第十五章分式
单元备课
教材分析
(一）教学内容
本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分及通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法.
全章共包括三节：
15．1 分式
15．2 分式的运算
15．3 分式方程
其中,16．1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序.在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利.11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验（验根）的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力.
分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
（二）本章知识结构框图
（三）课程学习目标
本章教科书的设计及编写以下列目标为出发点：
1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式.
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
3．类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。
5．结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想.
（四）课时安排
本章教学时间约需13课时，具体分配如下：
15．1 分式2课时
15．2 分式的运算6课时
15．3 分式方程3课时
数学活动小结 3课时
第十五章分式
课题：15.1.1从分数到分式
教学目标：
知识及技能：
1、理解分式的概念，分式有意义或无意义的条件,分式的值为零的条件。
2、能熟练地求出分式有意义、无意义、分式的值为零时字母的取值范围。
3、能用分式表示数量关系，会判别分式何时有意义，分式的值为零的条件。
过程及方法：
经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会数学学习的一些常用方法：类比转化、合
情推理、抽象概括等.
情感、态度及价值观:
在学习过程中，通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造,体会分式的模型思想。
教学重点:
分式的概念，分式有意义或无意义的条件，分式的值为零的条件。
教学难点:
熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
教学过程： 一、情景导入（2分钟）
1、复习提问：
什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？
2．问题导入：学生看P 126引言的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速顺流航行90千米所用时间 及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行90千米所用的时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时，所以,列方程为 。设疑：你所填的两个代数式是整式吗？今天我们再认识代数式家族中新的一员—-分式。
二、自学指导（8分钟）
1、熟读课本第127--128页,让学生填写[思考］，学生自己依次填出：，,。
2。填空：形如 的形式，A ，B 表示两个整式，并且B 中 ，那么式子 叫做分 式。A 叫 ，B 叫做 。
3、默读例题后思考：
由分数有意义和无意义的条件类比得出：当分式有意义时，分母B 0，；当分式无意义时，分母B 0，；当分式的值为
0时,分子A 0且分母B 0。
4、有理式的分类:请类比有理数的分类为有理式分类：
注意事项：
1、分式是不同于整式的另一类有理式,且分母中含有字母是分式的特点。
2、学生提出分式中的分母B ≠0时，可以用分数的分母不为0解释。即已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，再进一步解出字母的取值范围.
三、自学检测（7分钟）
1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
(1）（2）（3）（4)(5）(6)
2、下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?
（1）(2） （3） （4) （5） 注意事项：
分式有意义,分母不为零；
把题目改为：当字母满足什么条件时,分式无意义。 四、合作探究（8分钟）
1。当x 为何值时，下列分式值为0？
(1) (2）
2。当x 为何值时分式的值为正？
3。当x为何值时下列分式无意义？
（1）（2）
注意事项:
（1）分式的值为0时,必须同时
．．
满足两个条件:错误!分母不能为零；错误!分子为零，这样求出的x的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
（2）分式的值为正数或负数时，分式的分子分母同号或异号。
五、课堂小结：（2分钟）
问题1 本节课你学习了什么?
问题2 本节课你有哪些收获？
问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么?
归纳：1、分式的概念：一般地,形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含
有字母.分式的分子和分母都是整式,分母中必须含有字母,这是分式及整式的根本区别.
2、分式有意义、无意义的条件,分式值为零的条件。
3、分式的值为正数，负数时必须同时
．．
满足的条件，“或”及“且”的正确使用。
六、课堂检测A组(基础限时练）（7分钟）
1、当a为任何实数时，下列式子一定有意义的是（）
A 、
B 、C、D、
2、当x为何值时，下列分式值为0?
（1）（2）
3、当x为何值时，下列分式无意义？
（1)（2）(3）
B组（能力拓展练）（8分钟）
1、当x 时分式的值为负？当x 时分式的值为正? 当X= 时分式的值为1。
2、当X为何值时下列分式有意义?
（1）（
2)（3)
3、探究: 分式的值可能为0吗？为什么？
七、作业设计
必做题：课本第133页习题15.1的第1、2、3、8、题。选做题：课本第134页13题。
教学反思：
课题：15。1.2分式的基本性质(1)-——约分
教学目标：知识及技能:
1.使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，能运用性质进行分式的恒等变形．
2。灵活运用分式基本性质将分式约分变形.
