1．物体做曲线运动，关于曲线运动，下列说法中正确的是()
A．物体的速度大小可能不变，所以其加速度可能为零
B．物体在某点的速度方向是曲线在该点的切线方向
C．物体的速度大小可以不变
D．物体的速度方向可以不变
解析：选BC.物体做曲线运动时，合力一定不为零，故物体一定有加速度，但物体的速度大小可能不变，仅使速度的方向发生改变，也可能使物体的速度大小、方向都发生改变，
故A、D错．由曲线运动的特点可知，B、C说法正确．
2．下列说法正确的是()
A．做曲线运动的物体速度的方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动一定是直线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
解析：选A.在曲线运动中，质点在任一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向，所以曲线运动速度的方向一定变化，故A正确．若速度大小变化，方向不变，且速度方向与加速度方向在一条直线上，物体就做变速直线运动，故B错．物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在一条直线上，加速度既可以是恒定的，也可以是变化的，故C错．若加速度方向不变，只是大小发生变化，且加速度方向与速度方向在同一条直线上，物体就做变加速直线运动，故D错．
3．关于曲线运动的速度，下列说法中正确的是()
A．速度的大小与方向都在时刻变化
B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化
C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化
D．质点在某一点的速度方向是曲线上该点的切线方向
解析：选CD.物体做曲线运动时速度的方向沿曲线的切线方向，而曲线上不同点的切线方向是不同的，所以速度的方向是不断变化的．如果没有沿切线方向的分力作用，速度的大小是不会发生变化的．
4．关于曲线运动，下面说法中正确的是()
A．做曲线运动的物体的速度方向在不断改变，所以它不可能是匀速运动
B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才有可能做曲线运动
C．曲线运动的加速度方向与所受合外力方向并不总是一致的
D．曲线运动的加速度也可能是恒定不变的
解析：选AD.做曲线运动的物体的速度方向时刻在改变，故曲线运动一定是变速运动，不可能是匀速直线运动，A对．物体做曲线运动的条件是其合力与它的运动方向不共线，合力的大小或方向可能变，也可能不变，B错误．任何运动中物体的加速度一定与其合外力方向相同，C错．如果合力恒定不变，且合力方向与运动方向不共线，则物体做曲线运动，且
加速度不变，D对．
5.
图1－1－5
图1－1－5是抛出的铅球运动轨迹的示意图(把铅球看成质点)．画出铅球沿这条曲线运动时在A、B、C、D、E各点的速度方向，及铅球在各点的加速度方向(空气阻力不计)．解析：如图甲所示，曲线运动中物体在某位置处的速度方向为曲线在该点的切线方向；
如图乙所示，在运动过程中，物体只受重力，方向竖直向下，所以加速度竖直向下．答案：速度如图甲所示，加速度如图乙所示．
一、选择题
1．关于力和运动，下列说法中正确的是()
A．物体在恒力作用下一定做匀加速直线运动
B．物体在变力作用下不可能做直线运动
C．物体在恒力作用下一定做匀变速运动
D．物体在变力作用下可能做曲线运动
解析：选CD.物体受力后产生加速度，加速度的大小、方向及变化情况完全由力所决定．因此，物体在恒力作用下，一定做匀变速运动．如果同时满足初速度等于零或初速度方向与恒力的同一直线上且方向相同，则物体做匀加速直线运动．所以A错误，C正确．物体做曲线运动的条件是合外力方向与初速度方向不在同一直线上，与外力是恒力还是变力无关，故B错误，D正确．
2．一物体由静止开始下落一小段时间后，突然受一恒定水平风力的影响，但着地前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹的情况可能是图1－1－6中的()
图1－1－6
答案：C
3．自行车场地赛中，当运动员绕圆形赛道运动一周时，下列说法中正确的是() A．运动员通过的路程为零
B．运动员速度的方向一直没有改变
C．由于起点和终点的速度方向没有改变，其运动不是曲线运动
D．虽然起点和终点的速度方向没有改变，其运动还是曲线运动
解析：选D.运动员的路程为圆形赛道的周长，在运动过程中，运动员的速度方向一直
在改变，其运动为曲线运动．
4.
