《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生
B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生
B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生
B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生
φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=?
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事
件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n
k k
n k k
A P A P 1
1
)()( （n 可
以取∞）
2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP
（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n
k k
n k k
A P A P 1
1
)()(
（n 可以取∞）
（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P
（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）
（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件
A
包含
k
个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里
个不同的数，则有
中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()
中基本事件的总数
包含的基本事件数
S }{)(1
j A n k e P A P k
j i ==
=∑= §5．条件概率
（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)
()
()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件
1。
非负性：对于某一事件B ，有0)|(≥A B P
2。规范性：对于必然事件S ，1)|(=A S P
3可列可加性：设 ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有
∑∞
=∞==1
1
)()(i i i i A B P A B P
（3） 乘法定理 设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式
（4） 全概率公式： ∑==
n
i i
i
B A P B P A P 1
)|()()(
贝叶斯公式： ∑==
n
i i
i
k k k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(
§6．独立性
定义 设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与—
—
—
—
与，与，B A B A B
第二章 随机变量及其分布
§1随机变量
定义 设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随
机变量称为离散型随机变量
k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞
=1
k k P =1
2． 三种重要的离散型随机变量
（1）分布
设随机变量
X
只能取
与
1
两个值，它的分布律是
)101,0k p -1p )k (k
-1k <<===p X P （，）（，则称X 服从以p 为参数的
分布或两
点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
设实验E 只有两个可能结果：A 与—
A ，则称E 为伯努利实验.设
1)p 0p P(A)<<=（，此时p -1)A P(=—
.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的
独立实验为n 重伯努利实验。
n 2,1,0k q p k n )k X (k
-n k ，
，=???
? ??==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞
=1k k P =1注意
到k
-n k q p k n ???
?
??是二项式
n q p ）（+的展开式中出现k
p 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。 （3）泊松分布
设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为
,2,1,0,k!
e )k X (-k ==
=k P λ
λ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为
）
（λπ~X §3随机变量的分布函数
定义 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数
分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质(1) )(x F 是一个不减函数 （2）
1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ，且 （3）是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负可积函数)(x f ，使对于任意函数x 有,
dt t f )x (F x
-?
∞
=
）（则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X
的概率密度函数，简称概率密度
1 概率密度)(x f 具有以下性质，满足（1）1)(
(2) ,0)(-=≥?
+∞
∞
dx x f x f ；
（3）?
=
≤≤2
1
)()(21x x dx x f x X x P ；（4）若)(x f 在点x 处连续，则有=)(F x ，
)(x f
2,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
若连续性随机变量X 具有概率密度?????<<=，其他
，0a a -b 1)(b
x x f ，则成X 在区间(a,b)上服从
均匀分布.记为），（b a U ~X
(2)指数分布
若连续性随机变量X 的概率密度为?????>=，其他
，0
0.e
1)(x -x x f θθ
其中0>θ为常数，则称X
服从参数为θ的指数分布。
（3）正态分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
，
，）
∞<<∞=
--
x e
x f x -21)(2
2
2(σμσ
πσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为
）
，（2N ~X σμ 特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布
§5随机变量的函数的分布
定理 设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有
0)(,>x g ，则
Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为
[]?
?
?<<=其他，0,)()()(,β
αy y h y h f y f X Y 第三章 多维随机变量
§1二维随机变量
定义 设E 是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X {e}.S ==和Y(e)Y =是定义在S 上的随机变量，称X(e)X =为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y ）叫做二维随机变量
设（X ，Y ）是二维随机变量，对于任意实数x ，y ，二元函数
y}Y x P{X y)}(Y x)P{(X y x F ≤≤≤?≤=，记成），（称为二维随机变量（X ，Y ）的
分布函数
如果二维随机变量（X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X ，Y ）是离散型的随机变量。
我们称 ，
，，，2,1j i )y Y (ij j i ====p x X P 为二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布律。
对于二维随机变量（X ，Y ）的分布函数），（y x F ，如果存在非负可积函数f （x ，y ），
使对于任意x ，y 有，），（）
，（??
