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第五章热力学第一定律
5－1.0.020Kg的氦气温度由升为，若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功，设氦气
可看作理想气体，且，
解：理想气体内能是温度的单值函数，一过程中气体温度的改变相同，所以内能的改变也相同，为：
热量和功因过程而异，分别求之如下：
（1）等容过程：
V=常量 A＝0
由热力学第一定律，
(
（2）等压过程：
由热力学第一定律，
负号表示气体对外作功，
（3）绝热过程
Q＝0
由热力学第一定律
—
5－2.分别通过下列过程把标准状态下的0.014Kg氮气压缩为原体积的一半；（1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程，试分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功，设氮
气可看作理想气体，且，
解：把上述三过程分别表示在P-V图上，
（1）等温过程
理想气体内能是温度的单值函数，过程中温度不变，故
由热一、
%
负号表示系统向外界放热
（2）绝热过程
由或
得
由热力学第一定律
另外，也可以由
·
及
先求得A
（3）等压过程，有
或
而
所以＝
＝
＝
>
由热力学第一定律，
也可以由求之
另外，由计算结果可见，等压压缩过程，外界作功，系统放热，内能减少，数量关系为，系统放的热等于其内能的减少和外界作的功。
{
5－3 在标准状态下的0.016Kg的氧气，分别经过下列过程从外界吸收了80cal的热量。（1）若为等温过程，求终态体积。（2）若为等容过程，求终态压强。（3）若为等压过程，求气体内能的变化。设
氧气可看作理想气体，且
解：（1）等温过程
则
故
（2）等容过程
《
-
（3）等压过程
5－4 为确定多方过程方程中的指数n，通常取为纵坐标，为横坐标作图。试讨论在这种图中多方过程曲线的形状，并说明如何确定n。
解：将两边取对数
，
或
比较知在本题图中多方过程曲线的形状为一直线，如图所示。
直线的斜率为
可由直线的斜率求n。
或
即n可由两截距之比求出。
5－5 室温下一定量理想气体氧的体积为，压强为。经过一多方过程后体积变为，压强为。试求：（1）多方指数n；（2）内能的变化；（3）吸收的热量；（4）氧膨胀时对外界
所作的功。设氧的。
【
解：（1）或
取对数得
（2）
＝
内能减少。
（3）
]
（4）由热力学第一定律
也可由求
5－6 一摩尔理想气体氦，原来的体积为，温度为，设经过准静态绝热过程体积被压缩为，求在压缩过程中，外界对系统所作的功。设氦气的。
解：
【
由热力学第一定律
5－7 在标准状态下的氧气，经过一绝热过程对外作功。求终态压强、体积和温度。设氧气为理想气体，且，
解：绝热由热力学第一定律
`
￥
5－8.0.0080Kg氧气。原来温度为，体积为0.41l，若
（1）经过绝热膨胀体积增为4.1l；
（2）先经过等温过程再经过等容过程达到与（1）同样的终态。
试分别计算在以上两种过程中外界对气体所作的功。设氧气可看作理想气体，且。解：如图，将两种过程在图上表示。
（1）绝热过程
\
负号表示系统对外界作功
（2）等容过程外界对气体不作功
＝
5-9.在标准状态下，一摩尔单原子理想气体先经过一绝热过程，再经过一等温过程，最后压强和体积均为原来的两倍，求整个过程中系统吸收的热量。若先经过等温过程再经过绝热过程而达到同样的状态，则结果是否相同
解：（1）先绝热压缩再等温膨胀，从态1到态2如图，对态2
.
又，仅等温过程吸热
？
（2）先等温膨胀再绝热压缩，气体从态1到态2，如图由（1）知
又
＝
仅等温过程态1到态4吸热，
＝×273ln16＝×J
可见，结果与(1)中不同，说明热量是过程量。
5－10.一定量的氧气在标准状态下体积为10.0l，求下列过程中气体所吸收的热量：（1）等温膨胀到20.0l；
.
（2）先等容冷却再等压膨胀到（1）所达到的终态。设氧气可看作理想气体，且。解：（1）等温膨胀
＝××10×
＝702J
（2）先等容冷却在等压膨胀
.
