习题4-1
1．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值： (1) 验证函数()co s 2f x x =在区间[,
]4
4
π
π
-上满足罗尔定理；
(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；
(3) 验证函数
2
3
)(,1)(x
x g x
x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理.
解：(1) 显然()c o s 2
f x x =
在[,
]44
π
π
-上连续，在(,
)4
4
π
π
-
内可导，且
()(
)04
4
f f π
π
-
==，
又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,
)4
4
π
π
-
内，存在一点0ξ=使
()0
0(2sin 2)
0.f x ξ='==-=
(2) ()f x =[4,9]上连续，()
f x '=
，即知()f x =
(4,9)内可导，
由
(9)(4)
11
94
5
f f -=
=-254
x =
，
即在(4,9)内存在254
ξ=
使拉格朗日中值公式成立.
(3) 显然函数
2
3
)(,1)(x
x g x
x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且
.02)(≠
='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于
,
3
71
2
)11()12
()
1()2()1()2(2
3
3
=
-+-+=
--g g f f
,2
3)
()(x x g x f =
''
令
,3
72
3=
x 得.9
14=
x 取),
2,1(9
14∈=
ξ则等式
)
()()
1()2()1()2(x g x f g g f f ''=--
成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.
2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.
解 因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使
,
0)(1='ξf 即1ξ是
)
(x f '的一个
零点；
又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.
又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.
3．设函数
)
(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在
(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a a f ξ'=.
证 因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在
()a a ξ∈-，，使
()()()(())f a f a f a a ξ'--=?--.
由
)
(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a a f ξ'+=, 故有
()()f a a f ξ'=.
4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： (1) 当0b a >>时,
ln
b a b b a a
a
b
-->>
;
(2) 若1x ≠, 则x
e x e >.
证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则
)
(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故
()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),
a b ξ<< 由1(),f x x
'=且
11
1,a
b
ξ
>
>
得：
ln
b a b b a
b a a
a
b
ξ
--->=
>
.
(2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x
f x e =则
)
(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故
()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),
x ξ<< 从而1x
e xe e xe xe ξξ
=+->>.
5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) a rc s in a rc c o s (11)2x x x π
+=-≤≤;
(2) a rc ta n a rc c o s
2
x x π
+=
.
证(1) 设()arcsin arcco s f x x x =+,],1,1[-∈x
,01111)
(2
2
=???
?
?
?--+-'x
x
x f ∴
,)(C x f ≡].
1,1[-∈x
又
,2
20arccos
0arcsin )0(π
π
=
+
=+=x f 即.2
π
=
C
∴.2
arccos
arcsin
π
=
+x x
(2)
设()a rc ta n a rc c o s
x f x x =+,
因为
2
1()0
1+f x x
'=
-
=，
所以 ()f x C ≡,C 是常数. 又
(1)a rc ta n 1a rc c o s 4
4
2
f π
π
π
=+=
+
=
, 即.2
π
=
C
故
a rc ta n a rc c o s 2
x x π
+=
.
6．设函数
)
(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)
1,0(∈ξ
, 使
2
()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-
证 作辅助函数3
(),g x x =则)
(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)
1,0(内至少存在一点,ξ使
2
(1)(0)().10
3f f f ξξ
'-=
-
即 2
()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-
习题4-2
1．写出函数x
x x f ln )(3
=在10
=x 处的四阶泰勒公式.
解
x
x x f ln )(3
=，
,
0)1(=f
2
2
()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f
()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,
f '''=
(4)
6(),f
x x
=
,
6)1()
4(=f
,
6
)(2
)
5(x
x f
-
=
.6
)(2
)
5(ξ
ξ-
=f
于是所求泰勒公式为
x x ln 3
)1(-=x 2
)
1(!
25-+
x 3
)
1(!
311-+
x 4
)
1(!
46-+
x ,
)1(!565
2
--
x ξ
其中ξ在1与x 之间.
2. 写出函数1()f x x
=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.
