备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。 已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且 证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =
三线合一性质的逆定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 ③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。 简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接 通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那 就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的 添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E 点，使AD=ED，由此问题就解决了。 证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在⊿ABD和⊿ECD中 AD=DE ∠ADB=∠EDC ∴⊿ABD≌⊿ECD
∴AB=CE, ∠BAD=∠CED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠CED=∠CAD ∴AC=CE ∴AB=AC ∴⊿ABC是等腰三角形。 三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突 出。 证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的 全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形 证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理） 二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用 （1）逆定理②的简单应用 例题1
《勾股定理的应用》说课稿 各位评委老师，你们好！ 今天我说课的题目是《勾股定理的应用》，下面我将从教材的地位和作用、学情、教学目标、教学重、难点、教法和学法、教学过程六个方面对本课进行分析。 一、说教材的地位和作用 本节选自华东师大版八年级数学上册第14章第2节，本节是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过实际分析，使学生获得较为直观的印象。通过联系和比较，了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节内容对其他内容的学习奠定基础。《勾股定理的应用》分为两个课时，本节课是第一课时。 二：说学情 在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些数学问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是构建数学模型还有困难，自主学习能力也有待于加强。 三、说教学目标 课标要求：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题 1.知识与技能目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。 2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。 3.情感态度价值观目标：培养合情推理能力，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。 四、说教学重、难点 重点：勾股定理及逆定理的应用。 难点：勾股定理的正确使用及体会数学建模思想。 关键：在现实情境中捕捉直角三角形，把实际问题化成勾股定理几何模型，然后针对性解决。 五、说教法和学法 1、教法分析 我主要采用了引导发现法问题教学法演示法合作探究法练习巩固法等 2、学法分析 我主要采用了：自主探究学习法实验法合作探究学习个人展示法练习巩固法等 六、说教学程序 【第一环节情境引入导入新课】 本环节我设计了一个受台风影响树木断裂的问题，学生先独立思考，然后二人复述，再上黑板展示，最后教师引导学生发现解题思路，引出本节内容。 设计意图：通过给学生提供现实背景及生活素材，激发学生为解决问题而生成的求知欲。并体会数学来源于生活。。 【第二环节自主学习】
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
中位线 一、选择题 1.（2011?湘西州）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若中位线EF=2cm，则BC边的长是（） A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm 考点：三角形中位线定理。 专题：计算题。 分析：由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求BC． 解答：解：∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF=2cm， ∴EF是△ABC的中位线 ∴BC=2EF=2×2=4cm． 故选D． 点评：本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半． 2.（2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（） A．3 4B． 4 3C． 3 5D． 4 5 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理． 专题：几何图形问题． 分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解． 解答：解：连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4 ∵BC=5，CD=3 ∴△BCD是直角三角形． ∴tanC= 4 3 故选B． 点评：本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键． 3.（2011?贺州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（） A、错误！未找到引用源。 B、错误！未找到引用源。 C、错误！未找到引用源。 D、错误！未找到引用源。 考点：梯形中位线定理；三角形中位线定理。 分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AD，BC的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比． 解答：解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W， ∵EF是梯形的中位线， ∴EF∥CD∥AB，DW=WQ， ∴AM=CM，BN=DN． ∴EM=错误！未找到引用源。CD，NF=错误！未找到引用源。CD． ∴EM=NF， ∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x， ∴MN=EF﹣（EM+FN）=x， ∴S△AME+S△BFN=错误！未找到引用源。×EM×WQ+错误！未找到引用源。×FN×WQ=错误！未找到引用源。（EM+FN）QW=错误！未找到引用源。x?QW， S梯形ABFE=错误！未找到引用源。（EF+AB）×WQ=错误！未找到引用源。QW， S△DOC+S△OMN=错误！未找到引用源。CD×DW=错误！未找到引用源。xQW，
