t f 0
)(=?-a
dx x f 0
)(，
所以 ?
?
?
-+
-=
a a
a a dx x f dx x f dx x f 0
)()()(
=?-+a dx x f x f 0
)]()([
（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()()()(=-=-+x f x f x f x f ， 于是 ?
-=a a
dx x f 0)(.
（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，则
)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，
于是 ?
?-=a a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(.
例5.3.5 求下列定积分： （1）dx x
x x ?
-
+33
4
2
1sin （2）dx x x 2
2
2
24-?-
解 （1）因为被积函数4
2
1sin )(x
x x x f +=是奇函数，且积分区间]3,3[-是对称区间，
所以
dx x
x x ?
-
+33
4
2
1sin =0.
（2）被积函数224)(x x x f -=是偶函数，积分区间]2,2[-是对称区间，所以
dx x x
2
22
2
4-?
-=dx x x
2
2
2
42-?，
令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，t x cos 242
=-，
当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2
π
=
t ，于是
dx x x
2
22
2
4-?
-=tdt t ?20
2
2
cos sin 162π
=tdt 2sin 820
2
?
π
=dt t ?
-20
)4cos 1(4π
=20)4sin 4(π
t t -=π2.
2.分部积分法
定理5.5 设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有
)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u b a
b a
b a
?
?
-
=.
上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
例5.3.6 求?2
1ln xdx x .
解 ?2
1
ln xdx x =
?
21
2
)(ln 2
1x xd =
)(ln 2
1ln 2
121
2
2
1
2
x d x x
x ?
-
=?
-
21
2
12ln 2xdx =2
1
2
4
12ln 2x -
=4
32ln 2-
.
例5.3.7 求?π
sin xdx x .
解 ?π
sin xdx x =?
-
π
cos x xd =?
+
-π
π
cos cos xdx x
x
=π
π0sin x +=π.
例5.3.8 求dx e
x
?1
0.
解 令t x =，则2
t x =，tdt dx 2=,当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t .
于是
dx e
x
?
10
=dt te t
?1
2=?1
2t tde =dt e te
t
t
?-1
10
22
=10
22t
e
e -=222+-e e =2.
此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.
习题 5.3
1.求下列定积分的值： (1)dx x
x
e ?+1
ln 1 (2)dx x x ?-1
21
(3)dx e x
x
121
2
1?
(4)?++
30
1
1x dx
(5)?
+
641
3
x
x dx (6)dx x
x ?
-101
1
(7)dx e x x 220
2? (8)?1
arctan xdx
(9)?
-+10
)1ln(e dx x (10)xdx e
x
cos 20
2?
π
2.求下列定积分：
(1)dx x x x x )cos sin 3(2
1
12
++?- (2)dx x x x
x ?
-++11
2
4
2312sin
(3)dx a
x x
a a
?
-+2
2
2
(4)dx x
x ?
--+11
2
1sin 1
5.4 定积分的应用
由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.
问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程)cos 1(θ+=a r
)0(>a 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.
问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m 和4m ，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.
为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.
5.4.1定积分应用的微元法
为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤：
(1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为
i A ?),2,1(n i =；
(2)计算i A ?的近似值，即i i i x f A ?≈?)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=?ξ）；
(3)求和得A 的近似值，即i n
i i x f A ?≈
∑
=1
)(ξ；
(4)对和取极限得?
∑
=
?==→b a
i n
i i dx x f x f A )()(lim
1
ξλ.
下面对上述四个步骤进行具体分析：
第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.
第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ?≈?)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ?≈?)(ξ省略下标，得x f A ?≈?)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ?的近似值就是以dx 为底，
)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7
阴影部分），即
dx x f A )(≈?.
通常称dx x f )(为面积元素，记为
dx x f dA )(=.
将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即
?
=
b a
dx x f A )(.
一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行： （1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；
（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；
（3）写出所求量F 的积分表达式?
=
b a
dx x f F )(，然后计算它的值.
利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；
②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.
5.4.2定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下面积的计算
(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.
(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，
))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.
下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.