解 1()f x x
=
，
(1)0,f -=
2
1(),f x x
'=- (1)1,f '-=-
32(),f x x
''=
(1)2,f ''-=-
4
6(),f x x
'''=-
(1)6,
f '''-=- ()
1
!()(1)
,n n
n n f
x x
+=- ()
(1)!n f
n -=-
于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为
()
(1)
()(1)((1))!
k n
k n
k f
f x x o x k =-=
+++∑
(1)((1)).n
k
n
k x o x ==-+++∑
3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1) x
xe x f -=)(；
(2) 1()1x f x x
-=+.
解 (1)因为
),()!
1()
(!
2)()(11
1
2
---+--+
+-+
-+=n n x
x
o n x x x e
所以
3
1
2
(1)()2!
(1)!
n n
x
n
x
x
x e
x x o x n ---=-+
-+
+-
1
1
(1)
()(1)!
k n
k n
k x o x k -=-=
+-∑
.
(2) 由 )
(1112n
n
x o x
x x x
+++++=-
知
2
11(1)()1n
n
n
x x x o x x
=-+-+-++ 故
1()1x f x x
-=
+212111x x
x
--=
=
-++
2
2[1(1)()]1n
n
n
x x x o x =-+-+-+-
1(1)2()n
k k n
k x o x ==-+
-?+∑
.
4. 用泰勒公式计算下列极限：
(1) 2
2
3
c o s lim
s in x
x x e x x
-→-；
(2) 2
lim
(c o s )s in
x
x x e x
→-?
解 (1)
x cos ),(!
4!
2144
2
x o x
x
++
-
=2
2
x
e
-2
44
2
11(),2
22!
x
x o x =-
+
+?
∴2
2
c o s x
x e
-
-44
2
11(
)(),4!
22!
x o x =-
+?
又3
sin x x 4~,x
从而
2
2
3
c o s lim
s in x
x x e x x
-→-44
4
1()12
lim
x x o x x
→-
+=1.12
=-
(2)
2
4
6
6
1131()2
42!83!
x x x o x =+
-+
+??
∴
2
2x
-4
6
6
11()4
4
x x o x =-
+
+
x cos ),(!
4!
214
4
2
x o x
x
++
-
=2
x
e
),
(!
2114
42
x o x x ++
+=
∴2
c o s x
x e
-2
4
4
3(),2
24
x x
o x =-
-
+
又2s in x 2
~,x
从而
2
2
2
2lim
(c o s )s in
x
x x
x e x
→--?4
66
4
6
6
11()
4
43()
2
24
x x o x x x
o x -+
+=-
-
+114362
-==-
. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln
5
；
(2) e .
解 (1) 2
3
1
1
1
(1)ln (1)(1)
2
3
(1)(1)
n
n n n n x
x
x
x
x x n
n x θ+-+-+=-+
-+-+
++
上式中，取3n =得
2
3
4
4
ln (1)2
3
4(1)
x
x
x
x x x θ+=-
+
-
+).
10(<<θ
以15
x =
代入得
6ln 52
5
111110.1827525
35
≈-+
=，(取小数点后四位)
其误差 4R 4
4
4
4
111()=410
5
45
4(1)
5
θ
-=
<
??+
.
(2) x
e
1
2
)!
1(!
!
21+++
+
++
+=n x
n
x
n e
n x
x
x θ (01)θ<<.
取,1=x
5n =得
e 1
111
112.7083,
2!
3!
4!
5!
≈++
+
+
+=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!
e <
30.0042.
6!
<
= 习题4-3
1．计算下列极限： (1) 0
lim
s in x x
x e e
x -→-； (2) 2
ln c o s 2lim
()
x x x π
π→-;
(3) 0
2lim
s in x
x
x e e
x
x x
-→---； (4) 1ln (1)
lim
a rc ta n 2
x x x π
→+∞
+
-；
(5) c o t lim c o t 3x x x
π
→； (6) 0
ln lim
ln c o t x x
x +
→；
(7) 2
0ta n lim
ta n x x x x x
→-; (8) 2
2
3
1
lim
s in 2x
x e
x x x
-→+-;
(9) 0
ln s in 3lim
ln s in 2x x x
+
→;
(10) 2
lim x
x x e
-→+∞
;
(11) 2
lim c o t ln ()2
x x x π
π
+
→
?-
;
(12) 2
11lim (
)s in x x x x →-
;
(13) 1
1
lim 1
ln x x
x x →??-
?-??