17.1 勾股定理 各位评委老师大家好： 今天我说课的课题是《勾股定理》，下面就教材分析、教学方法选择、学法指导、教学程序设计等四个方面，谈谈我对本课题的理解和认识。 一、教材分析 （一）、教材地位作用 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级下册第十七章第一节第一课时。勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。 （二）、教学目标(八年级学生对新事物充满好奇，他们喜欢动手，勤于思考，乐于探究，已经具备了一定的探索新知的能力。因此，我制定如下教学目标) 1、知识与技能目标 （1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单计算和运用； （2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。 2、过程与方法目标 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观目标 （1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣。 （2）利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。 （3）培养数形结合的思想。 （三）、教学重点及难点 【教学重点】勾股定理的证明与运用 【教学难点】用面积法和拼图法等方法证明勾股定理 【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难 二、教学方法及教学手段的选择
、定理 1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于 第三边的一半。 2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。 （微课精讲） 三角形中的三条重要线段： 中线、角平分线、高线 概念 中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。 如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线 三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心 角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O 点O称为△ABC的内心 高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB 三角形三条高线交于点O 点O称为△ABC的垂心 以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线
（知识点精讲) 中位线 概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC 三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）
勾股定理说课稿 各位评委老师,上午好: 今天我说课得题目就是《勾股定理》,所选教材为人教版八年级数学下册。我将遵循幸福课堂四步教学法,从说教材,说学情,说教法说学法,以及说流程几方面进行。 一、教材得地位与作用 勾股定理就是几何中重要定理之一,在数学得发展中起着重要得作用。一方面就是对直角三角形中三边数量关系得深入与拓展,另一方面又为九年级学习三角函数奠定了基础。 鉴于这种理解,我认为本节课不仅有着广泛得实际应用,而且有着承前启后得作用。 二、说学情 八年级学生思维活跃,参与意识强,对事物充满好奇心。经过七年级得学习,以储备相应得知识基础,初步具备基本得数形知识,归纳信息得能力;但由于生活经验少,在综合分析事物时,考虑问题可能不会很全面,需要教师引导。 根据新课标得要求与教材内容以及学生得基础认知水平,我确定以下三个维度得教学目标: 1、【知识与能力目标】 通过观察分析,大胆猜想,并探索勾股定理,培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理得能力。 2、【过程与方法目标】 让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”得数学思想,并体会数形结合与从特殊到一般得思想方法。 3、【情感态度与价值观】激发学生热爱祖国悠久文化得思想感情,培养学生得民族自豪感与钻研精神。 结合新课标对本课得要求,我将本节课得重点确定为:勾股定理得证明与运用 难点确定为:用面积法等方法证明勾股定理 三、教法与学法分析 为了讲清教材得重难点,使学生能够达到本课设定得教学目标,我再从教法与学法上说说。 根据教学有法,教无定法得原则与郭思乐教授得生本教育理念,我决定采用“定向----自学 ----交流---提升”得模式,以倡导学生自学,增加尝试探究,强化检测提升,
三角形中位线定理证明 性质1中位线平行于第三边 性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4： 延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。 证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 三角形的中位线 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC
24.1.2 垂直于弦的直径
垂直于弦的直径 教学设计 初中数学 白水县城关一中 刘春芳 垂直于弦的直径 教学设计 教学目标：1.使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。 过程与方法：通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。 情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 教学重点：垂径定理及应用 教学难点：垂径定理的理解及其应用
学情分析：学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 教学用具：圆形纸片，多媒体 教学过程： 一、创设情景：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了 二、引入新课---揭示课题： 1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论： (1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条 (4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。 2、再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)作直径CD垂直弦AB 垂足为M。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD 垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？ 三、讲解新课---探求新知 （1）实验--观察--猜想：让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于M.那么AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. （2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理 （3）对定理的结构进行分析 （4）结合图形用几何语言表述 （5）垂径定理的变式
勾股定理的应用 说课流程 一、教材分析二、目标分析三、教法学法分析 四、教学过程分析五、评价分析 一.教材分析 1.教材的地位和作用：勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。本节课是在人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》八年级下册“勾股定理”一章新授课全部结束的基础上设计的一节探究课。对“勾股定理”一章来说，从《数学课程标准》的要求到教材内容的设置，起点都比较低—主要表现在两方面：一方面表现在知识点少，即仅有勾股定理及勾股定理逆定理两个知识点；另一方面能力要求单一，即运用勾股定理解决简单的实际问题。因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。 2.教学重点: 运用勾股定理解决数学和实际问题 3.教学难点: 把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决 二. 教学目标： 知识目标：
