第1讲简单几何体及其直观图、三视图
1．(2016·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与左(侧)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左(侧)视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主(正)视图可能为( )
解析：
选C.由已知条件得直观图如图所示，主(正)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA 形成的投影，应为虚线，故选C.
2．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：选B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A、C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
3.(2016·太原一模)一个正三棱柱的主(正)视图和俯视图如图所示，则这个三
棱柱的左(侧)视图的面积为( )
A．6 3 B．8
C．8 3 D．12
解析：选A.该三棱柱的左(侧)视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”
的原理知，其左(侧)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为23，左(侧)
视图的高为3，故其左(侧)视图的面积为S＝23×3＝63，故选A.
4．(2014·高考湖北卷改编)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四
面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为( )
A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
解析：选D.由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主)视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．
解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝
2
4
S＝52(cm2)．
答案：5 2 cm2
6．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．
解析：过
Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．
答案：两个圆锥的组合体
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．
解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．
答案：2
第7题图第8题图
8．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．
解析：由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正(主)视图的面积为2 3.
答案：2 3
9.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．
(1)根据所给的正(主)视图、侧(左)视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA . 解：(1)
该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2
.
(2)由侧(左)视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62
＝6 2 cm. 由正(主)视图可知AD ＝6 cm ，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中，
PA ＝PD 2＋AD 2＝
（62）2＋62
＝6 3 (cm)． 10.
某几何体的三视图如图所示． (1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．
解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个1
4
圆柱后得到的几何体．
(2)直观图如图所示．
三视图还原解读 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学(包括一些空间想象能力挺强的同学)造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道5分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．本文就三视图还原总结为“三线交汇得顶点”现从这道高考题入手． 2014年高考全国I 卷理科第12题：如图，网格纸上小正方形 的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各 条棱中，最长的棱的长度是（） A．B．6 C．D．4 正确答案是B． 解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正 方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在 的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图 中红线上的点投影而成的． 第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不 行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至 此，易知哪条棱是最长棱，求出即可 大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了． 此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合。 由三视图画直观图的方法 由立体图形的三视图想象直观图一向是诸多考试的必考项目，而这也 恰好是很多空间想象能力不足的同学的噩梦．其实利用三视图的原理可以 很有效的帮助直观图的建立，下面结合一例说明这一方法， 三视图选自2015年北京市东城区高三一模理科数学选择第7小题．
高考立体几何三视图 1（2017全国卷二理数）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36 【答案】B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2（2017北京文数） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A 60 B 30 C 20 D 10 【答案】D 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC ， 由图中数据可得该几何体的体积为115341032V =????= 3（2017北京理数）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥 的最长棱的长 度为 A 3 B 2 C 2 D 2 【答案】B 【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ， 所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ． 4（2017山东理数）由一个长方体和两个14 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 。 【答案】2+2π 【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、 高分别是2、1、1，圆柱的高为1，底面半径为1，所以 2121121=2+42 V ππ?=??+?? 5（2017全国卷一理数）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 232