; (14) 0
1
1lim 1
x
x e x →?
?-
?-??
; (15) 2
1
lim (c o s 2)x x x →;
(16) 1
1lim (ln )x x x -→+∞
;
(17) lim
x x x
x
x e e e e
--→+∞
-+;
(18) s in lim
s in x x x x x
→∞
-+; 解 (1) 0
lim
lim
2s in c o s x x
x
x
x x e e e e
x x
--→→-+==；
(2) 2
ln c o s 2lim ()
x x x π
π→-2ta n 2lim
2()x x x π
π→-=-2
4s e c 2lim
2x x
π
→-==-2;
(3) 0
2lim
s in x
x
x e e x
x x
-→---0
2
lim
lim
lim
21c o s s in c o s x
x
x
x
x x
x x x e e
e e
e e
x
x
x
---→→→+--+====-；
(4) 1ln (1)
lim
a rc ta n 2
x x
x
π
→+∞
+
-2
111lim
1
1x x x
x
→+∞
-+=-
+2
2
1
lim
11x x x x
→+∞
-
+=-
+2
2
1lim x x x x
→+∞+=+=1；
(5) c o t lim
c o t 3x x x π
→2
2
c s c lim
3c s c 3x x x
π
→-=-2
2
s in 3lim
3s in
x x x
π
→=2s in 3c o s 33lim
32s in c o s x x x x x
π
→?=?；
s in 3c o s 3lim
lim
s in c o s x x x x x x
π
π
→→=?3c o s 3lim
1c o s x x x
π
→=?=3
(6) 0
ln lim
ln c o t x x
x +
→2
1lim
c s c c o t x x x x +
→=-2
1
lim
c s c c o t x x x x +
→=-0
sin c o s lim
x x x
x +
→=-=-1；
(7) 2
ta n lim
ta n x x x x x →-3
lim
ta n x x
x x
→=-2
2
3lim
s e c 1x x
x →=-2
2
03lim
3ta n
x x
x
→==;
(8) 2
2
3
1
lim
s in 2x
x e
x x x
-→+-2
2
3
1
lim
(2)x
x e
x x x -→+-=2
3
22lim
84x
x x e x
x
-→-+=?2
2
1lim
16x x e
x
-→-=
2
21lim
3216
x
x x e
x
-→==
;
(9) 0
ln s in 3lim
ln s in 2x x x
+
→0
3c o t 3lim
2c o t 2x x x
+
→=0
3ta n 2lim
2ta n 3x x x
+
→=0
32lim
12
3x x x
+
→=
=;
(10) 2
lim x
x x e
-→+∞
2lim
x
x x e
→+∞
=22lim
lim
0x
x
x x x e
e
→+∞
→+∞
===;
(11) 2
lim c o t ln ()2
x x x π
π
+
→
?-
2
ln ()2
lim
ta n x x x π
π
+
→
-
=2
2
1
2lim
s e c x x x
π
π
+
→
-
= 2
2
c o s lim
2
x x
x π
π
+
→
=-
2
2c o s s in lim
01
x x x
π
+
→
-==;
(12) 2
11lim (
)s in x x
x x →-
2
s in lim
s in x x x x x →-=3
s in lim
x x x
x
→-=
2
c o s 1lim
3x x x →-=0
s in lim
6x x x
→-=16
=-
;
(13) 1
1
lim 1
ln x x
x x →?
?
