双曲线、抛物线综合问题(七十三)
1．(优质试题·重庆一中期中)当曲线y ＝－4－x 2与直线kx －y ＋2k －4＝0有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是( ) A ．(0，3
4)
B ．(512，34]
C ．(3
4，1]
D ．(3
4
，＋∞)
答案 C 解析 曲线y ＝－
4－x 2表示圆x 2＋y 2＝4的下半部分，直线kx －y ＋
2k －4＝0过定点(－2，－4)．由
|2k －4|
k 2＋1
＝2，解得k ＝3
4
，所以过点(－2，
－4)且斜率k ＝34的直线y ＝34x －5
2
与曲线y ＝－
4－x 2相切，如图所示．过点(－2，－4)与点(2，0)的直线的斜率为－4－0
－2－2＝1.所以曲线y ＝－
4－x 2与直线kx －y ＋2k ＝0有两个不
同的交点时，实数k 的取值范围是(3
4
，1]．故选C.
2．设抛物线x 2＝2py(p>0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，记A ，B ，M 的横坐标分别为x A ，x B ，x M ，则( ) A ．x A ＋x B ＝2x M B ．x A ·x B ＝x M 2 C.1x A ＋1x B ＝2x M D ．以上都不对
答案 A
解析 由x 2
＝2py 得y ＝x 22p ，所以y ′＝x p ，所以直线MA 的方程为y ＋2p ＝x A
p
(x －x M )，直线
MB 的方程为y ＋2p ＝x B p (x －x M )，所以x A 22p ＋2p ＝x A p (x A －x M ) ①，x B 22p ＋2p ＝x B
p (x B －x M ) ②，
由①②可得x A ＋x B ＝2x M ，故选A.
3．(优质试题·浙江，文)设双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，
且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8)
解析 由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|
＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．
4．已知圆C 的半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上，E(1，1)，F(1，－3)，若圆上存在点Q ，使|QF|2－|QE|2＝32，则圆心的横坐标a 的取值范围为________． 答案 [－3，1]
解析 根据题意，可设圆C 的方程为(x －a)2＋(y ＋a －2)2＝4，设Q(x ，y)，由|QF|2－|QE|2＝32，得到(x －1)2＋(y ＋3)2－(x －1)2－(y －1)2＝32，得y ＝3，故点Q 在直线y ＝3上，又点Q 在圆(x －a)2＋(y ＋a －2)2＝4上，所以圆C 与直线y ＝3必须有公共点．因为圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2，所以圆C 与直线y ＝3有公共点的充分条件是1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.所以圆心的横坐标a 的取值范围是[－3，1]．
5．(优质试题·江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ|＝3. (1)求椭圆的方程；
(2)过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 答案 (1)x 24＋y 2
3＝1 (2)存在，最大值为9π16
解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c ＝1，由|PQ|＝3，可得2b 2
a ＝3.
又a 2－b 2＝1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0.设△F 1MN 的内切圆的半径为R. 则△F 1MN 的周长为4a ＝8，
S △F 1MN ＝1
2
(|MN|＋|F 1M|＋|F 1N|)R ＝4R.
因此，S △F 1MN 最大，R 就最大，△F 1MN 的内切圆的面积就最大． 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.
由?????x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，
得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，
则y 1＝
－3m ＋6
m 2＋1
3m 2
＋4
，y 2＝
－3m －6
m 2＋1
3m 2
＋4
，
则S △F 1MN ＝1
2|F 1F 2|(y 1－y 2)＝y 1－y 2＝12m 2＋13m 2＋4
.
令t ＝
m 2
＋1，t ≥1，则S △F 1MN ＝12
m 2
＋13m 2＋4＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1
t
.
令f(t)＝3t ＋1t ，则f ′(t)＝3－1
t
2，当t ≥1时，f ′(t)≥0，
f(t)在[1，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(1)＝4，S △F 1MN ≤3，且当t ＝1，即m ＝0时，(S △F 1MN)max ＝3.
∵S △F 1MN ＝4R ，∴R max ＝34，这时所求内切圆面积的最大值为9
16π.故直线l 的方程为x ＝1时，
△F 1MN 内切圆的面积取得最大值9
16
π.
6．(优质试题·安徽六安二模)设点P 是圆x 2＋y 2＝4上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的投影，动点M 满足 3 PD →＝2MD →
，过定点Q(0，2)的直线l 与动点M 的轨迹交于A ，B 两点．
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)在y 轴上是否存在点E(0，t)，使|EA|＝|EB|？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)存在，t ∈(－1
2
，0]
解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x p ，y p )，则点D 的坐标为(x p ，0)，由 3
PD →＝2MD →
，得?????x p ＝x ，
y p ＝233y.
