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课题 一元二次方程精讲
一元二次方程的考点非常简单,要记住以下几点: 考点 1:一元二次方程的定义,化成一般式后 a 不能等于 0 的考虑以及最高次 2 次
考点 2:一元二次方程的解法有 因式分解 直接开方法 配方法 公式法
考点 3:判别式的应用。
涉及到根的情况,有几个根,实数根,两个不等的根,两个相等的根,无实数解等字眼
就要用到判别式
,如果得到的式子复杂,先化简。
考点 4:韦达定理——这是根据求根公式演化而来的。
考点 5:一元二次方程应用题,只有简单的几种类型,学会观察,分析,找等量关系 题型: 平均增长降低率,涨降价利润问题,握手或列数字,图形题或其他
例题精讲,提高知识应用能力! 考点 1、下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A、 1 3x 2 0 B、 2x2 +y-1=0 C、x2 +2 2x 0 0 x2
2、方程 x2 23x 2 x 1 0 的一般形式是( )
D、 x2 - 2x-3=0
A、x2 -5x+5=0 B、x2 +5x-5=0 C、x2 +5x+5=0 D、x2 +5=0
3、若关于 x 的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0,则 a 的值是( )
A、 1 B、 -1 C 、 1 或-1 D、 1 2
4、写出以 4,-5 为根且二次项的系数为 1 的一元二次方程是 _________
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考点 2:① 9 x 12 2x 12 (用因式分解法) ② x2 5x 2 0 (用公式法)
③ y2 10 y 10 0 (用配方法)④ 2 x 1 2 x2 1(用适当方法)
已知 x = 1 是方程 x2+mx﹣n=0 的一个根,则 ﹣2mn + =_
_
练习: (x 1)2 4x
(x 4)2 5(x 4)
(x-2)(x-5)=-1
1.方程 x 12 3 x 1 4 0 的较适当的解法是( )
A、开平方 B、 因式分解 C、 配方法 D、 公式法
2.把方程 x2 8x 3 0 化成 x m2 n 的形式,则 m、n 的值是( )
A、4,13 B、-4,19 C、-4,13 D、4,19
3.方程 3x2 x 的解是 _____
_
当y
时, 3 y2 2 y 的值为 3
4.已知 x2 5xy 6 y 2 0 ,则 y : x 等于 ( )A、 1 或 1 B、 2或3 C、 1 或1 D、 6或1
32
6
5.方程 x2-4│x│+3=0 的解是( )A、x=±1 或 x=±3 B、x=1 和 x=3 C、x=-1 或 x=-3 D、无实根
6.若方程 ax2 bx c 0 (a 0) 中, a,b, c 满足 4a 2b c 0和 4a 2b c 0 ,则方程的是
()A、1,0 B、-1,0 C、1,-1 D、2,-2
7.设 a, b 是一个直角三角形两条直角边的长,且 (a 2 b2 )(a 2 b2 1) 12 ,则这个直角三角形斜
边长为_
_
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考点 3:一元二次方程 1 k x2 2x 1 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是
下列方程中,有两个相等实数根的是( ) A、2 y2 5 6 y B、x2 5 2 5x C、3x2 2x 2 0 D、3x2 2 6x 1 0
有一边为 3 的等腰三角形,它的两边长是方程 x2 4x k 0 的两根,求这个三角形的周长
已知 a、b、c 为三角形三边长,且方程 b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0 有两个相等的实数根.试判断此三 角形形状,说明理由.
考点 4:若两数和为-7,积为 12,则这两个数是_
_
已知直角三角形的两条边长分别是方程 x2 14x 48 0 的两个根,则此三角形的第三边是( )
A、6或8 B、 10或2 7 C、 10或8 D、 2 7
如果一元二次方程 x2 m 1 x m 0 的两根互为相反数,那么 m= _
_
23.(本题10分)阅读 : 一元二次方程根与系数存在下列关系:
ax2 bx c 0(a 0), x1, x2
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.理解并完成下列问题.