-
?-??1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x
→=-+
1
2
1
1lim
112
x x x x
→==
+;
(14) 01
1lim 1x x e x →??- ?-??01lim x x x x e x e x →-+=-01lim 1x
x x
x e x e e →-=+- 0
lim
2x
x
x
x e
x e e
→-=+12
=-
;
(15) 2
2
2
1
ln c o s 2ln c o s 2lim
lim (c o s 2)lim x x
x
x x
x
x x x e
e
→→→==,
又2
ln c o s 2lim
x x
x
→0
2ta n 2ta n 2lim
lim
22x x x
x
x
x
→→--===-
故2
1
lim (c o s 2)x x x →=2
e
-;
(16) 1
1lim (ln )x x x -→+∞
=ln ln 1
lim x x x e
-→+∞
,
又1
1ln ln ln lim
lim
01
1
x x x x x x →+∞
→+∞
?
==-,
故1
1lim (ln )x x x -→+∞
=0
e =1;
(17) lim
x x x
x
x e e e e
--→+∞
-+221lim
11x x
x e e
--→+∞
-=+;
(18) s in 1lim
1s in 1x x x
x x
→∞
-
=+
. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求2
()2lim
x f x x
x →-.
解 2
()2l i m
x f x x
x
→-0
()2l i m
2x f x x
→'-=0
()
lim
2
x f x →''=(0)
32
f ''=
=. 习题4-4
1．判断函数x
y e x =-的单调性. 解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D
在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数c o s sin y x x x =+在区间3[,
]2
2
π
π的单调性.
解 c o s y x x '=,在区间3(
,)22
π
π，,0<'y ∴函数单调减少.
3．求下列函数的单调区间： (1)
3
1292)(2
3
-+-=x x
x
x f ；
(2) 2
()2ln f x x x =-；
(3) ()f x = (4) 2
()1x
f x x
=+.
解 (1) ).,(:+∞-∞D 2
()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x
解方程0
)(='x f 得.2,121==x x
当1<<-∞
x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加；
当21<
(x f 在),2[+∞上单调增加.
(2) :(0,).D +∞1()4f x x x
'=-2
41x x
-=
,
解方程
)(='x f 得12
x =
，
在1
(0,)2内，
,0)(<'x f ∴)
(x f 在1
(0,)2内单调减少；
在1
(,)2
+∞内，
,0)(<'x f ∴)
(x f 在1
(,)2
+∞单调增加.
(3)
).
,(:+∞-∞D
y '
1433
x -=
?
令,0='y 解得14,3
x =
在21,x =32x =处
y '不存在.
在(),1-∞内，
,
0>'y 函数单调增加；在41,
3?
?
??
?
内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3??-∞ ???
内函数单调增加；
在4
,23??
???
内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>
'y 函数单调增加.
(4) :(,1)(1,).D -∞--+∞
2
1()111x
f x x x
x
=
=-+
++,2
2
1(2)()1(1)
(1)
x x f x x x +'=-=
++,
令,0=
'y 解得12,x =-20,
x =
在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加；
在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少；
在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少； 在(0,)+∞内，,0>
'y 函数单调增加.
4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：
(1) 2x +> (2) 2
1ln (1)2x x x x >+>-
.
证 (1) 令()2f x x =+- 则
11()1
f x '=-
=
.
当0>x 时,
,0)(>'x f ∴
)
(x f 在],0[+∞上单调增加，
,
0)0(=f ∴当0
>x
时，()(0)0,f x f >=即20x +-，
故2x +> (2)设
),
1ln()(x x x f +-=则
.1)(x
x x f +=
'
)(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)
(x f 在],0[+∞上单调增加，
,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>
又设2
1()ln (1),2g x x x x =+-+
因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x
'=-++,
12
x
x
+=
当0
>x
时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0
>x
时，()(0)0,g x g >=
所以.21)1ln(2
x x x -
>+
综上，当0>x 时，有2
1ln (1)2
x x x x >+>-
，证毕.
5．证明方程5
3
210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证 令5
3
()21f x x x x =++-， 因
)
(x f 在闭区间[0,1]连续，且
)0(f 1=-,0<(1)f 30
=>.
根据零点定理)
(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程5
3
210x x x ++-=至少有一个小于1
的正根.
