经济数学基础2012年7月期末考试复习资料（共四部分，77题） 第一部分单项选择（1—5题）、填空（2—10题）.（每小题3分，共52题考10题）第1、6小题试题知识点范围 第一编微分学第1章函数（重点考试类型四个，共9题）
类型一：利用函数三要素判断两个函数相等
函数的两要素：1、定义域：使函数（解析式）有意义的自变量x 的范围2、对应关系：
)(x f y =
1.下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等.
A.x x g x x f ==)(,)()(2
B.1)(,1
1)(2
+=--=x x g x x x f
C x x g x y ln 2)(,ln 2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 1解答：D.
1cos sin )(22=+=x x x f 三角恒等式所以选D
类型二：利用三种基本形式求函数的定义域及间断点的判定 三种基本形式（①
)
(1
x f 0)(≠x f ②
)(x f 0)(≥x f ③)
(ln
x f
0)( x f ）
2、函数
x
x y -+
+=41)2ln(的定义域是（A ）
A.（-2，4）
B.
()()+∞?-,44,,2
C.
)
4,(-∞ D.
()+∞-,2 2解答. 根据定义域的基本类型：
??
?>->+0402x x 4
2
<->x x ∴ ∈x （-2，4）∴
选A
3.函数
?
??<≤-<≤-+=20,10
5,2)(2
x x x x x f 的定义域是[)2,5- 3.解答：2005<≤?<≤
-x x
?25<≤-x 即 [)2,5-
4、函数
2
33
)(2
+--=
x x x x f 的间断点是2;1==x x 。
4解答：0232
=+-x x ? 0)2)(1(=--x x
? 11
=x 22=x ∴ 间断点是11=x 22=x
类型三：求函数值的两种方法 1、已知)(x f 求[])(x f ? （代入法）
5.设
x
x f 1
)(=
，则))((x f f =（C ） A. x 1 B. 21x
C.x
D. 2x
5解答：(
)()
11)(=
?=f x
x f
[]()
x x
x f x f f ===
=
1
1
)(11
)( ∴ 选C
6.生产某产品的成本函数为q q C 280)
(+=，则当产量50
=q 单位时，该产品的平均成本为 3.6 . 6解答：q
q C q C )
()(= 6.3505028050)50()50(=?+==C C
2、已知[])(x f ?求)(x f （变量替换法）
7.若函数62)1(2+-=-x x x f ，则5)(2+=x x f
7解答： 令
t x =-11+=t x
()56)1(2162)()1(22
2+=++-+=+-==-t t t x x t f x f
∴ 5)(2
+=x
x f
类型四：应用求
)(x f -的值判断函数的奇偶性及奇偶函数的几何性
质
??
?-=-)()()(x f x f x f
是奇函数对称坐标原点
则轴是偶函数对称则)()(x f y x f 8.下列函数中为偶函数的是（A ） A.x x y sin = B.x x y +=2
C.
x x y --=22 D. x x y cos =
8
解：对答案
A
判断
x x x f y sin )(==
()()()
sin =f
)(sin )sin ()sin()()(x f x x x x x x x f ==-?-=--=-
∴ 选A
9.设
2
1010)(x
x x f -+=
，则函数的图形关于 y 轴对称。
9解答：(
)()()
2
1010-+=
f ∴
()2
1010)(x x x f ---+=
-=21010x
x -+=)(x f
∴
)(x f 是偶函数，偶函数关于
y 轴对称。第2、7小题试题知识
点范围 第一编微分学第2章极限与导数微分（重点考试类型七个，共14题）类型一：利用极限的运算性质、重要极限公式和无穷小量与有界量的关系求极限
1、和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商
2、1sin lim 0=→x
x x
3、无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
4、常函数的极限等于常函数
10 已知
1sin )(-=
x
x
x f ，当（A ）时)(x f 为无穷小量。 A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D.+∞→x
10解答：
0111sin 1sin lim 0
00=-=-=??
?
??-→→→x x x im l x x im l x x （,1sin lim 0=→x
x
x 重要极限公式；常数的极限等于本身） ∴ 选A
11. 当x →0时，变量（D ）是无穷小量．
A.
x
31 B.
x
x
sin C. )2ln(+x D. x x 1sin
11解答：01
sin lim 0=→x
x x
∵当0→x 时x 是无穷小量，x
1
sin 是有界量，利用无穷小量与
有界量的乘积仍是无穷小量 ∴ 选D
12.求极限x
x
x x +∞→sin lim = 1 .
12
解答
1101sin 1sin lim =+=+=??
? ??+∞→∞→∞→x x x im l x x im l x x （01lim =∞→x x ∴是有界函数是无穷小量；x x
x sin 1,∞→） 类型二：应用极限值等于函数值判断函数的连续性
)(lim )(0
0x f x f x x →=
13、 已知
??
?
??=≠--=1
11
1)(2x a x x x x f ，若
f x ()在)
,(∞+-∞内连续，则=a 2 .
13解答：
2
11)1(1
)
1)(1(11112
1=+=+=-+-=--→→→x im l x x x im l x x im
l x x x
a f =)1( ∵ 在1处连续 ∴2)(lim )1(1
==→x f f x 2=a
类型三：利用极限的定义及常函数的导数为零求导 14.若f （x ）=cos
4
π,则0
lim
→?x x
x f x x f ?-?+)
()(=（A ）
A.0
B.22
C.-sin 4π
D. sin 4π
14解答：)()
()(0
x f x
x f x x f im
l
x '=?-?+→?
∵ 2
24
cos )(=
=πx f 是常函数，常函数的导数为零 ∴ 选A 15. 已知
x x f 2cos )(=，则[]=')0(f 0 .
15.解答：
1cos 2cos )0(0==f 则 []()01cos )0(='='f
类型四：利用导数的几何意义求切线斜率或切线方程 1.导数的几何意义：函数)(x f y = 在某点处的导数，就是曲线在
该处的切线切线斜率。 2、切线方程：
))((000x x x y y y -'=-
16.曲线
1
1+=
x y 在点（0，1）处的切线斜率为（A ）.
A.21-
B. 2
1
C.
3
)
1(21+x D.3
)
1(21+-
x
16.解答：
()()()()2323211211121111-
--+-='+?+-='??????+='???
? ??+='x x x x x y
()2
11021)0(23-=+-='-
y ∴ 选 A
17.曲线y=sinx 在点（π，0）的切线斜率是（-1）
17解答：()x x y cos sin ='
=' 1cos )(-=='ππy
18. 曲线
x
y =
在点(4, 2)处的切线方程为04
4=+-y x
18
解
答
：
()
x x x x y 212112
1
21=='???? ??='
=
'-
4
1
4
21)4(=
'=
'y )2,4(),(00=y x ∴
))((000x x x y y y -'=-
? )4(4
1
2-=-x y 整理得： 044=+-y x
类型五：利用导数判断函数的单调性 单调性：0)( x f
'正值，↑)(x f 单调递增 ； 0)( x f '负值，
↓)(x f 单调递增
19.下列函数在区间（-,∞+)∞上单调增加的是（C ） A.sinx B.
X
21 C.X 3 D.1-3
x
19、解答：对C 来讲
()
3
ln
33x x
='
0ln 3> x 3在()+∞∞-,永远大于0
∴ 0ln 3
3>x
x y 3=在()+∞∞-,是单调增加的函数 ∴选C
20.下列函数在区间),(+∞-∞上是单调下降的是（D ） A.x sin B. x
3 C. 2
x D. x -5 20解答:对D 来讲 ()1105-=-='-x 01<-
∴
()015<-='
-='x y x y -=5在()+∞∞-,
上是单调下降的函数 ∴选D 类型六：利用导数求函数的驻点 驻点：导数值等于零的点 21.函数y=(x-2)3
的驻点是2=x
21解答：
()
[
]()
()()22
3
232232-='
-?-='-='x x x x y
令
0='y ? ()0232=-x ? 2=x 是驻点
类型七：利用导数求需求量弹性 弹性公式：)()
(p q p q p
E p '?=
22.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性
为)(D E p
=。
A.
p
p 23- B.
p p
23-
C. p
p
23--
D.
p
p
23--
22.解答：
()
p p p p p q 12122023)(21
21-=?-='???
? ???-='
-='- 选 D 23需求量q 对价格p 的函数为2
100)(p e
p q -
=，则需求弹性
)(A E p =.
p
p 23、解答：
2
100)(p e
p q -
=
22
50)2
(100)(p
p e p
e
p q --
-='-='选 A
第3、8小题试题知识点范围 第二编第1章不定积分、第2章定积
分部分第3章积分应用（重点考试类型六个，共9题） 类型一：利用不定积分的定于求原函数 24.下列函数中，（D ）是2sin x x 的原函数。
A.
2cos 21x B. 2cos 2x C. 2cos x - D. 2cos 2
1
x - 24解答方法1：对于答案D ：
()()()
'?--='-='
??
? ??-='2
222sin 21cos 21cos 21x x x x y ()22sin 2sin 2
1
x x x x =?=
所以选D 24解答方法2：选 D 类型二：不定积分的基本性质 基本性质积分的基本性质: 1
?=')
())((x f dx x f
)1'?=dx x f dx x f d )())((
2)
?+='c x f dx x f )()( )2'?+=c x f x df )()(
25.若
?++=c x dx x f x
222
)(，则x x f x 4ln 2)(2+=
25 解答：根据不定积分的性质，两边同时求导
()()x c x dx x f x
x 4ln 222)(22
+='++='
?
? [])()(x f dx x f ='
? ∴x x f x
4ln 2)(2
+=
26.若)(x f '存在且连续，则[]'
?
)(x df =)(x f '
26解答：
?+=c x f x df )()( []
())()()(x f c x f x df '='+='?
类型三：利用凑微分法求不定积分
所有的微分公式 左右倒置都是凑微分公式 但常用的有五类
①对数函数x d dx x ln 1= ②指数函数
x x de dx e =
③三角函数x d xdx
sin cos = x d xdx cos sin -=
④幂函数221dx xdx =x d dx x
1
12
-=)(b ax d adx += 27.若
c x F x x f +=?)(
d )(，
则
x f )d x -(1x 2
?
=()
c x F +--212
1
27解答：
(
)()()()
2
222
12121211dx x f xdx x f dx x xf ?
??-?=?-=-()()[]()()
2
2221121121x
d x f x d x f ---=---=
?
? 令u x =-21 ()()2
21121x
d x f ---?=?-du u f )(21 ∵
?+=c x F dx x f )()( ∴?+=c u F du u f )()( ? ()()()
c x F x
d x f +--=---
?2
2212
11121 类型四：利用牛--莱公式计算定积分
牛顿－莱布尼茨公式：F(x)是f(x)d 一个原函数则
b a
b
a
x F a F b F dx x f ?
=-=)
()()()(
28.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是（B ）.
A
)()()(a F b F dx x f b
a
-='?
B.)()()(a F x F dx x f x
a
-=?
C.
)()()(a f b f dx x F b
a
-=?
D. ?=x
a
x F dx x f )()(
28解答： 是)(x F )(x f 的一个原函
∴
)()()()(a F x F x F dx x f x
a
x
a -==?
∴ 选 B
类型五：利用奇偶函数在对称区间上的积分性质计算定积分 奇偶函数在对称区间上的积分性质
?
?-???
??=a
a
a
dx x f dx x f 0
)(20)( 是偶函数
是奇函数)()(x f x f
29.下列定积分中积分值为0的是（B ）．
A ．
x x x d sin ?-π
π B ．x x
x d 2221
1?---
C ．x x
x d 2e e 1
1?--+ D ．x x x d )cos (22
3?-+π
π 29解答：对于B 答案中的被积函数
2
22)(x
x x f --=
则
)(2
222
22
)()
(x f x f x
x
x x
-=--
=-=
-----
∴][是奇函数在1,1)(-x f
根据奇函数在对称区间上的积分值为0 ∴ 选 B
30.
?
-=+1
1
)1cos (dx x x 2
30解答：
()???---+=+1
11111cos 1cos dx xdx x dx x x
x 是奇函数 x cos 是偶函数 x x cos ∴是奇函数 故
?-=1
1
0cos xdx x
2)1(111
1
1
=--==--?
x
dx ∴ ()21cos 1
1
=+?-dx x x
类型六：计算无穷积分 无穷积分：1、
?
?
+∞
+∞→=b
a
a
b dx x f dx x f )(lim
)(
2、
?
?
∞
--∞→=b
a
b
a dx x f dx x f )(lim
)(
31.
?+∞
=131
dx x （ C ）.
A.0
B. 2
1
- C. 21 D. ∞
31解答方法1:
2
1
2102111
1
2
3=+
-=-=+∞
∞
+?
x dx x 31解答方法2：
b
b b
b x
dx x ∞
+∞→∞+∞→-=?231
lim 211lim
=2
1
)10(21)11(lim 212=--=--
+∞→b b ∴ 选C 无穷积分收敛
32.下列无穷积分中收敛的是（B ） A.
?
+∞
1
dx e x B. ?
+∞
1
2
1
dx x C.
?
+∞
1
3
1dx x
D. ?
+∞1
1dx x
32解答：根据定理对幂函数a
x 1
当1>a
时 无穷积分?
+∞
1
1dx x
a 收敛； 当1≤a 时 无穷积分?
+∞
1
1
dx x a
发散 ∴ 选 B
第4、9小题试题知识点范围 线性代数第2章矩阵（重点考试类型四个共10题）
类型一：利用矩阵相加和相乘的条件判断积矩阵的结构
矩阵相乘的条件：1前面矩阵（左边）的列数与后面矩阵（右边）
的行数相等时才能相乘
33.设A 为n m ?
矩阵，B 为t s ?矩阵，且乘积矩阵B AC
T
有意
义,则C 为（D ）矩阵．
33解答：n m A ? t s B ? 由于
T AC ； B C T 有意义
∴ T C 为s n ?矩阵 C 为n s ?矩阵 ∴ 选 D
34.两个矩阵A 、B 既可相加又可相乘的充分必要条件是同阶方阵. 34解答： ① A ，B 可相加，
则 A ，B 为同形矩阵 即若n m A ?则 n m B ? ②
A ，
B 可相乘 则 m n = AB ∴为同阶方阵
类型二：矩阵乘法的特性、对称矩阵的性质、可逆矩阵的性质、可交换矩阵的性质
1、对称矩阵：若称矩A 满足
T A A =则
A 为对称矩阵。特点
ji ij a a =
2、可交换矩阵：若
A B B A ?=? 则称A 与B 可交换
35.以下结论或等式正确的是（C ）
A.若
A ，
B 均为零矩阵，则有A =B B. 若A B =A
C ，且O A ≠，则B =C
C.对角矩阵是对称矩阵
D. 若O A ≠，O B ≠，则O AB ≠
35解答：对于答案C 对角矩阵：主对角线上的元素不全为零，其它的元素全为零，所以满足ji ij a a =是对称矩阵 ∴ 选 C
36.设A=????
??????--03152321
α，当α= 1 时，A 是对称矩阵.
36解答：A 是对称矩阵.ji ij a a = 2332a a ==α
123=a 1=∴α
37.设
B A ,均为n 阶矩阵，则等式2
222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是
BA AB =
37
解答：()
222
B BA AB A B A +--=- 由题目所给条件
2222)(B AB A B A +-=-?BA AB = 即A 、B 是可交
换矩阵
类型三：可逆矩阵的性质及转置矩阵的性质
1、转置矩阵（矩阵的转置）将矩阵的行列互换叫转置矩阵记为T A 转置矩阵的性质：A A T
T
=)
( T T T A B B A ?=?)(
2、若A 、B 为方阵且AB=BA=I 则称A 为B 的逆矩阵，记为B A =-1
逆矩阵的性质：A A =--1
1)(111)(---=A B AB
38.设A ，B 为同阶方阵，则下列命题正确的是（D ） A.若O AB =，则必有
O A =或O B =
B. 若O AB ≠，则必有O A ≠或
C.O B
≠ C.若秩0)(≠A ，秩0)(≠B ，则秩0)(≠AB
D. 111
)
(---≠B A AB
38解答：由逆矩阵的运算性质知 ()111---?=A B AB
即
()111---≠B A AB ∴ 选D
39. 设A 是可逆矩阵，且A+AB=I ，则A 1
-=（C ）.
A. B
B. 1+B
C. I+B
D. 1)(--AB I
39解答：
()I
B I A AB A =+=+根据逆矩阵性质
I AA =-1
B I A +=∴-1 ∴ 选 C
40．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）. A.
()
()
T
T B A AB 1
11
---= B. ()
T T T
B A AB =
C.
()
111
---=A B AB T D. ()T T T A B AB =
40解答：由转置矩阵的性质知()T T T
A B AB ?= ∴ 选 D
41.设矩阵A=??
????
-3421，I 为单位矩阵，则（I-A ）T =??????--2240
41解： I-
A=()??
????--=????
??-----=?????
?--??????2420
314
0201134
211001 （I-A ）
T
=
??
?
???--=??????--22402420T
类型四：运用矩阵的初等变换求矩阵的秩
1、矩阵的秩：就是运用矩阵的初等变换所化成的阶梯型矩阵非零行的行数。
42.矩阵????
??????---431102111的秩为 2 。
42解：
A
??
??
?
?????---=431102111????→
?-??-???+??1
3)
2(12????
?
?????---320320111??→
??
?+??23????
?
?????--000320111 阶梯型矩阵有两个非零行∴
第5、10小题试题知识点范围 线性代数第3章线性方程组矩阵（重点考试类型五个，共11题） 类型一：消元法解线性方程组
43.用消元法解线性方程组??
???=-=+=-+20142332321x x x x x x ，得到的解为（C ）
A. ?????-===201321x x x
B. ?????-==-=227
3
21x x x
C. ?????-==-=2
211
3
2
1x x x D. ?????-=-=-=2211321x x x
43
解答：)3()2()
1(20142332321→→→??
?
??=-=+=-+x x x x x x 由方程（3）得23-=x 代入方程 （2）得 022=-x ? 22=x 将22=x 2
3-=x 代入方程（3）得
1)2(4221=-?-?+x ?
111-=x
∴ ???
??-==-=22113
21x x x 为方程组的解 ∴ 选 C
类型二：线性方程组解的判定 1、若齐次线性方程组
O AX =
则???=非零解）时方程组有无穷多解（
秩（解）是方程组有唯一解（零秩（n A n A ))
2、若非齐次线性方程组
b AX =
则????
??
???≠??
?<==无解时秩秩有无穷多解时秩有唯一解时秩有解时秩秩)()(..)(.
.)(.)()(A A n A n A A A
44.设线性方程组
b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组
O AX =（C ）
A.无解
B. 有非零解
C. 只有零解
D.解不能确定 44解答：b AX =有唯一解 n A r A r ==)()((n 代表未知量的个数) 则
0=AX ? n A r =)(
∴齐次线性方程组只有零解 ∴ 选 C 45.若线性方程组??
?=+=-0
2121x x x x λ有非0解，则λ= -1 .
45解答：??
????-=
λ111A ??→??
?-??12??
????+-1011λ
∴
方程组有非零解须
2
)(=n A r
1)(=A r
01=+λ ?1-=λ
46.已知齐次线性方程组O =AX 中的A 为3×5矩阵，
且该方程组有非0解，则
≤)(A r 3 .
46解答：
A 是3×5矩阵 未知量的个数n=5
有定理知{}53m in )
(、≤A r
∴3)(≤A r 。
47. 齐次线性方程组0=AX )(n m A ?是只有零解的充分
必要条件是
)
(A r n m =≥
47解答：
=AX
n
m A ? 未知量的个数是n 个
11???=?m n n m O X A 只有零解 ? n A r =)
(
? )(A r n m =≥
48.若线性方程组的增广矩阵为???
???--=06
211λA ，则当λ=（ B ）时线性方程组无解. A.3 B.-3 C.1 D.-1 48解答： ??
????---??→???????--??→?????
??--=??-?????????1300311103106
21112122
12λλ
λA
方程组无解 )()(A r A r ≠ 2)(=A r
? 1)(=A r 03=--λ 3-=λ 选 B
49线性方程组?
???
??1111??????21x x =??
?
???01解的情况是（D ） A. 有唯一解 B.有无穷多解 C. 只有零解 D. 无解
49
解答：
??????=011111A ??→??
?-??12?
?
????-100111 2)(=A r 1)(=A r ∴ )()(A r A r ≠
方程组无解 选D
类型三：线性方程组解的结构
方程组解未知量的个数=r(A),自由未知量的个数=n-r(A) 50.齐次线性方程组
=AX 的系数矩阵为
A
=
????
??????--000020103211，则此方程组的一般解为
??
?=--=为自由未知量）434
24
31,(22x x x x x x x
50
解答：??
??
?
?????--=000020103211A ??→??
?+??21????
?
?????-000020101201
∴
?
?
?=--=为自由未知量）43424
31,(22x x x x x x x
51.设齐次线性方程组O X A n n m =??1，且n r A r <=)(，则其一
般解中的自由未知量的个数等于r
n -.
51解答： r A r =)
(根据齐次方程组解的结构定理： 自由未知量
的个数=未知量的个数—系数矩阵的秩=r n A r n -=-)(
52设线性方程组
b AX
=的增广矩阵为?????
???????------12422062110621104123
1，
则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ） A.1 B.2 C.3 D.4 52解答：
22423)1(212422062110621104123
1124220621106211041231???-????+??-?????→??????
???????------???→?????????????------=A ?
?
?
??
?
??????--00000000006211041
231 ∴42)()(=<==n A r A r
自由未知量的个数= 224)(=-=-A r n ∴选 B
第二部分微积分计算（11、12题每题10分 共9
题考2题）
第11小题试题知识点范围 微积分第2章导数微分（重点考试类型三个，共5题） 类型一：求导数
53. 设y=cos x 2-sin 2
x , 求y '
53解答：
(
)()()'
-'='-='2
2
sin 2cos sin 2cos x x y x
x ()()
'
?-'?-=2
2cos 22sin x x x x 22cos 22sin ln 2x x x x --=
54. 设y=2sin 2x x
， 求y '
54解答：
(
)()()x
x
x x x x y 2
sin sin 2sin 22
2
2
?'+'='='()
x
x x x x 2cos sin ln 22222?'
?+=222cos 22sin ln 2x x x x x ?+=
类型二：求导数值 55．设y=
x
x --+1)
1ln(1, 求
y '(0)
55解答：
()()[]()()()
[]
()21111ln 111ln 11ln 1x x x x y x x x -+'---'+=
'??
????-+='+--()()()()
[]
()2
11ln 11011110x x x x x -+---??????'-?-+=
+
()()[]
()2
11ln 11011
x x x -++--=
+()()2
11ln 111
x x
x -++--=
+
()()
()
01001ln 1101ln 1011
012
01=+=++-=-++--
=
'+y