∞∞
=y -x
-dudv v u f y x F 则称（X ，Y ）是连续性的随机变量，
函数f （x ，y ）称为随机变量（X ，Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密
度。
§2边缘分布
二维随机变量（X ，Y ）作为一个整体，具有分布函数），（y x F .而X 和Y 都是随机
变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）
（（y ),x F X Y F ，依次称为二维随机变量（X ，Y ）
关于X 和关于Y 的边缘分布函数。
，，2,1i }x P{X p 1
j i ij i ====∑∞
=?p
，，2,1j }y P{Y p 1
i i ij ====∑∞
=?j p
分别称?i p j p ?为（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布律。
?∞∞
-=dy y x f x f X ）,()( ?∞
∞
-=dx y x f y f Y ）,()(分别称)(x f X ，
)(y f Y 为X ，Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。
§3条件分布
定义 设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若,0}{>=j y Y P 则称 ,2,1,}
{}
,{}{==
====
==?i p p y Y P y Y x X P y Y x X P j
ij j j i j i 为在j y Y =条件下
随机变量X 的条件分布律，同样
,2,1,}
{},{}{========?
j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j 为在i x X =条件下随机变量X 的条件分布律。
设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率密度为),(y x f ，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为)(y f Y ，若对于固定的y ，)(y f Y 〉0，则称
)
()
,(y f y x f Y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度，记为)(y x f Y X =
)
()
,(y f y x f Y §4相互独立的随机变量
定义 设），（y x F 及)(F x X ，)(F y Y 分别是二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有y}}P{Y {},{≤≤===x X P y Y x X P ，即
(y))F (F },{F Y X x y x =，则称随机变量X 和Y 是相互独立的。
对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互独立的充要条件是参数0=ρ
§5两个随机变量的函数的分布
1，Z=X+Y 的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f .则Z=X+Y 仍为连续性随机变量，其概率密度为?
∞
∞
-+-=
dy y y z f z f Y X ）,()(或?∞
∞
-+-=dx x z x f z f Y X ）,()(
又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则
?∞∞
-+-=dy f y z f z f Y X Y X y)()(（） 和?
∞
∞
-+-=dx x z f x f z f Y X Y X )(()(）这两个公式称为Y X f f ,的卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，的分布的分布、XY Z X
Y
Z ==
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f ，则XY Z X
Y
Z ==， 仍为连续性随机变量其概率密度分别为
dx xz x f x z f X Y ),()(?∞∞
-=dx x
z
x f x z f XY ),(1)(?
∞
∞
-=又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则可化为dx xz f x f z f Y X X Y ?∞∞
-=)()()(
dx x
z
f x f x z f Y XY )()(1)(X ?
∞
∞
-= 3的分布及，},m in{N Y }{X m ax Y X M ==
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(y F x F Y X 由于
Y}{X max ，=M 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z 故有z}Y z,P{X z}P{M ≤≤=≤又
由于X 和Y 相互独立，得到Y}{X max ，=M 的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =
},min{N Y X =的分布函数为[][])(1)(11)(min z F z F z F Y X ---=
第四章 随机变量的数字特征
§1．数学期望
定义 设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数
∑∞
=1
k k k
p x
绝对
收敛，则称级数
∑∞
=1
k k k
p x
的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=i
k k p x X E )(
设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分
?
∞
∞
-dx x xf )(绝对收敛，则称积分
?
∞
∞
-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即?+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)
（i ）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若
k
k k
p x g ∑∞
=1
(）
绝对收敛则有=)Y (E =
))((X g E k
k k
p x g ∑∞
=1
(）
（ii ）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若?
∞
∞
-dx x f x g )()(绝对收敛则
有=)Y (E =
))((X g E ?
∞
∞
-dx x f x g )()(
数学期望的几个重要性质 1设C 是常数，则有C C E =)(
2设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E = 3设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； 4设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =
§2方差
定义 设X 是一个随机变量，若[]})({2
X E X E -存在，则称[]})({2
X E X E -为X 的方
差，记为D （x ）即D （x ）=[]})({2
X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，
称为标准差或均方差。
222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=
方差的几个重要性质
1设C 是常数，则有 ,0)(=C D
2设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2
X D CX D =，D(X))(=+C X D
3设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+
40)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P
切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2
)(σ=X E ，则对于任意正数ε，不等式
22
}-X P{εσεμ≤≥成立
§3协方差及相关系数
定义 量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差为),(Y X Cov ，即
)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=
而D(Y)
D(X)Y X (XY ），Cov =
ρ称为随机变量X 和Y 的相关系数
对于任意两个随机变量X 和Y ，),(2)()()_(Y X Cov Y D X D Y X D -
+
+=+
协方差具有下述性质
1),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov == 2),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ 定理 1 1≤XY ρ
2 1=XY ρ的充要条件是，存在常数a,b 使1}{=+=bx a Y P
当
=XY ρ0时，称X 和Y 不相关
附：几种常用的概率分布表
第五章 大数定律与中心极限定理
§1． 大数定律
弱大数定理（辛欣大数定理） 设X 1，X 2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并
具有数学期望),2,1()( ==k X E k μ.作前n 个变量的算术平均∑=n
k k X n 11，则对于任意
0>ε，有1}1{lim 1
=<-∑=∞→εμn
k k n X n P
定义 设 n Y Y Y ,,21是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有
1}{lim =<-∞
→εa Y P n n ，则称序列 n Y Y Y ,,21依概率收敛于a ，记为a Y p
n ?→?