能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题 能力目标： 1.通过对实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的探究能力、质疑能力，提高用数学知识来解决实际问题的能力. 2.帮助学生感受到数学与现实生活的联系， 情感目标： 1.体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2.培养学生交流与合作的协作精神 三.教法学法分析: 1、学情分析 本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。初步具备了有条理地思考与表达的能力。 2、教法与学法分析 （1）教法分析： 采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”的方法进行 探索——讨论法
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 ③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。 简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线 的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED， 由此问题就解决了。 证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在⊿ABD和⊿ECD中 AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=CD ∴⊿ABD≌⊿ECD ∴AB=CE, ∠BAD=∠CED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠CED=∠CAD ∴AC=CE ∴AB=AC ∴⊿ABC是等腰三角形。 三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。 证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边 上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此 推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形 证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上 的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来 证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理） 二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用 （1）逆定理②的简单应用 例题1 已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，AB>AC。 求证：∠2=∠1+∠B 分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E， 由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出 ∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。 （2）逆定理②与中位线综合应用 例题1 已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。 求证： EF∥AB， EF=(AC-AB) 分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分 线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出 来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。 简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形， ∴点E是GC的中点 ∴EF是⊿BGC的中位线 ∴得证。 例题2 如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC, ∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm. 求： FG的长。 分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆 定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A F来构造等腰三角形。 简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形 ∴点G是AK的中点 同理可得点F是AH的中点 ∴FG是⊿AHK的中位线 由此就可解出FG的长。
《探索勾股定理》第一课时说课稿 课题：“勾股定理”第一课时 内容：教材分析、教学过程设计、设计说明 一、教材分析 （一）教材所处的地位 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）根据课程标准，本课的教学目标是： 1、能说出勾股定理的内容。 2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。 4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。 （三）本课的教学重点：探索勾股定理 本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。 二、教法与学法分析： 教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。 学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 三、教学过程设计
（一）提出问题： 首先创设这样一个问题情境：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生 的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。（二）实验操作： 1、投影课本图1—1，图1—2的有关直角三角形问题，让学生计算正方形A,B, C的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将C 划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等，各种方法都应予于肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形A,B,C的面积之间的数量关系，从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。 2、接着让学生思考：如果是其它一般的直角三角形，是否也具备这一结论呢？于是投影图1—3，图1—4，同样让学生计算正方形的面积，但正方形C的面积不易求出，可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，在剪一剪，拼一拼后学生也不难发现对于一般的以整数为边长的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。 3、给出一个边长为0.5,1.2,1.3,这种含小数的直角三角形,让学生计算是否也满足这个结论，设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。 （三）归纳验证： 1、归纳通过对边长为整数的等腰直角三角形到一般直角三角形再到边长含小数的直角三角形三边关系的研究，让学生用数学语言概括出一般的结论，尽管学生