在(0,1)内，)(x f '4
2
561x x =++,
0> 所以
)
(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)
(x f y
=在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.
综上所述，方程5
3
210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根.
6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1)
1
433
4
+-=x
x
y ；
(2) 2y =-；
(3) 2
4
1y x
=
+；
(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞
,12122
3
x x
y -='.
3236?? ?-=''x x y 令,
0=''y 得,01
=x .3
22=
x
)
(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞
y '
13
=-
?
y ''=
函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,
0<''y 曲线是凸的，1x >时，,
0>''y 曲线是凹
的.
故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)； (3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '2
2
8(1)
x x =-
+ ,
y ''2
2
3
248(1)
x x -=
+
令,
0=
''y 得
1x =-
2x =
在1(,
-∞-，,0>''y 曲线是凹的； 在(
-，,0<''y 曲线是凸的；
在1(
)
+∞，,0>''y 曲线是凹的.
因此凹区间为(,
-∞,)+∞，凸区间为[-
，拐点为(,3)-
和
13)
.
(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5
2
3
3(y x x x =-=-,
y '2
133
523
3
x x -
=
-
=
,
y ''143
3
102519
9
x x x -
-
+=
+
=
,
令,
0=
''y 得11,5
x =-
在20x =处y ''不存在，
在1(,)5
-∞-，,0<''y 曲线是凸的；
在1(,0)5
-
，,0>''y 曲线是凹的；
在(0,)+∞，,
0>''y 曲线是凹的；
故凹区间为1(,0]5
-
,[0,)+∞，凸区间为1(,]5
-∞-
，拐点为1(,5
25
-
-
.
7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2
()x y
x
y
x e y e x y e ++>+成立.
证 令()t
f t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为
()()
<(
)2
2
f x f y x y f ++.
因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.
由()t t f t te e '=+，()2t t
f t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，
于是不等式成立.
习题4-5
1．求下列函数的极值： (1) 3
2
()393f x x x x =--+； (2) 2
()1x f x x
=
+;
(3) 2()2ln f x x x =-;
(4) ()f x =;
(5) 2
3
()(1)1f x x =--;
解 (1)
)
3)(1(3963)(2
-+=--='x x x x
x f ,令
,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x
所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-. (2) 22
2
1(1)(1)
()11x x x f x x
x
--+'=
=
++,令
,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-=
所以, 极小值1(1),2
f -=-
极大值1(1)2f =
.
(3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x
'=-2
41x x
-=，令,0)(='x f 得驻点12
x =
，
在1
(0,)2内，
,0)(<'x f )
(x f 在1
(0,)2
内单调减少；
在1(,)2
+∞内，
,0)(<'x f )
(x f 在1
(,)2
+∞单调增加.
所以,有极小值11()ln 22
2
f =
+.
(4)
).
,(:+∞-∞D
y '
1433
x -=
?
令,0='y 解得14,3
x =
在21,x =32x =处
y '不存在.
在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,
3??
???
内，,0>'y 函数单调增加； 在4
,23??
???
内，,0<'y 函数单调减少； 在()2,+∞内，,0>
'y 函数单调增加.
因此，有极大值4
()3
3
f =
极小值(2)0f =.
(5) 由
,
0)
1(6)(2
2
=-='x
x x f 得驻点,11
-=x .1,032==x x ).
15)(1(6)(2
2
--=''x
x
x f
因(0)60,f ''=>/故
)
(x f 在0
=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-
因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.
2. 设3
x π
=
是函数1()s in s in 33
f x a x x =+
的极值点，则a 为何值？此时的极值点是
极大值点还是极小值点？并求出该值.
解 由()c o s c o s 3f x a x x '=+,
因3
x π
=
是极值点，故(
)c o s
c o s 03
3
f a π
π
π'=+=,得a =2,
又()(2co s co s 3)2sin 3sin 3f x x x x x '''=+=--,
(
)2s in
3s in 03
3
f π
π
π''=--=<,
所以，3
x π
=
是极大值点，极大值为：1(
)2s in
s in 3
3
3
f π
π
π=+
=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值： (1) 4
2
()23f x x x =-+, 3[2]2
-，;
(2) ()f x x =+
[3,1]-;
(3)()sin c o s f x x x x =+,[],ππ-.
