2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
数 学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．
参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． ②锥体的体积公式13
V Sh =
，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-24
③标准差s =
x 为样本12,,,n x x x 的平均数．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于
A ．
12i 55
+ B ． 12i 5
5
-
+ C ．
12i 55
- D ．12i 55-
-
2．命题:p 2,11x x ?∈+≥R ，则p ?是
A ．2,11x x ?∈+ B ．2,11x x ?∈+≤R C ．2,11x x ?∈+ D ．2,11x x ?∈+≥R 3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8- 4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．232 5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 第5题图 1 1 正视图 侧视图 俯视图 第4题图 6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则目标函数2z x y =-的最大值为 A ．3- B ．1 2 C ．5 D ．6 7．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b += A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 8．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是 [,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x +=- >存 在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15 (,)22 D ．(1,3) 二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1 (())4f f 的值等于 ． 10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____． 11．函数sin sin 3y x x π? ? =+- ??? 的最小正周期为 ，最大值是 ． 12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得 A 等级的概率分别为 5 4、 5 3、 5 2， 且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式： 11< ；②11+< 111+ + <；… 则第5个不等式为 ． (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3 π θ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标 方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形A B C D 的边A B 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3A D A E =，则:A F F C = ． 第15题图 F A B C D E M l 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在△ABC 中，45C ∠= ，D 为B C 中点，2B C =. 记锐角A D B α∠=．且满足7cos 225 α=- ． （1）求cos α； （2）求B C 边上高的值． 17．（本题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311 ,,b b b 成等比数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设n n n b c a = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题满分14分） 如图所示，已知A B 为圆O 的直径，点D 为线段A B 上一点， 且13 A D D B = ，点C 为圆O 上一点，且BC = ． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD D B =． （1）求证：P A C D ⊥； （2）求二面角C P B A --的余弦值． 第18题图 第16题图 C A 19．（本题满分14分） 某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式 35, (06)8 14, (6)k x x S x x ? ++< =-??≥? 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =． （1）求k 的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分） 设椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B - ，离心率2e = ． 过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程； （2）求动点C 的轨迹E 的方程； （3）设直线A C （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段R B 的中点，试判断直线C D 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分） 设()x g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的极值； （2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式 11x e a x --<成立； （3）设12,λλ∈+ R ，且121λλ+=， 证明：对任意正数21,a a 都有：12 121122a a a a λλ≤λ+λ． 2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准 9．1 -10．4 ±11．2π（2分） （3分）12． 5 9 13++++< 14．2sin()1 6 π ρθ+= （或2cos()1 3 π ρθ-=、cos sin1 ρθθ +=）15．1:4 三、解答题： 本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解析：（1）∵2 7 cos22cos1 25 αα =-=-，∴2 9 cos 25 α=， ∵(0,) 2 π α∈，∴ 3 cos 5 α=．-----------------5分 （2）方法一、由（1）得 4 sin 5 α==， ∵45 CAD ADB Cα ∠=∠-∠=- ， ∴sin sin()sin cos cos sin 44410 C AD πππ ααα ∠=-=-=，-----------------9分 在A C D ?中，由正弦定理得： sin sin C D A D C A D C = ∠∠ ， ∴ 1 sin 5 sin 10 C D C AD C AD ? ?∠ === ∠ ，-----------------11分 则高 4 sin54 5 h A D A D B =?∠=?=． 方法二、如图，作B C边上的高为A H 在直角△A D H中，由（1）可得 3 cos 5 D B A D α==， 则不妨设5, AD m =则3,4 DH m AH m == 注意到=45 C ∠ ，则A H C ?为等腰直角三角形，所以C D D H A H +=， 则134 m m +=-----------------10分 所以1 m=，即4 AH=-----------------12分 17．（本题满分12分） 解析：（1）当2 n≥，时1 1 222 n n n n n n a S S+ - =-=-=，-----------------2分 又111 11 2222 a S+ ==-==，也满足上式， 所以数列{ n a}的通项公式为2n n a=．-----------------3分11 2 b a ==，设公差为d，则由 1311 ,, b b b成等比数列， 得2 (22)2(210) d d +=?+，-----------------4分 A 解得0d =（舍去）或3d =， ----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分 （2）由（1）可得3121 2 3 n n n b b b b T a a a a = ++++ 1 2 3 2583122 2 2 n n -=+ + ++ ， -----------------7分 1 21 58 31222 2 2 n n n T --=+ + ++ ， -----------------8分 两式式相减得 1 2 1 3333122 2 2 2 n n n n T --=+ + ++ - ， -----------------11分 1 3 1(1)31352 2251 2 2 12 n n n n n n T ---+=+- =- - ， -----------------12分 18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接C O ，由3A D D B =知，点D 为A O 的中点， 又∵A B 为圆O 的直径，∴A C C B ⊥， BC =知，60CAB ∠= ， ∴A C O ?为等边三角形，从而C D A O ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴P D ⊥平面ABC ，又C D ?平面ABC ， ∴PD C D ⊥，-----------------5分 由PD AO D = 得，C D ⊥平面P A B ， 又PA ?