∵点P 在圆上，∴x 2
＋(233y)2＝4，即x 24＋y 2
3
＝1，
∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，当E 与原点重合，即t ＝0时，满足|EA|＝|EB|.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 24＋y 2
3＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2
＋16kx ＋4＝0，
则由Δ＝(16k)2－16(3＋4k 2)>0，得|k|>1
2
.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝4
4k 2＋3.
∵|EA|＝|EB|，∴(EA →＋EB →)·AB →
＝0.
又EA →＋EB →＝(x 1＋x 2，k(x 1＋x 2)＋4－2t)，AB →
＝(x 2－x 1，k(x 2－x 1))，
∴(x 2－x 1，k(x 2－x 1))·(x 1＋x 2，k(x 1＋x 2)＋4－2t)＝0，展开化简，得(1＋k 2)·(x 1＋x 2)＋4k －2kt ＝0，
将x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3代入化简，得t ＝－2
4k 2＋3，
又|k|>12，∴t ＝－24k 2＋3
∈(－1
2，0)．
综上，存在符合题意的点E ，且实数t 的取值范围为(－1
2
，0]．
7．(优质试题·贵州贵阳考试)已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，准线l 与x 轴的交点为P ，过点P 且斜率为k 的直线m 交抛物线于不同的两点A ，B. (1)若|AF|＋|BF|＝8，求线段AB 的中点Q 到准线的距离；
(2)E 上是否存在一点M ，满足PA →＋PB →＝PM →
？若存在，求出直线m 的斜率；若不存在，请说明理由．
答案 (1)4 (2)不存在
解析 (1)由抛物线E 的方程为y 2＝4x ， 可得F(1，0)，准线l ：x ＝－1，P(－1，0)．
过点A 作AA ′⊥l ，过点B 作BB ′⊥l ，垂足分别为A ′，B ′. 由抛物线的定义得|AF|＝|AA ′|，|BF|＝|BB ′|， ∴由|AF|＋|BF|＝8得|AA ′|＋|BB ′|＝8. 过AB 的中点Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 故QQ ′是直角梯形AA ′B ′B 的中位线，
∴|QQ ′|＝
|AA ′|＋|BB ′|2＝8
2
＝4，即线段AB 的中点Q 到准线的距离为4. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，
则PA →＋PB →＝(x 1＋1，y 1)＋(x 2＋1，y 2)＝(x 1＋x 2＋2，y 1＋y 2)＝(x ＋1，y)＝PM →
，
故?????x 1＋x 2＋2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y ，即?????x 1＋x 2＝x －1，y 1＋y 2＝y.
设直线m 的方程为y ＝k(x ＋1)，
联立????
?y ＝k （x ＋1），y 2
＝4x ，k ≠0，
得k 2x 2
＋(2k 2
－4)x ＋k 2
＝0，
∴Δ＝(2k 2
－4)2
－4k 4
＝16－16k 2
>0，x 1＋x 2＝4－2k 2
k
2.
∴4－2k 2k 2＝x －1，∴x ＝4－k 2k
2.
∴y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2k ＝k·4－2k 2k 2＋2k ＝4k .
∴y ＝4
k .∴M(4－k 2k 2，4k
)．
∵点M 在抛物线上，∴(4k )2
＝4·4－k 2k 2，
即16k 2＝16
k 2－4，此方程无解． ∴不存在满足条件的点M.