1.1探索勾股定理（第1课时） （义务教育课程标准北师大版八年级上册第一章第一节） 一、教材内容和内容分析 （一）教学内容 本节课是北师大版教材《数学八年级（上）》第一章勾股定理第一节的内容，主要学习勾股定理的探究、证明及简单应用． （二）教学内容分析 勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把有一个角是直角这个形的特征转化成数量关系，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，体现了数形结合的思想方法. 它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了三角学、解析几何学的建立，对数学进一步的发展拓宽了道路．因此，可以这样说，勾股定理是数学发展的重要根基之一．它不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一． 教学重点：探究并证明勾股定理 二、教学目标和目标解析 （一）教学目标 1.经历探索，验证勾股定理的过程，初步掌握勾股定理，进一步了解等面积法的应用； 2.通过不同证明方法的探究，进一步发展空间观念和推理能力，体会数形结合的数学思想； 3.借助勾股定理丰富的文化背景，培养学生的人文底蕴和科学精神的核心素养. （二）教学目标解析 达成目标1：学生通过分析以特殊的直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表达勾股定理的结论．通过割补法构造图形验证勾股定理，从而理解直角三角形三边的数量关系． 达成目标2：以赵爽弦图和青朱出入图为载体，了解勾股定理各种证明方法之间的内在联系，即实质都是运用等面积法加以证明. 使学生感受多角度分析问题，多种方法解决问题. 同时，在图形的
八年级数学三角形中位线培优专题训练 一、内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度， 确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理 及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中 点。求证：PM ＝PN 证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质 PE ＝ 21AC ＝NF ，PF ＝2 1 AB ＝ME P
PE ∥AC ，PF ∥AB ∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN 例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。求MN 的长。 分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN MP ∥AB ，MP ＝ 21AB ，NP ∥AC ，NP ＝2 1 AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP ∴∠3=∠4=2 MPN -180∠ ∠MPN ＋∠BAC ＝180 （两边分平行的两个角相等或互补） ∴∠1=∠2=2 MPN -180∠ ， ∠2=∠3 ∴NP ∥AC ∴MN ∥AD 证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG 则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG ∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180 N C
三角形中位线定理 【教学目标】 1．本节课的认知目的是使学生了解三角形的中位线概念及其性质定理，重点是熟悉和掌握三角形中位线定理，并能正确地运用这个定理去解决一些简单的几何问题。 2．本节课利用几何画版平台，动态演示了例题几何图形的多种变化，使学生初步认识事物的动与静、变与不变这一矛盾的对立与统一的辩证唯物主义思想。 【教学重难点】 重点：掌握定理的实质和定理的应用。 难点：定理的证明。 【教学过程】 教 学 过 程 设计思路及应用分析 导读 1．概括这节课的学习内容和认知目标； 2．引入三角形的中位线概念。 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 注意：三角形的中位线和三角形的中线不同。 C B A E D C B A E D 对比：三角形有三条中位线，它们组成一个三角形； 三角形有三条中线，它们相交于一点。 C B A E D C B A E D F F 特别强调了本节课的制作特色是动态演示，学习方法是探索研究。 这里用动态连结并配上音 乐，以引起学生的注意。 这里的三条中位线和三条 中线使用闪烁的手法，加 强对比的效果。
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 定理表达式 证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF 。 演示：打开几何画板 1．依次拖动三角形的三个顶点，注意DE 和 BC 长度的变化，观察它们的数量关系。 2．自点 D 作 BC 的平行线 FG ，再拖动三个顶点，观察 DE 与 BC 的位置关系。 定理表达式更能清楚地反 映定理的题设和结论。 中位线定理的证明方法较多，因为不作为本节课的重点，所以这里只选用了一种学生比较熟悉的直接证法。 也可以先演示再证明，通过 演示，使学生更直观地了解三角形的中位线和第三边的数量关系以及位置关系。 说明：关闭几何画板时，选择“不保存”。 本例题选自课本，证法一与课本相同。 引导学生分析为什么要连辅助线。 C B A E D A B C D E F
定理 三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG
又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法四：
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理
《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。
课题：18.1 勾股定理（1） --直角三角形三边的关系 一、教学目标 （一）知识目标 1、创设情境引出问题，激起学生探索直角三角形三边的关系的兴趣。 2、让学生带着问题体验勾股定理的探索过程，并正确运用勾股定理解决相关问题。 （二）能力目标 1、培养学生学数学、用数学的意识和能力。 2、能把已有的数学知识运用于勾股定理的探索过程。 3、能熟练掌握勾股定理及其变形公式，并会根据图形找出直角三角形及其三边，从而正确运用勾股定理及其变形公式于图形解决相关问题。 （三）情感目标 1、培养学生的自主探索精神，提高学生合作交流能力和解决问题的能力。 2、让学生感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生的爱国热情，培养学生的民族自豪感，教育学生奋发图强、努力学习。 二、教学重点 通过图形找出直角三角形三边之间的关系，并正确运用勾股定理及其变形公式解决相关问题。 三、教学难点 运用已掌握的相关数学知识探索勾股定理。 四、教学过程 （一）创设情境，引出问题 想一想： 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 要解决这个问题，必须掌握这节课的内容。这节课我们要探讨的是直角三角形的三边有什么关系。(二)探索交流，得出新知
探讨之前我们一起来回忆一下直角三角形的三边： 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ∠C 所对的边AB ：斜边c ∠A 所对的边BC ：直角边a ∠B 所对的边AC ：直角边b 问题：在直角三角形中，a 、b 、c 三条边之间到底存在着怎样的关系呢？ （1）我们先来探讨等腰直角三角形的三边之间的关系。 这个关系2500年前已经有数学家发现了，今天我们把当时的情景重现， 请同学们也来看一看、找一找。 如图 数学家毕达哥拉斯的发现：S A +S B =S C 即：a 2 +b 2 =c 2 也就是说：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 议一议：如果是一般的直角三角形，两直角边的平方和是否还会等于斜边的平方？ 如图 分析： S A +S B =S C 是否成立? （1）正方形A 中含有 个小方格，即S A = 个单位面积。 （2）正方形B 中含有 个小方格，即S B = 个单位面积。 （3）由上可得：S A +S B = 个单位面积 问题：正方形C 的面积要如何求呢？与同伴进行交流。 方法一： “补”成一个边长为整数格的大正方形，再减去四个直角边为整数格的三角形 方法二：分割成四个直角边为整数格的三角形，再加上一个小方格。 综上： 我们得出：S A +S B =S C 即：a 2 +b 2 =c 2 也就是说：在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 概括： 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 A c a C B b A c a C B b