过程及方法：
经历分式基本性质的自我建构过程,学会数学学习的一些常用方法：类比转化、联想推理、抽象概括等。
情感、态度及价值观:
在学习过程中，通过丰富的合作及交流数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，培养学生的合作意识和团队精神.
教学重点：灵活运用分式基本性质将分式变形。
教学难点：能熟练地求出分子分母为多项式时的分式的约分.
教学过程:
一、情景导入（2分钟）
复习提问：1.分式的定义?2．回忆分数的基本性质、分数的约分及最简分数的定义。
问题导入:
1. 观察下列等式的右边是怎样从左边得到的?你能用分数的基本性质解释吗?
（1)等式=的右边是怎样从左边得到的?（）
（2）等式=的右边是怎样从左边得到的?( )
2。完成思考内容：类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗
二、自学指导(4分钟）
1．归纳填空：分式的基本性质：分式的分子及分母乘（或除以) 的整式,分式的值。
2、默读例题2后思考：（2）中的第二个等式为什么注明（b≠0)？
设计意图:
注意事项:
1．分子、分母应同时做乘，除法中的同一种变换；
2．所乘或除以的必须是同一个整式；
3．所乘或除以的整式应该不等于零。
（1）；（2）；(3) —；（4）
把学生分为八人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，
设计意图：
既提高学生对分式基本性质的认识，又通过师生归纳，进一步加深对分式基本性质的理解.
注意事项:
1．两个整式相除，同样遵循“同号得正,异号得负"的原则。
2、分式的分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。四、合作探究（12分钟）
探究前给出思考：例2（1)等号右边的分子分母有公因式吗？怎样由左边得出? 1、阅读课本131页内容和例题3。填空：利用，将一个分式的分子和分母的约去，这样的分式变形叫做分式的;经过约分后的分式，其分子及分母没有公因式，像这样的分式叫做。问：分式约分的依据是什么？
2、自学例题3后小组合作归纳得出：
（1）确定最大公因式的方法:
①系数公因式，分子分母系数的。
②字母公因式，分子分母中相同字母的 .
③多项式公因式，分子分母中相同多项式的。
（2）约分时,若分子或分母是多项式，先，再约去公因式，约分的最后结果
应是或者整式.
3、分式，，，中是最简分式的有（)
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、约分：(1)(2）（3) （4)
注意事项：1、讲练结合、归纳指出：约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
2、约分时符号的变化,若分子分母含有符号时，先转化到分式本身的前面。
五、课堂小结：（2分钟）
问题1 本节课你学习了什么？
问题2 本节课你有哪些收获？问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳：1、(1）分式的基本性质.(2)
2、约分时注意，特别是分子分母含有相反多项式因式，化为相同多项式时注意符号的改变
六、课堂检测
A组（基础限时练)(7分钟）
1.下列各组中的两个分式是否相等？为什么?
（1）和（2）和（3）和
2.约分：（1）（2）
3.不改变分式的值,使分式的分子及分母的最高次项的系数为正数，
正确的答案是_________________.
B组(能力拓展练)（8分钟)
1、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的各项系数都化为整数.
(1） （2）
2、已知==，求的值。
3、先化简再求值：
,其中x=2,y=3。 设计意图：1、基础训练加深对分式基本性质的理解,巩固分式基本性质的应用条件、
需要注意的问题，拓展训练强调运用分式基本性质对分式进行变形的条件，将分式的分
子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略,并为分式作进一步处理提供了便
利条件．
七、作业设计
必做题:课本第133页习题15.1的第4、5、6、题。
选做题：1。如果把分式中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值怎么变化？ 教学反思：
课题:15。1.2分式的基本性质-—通分
教学目标
知识及技能:
(1）能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母；
（2）能够总结出分式最简公分母确定的方法,并能熟练掌握通分运算。
过程及方法：
（1）在分数通分的基础上比较学习分式的通分，并在此过程中渗透类比数学思想方法；
（2）在确定几个分式的最简公分母以及将分式通分的过程中渗透化归的数学思想方法，
推理的能力，培养学生分析问题的能力。
情感、态度及价值观：
趣和信心。
教学重点：
根据分式的基本性质,对分式进行变形及分式的通分运算，能正确地找出最简公分母。
教学难点：
能熟练地找出分子分母是多项式的分式的最简公分母，进行通分等运算。
教学过程：
一 、情景导入（2分钟）
1、复习导入
（1）因式分解的方法都有哪些？
(2）回忆分式的基本性质和分数的通分，及最小公倍数的定义。
2、问题导入
（1）同学们学习过分数的计算了，你们能不能快速的计算出下面的题：13
+错误! =
（2）同学们做的第一步骤名称叫什么?提问:什么是分数的通分？其根据和关键是什么？类比启发：分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？（引入新课）尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳出分式通分的定义吗？
二、自学指导（8分钟)
1、（1）的公分母是如何确定的？
（2）你能确定分数，，的公分母吗?