②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高
)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素
图
5.7 图5.8
dx x g x f dA )]()([-=.
③写出积分表达式，即
?
-=
b a
dx x g x f A )]()([.
⑶求由两条曲线)(),(y x y x ?ψ==，))()((y y ?ψ≤及直线d y c y ==,所围成平 面图形（如图5.9）的面积.
这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出：
?
-=
d c
dy y y A )]()([ψ?.
例5.4.1 求由曲线2
x y =与2
2x x y -= 所围图形的面积.
解 先画出所围的图形（如图5.10） 由方程组???-==2
2
2x
x y x y ，得两条曲线的交点为 )1,1(),0,0(A O ，取x 为积分变量，]1,0[∈x .由公式得
dx x x x A )2(10
2
2?
--=
1
032
]3
2[x x -
=3
1=
.
例5.4.2 求曲线x y 22
=与4-=x y 所围图形的面积. 解 画出所围的图形（如图5.11）.
由方程组?
??-==422x y x
y 得两条曲线的交点坐标为)4,8(),2,2(B A -，取y 为积分变量，
]4,2[-∈y .将两曲线方程分别改写为42
12
+==
y x y x 及得所求面积为
dy y y A ?
--
+=
42
2
)2
14(
图
5.9
2
x x -
图5.10
4-=x
42
3
2
)
6
142
1(
--
+=y y y 18=.
注 本题若以x 为积分变量，由于图形在]8,2[]2,0[和两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：
?
?
--+
=82
20
)]4(2[22dx x x dx x A
82
2
23
20
2
3
]
42
13
22[
3
24x x x x +-
+=
18=.
显然，对于例5.4.2选取x 作为积分变量，不如选取y 作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.
例5.4.3 求曲线x y x y sin cos ==与在区间],0[π上所围平面图形的面积.
解 如图5.12所示，曲线x y x y sin cos ==与的交点坐标为)2
2,4
(π
，选取x 作为
积分变量，][π,0∈x ，于是，所求面积为
dx x x dx x x A ??
-+
-=
π
ππ
4
40
)cos (sin
)sin (cos
ππ
π
4
40
)
sin cos ()
cos (sin x x x x --++=22=.
2.极坐标系下面积的计算
设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.
以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2
)]([2
1=
x
图5.12
于是，所求曲边扇形的面积为 ?=
β
α
θθρd A 2
)]([2
1.
例5.4.4 计算心形线)0)(cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积（如图5.14）. 解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积A 是极轴上方部分图形面积1A 的两倍.对于极轴上方部分图形，取θ为积分变量， ],0[πθ∈，由上述公式得：
θθπ
d a A A 2
21)cos 1(2
122+?
==?
θθθπ
d a ?++=0
2
2
)cos cos 21(
θθθπ
d a
?
+
+=0
2
)2cos 2
1cos 22
3(
π
θθθ0
2]
2sin 4
1sin 223
[++=a 2
2
3a π=
.
这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一
步求出它的体积，这里不再赘述.
3．定积分求体积
(1)旋转体的体积
旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴. 设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.
取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为
dx x f dV 2
)]([π=，于是，所求旋转体体积为
dx x f V b a
x ?
=2
)]([π
.