解 (1)3
()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+-
解方程
,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==
计算357();2
16
f -
=
(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =.
比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.
(2) 11()1
f x '=-
=,令,0)(='x f 得34
x =
，
计算(3)1f -=-，35()4
4
f =，(1)1f =.
从而得最大值3
5()44
f =
,最小值(3)1f -=-.
(3) ()c o s f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ
-得驻点1
23,0,.2
2
x x x π
π
=-
==
计算()(
)22
2
f f π
π
π
-
==
，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.
故得到，最大值为()(
)2
2
2
f f π
π
π
-
==
，最小值为()()1f f ππ-==- .
4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1s in x
y x
+=
;
(2) 1
11x y e -=+. 解 (1)因1sin lim
0x x
x
→∞
+=, 得水平渐近线0;y =
因0
1s in lim
x x
x
→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x
(2) 因1
1lim (1)2x x e -→∞
+=, 得水平渐近线2;y =
因1
11
lim (1)x x e +
-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =
5. 作出下列函数的图形： (1) 3
()31f x x x =-+； (2) 43
()21f x x x =-+;
(3) 2y =-;
(4) 2
()1x
f x x
=
+.
解 (略)
6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？
解 设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为
()6)f x x =
≤≤
求导6()x x f x -'=
-
令()0f x '=，在[0,6]内，得 2.4x =为唯一驻点,
容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.
习题4-6
1．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为
2
1()200100040
C =
++Q Q
Q (元)，
(1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；
(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？
解 (1) 日产量为100件的总成本为
2
100(100)20010010002125040
C =
+?+=(元)
平均成本为21250(100)212.5100
C =
=(元).
(2) 日产量为Q 件的平均成本为()
1000
()20040
C C =
=
++
Q Q
Q Q
Q
，
2
11000
()40
C '=
-Q Q
，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .
D
又200
3
1000
(200)0C =''=
>Q Q
，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件
时，平均成本最低，最低平均成本为1000
()20021040
200
200200
C =
++
= (元).
(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为
()L Q 2
1400()400200100040
C ==-
--Q -Q Q Q
Q
2
1200100040
=-
+-Q
Q ，
1()20020
L '=-
+Q Q ，
令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020
L ''=-
因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为 2 1()200100075 00040 400400400L =- ?+?-=(元) 相应的平均成本为 1000 ()200212.540 400 400400 C = ++ =(元). 2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为 2 3 ()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元), 现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量. 解 利润函数为 ()L Q 2 3 6()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ， 求导2 ()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ， 令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ， 此时，2 2000 ()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-??=- ， 因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为 2 3 ()10000.003(0.013000200020002000)L =-+?-?=(元). 3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义. 解 设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =?Q Q 由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数 2 ()(100.01)100.01.R =-?=-Q Q Q Q Q 平均收入函数为 () ()100.01.R R = =-Q Q Q Q 边际收入函数为 2 ()(100.01 )100.02 . R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2 =?-?=R 平均收入为 ,730001.010)300(=?-=R 边际收入为 (300) 10 0.02 300R '=-?=，其经济意义是：当需求量为300件时， 每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入. 4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元). (1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义. (2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少? 解 (1) 已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有 2 ()(800.1)800.1,R P =?=-=-Q Q Q Q Q Q 2 ()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q 边际利润函数为 2 ()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q 当200=Q 时的边际利润为 (200)0.22006020.L '=-?+= 当400=Q 时的边际利润为 .20604002.0)400(-=+?-='L 可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x 02.0)300(<-=''L 故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元). 5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为 16004 P = Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义; (2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？ 解 (1) 需求弹性为 ) ()()(P Q P Q P P '=η1600416004 P P P ' ?? ??? =1600 ln 441600 4P P P -=? ln 4P =-?P )2ln 2(-=.39.1P -≈ 需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %. (2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=?-≈η 这表示价格10=P (元)时, 价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%. 6．