思考与收获（3）若把上面分数中的3，5用x，y 来代替，分式，,
（4）提问：你能概括最简公分母的定义吗?
2、熟读课本第131-132页,完成思考内容：类比分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？
3。填空：、利用分式的,将分子和分母适当的整式，不改变分式的值,
同分母的分式，叫做分式的。
4、默读例题4后思考:通分时怎么确定最简公分母呢？
设计意图:
1、“以学生为本"的思想为指导,
定方法。
注意事项:确定最简公分母的方法是：
①系数是各分母系数的最小公倍数。
②字母是各分母中所有字母因式的最高次幂.
③若分母有多项式,应先进行因式分解,再确定各分母的最简公分母。
三、自学检测（8分钟)
1、根据你的预习和理解找出：
（1）及的最简公分母是；（2）及的最简公分母是；
（3）及最简公分母是；（4）及的最简公分母是；（
和的最简公分母是;（6)的最简公分母是；
2、通分：(1），
设计意图：1、通过寻找分式的最简公分母
通分.由浅入深的层层深入，兼顾了不同水平的学生。
四、合作探究（10分钟)
1、分式的最简公分母是；
2、通分：，．
注意事项：
先由学生尝试做，请两名学生学生上台板演。其他学生分组讨论,由代表发言讨论结果。
五、课堂小结：（2分钟）
问题1 本节课你学习了什么？
问题2 本节课你有哪些收获?
问题3 通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳:
1、确定最简公分母的一般步骤：
（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。
（2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取。
（3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式中指数最大的.
这样取出的因式的积，就是最简公分母.
2、通分的步骤是:
(1）将各个分式的分母分解因式；（2）确定最简公分母；(3）原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母；
六、课堂检测
A组（基础限时练)（7分钟）
1、分式和的最简公分母是；分式和的最简公分
母是；分式和的最简公分母是.
2、通分:
B组（能力拓展练）（5分钟)
1、若，则M=________。
2、已知—=2,求
七、作业设计
必做题：课本第132页练习2、第133页习题15.1的第7题。
选做题：课本134页９、１０题.
教学反思:
课题：15.2。1分式的乘除（1）
教学目标
知识及技能:
1、理解并掌握分式的乘除法则；
2
过程及方法：
1。类比分数乘除法的运算法则。探索分式乘除法的运算法则；
2.在分式乘除法运算中体会因式分解的作用，发展有条理的思考和语言表达能力；
3。用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识。
情感、态度及价值观:
1.通过师生共同交流探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感；
2。培养学生的创新意识和应用数学的意识。
教学重点:
灵活运用分式的乘除法则进行分式的运算。
教学难点:
分子、分母是多项式的分式乘除法的运算。
教学过程：
一、情景导入（2分钟)
1、创设情境，引入新课
上节课我们学习了分式的基本性质，发现它及分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢?下面我们看投影片:
2、复习引入、独立完成下列预习作业:
观察下列算式:
⑴⑵
回忆并请写出分数的乘除法法则:
乘法法则：。
除法法则：。
二、自学指导（8分钟)
自主学习：
1、出示135页本节引入的问题1：求容积的高，问题2：求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
2、类比得出分式的乘除法法则并填空：
分式的乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为,分母的积作为。
即：
分式的除法法则：分式除以分式,把除式的后，再及被除式。
即:
3、阅读例1、例2 后思考：分式运算的结果应化为,
4、符号，再计算结果. 当分式的分子、分母是多项式时，应先把多项式,再进行 .
注意事项：
强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式。2、
先对多项式进行分解因式，再进行约分，答案是最简分式或整式。
三、自学检测（10分钟）
1、写出问题1问题2的计算结果。
2、计算下列各题.
(1）(2）(3）－÷（4）—8xy