)θ
图
5.14
)
图5.13
定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么
定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2－2≤x <0， 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B ．2 | C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) ￥ A ．2 3 B ．9－23 答案： 详解：
注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的 面积为??－3 1(3－x 2－2x )d x ＝? ???? 3x －13x 3－x 2??? 1 －3＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3×－3－1 3×－3 3 ]－ －3 2 ＝32 3，选D. 题二 ^ 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．
定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。
§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O
定积分的应用
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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
定积分的几个简单应用 一、定积分在经济生活中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决． 例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余． 解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是 dq q )5015.065(10000 0--? 10000023 ) 1.015(q q -= 50000=， 所求消费者剩余为50000元． 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量． 解 所求的总产量为 ??+='=10 5105)1240()(dt t dt t Q Q 1052) 640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限 例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123 lim ． 解 n n n n n n n n k n k 12111123 +++=∑= )21(1n n n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12 3lim ??????+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==?dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑ =∞→． 解 212213)(11n k n k n k n n k n k n k -?=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有 2213lim k n n k n k n -∑=∞→3 1)1(311102321 02=??????--=-=?x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明． 例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证： ?? +≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x a x a ??+-=)(2)()(?， 显然0)(=a ?，且 )(2 )(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ?+--='? )(2 ))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2 ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ?，从而)(x ?在闭区间[]b a ,上单调增加，所以 0)()(=≥a x ??，
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
第五章定积分及其应用 一、内容分析与教学建议 （一）定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问 题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。 本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。 （二）定积分概念、牛顿–莱不尼兹公式 关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。 定积分的性质和牛顿–莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。 （三）换元积分法、分部积分法 换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。 （四）广义积分 广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，
应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。 （五） 微元法（定积分应用） 定积分应用应着重讲透处理问题的思想方法 微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。 二、补充例题 例1. 设)(x f 连续，且?+=1 0)(2)(dt t f x x f ，求)(x f . 解： 记?=1 0)(dt t f a ，则a x x f 2)(+= 两端积分得： ??+= +=1 1 22 1 )2()(a dx a x dx x f a a 221+= ， 2 1 -=a 1)(-=∴x x f 例2. 证明不等式????≤?? ???? b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222 证： ()0)()(2≥+x g x f λΘ，故[]?≥+b a dx x g x f 0)()(2λ 即 0)()()(2)(22 2 ≥++??? b a b a b a dx x g dx x g x f dx x f λλ 上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0， 即 0)()(4)()(4222 ≤?-?? ???????b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f 得： ????≤?? ????b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222 . 例3. 设)(x f 在]10[，连续且递减，证明：当10<<λ时， ?? ≤λ λ0 1 )()(dx x f dx x f . 证： ??? +=1 1 )()()(λ λdx x f dx x f dx x f Θ ∴ ????+-=-1 10 )()()1()()(λ λλλλλdx x f dx x f dx x f dx x f
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围
成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
第五章 定积分及其应用 习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） ? -x x d 1 1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1 1 . 解：若[]? ≥∈x x f x f b a x a b d )(,0)(,,则 时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线 b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a b d )(,0)(则在几何 上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111 1=+-=?-A A x x . （2）由上图（2）所示，2 πd 2 22 2 R A x x R R R ==-? -. （3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π 20=--++=+-+=?A A A A A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112 1 22d 61 1=??? ==?-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S. ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) (4)
解：= s ? +t t d )12(0 5 3. 用定积分的定义计算定积分 ?b a x c d ,其中c 为一定常数. 解：任取分点b x x x x a n =<<<<=Λ210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x - )2,1(n i Λ=，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i Λ=,在每个小区间[]i i x x ,1- 上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式： ∑∑==--=-?=??n i n i i i i i a b c x x c x f 1 1 1)()()(ξ, 记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则 )()(lim )(lim d 0 a b c a b c x f x c n i i i b a -=-=??=∑? = →→λλξ. 4. 利用定积分定义计算 1 20 d x x ? . 解：上在]1,0[)(2 x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n i x ξ;1,,2,1,-== Λ取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑ ===?=?=?n i i i n i i i n i i i x x x x f 12121 )(ξξ=∑∑===n i n i i n n n i 1 2 3 2 1 1 1)( = 3 11(1)(21)6n n n n ?++ =)12)(11(61n n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12 0d x x ?=3 1． 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分 ? -+-11 34)524(x x x d 的值. 解：先求524)(3 4 +-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2 3 =-='x x x f , 得0=x 或8 3=x . 比较 35093(1)11,(0)5, (),(1)781024 f f f f -====的大小，知 min max 5093 ,111024 f f = =， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11 34min --?≤+-≤--?? -f x x x f , 即 14315093 (425)d 22512 x x x -≤-+≤?. 6. 利用定积分的性质说明 ? 1 d x e x 与?1 d 2 x e x ，哪个积分值较大