8．(优质试题·吉林普通中学第一次调研)如图，已知椭圆E ：x 24＋y 2
b 2＝
1(0 ＝－2. (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点，是否存在常数λ，使得OA →·OB → ＋λPA →·PB → 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 答案 (1)x 24＋y 22＝1 e ＝1 2 (2)λ＝1时，定值为－ 3 解析 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD → ＝－2， 于是?????1－b 2 ＝－2，a 2－b 2＝c 2， 解得c ＝1，b ＝ 3. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 因为c ＝1，a ＝2，所以离心率e ＝1 2 . (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立?????x 2 4＋y 2 3＝1，y ＝kx ＋1，得(4k 2＋3)x 2＋8kx －8＝0. 其判别式Δ>0，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－8 4k 2 ＋3. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝－8（1＋λ）（1＋k 2）－4k 2＋34k 2＋3 ＝4－2λ 4k 2＋3 －2λ－3. 所以当λ＝2时，4－2λ 4k 2＋3－2λ－3＝－7， 即OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝－7为定值． 当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即直线CD. 此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋2PC →·PD → ＝－3－4＝－7. 故存在常数λ＝2，使得OA →·OB →＋λPA →·PB → 为定值－7. 1．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，O 是坐标原点，F 是抛物线的焦点，P 是抛物线上一点，则使得△POF 是直角三角形的点P 共有( ) A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 答案 B 解析 当∠OFP 为直角时，作出图形如图所示，过焦点F 作PF ⊥x 轴，交抛物线于点P ，P ′，则△OFP ，△OFP ′都是直角三角形．显然∠POF 不可能为直角．若∠OPF ＝90°，易知F(p 2，0)，设P(y 22p ，y)，可得OP → ＝(y 22p ， y)，FP →＝(y 22p －p 2，y)，∴OP →·FP →＝y 22p (y 2 2p －p 2)＋y 2 ＝y 44p 2＋3y 24.∵y 44p 2>0，3y 24 >0，∴OP →·FP →>0，∴cos ∠OPF>0，∴∠OPF 为锐角，不可能为直角．综上，使得△POF 是直角三角形的点P 有且有2个． 2．(优质试题·江苏盐城中学摸底)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2是椭圆的两个 焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2外角的平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)，F 1，F 2 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________． 答案 内角平分线 a 解析 ∵F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2外角的平分线的垂线，垂足为M ，∴点F 2关于∠F 1PF 2的外角平分线PM 的对称点Q 在F 1P 的延长线上，|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a(椭圆长轴长)，又OM 是△F 2F 1Q 的中位线，故|OM|＝a.不妨设点P 在双曲线右支上，当过F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为M 时，点F 2关于∠F 1PF 2的内角平分线PM 的对称点Q 在PF 1上，|F 1Q|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又OM 是△F 2F 1Q 的中位线，故|OM|＝a. 3．(优质试题·海南海口三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)， F 2(c ，0)，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→ 的最小值为0. (1)求椭圆C 的方程； (2 )若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，使得点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 (1)x 22 ＋y 2 ＝1 (2)略 解析 (1)设P(x ，y)，则有F 1P →＝(x ＋c ，y)，F 2P → ＝(x －c ，y)， PF 1→·PF 2→ ＝x 2＋y 2－c 2＝（a 2－1）x 2a 2 ＋1－c 2，x ∈[－a ，a]， 由PF 1→·PF 2→ 的最小值为0，得1－c 2＝0，∴c ＝1，a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)①当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程分别为y ＝kx ＋m ，y ＝kx ＋n ， 把l 1的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 1与椭圆C 相切，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝1＋2k 2，同理，n 2＝1＋2k 2， ∴m 2＝n 2.若m ＝n ，则l 1，l 2重合，不合题意，∴m ＝－n. 设在x 轴上存在点B(t ，0)，点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1， 则 |kt ＋m|k 2＋1·|kt －m| k 2＋1 ＝1，即|k 2t 2－m 2|＝k 2＋1， 把1＋2k 2＝m 2代入并去绝对值，整理得k 2(t 2－3)＝2或k 2(t 2－1)＝0，前式显然不恒成立； 而要使得后式对任意的k ∈R 恒成立，则t 2－1＝0，解得t ＝±1. ②当直线l 1，l 2斜率不存在时，其方程为x ＝2和x ＝－2，定点(－1，0)或(1，0)到直线l 1，l 2的距离之积为(2＋1)·(2－1)＝1， 综上所述，满足题意的定点B 为(－1，0)和(1，0)． 4．(优质试题·吉林一中二模)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)与直线x －2y ＋4＝0相切． (1)求该抛物线的方程； (2)在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得 1|AM|2＋1 |BM|2 为定值？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案 (1)y 2＝8x (2)略 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +, <一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 高二《椭圆 双曲线 抛物线》测试题 班级 姓名： 一、选择题 （每小题5分 共40分） 1、抛物线28y x =的准线方程是 （ ） (A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- ２、双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 4、双曲线与椭圆15 22 =+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ，则此双曲线方程为 （ ） A ．13 2 2=-x y B ．1322 =-x y C ．13 2 2=-y x D ．13 22 =-y x 5、已知椭圆19162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．59 B ．3 C ．7 79 D ．49 6、过抛物线焦点任意作一条弦，以这条弦为直径作圆，这个圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 7、一动圆的圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线02=-y 相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 8、以椭圆 116 252 2=+y x 的中心为顶点，以这个椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A 、 5 18 B 、 5 36 C 、 3 80 D 、 3 100 二、填空题（每小题5分 共25分） 9、抛物线的焦点为双曲线17 92 2=-y x 的左焦点，顶点在双曲线的中心，则抛物线方程为 10、抛物线y px p 2 20=>()上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为 11、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 12、设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是 13、抛物线y x =2上的点到直线l x y ：--=20的最短距离是 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一选择题（本大题共 是符合要求的） 2 y m J 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 1设双曲线 x 2 1的一个焦点为（ 0, 2），则双曲线的离心率为（）. 