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成， 如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形， 则这些梯形的面积之和为12(24)2122?+??=，故选B. 6（2017浙江文数）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A. π+12 B. π+32 C. 3+12π D. 3π+32 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，圆锥的 体积为2111π13232V π=????=，三棱锥的体积为2111213322 V =????=， 所以它的体积为12π122V V V =+= + 7．（2016全国卷1文数）如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是78 个球（如图所示），设球的半径为R ，则374π28π833V R =?=得R=2，所以它的表面积是22734π2+21784S 表ππ=????= 8．（2016全国卷2文数）右图是圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何 体的表面积为( ). A.20π B.24π C.28π D.32π 【答案】C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416S π =??= 圆锥的侧面积为212π2482S π=???=
1 三视图 1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.40+ 2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）D A 、8π B 、252π C 、12π D 、414 π 4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形， 正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A A 、2 B 、4 C 、8 3 D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ） 81 （ B ）71 （ C ）61 （ D ）5 1 61（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） C A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ） A (A) (B) (C) 8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ） ()A 6 ()B 9 () C 12 ( )D 18 侧视图俯视图 正视图 1 2
2 9、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D 10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 11 _____________.20或16 12、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于 13_____________. 14、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 16、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C ) A . B . C .6 D .4 17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 13 83 323
《由三视图还原成实物图》 ◆教材分析 三视图是新课标新增内容之一，在整个高中课程和高考中都占有重要地位。中学生在初中阶段对三视图有了初步了解，高中阶段则在初中的基础之上，进一步掌握简单空间图形（柱体，锥体，球体和台体以及它们的简单组合或者切割）三视图的画法，并能够识别三视图表示的立体模型。本节第一课时已经学习了根据立体图形画出三视图和三视图的画法规则，学生们对简单几何体的三视图有了一些了解。此外，《由三视图还原成实物图》的知识与我们日常生活、生产、科学研究等领域有着密切的联系，因此学习这部分内容有着广泛的现实意义。而且，由三视图还原成实物图是培养学生空间想象能力的重要载体，对整个立体几何的学习有深刻影响，要引起足够重视。 ◆教学目标 【知识与能力目标】 能根据三视图想象出几何体的大致形状并画出几何体的直观草图，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。
【过程与方法目标】 培养和发展学生分析问题的能力和作图能力，着重培养其空间想象能力；通过直观感知，操作确认，培养学生的应用意识。 【情感态度价值观目标】 感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 根据三视图想象对应基本几何体形状。 【教学难点】 根据三视图想象几何体的组合情况或者切割情况。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入部分 提问：上节课我们学习了通过实物图画三视图，那么三视图画法步骤有哪些? 引导学生积极思考思考并回答，课件展示画法步骤。 提问：三视图画法规则“九字诀”是什么？ 答：长对正、宽相等、高平齐 二、探究新知： 问题提出: 在实际生产中, 工人是怎样根据三视图加工零件的?
高考数学三视图还原方法归纳 方法一:还原三步曲 核心内容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状； （2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 （1）将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图； ②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图 ③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示：
经典题型： 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。 解答：（24） 例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） 答案：21+3计算过程：
步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN 如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E 、F 、M 、N 处不可能有垂直拉升的线条，而在点A 、B 、C 、D 处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点''''',,,,,F E D B G G 地位置如图； 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G 与点E 、F 分别连接，将'G 与点'E 、'F 分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