若关于 x 的方程 mx 2 x m 0 (m 0) 的两根为 x1、x2。
(1)用 m 的代数式来表示 1 1 ;(2)设 S 4 4 ,S 用 m 的代数式表示;
x1 x2
x1 x2
(3)当 S=16 时,求 m 的值并求此时方程两根的和与积。
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考点 5:某校去年投资 2 万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为 8 万元,若该校这两年 购买实验器材的投资的年平均增长率为 x,则可列方程___________________
2.某超市一月份的营业额为 200 万元,第一季度的营业额共 1000 万元,如果平均每月增长率为 x,则有题意列方程为( )
A、2001+x2 =1000 B、 200+2002x=1000
C、 200+2003x=1000
D、
200
1+
1+x
1
x
2
=1000
3.某楼盘准备以每平方米 8000 元的均价对外销售,由于国务院有
关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商
对价格经过两次下调后,决定以每平方米 6480 元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子.开发商 还给予以下两种优惠方案以供选择:①打 9.8 折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理 费是每平方米每月 1.5 元.请问哪种方案更优惠?
4.某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元的价格售出,平均每月能售出 600 个,经调查表明,单 价在 60 元以内,这种台灯的售价每上涨 1 元,其销量就减少 10 个,为了实现销售这种台灯平均 每月 10000 元的销售利润,售价应定为多少元?这时售出台灯多少个?
5.某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售 20 件,每件赢利 40 元。为了扩大销售,增加赢 利,尽快减少库存,商场决定采取社党降价措施。经调查发现,如果每件衬衫煤降价 1 元,商场 平均每天可多售出 2 件。求(1)若商场平均每天要赢利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案。
6. 利用墙为一边,再用 13 米长的铁丝当三边,围成一个面积为 20m2 的长方形,求这个长方形的 长和宽。(若墙壁长有限制长度时,或者编制的长方形中设置门的存在时)
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7.使用墙的一边,再用 13m 的铁丝网围成三边,围成一个面积为 20m2 的长方形,求这个长方形 的两边长,设墙的对边长为 x m,可得方程( )
A、 x (13-x) =20 B、x·132-x =20
C、
x
(13-
1 2
x
)
=20
D、
13-2x x· 2
=20
8、在一块长 16m,宽 12m的矩形荒地上建一个花园,要求花园所占面积为荒地面积的一半,图
(1)是小明的设计方案,花园四周小路的宽度相等,通过解方程小明得到小路的宽为 2m或 12 m.图(2)是小丽的设计方案,其中花园四个角上的扇形都相同.
(2)你认为小明的计算结果对吗?请说明理由.(3)请你帮小丽求出图中的 x(精确到0.1) (4)你还有其他的设计方案吗?请在图(3)中画出你设计的草图,并简要说明.
16
16
16
m
m
x
m
12
12
m
m
12
m
(1)
(2)
(3)
9、如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下列图
形,并解答有关问题:
①设铺设地面所用瓷砖的总块数为 y,请写出 y 与 n(表示第 n 个图形)的关系式;
②上述铺设方案,铺一块这样的长方形地面共用了 506 块瓷砖,求此时 n 的值; ③黑瓷砖每块 4 元,白瓷砖每块 3 元,在问题(2)中,共需要花多少钱购买瓷砖? ④否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算加以说明。
n=1
n=2
n=3
10. 六一儿童节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品,全班共送 1035 份小礼品,如果全班有
x 名同学,根据题意,列出方程为 (
)
(A)x(x+1)=1035
(B)x(x-1)=1035×2
(C)x(x-1)=1035
(D)2x(x+1)=1035
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八年级下册数学教学计划 一、学生分析: 从八年级上册数学期末考试成绩来看,本班优秀率有突破15人,算是达到预期目 标,但及格率只达到43% 多,与预期尚有一定的差距。总体上来看,仅管绝大多数学生学习很努力,也掌握了一定的学习数学的方法和技巧,但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈,造成班级发展不平衡,两极分化现象严重 二、教材分析: 第1章二次根式 二次根式属于“数与代数”领域的内容,它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的,是对七年级上册“实数”、“代数式”等内容的延伸和补充。二次根式的运算以整式的运算为基础,在进行二次根式的有关运算时,所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似;在进行二次根式的加减时,所采用的方法与合并同类项类似;在进行二次根式的乘除时,所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。这些都说明了前后知识之间的内在联系。 本章的主要内容有二次根式,二次根式的性质,二次根式的运算(根号内不含字母、不含分母有理化)。 第2章一元二次方程 方程教学在中学数学教学中占有很大的比例,一元二次方程在初中代数中占有重要地位。