图1－1－7
一个质点在恒力F作用下，在xOy平面内从O点运动到M点的轨迹如图1－1－7所示，则恒力F的方向不．可能()
A．沿＋x方向
B．沿－x方向
C．沿＋y方向
D．沿－y方向
解析：选ABC.物体的受力方向应指向轨迹的内侧，则可知恒力F的方向沿－y方向．5．质点沿轨道AB做曲线运动，速率逐渐减小，图1－1－8中哪一个可能是质点C处的加速度()
图1－1－8
解析：选C.做曲线运动的物体，所受垂直速度方向的合外力的分力的方向指向轨道的曲率中心．根据质点运动的速率是逐渐减小的，说明质点所受的沿速度方向的合外力的分力跟速度方向相反，使质点速率减小，则质点的加速度沿速度方向的分量也应跟速度方向相反．选项A、B中沿速度方向的分加速度跟速度方向相同，质点速率是逐渐增大的，跟题设要求不符，因此A、B是错误的．选项D中加速度沿速度方向分量跟速度方向相反，使质点速率不断减小，但垂直速度方向的分加速度方向不是指向C点的曲率中心，所以选项D 是错误的．只有选项C是正确的．
6．一物体以初速度v0从A点开始在光滑水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图1－1－9中的实线所示．图中B为轨迹上的一点，虚线是过A、B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域，则关于施力物体的位置，下列说法正确的是()
图1－1－9
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体一定在④区域
解析：选AC.根据题图中画出的切线方向可以判定，物体受力的方向大致在④区域向下，故选项A、C是正确的．
7．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大，图1－1－10中的A、B、C、D分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是()
图1－1－10 解析：选B.汽车做曲线运动，所受合力F 一定指向轨迹的凹侧，故A 、D 错误，汽车从M 向N 加速运动，说明合力F 的方向与速度方向之间的夹角为锐角，故C 项错误、B 项正确． 8.
图1－1－11
翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目．如图1－1－11所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下， 过M 点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A 、B 、C 三点．下列说法中正确的是( )
A ．过A 点时的速度方向沿A
B 方向
B ．过B 点时的速度方向沿水平方向
C ．过A 、C 两点时的速度方向相同
D ．圆形轨道上与M 点速度方向相同的点在AB 段上
解析：选B.
翻滚过山车经过A 、B 、C 三点的速度方向如图所示，由图判断B 正确，A 、C 错误．用直尺和三角板作M 点速度方向的平行线且与圆相切于N 点，则过山车过N 点时速度方向与M 点相同，D 错误．
9．在光滑水平面上有一质量为2 kg 的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N 的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A ．物体做速度大小不变的曲线运动
B ．物体做加速度为 2 m/s 2的匀变速曲线运动
C ．物体做速度越来越大的曲线运动
D ．物体做非匀变速曲线运动，速度越来越大
解析：选BC.
物体原来所受合外力为零，当与速度反方向的2 N 的力水平旋转90°后，其受力相当于如图所示，其中F 是F x 、F y 的合力，即F ＝2 2 N ，且大小、方向都不变，是恒力，那么
物体的加速度为a ＝F /m ＝222
m/s 2＝ 2 m/s 2恒定，又因为F 与v 的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒定的匀变速曲线运动，因此正确答案为B 、C.
二、非选择题
10．如图1－1－12所示，物体做圆周运动，在A点物体所受的合外力F既不与速度的方向垂直也不与速度的方向在一条直线上，此时我们可以将F进行正交分解，使一个分力F1与速度v的方向垂直，另一个分力F2与速度方向平行，其中分力F1只改变速度的__________，分力F2只改变速度的__________．F与v的夹角为α，当α＝0°时，F1＝0，物体做________运动；当α＝90°时，F2＝0，物体的速率________；α为锐角时，物体运动的速率__________．
图1－1－12
解析：曲线运动中，物体的合外力可以分解为垂直物体速度的法向分力和与速度共线的切向分力，法向分力只改变速度的方向，切向分力只改变速度的大小，切向分力与速度同向，物体做加速运动，反向则物体做减速运动．
答案：方向大小加速直线不变增加
11．汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用2 min的时间，汽车每行驶半周，速度的方向将改变多少度？汽车每行驶10 s，速度的方向将改变多少度？
解析：本题是合外力对物体的作用只改变速度的方向，而不改变速度的大小的情况．因为本题中汽车运动的方向时刻改变，汽车每绕圆形广场一周所用时间为2 min，即为120 s，则每秒汽车转过的角度为3°.又因为物体做曲线运动的速度方向就是物体运动轨迹上该点的切线方向，所以汽车每运行半周，速度的方向改变Δθ＝60×3°＝180°.故汽车每行驶10 s速度方向的改变Δθ′＝10×3°＝30°.
答案：180°30°
12.
图1－1－13
如图1－1－13所示，为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动．开始时，探测器以恒定的速率v0向正x 方向平移．
(1)单独分别开动P1、P2、P3、P4，探测器将分别做什么运动？
(2)单独开动P2和P4，探测器的运动有什么不同．
解析：(1)单独开动P1时，力沿－x方向，故探测器做匀减速直线运动；单独开动P3时，探测器做匀加速直线运动；单独开动P2或P4时，探测器做匀变速曲线运动．
(2)单独开动P2时，探测器在坐标系中第Ⅰ象限内做曲线运动，轨迹向上弯曲；单独开动P4，探测器在坐标系第Ⅳ象限内做曲线运动，运动轨迹向下弯曲．
答案：见解析
第二章 优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节 函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数()21,x x F 在点() 02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：
方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点() 002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向 图2-2 三维空间中的方向
称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2 1 ，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。 例2-1 求二元函数()2214x x F π =X 在[]T 1,10=X 点沿 ???===44211πθπθS 和???===6 3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214 2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得