伯努利大数定理 设A f 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε〉0，有1}{
lim =<-∞
→εp n
f P n
n 或0}{
lim =≥-∞
→εp n
f P n
n §2中心极限定理
定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，服从同一
分布，且具有数学期望和方差2
)( ,)(σμ==k i X D X E （k=1,2，…），则随机变量之和
标准化变量∑=n
i k
X
1
， σ
μ
n n X
X D X E X
Y n
i k
n
k k n
k n
k k k
n ∑∑∑∑====-=
-=
1
1
1
1 )
()
(，
定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量n X X X ,,,21 …相互独立，它们具有数学期望和方差 2,1,0)( ,)(2
=>==k X D X E k k k k σμ记∑==
n
k k
n B 1
22
ε
定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量10(,),2,1(<<=p p n n n 服从参数为 η）的二项分布，则对任意x ，有)(21})
1({
lim 22
x dt e x p np np
P x
t n n Φ==≤--?
∞
--∞
→π
η
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验： 具有下述三个特点的试验： 1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间： 将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点： 样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件： 一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 必然事件： 样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件： 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。 事件间的关系与运算： 设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。 1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。 2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。 类似地，称n k U 1 =k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞ =1 为可列个事件,,21A A … 的和事件。 3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <
我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
《概率论与数理统计》读书感想 班级： 学号： 姓名：本学期我们开设了《概率论与数理统计》这门课程。在正式学习这门课程之前，我对于它的了解仅限于高中时期所学习的简单的概率与统计相关的定义、概型以及运算。在学习了这门课程之后，我对于将数学知识运用到实践中有了更加深刻的认识。 本门课程总共八章。在第一章中，我在复习到的高中时期基础知识的基础上更加深入的学习了随机事件与概率相关知识，其中我感觉比较重要的就是条件概率与乘法公式、全概率公式和被贝努力公式以及事件的独立性和N重贝努利概型。在第二章中，我理解了随即变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念，了解了泊松定理的结论和应用条件并学会了用泊松分布近似的表示二项分布，还学会了均匀分布、指数分布、正太分布及其应用。在第三章中，我们学习了二维随机变量及其分布，其中二位二维离散随机变量和二维连续型随机变量以及二维随机变量函数的分布是我感觉比较陌生的。学起来也比较吃力。第四章是随机变量的数字特征，其中数学期望、方差都是高中学过的，学起来比较简单，而协方差、相关系数和矩则是比较新的知识了。第五章是大数定律和中心极限定理，都是新内容，这期间，我掌握了切比雪夫不等式的条件和结论、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律以及辛钦大数定律成立的条件和结论，并能运用切比雪夫不等式进行简单的概率估计，另外还学习了独立同分布的中心极限定理以及棣莫弗—拉普拉斯定理的条件与结论。第六章中，主要学习了数理统计的基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量的概念、样本均值、样本方差和样本矩。第七章是参数估计的相关知识，重点是点估计、估计量以及估计值得相关概念还有矩估计法和极大似然估计法，另外，我还掌握了两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。在最后的第八章，我们主要学习了假设检验，我掌握了假设检验的基本概念，学会了对单正态总体参数的假设检验和对双正态总体均值方差的假设检验。 通过对本门课程的学习，我对概率论和数理统计有了更加深刻的了解，我相信这将对我以后的学习大有裨益。
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
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概率论学习心得 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论是十七世纪因保险事业发展而产生的，与博弈实践有关；数理统计学源于对天文和测地学中的误差分析以及中世纪欧洲流行黑死病的统计。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系就是基于统计数据的随机性。 概率论与数理统计具有很强的实用性，科学研究与社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达，并以此为基础进行定量或定性估计、描述和解释，预测其未来可能的发展状况。而对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展正是数理统计学与概率论的重要内容。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 二战后随着科技的发展特别是计算机的发展，概率论与数理统计在新的实践条件下得以迅猛发展，其理论日益完善与深入，其手段日益先进和便利，其作用日益重要和广泛，大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域，许多新兴科学都是以概率论与数理统计作为基础的，如信息论、对策论、排队论、控制论等。 概率论与数理统计不仅在自然科学中发挥重要作用，实证的方法就是基于数据分析整理并推理预测，而且在社会实践中发挥着重要的不可替代的作用，这是因为： 1、人类活动的各个领域都不同程度与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题，因此概率论与数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域都有关联。 2、组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等，都有很大的变异性、不确定性，如果说，在自然现象中尚有一些严格的、确定性的规律，在社会现象中
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量
probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律
《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数
概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】