1.2.1 空间几何体的三视图（1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握画三视图的基本技能 （2）丰富学生的空间想象力 2．过程与方法 主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。 3．情感态度与价值观 （1）提高学生空间想象力 （2）体会三视图的作用 二、教学重点、难点 重点：画出简单组合体的三视图 难点：识别三视图所表示的空间几何体 三、学法与教学用具 1．学法：观察、动手实践、讨论、类比 2．教学用具：实物模型、三角板 四、教学思路 （一）创设情景，揭开课题 “横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。 在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？ （二）实践动手作图 1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论; 2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图 （1）画出球放在长方体上的三视图 （2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图 学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。 3．三视图与几何体之间的相互转化。 （1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3） 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？ （2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？ 教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。 4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。 （三）巩固练习 课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1 （四）归纳整理 请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图 （五）课外练习 1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。 2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。 仅此学习交流之用 谢谢
1 ．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 【答案】A 2 ．一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记 为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 【答案】C 3 ．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是
（ ） A ．4 B ．143 C ．163 D ．6 【答案】B 4．某几何体的三视图如题 ()5图所示,则该几何体的体积为 （ ） A ． 560 3 B ． 580 3 C ．200 D ．240 【答案】C 5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该 四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 6．某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ___ 3 π _____. 正视图 俯视图 侧视图 第5题图
【答案】 3 π 7．若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2 cm . 【答案】24 8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________. 【答案】1616π- 9．已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所 示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________
核心内容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状；（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 （1）将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图； ②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图
③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示： 经典题型： 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。 解答：（24） 例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
答案：21+3 计算过程： 步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN 如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E 、F 、M 、N 处不可能有垂直拉升的线条，而在点A 、B 、C 、D 处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点''''',,,,,F E D B G G 地位置如图； 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G 与点E 、F 分别连接，将'G 与点'E 、'F 分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。
人教版高中数学必修二 空间几何体的三视图 教学设计 山东省宁阳第四中学肖新帅
人教版高中数学必修二 §1.2.2空间几何体的三视图 宁阳四中肖新帅 教学目标： ⒈知识目标：使学生学会画三视图、体会三视图的作用，能由三视图想象几何体，从而进行几何体与其三视图之间的相互转化。 ⒉能力目标：通过三视图的学习，提高学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力。 ⒊情感目标：通过学生自己的实践，学会画三视图，从而培养学生大胆创新、敢于求异、勇于探索、自主合作的精神，并形成良好的思维习惯。 教学的重点和难点： 重点：画出空间几何体的三视图，体会三视图的作用。 难点：识别三视图所表示的空间几何体。 教学模式与手段： 直观教学法、讨论教学法、启导发现法、多媒体辅助教学法。 教学设计 过程教师活动学生活动设计意图 知识复习问题：1、什么是投影？ 2、投影分为哪几种？ 课件展示：投影的种类。 学生回忆上节 内容，相互提 点。根据理解， 用自己的语言 回答问题。 为三视图的形 成原理做好铺 垫。 创设情境展示图片： 1、两人为“6”“9”争论。 2、背面与正面。 学生观看图片， 相互讨论交流， 体会含义，得到 感悟：观察事物 要全面。 使学生能够认 识到全面细致 的观察分析， 提高学生的兴 趣，引入本节 内容。 新知探究提问：初中学习了哪些三视图的知识？。 展示：三视图的定义。 展示：三视图的形成过程。 问题：如何正确地做出几何体的三视图？ 探究一： 如图所示的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，画出 回答问题，互相 补充。 进一步了解三 视图的含义,观 看演示过程。 学生唤醒记 忆，提高学习 的信心。 使学生体会三 视图的形成原 理，正确深入 理解三视图的 本质。
三视图练习题 一、选择题 1．对几何体的三视图，下列说法正确的是() A．正视图反映物体的长和宽 B．俯视图反映物体的长和高 C．侧视图反映物体的高和宽 D．正视图反映物体的高和宽 2．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为() A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱 3．(2011－2012·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是() A．①②B．①③ C．①④D．②④ 4.一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为( ) A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥 C．四棱柱和圆锥D．正方体和球 5．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为() A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台 C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台 6．(2010·北京理，3)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( ) 7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是( ) 8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( ) 9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()