一方面,一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用,如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算,一元一次方程、二元一次方程组解法等知识,在本章都有应用。从数学角度看,这一章的学习有一定难度,如果前面某个环节薄弱或知识点有问题,就会给本章的学习带来困难,因此,这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验,又是一次复习与巩固。当然,一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展,尤其是方程方面知识的深入和发展。 本章的主要内容是一元二次方程的解法和应用,课本首先引入一元二次方程的概念,从实数的性质,将分解成为两个一次因式相乘积为零的一元二次方程转化为两个一元一次方程入手,介绍了利用因式分解法解一元二次方程的方法,体现了数学的转化思想。接着课本首先从数的开平方的知识出发,直接讲开平方法,然后依次介绍了配方法和公式法。在讲述公式法的同时,课本特别给出了利用计算器解一元二次方程的解法示例,以揭示技术发展给数学学习带来的影响,这也是一种新的尝试。同时,以建立数学模型为主要着力点介绍了一元二次方程的应用,并在例题的设置上充分考虑了图表、立体图形、物体运动和经济活动中的问题背景,力图使学生在现实的环境中学习数学。这一章是全书乃至整个初中代数的一个重点内容。因为这一部分内容既是对以前所学内容的总结、巩固和提高,又是以后学习的知识基础。因此这一章可以说是起到了承上启下的作用。高中阶段的指数方程、对数方程及三角方程,无非就是指数、对数、三角函数的有关知识与一元一次方程、一元二次方程的综合
课题 2.1 一元二次方程( 1) 课时1、经历一元二次方程概念的发生过程 . 教学2、理解一元二次方程的概念 . 目标3、了解一元二次方程的一般形式,会辨认一元二次方程的二次 项系数、一次项系数和常数项 . 本节教学重点是一元二次方程的概念,包括它的一般形式. 教学 例 1 第( 4)题包含了代数式的变形和等式变形两个方面,计算设想 容易产生差错,是本节教学的难点 . 教学程序与策略 一、合作学习,探究新知 1、列出下列问题中关于未知数x 的方程: (1)把面积为4 平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分,求正方形的边长。 设正方形的边长为x, 可列出方程 ______________; (2)据国家统计局公布的数据,浙江省 2001 年全省实现生产总值 6 万亿元,2003年生产总值达 9200 亿元,求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。设年平均增长率为 x,可列出方程 ______________; (3)从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框 宽4 尺,竖着比门框高 2 尺. 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这 个醉汉一试,不多不少刚好进去了 . 你知道竹竿有多长吗? 设竹竿为 x 尺,可列出方程 ______________。 学生自主探索,并互相交流,自己列出方程。 2、观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处 . 学 生各抒己见,发表自己的发现:共同点:①它的左右两边都是整式,②只含 一个未知数;不同点:未知数的最高次数是2。 二、得出新知,运用强化 1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程.板书课题及一元二次方 程的定义并指出:能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的 解(或根)。 2、判断下列方程是否是一元二次方程: (1) 10x29;(2) 2(x-1)=3x; (3) 2x2 1 10. 3x 1 0; (4) 2 x x 3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x22x 的根。 通过此题的求解向学生说明:一元二次方程的解(或根)的概念与一元一次方程的解(或根)的概念类似,但解的个数不同。 4.一元二次方程概念的延伸
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ,则 12b x x a +=-,12c x x a ?= 适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数; (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程; (4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根); (6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意:(1)222 121212()2x x x x x x +=+-? (2)22121212()()4x x x x x x -=+-?; 12x x -= (3)①方程有两正根,则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?; ②方程有两负根,则1212 000x x x x ?≥?? +??>? ; ③方程有一正一负两根,则12 0x x ?>?? ?; ④方程一根大于1,另一根小于1,则120 (1)(1)0 x x ?>?? -- (4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为1,即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++?=;求字母系数的值时,需使二次项系数0a ≠,同时满足?≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +,?两根之积12x x ?的代数式的形式,整体代入。 4.用配方法解一元二次方程的配方步骤: 例:用配方法解2 4610x x -+= 第一步,将二次项系数化为1:231 024 x x -+=, (两边同除以4) 第二步,移项: 231 24 x x - =- 第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:2223313 ()()2444 x x -+=-+ 第四步,完全平方:2 35()4 16 x -= 第五步,直接开平方:344x - =±,即 :1344x =++ ,2344 x =-+