某商品的需求函数为3 P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求： (1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =， 时的需求弹性, 并解释其经济意义. 解 (1) 需求弹性为 33 ()()3 P P e P P P e η-- ' ==- ； (2) 2(2)13 η= <,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %； (3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同； 4(4)>13 η= ,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %. 7．已知某商品的需求函数为2 75P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元). (1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义. (3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解 设,75)(2 P P f Q -==需求弹性)(0P P = ) ()(|0000 P f P P f P P ? '==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5 (5)210P f P ='=-=- 它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性 2 2 5(5)(5)(10)175755 P f P η'=? =-? =--- 它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%. (3) 由 ()(1)R f P η'=?+. 又 ()R P P f P =?=?Q ,于是 ()()1() () E R P R P R P E P R P f P η''=? ==+ 由(5)1η=-，得 5 110P E R E P ==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值. (4) 由,753 P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2 6 75333,P P ==-=- 6 6(6)0.85(6) P E R R E P R ='=? ≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%. 复习题4 （A ） 1．设函数) (x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则 下式中不一定成立的是 A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- ()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<； C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)； D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<). 答：C 2．当x = 4 π 时，函数1()c o s c o s 44 f x a x x =-取得极值，则a = A ．-2 B ． C D ．2 答：B 3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线) (x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧. 答：D 4．曲线y = 3 2 2(1) x x - A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线； B ．只有水平渐近线； C ．有垂直渐近线x =1； D ．没有渐近线. 答：C 5．用中值定理证明下列各题： (1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在), (b a <<ξξ使得()() f k f ξξ'= . (2) 设函数) (x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==， 试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξη ξξ-'+= 证 (1) 对任意实数k ，设()()k x F x e f x -=， ()()()k x k x F x k e f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可 导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在), (b a <<ξξ使()0F ξ'=，即 ()()()0k k F k e f e f ξ ξ ξξξ--''=-+=，整理得 ()()0kf f ξξ'-+=，即()() f k f ξξ'= . (2)设()()x F x e f x =，()()()x x F x e f x e f x ''=+， 在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理 ()() ()b a e f b e f a F b a ξ-'= -，(,)a b ξ∈ 即[()()]b a e e e f f b a ξ ξξ-'+= - 令()x G x e =，()[()()]b a e e G e e f f b a η ξ ηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξη ξξ-'+=，,(,)a b ξη∈. 6．求函数1()3f x x =-的1n +麦克劳林公式. 解 1()3f x x = -=13(1)3x = - 1 ()3 3 k n n k k x o x ==+∑1 ()3 k n n k k x o x +== +∑ 7. 计算下列极限： (1) lim a rc ta n )2 x x π →+∞ -； (2) 0 11lim ( )1 x x e x →- -; (3) 1 ln 0 lim (c o t )x x x + →； (4) 1 1 0(1)lim x x x x e →? ?+??????? ? . 解 (1) lim a rc ta n )2 x x π →+∞ -a rc ta n 2 lim 1x x π →+∞ -= 2 1 1lim 11x x →+∞ += - 2 2lim 01x x →+∞ =-=+； (2) 01 1lim 1x x e x →??- ?-??01lim x x x x e x e x →-+=-01lim 1x x x x e x e e →-=+- 0 lim 2x x x x e x e e →-=+12 =- ； (3) 1 ln 0 lim (c o t ) x x x + →ln c o t ln c o t lim ln ln 0 lim x x x x x x e e + →+ →== 而0 ln c o t lim ln x x x + →2 c s c c o t lim 1x x x x + →-=2 c s c lim c o t x x x x + →-= 2 c s c lim c o t x x x x + →-=0 lim 1c o s s in x x x x + →-==-， 所以 原式=1 e -； (4) 1 1 0(1) lim x x x x e →? ?+?? ????? ? 1ln (1)1 0lim x x x x e + +-→= 1ln (1)1 lim x x x x →+-2 ln (1)lim x x x x →+-=0 1 1 1lim 2x x x →-+= 1lim 2(1) x x →-=+12 =- 所以 原式=12 e - . 8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线3 2 y x a x b x c =+++的拐点，且是驻点？ 解 3 2 y x a x b x c =+++，2 32y x a x b '=++，62y x a ''=+， 由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =， 2 (1)3(1)23(1)0y b '-=-+?-+=，得3b =， 点(-1,1)代入曲线方程：32 (1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c = 9. 证明方程 1ln -= e x x 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '= -e x e x -=， （1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110e f e e e =- +=>， lim ()x f x + →=-∞，例如1 1 1 2 1()ln 10e f e e e e ---=- +=- <，因此，函数在(0,)e 内有且只有 一个零点，即方程1ln -= e x x 在(0,)e 内有且只有一个根； （2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e < 又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11x f x x e =- +< 于是ln x x e <，因此lim ()x f x →+∞ =-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方 程1ln -= e x x 在(,)e +∞内有且只有一个根； 综上，即证方程 1ln -=e x x 在区间),0(+∞内有两个实根.. 