10．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是() A．三棱锥B．四棱锥 C．四棱台D．三棱台 二、填空题 11．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________． 12．(2011·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________． 13．(2011－2012·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题 14．如图所示是一个四棱柱铁块，画出它的三视图． 15．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图． 16．说出下列三视图表示的几何体： 17．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．
三视图还原——xyz 定位法 一、首先要掌握简单几何体的三视图。 正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。 二、掌握简单组合体的组合形式。 简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。 三、三视图之间的关系。 几何体的长：正视图、俯视图的长； 几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长； 几何体的高：正视图、侧视图的高。 （口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）（下面） 左视左侧（后面）正视左侧 （左面）正视右侧 （右面）左视右侧（前面） （下面） 四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。 五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。 1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原； 2、有两个视角为三角形，为椎体特征。选择底面还原（求体积可不用还原）； 3、凡是想不出来的，可用xyz 坐标定位法还原。 前面 俯视左侧 （左面）
【类型一】：（三线交汇） 例2：
【类型二】： 例3： 连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图。 而顶点又必须在这五点交点中， 所以当点数超过4个，可能不需要全部连接， 则这些点有所取舍。 第一法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形乡下折。即舍弃前面左上方的点。 故得， 第二：唯一法：正视图看，已标记下面的点必不可少；从俯视图看，上面有3个点必不可少；故只能舍弃前面左上方的点。 第三：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。从俯视图一看，便知道答案了。取舍关键：墙角点是取舍的备选。 练习
【类型三】：（八点齐飞，直观图不唯一） 例4 此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。 答案： 然而，我们发现这个三视图也可以看成，是上图中的三棱锥与另外一个三棱锥组合而成。如下图所示：M为顶点的三棱锥（四种）与上图的组合。 同理，还有其他两种形式，此处就不一一画图了。 由此得出，上题中的三视图至少有5种不同的直观图。 【三视图题目几点技巧】 1，部分椎体求体积，直接用公式（可以不还原） 2，斜二测画法与原图面积比例为定值（可以不还原） 3，三视图中，和视线垂直的线段，长度不变。 【反思】 对棱相等的四面体求体积，最简单的方法，就是放回长方体中。
高中数学三视图知识点总结及解题技巧专题汇总1、三视图的概念 （1）正投影的概念：正投影是指投影线互相平行，并都垂直于投影面的投影。 （2）三视图：物体向投影面投影所得到的图形，称为视图。将物体在三个相互垂直的平面内作垂直投影所得的三个图形，称为三视图。分别为主视图（正）、俯视图和侧（左）视图。
2、识图技巧 （1）试图位置 一般三视图的放置方式是按下图所示的标准位置，如果题目中给出的不是，那么为了解题的需要，可以把它们摆放为标准位置，便于尺寸的对应； （2）侧面与试图的关系 当几何体的侧面与投影面不平行的时候，这个角度的视图的形状就不是该侧面的形状，只有当侧面与投影面平行的时候，视图才能真实地反映几何体侧面的形状。
（3）看图要领： 主、俯视图长对正； 主、侧视图高平齐； 俯、侧视图宽相等； （4）三视图考题中选取的几何体一般有三种 （I）一些常见的几何体，如长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等等，熟悉这些几何体的三视图是个基础。 （II）上述几何体被平面截取后得到的几何体，比如将正方体消去一个角后的几何体； （III）2个几何体的组合体，比如把一个球放在一个长方体上面；
3、解题要领 （1）先确定底面——大多数试题中下，俯视图的图形都是几何体底面的真实形状； （2）找视图中有线线垂直的地方，这些关键线往往对应着几何体中线面垂直、面面垂直的地方，几何体的高很多情况就是视图平面图形的高，求几何体的体积时这一点显得尤为重要； （3）注意三视图与几何体的摆放位置直接相关，同样一个几何体若摆放位置不同，那么三视图的形状也会有变化； 4、典型例题讲解 例题1：某几何体的三视图如下，确定它的形状； 分析： （1）看俯视图，可知底面是直角三角形； （2）主视图中，SA那里是直角，而俯视图中，与SA对应的是点S，这样可以确定SA在几何体中是一条与底面垂直的棱， （3）结合以上画出直观图；
三视图还原为几何体的基础知识 一、 首先要掌握简单几何体的三视图。 正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。 二、 掌握简单组合体的组合形式。 简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。 三、 三视图之间的关系。 正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。 四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。 五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。
1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度。 3、画出整体，让后再根据三视图进行调整。 三视图还原为几何体的方法要点 1.熟悉正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆 台和球的三视图和还原图的转换。 2.要熟悉立体图当中底面形状为三角形、正方形、梯形、多边形、圆形的画法， 立体图的底面按照俯视图的外框用虚线画，一般后方都要向右偏，如正方形画成平行四边形、圆形画成椭圆形等 3.不能将后面的线重叠，画的时候不要把前后的2点画在一个L形直角上 4.俯视图中间是虚线说明立体图上面打下面小。 三视图还原为几何体的方法 1.首先根据俯视图确定立体图底面图形，用虚线画好； 2.根据正视图确定上顶点在左边还是右边 3.根据左视图确定上顶点在立体图的里面还是外面 4.连接顶点和底面的各点，有多个顶点时的原则是先连接各 顶点同一侧的底面点，再参考正视图中间连线情况连接顶点与另一侧的底面点； 5.根据三视图验证立体图，将立体图中能看到部分虚线画实 五、举例说明： 例如1（2011年天津高考试题）