平面P A B ，∴P A C D ⊥． （注：证明C D ⊥平面P A B 时，也可以由平面PAB ⊥平面AC B 法2：∵A B 为圆O 的直径，∴A C C B ⊥， 在R t A B C ?中设1AD =，由3A D D B =BC =得，3D B =，4A B =，BC = ∴ 2 BD BC BC AB == ，则B D C B C A ??∽， ∴BC A BD C ∠=∠，即C D A O ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴P D ⊥平面ABC ，又C D ?平面ABC ， ∴PD C D ⊥， -----------------5分 由PD AO D = 得，C D ⊥平面P A B ， 又PA ?平面P A B ，∴P A C D ⊥． -----------------6分 法3：∵A B 为圆O 的直径，∴A C C B ⊥， 在R t A B C ?BC =得，30ABC ∠= ， 设1AD =，由3A D D B =得，3D B =，BC =， 由余弦定理得，2 2 2 2cos 303CD DB BC DB BC =+-?= ， ∴222 CD DB BC +=，即C D A O ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴P D ⊥平面ABC ，又C D ?平面ABC ， ∴PD C D ⊥， -----------------5分 由PD AO D = 得，C D ⊥平面P A B ， 又PA ?平面P A B ，∴P A C D ⊥． -----------------6分 （Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作D E PB ⊥，垂足为E ，连接C E ． -----------------7分 由（1）知C D ⊥平面P A B ，又PB ?平面P A B ， ∴C D P B ⊥，又DE CD D = ， ∴PB⊥平面C D E，又C E?平面C D E， ∴C E P B ⊥，-----------------9分 分 （注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） ∴PB=，则 2 P D D B D E P B ? ===， ∴ 在R t C D E ? 中，tan 3 2 C D D EC D E ∠=== ∴cos 5 D EC ∠=，即二面角C P B A --的余弦值为 5 ．-----------------14分 法2：（坐标法）以D为原点，D C 、DB 和DP 的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．-----------------8 分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明C D AB ⊥，酌情给分．） 设1 AD=，由3A D D B =BC =得，3 P D D B ==，C D=， ∴(0,0,0) D ，0,0) C，(0,3,0) B，(0,0,3) P， ∴0,3) PC=- ，(0,3,3) PB=- ，( 0,0) C D= ， 由C D⊥平面P A B，知平面P A B的一个法向量为(0,0) C D= ．-----------------10分 设平面PBC的一个法向量为(,,) x y z = n ，则 PC PB ??= ? ? ?= ?? n n ，即 30 330 y y z -= - = ?? ，令1 y=，则x=1 z=， ∴= n ，-----------------12分 设二面角C P B A --的平面角的大小为θ， 则cos 5 || C D C D θ ? ===- ? n |n| ，-----------------13分 ∴二面角C P B A --的余弦值为 5 ．-----------------14分 19．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）由题意可得： 22,06 8 11,6 k x x L x x x ? ++<< ? =- ? ?-≥ ? ， 因为2 x=时，3 L=，所以3222 28 k =?++ - . -----------------4分 解得18 k=. -----------------5分 （Ⅱ）当06 x <<时， 18 22 8 L x x =++ - ，所以 1818 2818=[2(8)]18186 88 L x x x x =-++--++-= -- ≤ （）．-----------------8分 当且仅当 18 2(8) 8 x x -= - ，即5 x=时取得等号．-----------------10分 当6 x≥时，115 L x =-≤．-----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6． 所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分 20．（本题满分14分） 解析：（1）由题意可得2a = ，2 c e a == ，∴c = -----------------2分 ∴2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为 2 2 14 x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =??=?，即0012 x x y x =?? ?=??， -----------------6分 又 2 2 00 14 x y +=，代入得 2 21( )14 2 x y +=，即22 4x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=． -----------------8分 （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ， 而(2,)A C m n =+ ，(4,)AR t = ，则4(2)n t m =+， ∴42 n t m = +， ∴点R 的坐标为4(2, )2 n m +，点D 的坐标为2(2, )2 n m +， -----------------10分 ∴直线C D 的斜率为22 2(2)22244 n n m n n m n m k m m m - +-+= ==---， 而224m n +=，∴22 4m n -=-， ∴2 m n m k n n = =- -， -----------------12分 ∴直线C D 的方程为()m y n x m n -=- -，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线C D 的距离442d r = = ==， 所以直线C D 与圆O 相切． -----------------14分 21．（本题满分14分） 解析：（1）∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--， -----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->， ∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分 故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<； ∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分 （2）∵ 11 1x x e e x x x ----= ， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->， 故()(0)0h x h >=， 因此原不等式化为 1 x e x a x --<，即(1)10x e a x -+-<， -----------------6分 令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+， 由()0g x '=得：1x e a =+，解得ln(1)x a =+， 当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>． 故当ln(1)x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++， -----------------8分 令()ln(1),01a s a a a a = -+>+，则2 2 11()0(1) 1(1) a s a a a a '= - =- <+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<． 因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分 （3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使1 1x a e =，2 2x a e =， 则121122 1122 12x x x x a a e e e λλλλλλ+=?=，12 112212x x a a e e λλλλ+=+， 原不等式1 2 121122a a a a λλλλ≤+1122 1 2 12x x x x e e e λλλλ+?≤+， 11221122()()()g x x g x g x λλλλ?+≤+ -----------------14分 由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立， 故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-， 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=， 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+， 即1122 1 2 12x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分 2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 区 学校 班级 姓名 考号 座位号 17． 19． 20． 21．
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