10．确定函数3 2 ()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值. 解 2 ()66126(1)(2)f x x x x x '=+-= - +,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-= 所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=； 又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =. （B ） 1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值； C ．0()f x '是()f x '的极值； D ．点00(())x f x ，是曲线) (x f y =的拐点. 答： D 2. 设()(1)f x x x =-，则（ ） A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点； B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线) (x f y =的拐点； C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点； D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点. 答：B 3. 设12 0e a - >>，证明方程a x x a e =有且只有一个小于1 a -的正根. 证：因12 0e a ->>，则1 2 e a ->，即2 1a e < 令()a x f x x a e =-，显然()f x 在1 [0,]a -连续， 由(0)0f a =-<，1 1 1 2 ()(1)0f a a a e a a e ---=-=->， 所以方程a x x a e =在1(0,)a -内至少有一实根， 又2()1a x f x a e '=-，在1(0,)a -内0a x e e <<，所以22 0a x a e a e <<， 于是2()10a x f x a e '=->，即函数()a x f x x a e =-在1 (0,)a -单调增加，至多与x 轴有 一个交点； 因此，方程a x x a e =有且只有一个小于1 a -的正根. 4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有 1212()()()f x x f x f x +<+. 证 由()0f x ''<，知 ) (x f '单调减少，对任意120,0x x >>， 在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ?∈使 1111 1()()(0) ()0 f x f x f f x x ξ-'= =- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ?∈+使 12212221 122 ()() ()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'= =+- ) (x f '单调减少, ∴) ()(21ξξf f '>' ? 122 11 1 ()()()f x x f x f x x x +-< 所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕. 5. 当10x >>时，证明不等式212x x +<成立. 证 令2 ()12x f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==, ()22ln 2x f x x '=-, 又2 ()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加， 由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为 k . 易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有 2 12x x +<(0k x >>) 在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有 2 12x x +<(1x k >>) 因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k . 综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式2 12x x +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得 2 () ()f f a b ηηξ''= . 证 ) (x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点), (b a <<ξξ使得 关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴ 多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b 则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广 导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。 5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--； 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及 第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ?? 第二章 导数与微分 单元测试题 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（ ） 导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b 分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月 目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16) 第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在) 题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数 三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a 2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的 3[1]1微分中值定理 及其应用 3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. https://www.doczj.com/doc/c511054355.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin = 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标. 第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b 安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月 学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期 微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌 握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什 么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数 的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第 六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/c511054355.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参 阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)关于导数的29个典型习题
多元函数微分学习题课
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理及其应用
导数与微分测试题及答案(一)
导数与微分练习题答案
第六章 微分中值定理及其应用
第二章 导数与微分习题汇总
第二章 导数与微分(测试题)
导数与微分习题(基础题)
微分中值定理及其应用
经济数学(导数与微分习题与答案)
导数与微分练习题
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
第三章 导数与微分 习题及答案
导数及其应用典型例题
导数与微分习题及答案
微分中值定理及其在不等式的应用
数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用
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