三视图还原 ——七字真言闯天下 一、首先要掌握简单几何体的三视图。 正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。 二、掌握简单组合体的组合形式。 简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。 三、三视图之间的关系。 几何体的长：正视图、俯视图的长； 几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长； 几何体的高：正视图、侧视图的高。 （口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）（下面） 左视左侧（后面）正视左侧 （左面）正视右侧 （右面）左视右侧（前面） （下面） 四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。 五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。 1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原； 2、有两个视角为三角形，为椎体特征。选择底面还原（求体积可不用还原）； 3、凡是想不出来的，可用七字真言还原。（不到万不得已，不用此法） 前面 俯视左侧 （左面）
【类型一】：（三线交汇得顶点，四顶相连无悬念）
例2： 练习1练习2 类型二】： （三线交汇得顶点，各顶必在其中选、多顶可能用不完，个中取舍是关键。）例3：
连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图。 而顶点又必须在这五点交点中， 所以当点数超过4个，可能不需要全部连接， 则这些点有所取舍。 第一取舍法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形乡下折。即舍弃前面左上方的点。 故得， 第二取舍法：正视图看，已标记下面的点必不可少； 从俯视图看，上面有3个点必不可少； 又不能全部连接，故只能舍弃前面左上方的点。 第三取舍法：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。 从俯视图一看，便知道答案了。 第四取舍法：见下文。 【类型三】：（八点齐飞，直观图不唯一） 例4 此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。 答案见下一页，先试试再翻页吧
俯 视 侧（左）视 2 4 主（正）视图 三视图 专题练习： 1.一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为___________. 2.一个几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的表面积为______. 3.如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ） A ． π3 B ． π2 C ． π2 3 D ． π4 4.右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积为 （ ） A ．6 B ．8 C ．16D ． 24 正视图侧视图俯视图 1223112 2 31第3题图 主视图俯视图 左视图
5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+ D. 23 43 π+ 6.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2 m ）为 （A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+242 7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是3 cm ． 2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 俯视图
8.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为3 m 9.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a_______ 10.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1 2 。则该集合 体的俯视图可以是
11.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 (A)9π （B ）10π (C)11π (D)12π 答案： 1. 243+ 2. 2412π+ 3.A. 4.B 5.C. 6.A. 7.18. 8.4. 9. 3 10.C 11.D （11）一个体积为 1 6 的三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则这个三棱锥左视图 的面积为 ． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2 （B ） 43 （C ）4 （D ）5 （12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ； 表面积为 ． 左视图 主视图 俯视图 2 正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 2 3 1 2 5 1 1 正视图 侧视图 1 1 俯视图
三视图还原立体图 1.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（） A．26 B．27 C．57 2 D．28 2.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 A. 3 B. 93 2 C. 63 + D. 623 +
3.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确 ．．的是 【答案】A 【解析】根据三视图的定义，可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形；侧视图和正视图一样，故答案为A. 4.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是 6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 A. 104342++ B ．102342++ C. 142342++ D. 正视图 侧视图 D. 正视图 侧视图 B. 正视图 侧视图 A. 正视图 侧视图 C.
144342++ 【答案】B 【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥 其中ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB=AD=2，BC=4，即 PA ⊥平面ABCD ，PA=2。且22CD =,， 22PD =,22PB =,,26PC =,底面梯形的面积为 (24)262+?=， 12222PAB S ?=??=,12222PAD S ?=??=,1224422 PBC S ?=??=,侧面三角形DPC 中的高22(22)(6)2DO =-=， 所以1 262232PDC S ?=??=，所以该几何体的总面积为 6222342102342++++=++，选B. 7.空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）8＋25 （B ）6＋25 （C ）8＋23 （B ）6＋23
高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧． 2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）： 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ） A ．26 B ．6 C ．24 D ．4 正确答案是 B ． 解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为 ，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原． 先画出一个正方体，如图（1）：