2 x 2椭圆 16 7 1的左、右焦点分别为 F 1, F 2，一直线经过 F i 交椭圆于A 、B 两点，则 ABF ?的周长为 A 32 B 16 C 3两个正数a 、 b 的等差中项是 ，等比中项是,6，则椭圆 1的离心率为（） 13 3 4设F 1、F 2是双曲线x 2 24 1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PR |=4|PF 2 |， 则PF 1F 2的面积为 A 4,2 8.3 C 24 D 48 2 x 5 P 是双曲线— 9 16 =1的右支上一点， M 、N 分别是圆（ x 5）2 1 和(x 5)2 y 2 =4 上的点，贝U | PM | |PN |的最大值为（ 6已知抛物线 x 2 4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点 M ,点 A(3, 2)，则 | PA| | PM | 的 最小值为（ A .10 10 C .10 D 10 2 7 一动圆与两圆 x 2 1 和 x 2 2 y 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为（ 椭圆 双曲线 D 抛物线 2 x 8若双曲线— a 2 y_ b 2 1(a 0,b 0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 率为（ ） S p FiF2=1^ 3，离心率为2,则双曲线方程的标准方程为 _______________ 2 2 2 2 xy xy 14已知椭圆 1与双曲线 1 (m, n, p,q m n p q 16 已知双曲线a 2 "2= 1 a 2 的两条渐近线的夹角为 三 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9抛物线y x 2上到直线2x y 0距离最近的点的坐标（ ) 3 5 (1,1) 3 9 D (2,4) A - J B C ,- 2 4 2 4 10已知c 是椭圆 2 2 x y 1 (a K b 0）的半焦距，则一 C 的取值范围（ ） a b a A (1, ) B (2 ) C (1,、 ② D (1,辽］ 11方程mx ny 2 0 与 mx 2 2 ny 1 (m 0, n 0,m n ）表示的曲线在同一坐标系中图 A D 2 12若AB 是抛物线y 2 2px(p 0）的动弦， 且 | AB | a(a 2 p ），则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ) 1 1 1 1 1 1 A a B -p C a -p D a — p 2 2 2 2 2 2 二填空题（本大题共 4个小题， 每小题 5分 ,共20分.把答案填写在题中横线上） 13设F i 、F 2分别是双曲线的左、右焦点, P 是双曲线上一点，且 o C .5 F 1PF 2 =60 R ,m n ），有共同的焦点F 1、 F 2，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则 |PF 1|?|PF 2|= ----------------- 15已知抛物线x 2py(p 0）上一点A （0, 4）到其焦点的距离为 17 ，贝V p = 4 —,则双曲线的离心率为 3 象可能是（ ） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 高中数学双曲线抛物线知 识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨 迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a => (1)c e e a => 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲 线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 5 4 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； _x _y _x _y （3） 与双曲线22 1916 x y - =有公共渐进线，且经过点() 3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==5 4 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x - =。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和 （0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥ 4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 5 5 13 双曲线及抛物线（作业） 例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2 b 2 = 12x 的焦点 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 【思路分析】 B ． 4 C.3 D ．5 先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】 ∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ， ∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b 2 ∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ， ∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 5 x ，即 5x ± 2 y = 0 ， 2 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d = | 3? 3 5 | = ．故选 A ． x 2 y 2 例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、 右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B ． 【思路分析】 C ．2 D ． 利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系． 设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形； 5 2 15 3 2 2 13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得 5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90? ， ∴| F 1F 2 | = = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c = ．故选 A ． a 例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为 ． 【思路分析】 利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示： ∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ， ∴点 A 到准线 x = - p 的距离d = 4 ， 2 ∵点 A 到准线 x = - p 的距离为 p ， 2 ∴ p = 4 ． | BF |2 + | BF |2 1 2 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>． 2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的 轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质 2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ． 抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ） 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+-高中数学双曲线抛物线知识点总结
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
高二数学椭圆双曲线抛物线测试题
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆、双曲线、抛物线综合测试题
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
椭圆双曲线抛物线经典求法及历年真题
高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线及抛物线(作业及答案)
高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题
高中数学双曲线及抛物线
解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)
抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析
椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案
圆锥曲线(椭圆_双曲线_抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
相关主题
文本预览