知识点总结:一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程; (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a ≠0); 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是 b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x - =+21,a c x x =21。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母 (2)解所得的整式方程 (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题: 1、判别下列方程是不是一元二次方程,是的打“√”,不是的打“×”,并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
期末复习——一元二次方程 1. 一元二次方程的概念: (1)注意一元二次方程定义中的三个条件:有一个未知数,含未知数的最高次是2,整式方程,是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 (2)强调:要先把一元二次方程化为一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),才能确定a 、b 、c 的值。 2. 一元二次方程的解法: (1)直接开平方法: () 它是以平方根的概念为基础,适合于形如,类型的 方程。 ax b c a c +=≠≥2 00() (2)配方法: () 先把二次项系数化为,再对进行配方,即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方,就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式, 变形为:的形式,再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 2 2 2 20+?? ? ?? +=≥() (3)公式法: 用配方法推导求根公式,由此产生了第三种解法公式法,它是解一元二次方程的主要方法,是解一元二次方程的通法。 关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式,确认、、的值(特别要注意正、负号),求出的值(以便决定有无必要代入求根公式),若,则代入求根公式。 a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥= -±-2 2 2 44042 (4)因式分解法: 适用于方程左边易于分解,而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时,要注意根据方程的特点,选择适当的解法,使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程,要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式 ()来判断。即根的情况可以用判别式 一元二次方程 ?-≠=++ac b a c bx ax 400 2 2 当时,方程有两个不相等的实数根。b ac 2 40-> 当时,方程有两个相等的实数根。b ac 2 40-= 当时,方程没有实数根。b ac 2 40-< 根的判别式△=b 2-4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程根与系数关系。 ()已知、是一元二次方程++=的两个根,那么,,,逆命题也成立。 x x ax bx c a x x b a x x c a 122 121200≠+= - ?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用: (1)已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值。 (2)不解方程,求某些代数式的值。 (3)已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程。 (4)已知两数和与积,求这两个数。 (5)二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系,可以大大缩减了复杂的运算量,避免进行无理数的计算。
第一章《二次根式》复习 二次根式为了方便,我们把一个数的算术平方根(如)也叫做二次根式。 二、二次根式被开方数不小于0 1、下列各式中不是二次根式的是 ( ) (A )12+x (B )4- (C )0 (D ) ()2b a - 2、判断下列代数式中哪些是二次根式? ⑴21, ⑵16-, ⑶9+a , ⑷12+x , ⑸222++a a , ⑹x -(0≤x ), ⑺()23-m 。 答:_____________________ 3、下列各式是二次根式的是( ) A B 4、下列各式中,不是二次根式的是( ) A . B D . 5、下列各式中,是二次根式是( ). (A )(B (C ) (D )6、若01=++-y x x ,则20052006y x +的值为: ( ) A 、0 B 、1 C 、 -1 D 、 2 7、已知1y =,则y x = 。 8、若x 、y 都为实数,且152********+-+-=x x y ,则y x +2=________。 三、含二次根式的代数式有意义(1)二次根式被开方数不小于0 (2)分母含有字母的,分母不等于0 1、x ( )