第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的． 第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可．
每日一题[280] 三视图还原——七字真言闯天下2015年10月26日 大雨瓢泼 数海拾贝 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧． 2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）： 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ） A ． B ． C ． D ．正确答案是 B． 5162 √6 42 √4
解 由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原． 先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必 定是由图中红线上的点投影而成的． 第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表 示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表 示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可． 4
§1.2.2空间几何体的三视图 ⒈知识目标：使学生学会画三视图、体会三视图的作用，能由三视图想象几何体，从而进行几何体与其三视图之间的相互转化。 ⒉能力目标：通过三视图的学习，提高学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力。 ⒊情感目标：通过学生自己的实践，学会画三视图，从而培养学生大胆创新、勇于探索、 自主合作的精神，培养学生的空间想象能力和动手操作能力,生活中让学生学会多角度看问题. 教学的重点和难点： 重点：画出空间几何体的三视图，体会三视图的作用。 难点：识别三视图所表示的空间几何体。 教学模式与手段： 直观教学法、讨论教学法、启导发现法、多媒体辅助教学法。 教材分析： 这节课主要是让学生经历从不同方向观察物体的活动过程，体会从不同方向观察同一物体可能会看到不同的平面图形，能识别几何体的三视图，会画立方体及其简单组合体的三视图，了解三视图在现实生活中的应用价值。通过学习，进一步发展学生的空间观念，让学生逐步形成对空间图形与平面图形的认识与区别，体会现实生活中处处有图形，处处有数学。在生活中，我们观察与评价同一个人，同一件事也应该从不同角度去考虑，只有这样，才会发现许多美好的闪光的东西，从而感受生活是多么的美好。这一课时的内容是教师有意识的培养学生主动探索精神和合作学习的好材料,同时也是向学生渗透空间观念，培养空间感的好时机。 设计理念： 本节课在设计上注重课堂的开放性，力求充满生命活力，在学习过程中让学生主动参与，使学生在参与活动过程中感受体验由空间物体到平面图形的相互转换。 教学设计 过程教师活动学生活动设计意图 创设展示茶壶的图片：学生观看图片，使学生能够认
三视图是高中立体几何的基本内容，是培养高中生空间观念的主要内容。纵观近几年的高考，有关三视图的考察逐年稳定，几乎成为各个卷型的必考题之一。这种题型的本质即为由三视图还原直观图，考察知识单一，目标明确，属于基础题目。但从得分情况来看，并不乐观。王坤通过调查发现：学生在由三视图还原直观图时，没有认真分析三个图形的特征，即开始还原；还原时，不根据图形特征考虑还原方法；不清楚三视图是怎么形成的；进行检验时，不画出还原后的几何体的三视图对照原三视图，只画一个或两个视图。要解决这些问题，就必须明确的给出由三视图还原直观图的方法，让学生有迹可循，有规可依。下面就以2012—2016年高考题为例，从不同角度进行分析， 一、割补法 1、（2014高考安徽卷文第8题）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ） A.233 B.476 C. 6 D. 7 分析：在三视图问题中，如果其中有正方形出现，我们就可以考虑采取用切割正方体的办法。具体做法： 如图，我们先画出正方体，然后将三视图中出现的线画在正方体上，注意点的位置，以及实线画在前面的面，虚线画在后面的面上，最后按照所画的线进行切割，就可以得到我们所需要的几何体的形状，并且由于该几何体边长均有正方体有关，所以很容易求出体积. 解析：如图1第一步先做出正方体并画出正视图中实线与虚线（实线画在前面的面，虚线画在后面的面上），同理做出其它面上的线可得图2，最后我们切割可得所求几何体. 由三视图可得，该多面体的的直观图是一个正方体1111ABCD A B C D -挖去左下角三棱锥EFG A -和右 上角三棱锥''''G F E C -，如下图，则多面体的体积3 2311121312222=?????-??=V ，故选A. 2、（2015高考新课标2理6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去
高中数学三视图技巧 篇一:三视图还原技巧 核心内容: 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤: (1)先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状; (2)依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升)，由高平齐确定其长短; (3)将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 (1)将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤: 1 ?依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图; ?依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置;如图 ?将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示: 经典题型:
例题1:若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于( )cm3。 解答:(24) 例题2:一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( ) 答案:21+ 计算过程: 步骤如下: 第一步:在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图; 第二步:依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不 可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和 左视图中高度及节点确定点G,G',B',D',E',F'地位置如图; 2 第三步:由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将G'与点 E'、F'分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3:如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是( ) 答案:(6) 还原图形方法一: 若由主视图引发，具体步骤如下: (1)依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图: (2)依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能 有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视 图中长度，确定点D的位置如图: (3)将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示: