《8.2 消元——解二元一次方程组》教案
第1课时 代入法
【教学目标】
会用代入法解二元一次方程组．(重点) 【教学过程】 一、情境导入
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？
我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组???x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.
可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？ 二、合作探究
探究点：用代入法解二元一次方程组 【类型一】 用代入法解二元一次方程组
用代入法解下列方程组： (1)???2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；②
(2)???2x －3y ＝1，①y ＋14
＝x ＋23.②
解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x ＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为??
?2x －3y ＝1，③
4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12
.
解：(1)由②，得x ＝1－5y .③
把③代入①，得2(1－5y )＋3y ＝－19， 2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3. 把y ＝3代入③，得x ＝－14. 所以原方程组的解是???x ＝－14，
y ＝3；
(2)将原方程组整理，得???2x －3y ＝1，③
4x －3y ＝－5.④
由③，得x ＝
3y ＋12
.⑤ 把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5， 3y ＝－7，y ＝－7
3
.
把y ＝－7
3
代入⑤，得x ＝－3.
所以原方程组的解是???x ＝－3，
y ＝－73.
方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
【类型二】 整体代入法解二元一次方程组
解方程组：???x ＋1
3＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.② 解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．
解：由①，得x ＋1＝6y .把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y －y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋1
3＝2×1，x ＝5.所以原方程组的解为???x ＝5，
y ＝1.
方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值
已知???x ＝2，y ＝1是二元一次方程组???ax ＋by ＝7，ax －by ＝1
的解，则a －b 的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．3
解析：把解代入原方程组得???2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得???a ＝2，
b ＝3，所以a －b ＝－1.故选
B.
方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
三、板书设计
解二元一,次方程组)???基本思路是“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
【教学反思】
回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力
第2课时 加减法
【教学目标】
会用加减法解二元一次方程组．(重点) 【教学过程】 一、情境导入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组???2x ＋3y ＝－1，①
2x －3y ＝5②
呢？ 1．用代入法解(消x )方程组． 2．解完后思考：
用“整体代换”的思想把2x 作为一个整体代入消元求解．
3．还有没有更简单的解法？
由x 的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x 求解？ 4．思考：
(1)两方程相减的依据是什么？ (2)目的是什么？
(3)相减时要特别注意什么？ 二、合作探究
探究点一：用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解下列方程组： (1)???4x ＋3y ＝3，①3x －2y ＝15；②
(2)?????1－0.3（y －2）＝x ＋1
5，①y －14＝4x ＋920－1.②
解析：(1)观察x ，y 的两组系数，x 的系数的最小公倍数是12，y 的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y ，把方程①的两边同乘以2，得8x ＋6y ＝6③，把方程②的两边同乘以3，得9x －6y ＝45④，把③与④相加就可以消去y ；(2)先化简方程组，得???2x ＋3y ＝14，③
4x －5y ＝6.④观察其系数，方程④中x 的系数恰好是方程
③中x 的系数的2倍，所以应选择消去x ，把方程③两边都乘以2，得4x ＋6y ＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减，就可以消去x .
解：(1)①×2，得8x ＋6y ＝6.③ ②×3，得9x －6y ＝45.④ ③＋④，得17x ＝51，x ＝3.
把x ＝3代入①，得4×3＋3y ＝3，y ＝－3. 所以原方程组的解是???x ＝3，
y ＝－3；
(2)先化简方程组，得?
??2x ＋3y ＝14，③
4x －5y ＝6.④
③×2，得4x ＋6y ＝28.⑤ ⑤－④，得11y ＝22，y ＝2.
把y ＝2代入④，得4x －5×2＝6，x ＝4. 所以原方程组的解是???x ＝4，
y ＝2.
方法总结：用加减消元法解二元一次方程组时，决定消去哪个未知数很重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数．复杂的方程组一定要先化简，再观察思考消元方案．
探究点二：用加减法整体代入求值
已知x 、y 满足方程组???x ＋3y ＝5，
3x ＋y ＝－1，
求代数式x －y 的值．
解析：观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x －2y ＝－6，从而求出x －y 的值．
解：???x ＋3y ＝5，①3x ＋y ＝－1，②②－①，得2x －2y ＝－1－5，③ ③2，得x －y ＝－3.
方法总结：解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
探究点三：构造二元一次方程组求值
已知x m －n ＋1y 与－2x n －1y 3m －2n －5是同类项，求m 和n 的值．
解析：根据同类项的概念，可列出含字母m 和n 的方程组，从而求出m 和
n .
解：因为x
m －n ＋1
y 与－2x n －1y
3m －2n －5
是同类项，所以???m －n ＋1＝n －1，①
3m －2n －5＝1.②
整理，得?
??m －2n ＋2＝0，③
3m －2n －6＝0.④
④－③，得2m ＝8，所以m ＝4.把m ＝4代入③，得2n ＝6，所以n ＝3.所以当???m ＝4，
n ＝3
时，x m －n ＋1y 与－2x n －1y 3m －2n －5是同类项． 方法总结：解这类题，就是根据同类项的定义，利用相同字母的指数分别相
等，列方程组求字母的值．
三、板书设计
用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
【教学反思】
进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力
《8.2 消元——解二元一次方程组》导学案
第1课时代入法
【学习目标】：
1.熟练掌握代入消元法的基本步骤，提高基本运算能力.
2.通过独立思考，小组合作，探究用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程的规律和方法.
3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.
【重点】：代入消元法解二元一次方程组.
【难点】：用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
【自主学习】
一、知识链接
1.二元一次方程组的概念是什么？
2.什么叫做二元一次方程组的解
二、新知预习
1.如何将一个二元一次方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示?
2.如何将二元一次方程组转化为一元一次方程？
3.代入消元法的基本思想是什么？
三、自学自测
1.将以下方程用含x 的式子表示y: （1）2x-3y=6；（2）3x+2y=6-2x.
2.用代入法解二元一次方程组
【课堂探究】 要点探究
探究点1：用代入法解二元一次方程组
实例：一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g 的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g ？
问题：（1）如何列出方程组？
（2）两个方程中的x 和y 所表示的意义一样吗？
（3）能否将问题（1）中所得的方程组中的一个方程代入另一个方程？代入
3,5
x y x
y
后得到的方程是什么方程？
（4）以上做法达到怎样的目的？
（5）解方程x +( x +10) = 200的结果是什么？能否由x 的值得出y 的值？ （6）问题（1）中方程组的解是什么？
要点归纳：
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：回代求出另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
例1.（教材P91例1变式）解二元一次方程组：
若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.
方法总结：用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
8,5334.
x y x y
探究点2：代入法解二元一次方程组的简单应用
例2.（教材P92例2变式）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一 场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜负场数分别是多少？
【当堂检测】
1.用代入消元法解下列方程组.
2.把下列方程分别用含x 的式子表示y ，含y 的式子表示x ： （1）2x －y ＝3；（2）3x ＋2y ＝1.
3.二元一次方程组
的解是（ ）
A.
B.
C.
D.
4,2
x y x y 73
x y =??=?
4.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
第2课时 加减法
【学习目标】：
1.熟练掌握加减消元法的基本步骤，提高基本运算能力.
2.通过独立思考，小组合作，探究用加减法消元过程的规律和方法.
3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣. 【重点】：加减法消元解二元一次方程组. 【难点】：加减法的消元过程. 【自主学习】 一、知识链接
1.代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
二、新知预习
1.用加减消元法时，要消去的未知数的系数必须具备什么特点？
2.加减消元法的基本思想是什么？
三、自学自测 1.用加减法解方程组
时，要使两个方程中某同一未知数的系数
的绝对值相等，有以下四种变形，其中变形结果正确的有 .
231,328
x y x y
（1）
（2）
（3）
（4）
2.用加减法解下列方程组： （1）（2）
【课堂探究】 要点探究
探究点1：用加减法解二元一次方程组 观察方程组：（1）
（2）
回答以下问题：
问题1：方程组（1）的两个方程中，y 的系数有什么关系？
问题2：方程组（2）的两个方程中，x 的系数有什么关系？
问题3：按照这种思路，对两个方程组你能分别消去一个未知数吗？
问题4：结合上述例子，总结加减消元法的概念.
总结归纳：
例 1.解方程组
691,648x y x y 461,968
x y x y 693,6+416
x y x y
462,9624
x y x y 315,25;
x y x y 321,47.
x y x y
27,4x y x y
；
27,22 3.
x y x y 310 2.8,15108.
x y x y
方法总结:同一未知数的系数 时，把两个方程的两边分别 ！
例2：解下列二元一次方程组
方法总结:同一未知数的系数 时，把两个方程的两边分别 ！
例3：用加减法解方程组:
方法总结:同一未知数的系数 时，利用等式的性质，使得未知数的系数 .
例4：已知,则a+b 等于_____.
方法总结:解题的关键是观察两个方程相同未知数的系数关系，利用加减消元法求解．
例5：解方程组
方法总结:整体代入法（换元法）是数学中的重要方法之一，这种方法往往能使运算更简便．
例6：2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和
257,23 1.
x y x y
2312,
3417.x y x y +=??+=?
24328
a b a b 2()3()30,2()3() 6.
x y x y x y x y
2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨, 那么1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运多少吨垃圾？
二、课堂小结 加减法解二元一次方程组
某一未知数系数的绝对值相同
某一未知数系数成倍数关系 其他类型
【当堂检测】
1.方程组的解是 ． 下列各图中， ∠1 ，∠2是
对顶角吗？
2. 用加减法解方程组 应用（ ） A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3.解下列方程组：
4.已知x 、y 满足方程组求代数式x －y 的值．
【拓展题】（1）若,则x+2y= .
（2）已知2a y b 3x+1与-3a x-2b 2-2y 是同类项，则x = ，y= .
237,
38x y x y +=??-=?
24,(1)
5;x y x y 3(2)
21x y x y ，；34(3)
23 1.x y x y
，35,
3 1.
x y x y 2
0x y x y
（3）已知是方程组
的解，求m 与n 的值.
第八章二元一次方程组 《8.2消元——解二元一次方程组》同步练习 一、单选题（共14题；共28分）
1、用代入法解方程组有以下步骤：
①：由（1），得y=
（3）；
②：由（3）代入（1），得7x-2×=3；
③：整理得3=3；
④：∴x 可取一切有理数，原方程组有无数个解 以上解法，造成错误的一步是（ ） A 、① B 、② C 、③ D 、④
2、关于x ，y 的方程组的解互为相反数，则k 的值是（ ）
A 、8
B 、9
C 、10
D 、11
3、对于方程组，把（2）代入（1）得 （ ）
A 、2x-6x-1=5
B 、2(2x-1)-3y=5
C 、2x-6x+3=5
D 、2x-6x-3=5
x 21
y
mx-y 3-n 6
x y
4、下列各组数中是方程组的解为( )
A、-
B、-
C、-
D、
5、若方程组的解中，x的值比y的值大1，则k为（）A、
B、﹣
C、2
D、﹣2
6、关于x、y的方程组有正整数解，则正整数a为（）
A、1、2
B、2、5
C、1、5
D、1、2、5
7、若点P（x，y）的坐标满足方程组，则点P不可能在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
8、已知实数x，y满足+x2+4y2=4xy，则（y﹣x）2015的值为（）
A、0
B、﹣1
C、1
D、2 015
9、如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）
A、1
B、2
C、3
D、4
10、方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A、
B、
C、
D、
11、已知：|x+2y+3|与（2x+y）2的和为零，则x﹣y=（）
A、7
B、5
C、3
D、1
12、解方程组比较简便的方法为（）
A、代入法
B、加减法
C、换元法
D、三种方法都一样
13、如果的解也是2x+3y=6的解，那么k的值是（）
A、
B、
C、
D、
14、已知实数x，y满足+x2+4y2=4xy，则（y﹣x）2015的值为（）
A、0
B、-1
C、1
D、2015
二、填空题（共5题；共6分）
15、方程组的解为________ ．
16、解二元一次方程组的方法有代入消元法和________ 消元法，化二元为一元．
17、已知x与y互为相反数，且3x﹣y=4，则x=________ ，y=________ ．
18、方程组的解满足方程3x﹣2y+k=0，那么k的值是________ ．
19、已知方程组，则8x+8y= ________．
三、计算题（共2题；共10分）
20、解方程组：（1）（2）
21、解方程组：．
四、解答题（共2题；共10分）
22、二元一次方程组的解x、y （x≠y）的值是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为8，求腰的长和m的值．
23、解二元一次方程组：．
五、综合题（共1题；共10分）
24、解下列方程组：
(1) (2)．
答案解析部分
一、单选题
1、
【答案】B
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】解二元一次方程组有两种方法：
（1)加减消元法；
（2)代入法．
本题要求的是代入法，根据①或②得出的x关于y（或y关于x)的式子代入另一个式子中来求解．
【解答】错误的是②．
因为（3)是由（1)得到，所以应该是将（3)代入（2)而不是（1)，
故选B．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解法，题目中的错误（代入的式子为原式)往往是学生常犯得错误．
2、
【答案】D
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用k表示出来，代入方程x=-y求得k的值．
【解答】由x，y互为相反数得x=-y，
代入（1)得y=-1，
则x=1，
把x=1，y=-1，
代入（2)得：2k-k-1=10，
则k=11．
故选D．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
3、
【答案】C
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】依题意知把2x-3（2x-1)=5去括号后选C.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对二元一次方程组知识点的掌握。把（2)式中y对应项代入（1)式中y所在位置即可。
4、
【答案】A
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】用①×4+②即可消去y求得x的值，再代入①即可求得x的值，从而得到结果.
【解答】①×4+②得，
把代入①得，解得
所以原方程组的解为
故选A.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握解方程组的方法，即可完成.
5、
【答案】A
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意得：，解得：，将x=，y=代
入kx+（k﹣1）y=8中，得：（k﹣1）+k=8，去分母得：k﹣1+8k=56，
解得：k=，故选：A
【分析】由题意得到x﹣y=1，与方程组中第一个方程联立求出x与y的值，将x 与y的值代入第二个方程求出k的值即可．
6、
【答案】A
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】∵方程组有正整数解，∴两式相加有（1+a）y=6，因为a，y 均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y﹣x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2或a=1，这时y=2或y=3与y﹣x=1无矛盾．∴a=1或2．故选A．
【分析】解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解确定正整数a的值．
7、
【答案】C
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解方程组：，①+②得：x=3﹣k，将x=3﹣k代
入①得：y=2k﹣3，若点P在第三象限，则有：，此时不等式组无解，则点P不可能在第三象限．故选C．
【分析】将k看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断．
8、
【答案】B
【考点】解二元一次方程组