对1－2－3全过程：
则
由热力学第一定律
＝507J
5－11.图5－11中的实线表示一任意形状系统的界面。设当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，系统总体积增加dv，而在这过程界面上各均受到与界面垂直的外界对系统所作体积功为；若过程为准静态的，则此功又可表示为，其中P表示系统内部均匀压强。
证：如图，当系统的界面由实线膨胀到虚线的微元过程中，所取面元ds移动距离dl，移动方向与相反，所以此微元过程中外界压强对面元ds作的功为
·
由于在界面上各处均匀，且在微元过程中可视为不变，则外界对整个系统所作的体积功为
对于无摩擦的准静态过程
故此功又可表为
其中P表示系统内部均匀压强。
5－13.某气体服从状态方程，内能为：
、为常数。试证明，在准静态绝热过程中，这气体满足方程：
@
常数
其中
证：由热力学第一定律，
（1）
由，
对准静态绝热过程
则（1）式为
（2）
（
将微分
代入（2）式得：
或（3）
又，该气体有
已知为常数，则为常数。
？
令则为常数
代入（3）式
积分得＝常数
5－14.在时水蒸气的饱和气压为。若已知在这条件下水蒸气的焓是，水的焓是 KJ，求在这条件下水蒸气的凝结热。
解：在水蒸气凝结为水的等温等压过程中，系统吸收的热量等于其焓的增加，为
＝H水－H气＝－
＝－ KJ
即该条件下水蒸气的凝结热，负号表示水蒸气凝结时放热。
\
5－15.分析实验数据表明，在1atm下，从300K到1200K范围内，铜的定压摩尔热容量可表示为
其中a＝×，b＝，的单位是〔〕。试由此计算在1atm下，当温度从300K增加到1200K时铜的焓的改变。
解：铜在升温过程中压强不变，吸收的热量等于其焓的增加，所以
=
＝
5－16.设一摩尔固体的物态方程可写作
·
内能可表示为
其中a、b、c和均是常数。试求：
（1）摩尔焓的表达式；
（2）摩尔热容量和
解：（1）
（2）
利用先将u表示为T，v的函数
=
=
=
注意：这道题目出的有毛病，因为由热力学关系可证
但由本题所给条件
|
=－aT
而－T－p=－aT－bp
显然不满足（）式，即本题条件违背热力学基本关系。
5-17 .若把氮气、氢气和氨气都看着作理想气体（p0）,由气体热力学性质表［９］可查到它们在298K 的焓值分别为8669J m0.试求在定压下氨的合成热。氨的合成反应为
＋
解：系统在定压下吸收的热量等于其焓的增加，为
=
=
即氮的合成热。负号表示此合成反应是放热的。
5－18.料电池是把化学能直接转化为电能的装置。图5-18所示是燃料电池一例。把氢气和氧气连续通入多孔Ni电极，Ni电极是浸在KOH电解溶液中的（电极的孔径很小，可使电解液因毛细现象而渗入，但氢和氧气都透不过）。负极上的化学反应是，氢与电解液中的氢氧根离于结合，生成离子和水：
电子通过电极跑到外电路去。正极上的化学反应是，氧与电解液中的水、电子结合为氢氧子：
这燃料电池反应的总效果是：
`
若一燃料电池工作于298K定压下，在反应前后焓的改变为
两极电压为。试求这燃料电池的效率。
解：定压下，1摩尔氢尔和半摩尔氧化合成1摩尔水时吸收的热量为
负号表示实际放出的热量为
每产生1个水分子就有两个电子自阴极跑到阳极，因而生成1摩尔的水就有个电子自阴极跑到阳极。每个电子的电量为库仑，故总电量为
库仑
）
已知两极间电压为，故所作电功为
焦耳
则，这燃料电池的效率为
5－19.大气温度随高度Ｚ降低的主要原因是，低处与高处各层间不断发生空气交换。由于空气的导热性能不好，所以空气在升高时的膨胀（及下降时的压缩）可认为是绝热过程。若假设过程是准静态的，并注意到大气达到稳定机械平衡时压强差与高度的关系，证明空气的温度梯度为
其中p为空气压强, 、T分别为紧度与温度，是空气的。
证：所谓“大气达稳定机械平衡”，指重力场中的气体分子在热运动和重力两种互相对立的作用下的平衡，平衡时分子数密度随高度减小的规律可由玻尔兹曼分布律给出，结合p=nkT可得大气压强差与高度差的关系（等温气压公式）：
）
微分得，
从有代入上式得
（1）
认为一定量的空气上升时经历的过程，是理想气体的准静态绝热膨胀，有
]
取对数，再微分，有
或
将（1）代入此式得：
即空气的温度梯度。
5-20.利用大气压随高度变化的微分公式
?
证明：
其中和为地面的温度和压强，p是高度h处的压强。假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。证：将dp表达式中的变量T用绝热方程换掉后积分即得证明，具体作法如下：
取一定量空气在地面和高度z处两状态，由绝热方程
得
代入dp的表达式中，得
、
或
积分
整理
而
所以
5-21. 图5-21有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A和B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将80cal 的热量缓慢地同底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为,求A部和B部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容量可以忽略).
—
若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板,重复上述讨论.
解：(1)导热板位置固定经底部向气体缓慢传热时，A部气体进行的是准静态等容过程，B部进行的是准表态等压过程。由于隔板导热，A、B两部气体温度始终相等，因而
=
[
=
（2）绝热隔板可自由滑动B部在1大气压下整体向上滑动，体积保持不变且绝热，所以温度始终不变。
A部气体在此大气压下吸热膨胀
'
5-22. 图5-22所示是一种测定=C P/C V的装置。经活塞B将气体压入营容器A中，使压强略高于大气压（设为P1）。然后迅速开户再关闭活塞C，此时气体绝热膨胀到大气压P0。经过一段时间，容器中气体的温度又恢复到与室温相同，压强变为P2，假设开启C后关闭C前气体经历的是准静态绝热过程，试定出求的表达式。
解：由于P1略大于P0，当开启C后，将有一部分气体冲出容器A，把仍留在A中的气体作为研究对象，则从开户C后到关闭C前，系统经历准静态绝热膨胀过程，由状态1（P1，T0）到状态2（P0，T2）；从关闭C 到留在A的气体恢复室温，系统经历准静态等容吸热过程，由状态2（P0，T2）到状3（P2，T0）。两过程可表示如图
绝热过程中
等容过程中
）
取对数整理得：
5－23.如图5-23，瓶内盛有气体，一横截面为A的玻璃管通过瓶塞插入瓶内。玻璃管内放有一质量为m的
光滑金属小球（象一个活塞）。设小球在平衡位置时，气体体积为V，压强为P=P0+（P0为大气压强）现将小球稍向下移，然后放手，则小球将以周期T在平衡位置附近振动。假定在小再教育上下振动的过程中，瓶内气体进行的过程可看作准静态过程，试证明：
（1）使小球进行简谐振动的准静态弹性力为
这里=C P/C V y为位移。
（2）小球进行简谐振动的周期为
《
（3）由此说明如何利用这些现象测定