高三数学(理工农医类)
本试卷共4页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集
R U =,集合}1|||{≤=x x A ,}1log |{2≤=x x B ,则
B A U 等于
A .]1,0(
B .]1,1[-
C .]2,1(
D .]2,1[)1,( --∞
2. 设i 是虚数单位,若复数)(310R a i a ∈--是纯虚数,则a 的值为 A .-3 B .-1 C .1 D .3
3. 已知命题44,0:≥+>?x x x p ;命题2
12),,0(:00=+∞∈?x
x q ,则下列判断正确的是
A .p 是假命题
B .q 是真命题
C .)(q p ?∧是真命题
D .q p ∧?)(是真命题
4. 设n m ,是不同的直线,βα,是不同的平面,下列命题中正确的是
A .若n m n m ⊥⊥,,//βα,则βα⊥;
B .若n m n m //,,//βα⊥,则βα⊥;
C .若n m n m ⊥⊥,,//βα,则βα//;
D .若n m n m //,,//βα⊥,则βα//;
5.若)2,0(πα∈,且10
3)22cos(cos 2=++απα,则=αtan A .21 B .3
1 C .41 D .51
6. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)(2)2(x f x f =+,当]2,0[∈x 时,
???∈+-∈=]2,1[,2)1.0[,)(2x x x x x x f ,则函数)(x f y =在]4,2[上的大致图像是
7. 已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,底面△ABC 是边长为1的正三角形,棱SC 是球O 的直径且SC=2,则此三棱锥的体积为
A .62
B .63
C .32
D .22
8.某公司新招聘5名员工,分给下属的甲、乙两个
部门,其中两名英语翻译人员不能分给同一部门;
另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门, 则
不同的分配方案种数是
A .6
B .12
C .24
D .36
9. 已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点A (0,m -),B )0,(m (0>m ),若圆C 上存在点P ,使得?=∠90APB ,则m 的最大值为
A.7
B. 6
C. 5
D. 4
10. 已知函数2015
20144321)(2015
2014432x x x x x x x f +-+-+-+= ,若函数)(x f 的零点都在),,](,[Z b a b a b a ∈<内,则a b -的最小值是
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行
调查,现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样
本,已知样本中女生比男生少10人,则该校高三年级
的女生人数是 ;
12. 当输入的实数]3,2[∈x 时,执行如图所示的程序框
图,则输出的x 不小于103的概率是 ;
13. 已知G 为△ABC 的重心,令a AB =,b AC =,过点G
的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点,且m =,b n AQ =,则n
m 11+=__________. 14. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ,点O 是坐标原点,过点O ,F 的圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为π36,则抛物线的方程为 ;
15.定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足:对),0(+∞∈?x ,都有)(2)2(x f x f =;当]2,1(∈x 时,x x f -=2)(,给出如下结论: ①对Z m ∈?,有0)2(=m f ;
②函数)(x f 的值域为),0[+∞; ③存在Z n ∈,使得9)12(=+n f ; ④函数)(x f 在区间),(b a 单调递减的充分条件是“存在Z k ∈,使得)2,2(),(1+?k k b a ,其中所有正确结论的序号是: .
(请将所有正确命题的序号填上)
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分) 已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx x x ,把函数21)(+?=n m x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(?的形式后,利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时,列表并填入的部分数据如下表所示:
(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求ω的值及函数)(x f y =
在区间]6
,2[ππ-上的值域; (Ⅱ)设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知1)62(=+πA f ,
2=c ,7=a ,求?.
17.(本小题满分12分)
如图,边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,
其中AB ∥CD ,AB ⊥BC ,DC=BC=21AB=1,点M 在线
段EC 上。
(Ⅰ)证明:平面BDM ⊥平面ADEF ;
(Ⅱ)判断点M 的位置,使得平面BDM 与平面ABF
所成锐二面角为3
π。
18.(本小题满分12分)
已知等比数列数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比0>q ,2222-=a S ,243-=a S .
(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)令???????+=为偶数为奇数
n a n n n n a c n
n n ,,)2(log 22,n T 为数列{n c }的前n 项和,求n T 2.
19.(本小题满分12分)
某公司采用招考的方式引进人才,规定考生必须在B 、C 、D 三个测试点中任意选取两个进行测试,若在这两个测试点都测试合格,则可参加面试,否则不被录用。已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种,且在每个测试点的测试结果互不影响。若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点B 、C 、D 测试合格的概率分别为32,31,2
1,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是3
2. (Ⅰ)问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大?请说明理由;
(Ⅱ)假设小李选择测试点B 、C 进行测试,小王选择测试点B 、D 进行测试,记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求
随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .
20.(本小题满分13分)
已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,其焦点与双曲线C :1222
=-y x 的焦点重合,且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q 。
①设M (m ,0),当MQ MP ?为定值时,求m 的值;
②设点N 是椭圆E 上的一点,满足ON//PQ ,记△NAP 的面积为1S ,△OAQ 的面积为2S ,求1S +2S 的取值范围.
21.(本小题满分14分) 设x e
ex x g b bx x a x f =-+=)(,ln )(,其中R b a ∈,. (Ⅰ)求)(x g 的极大值;
(Ⅱ)设0,1>=a b ,若|)(1)(1||)()(|1212x g x g x f x f -<-对任意的)](4,3[,2121x x x x ≠∈恒成立,求a 的最大值;
(Ⅲ)设2-=a ,若对任意给定的],0(0e x ∈,在区间],0(e 上总存在)(,t s t s ≠,使)()()(0x g t f s f ==成立,求b 的取值范围.