2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)
(1) 设函数tan 21,0
arcsin
()2,
x
x e x x f x ae x ?->??
=???≤?在0x =处连续，则a = .
(2) 位于曲线(0)x
y xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______. (3) 微分方程2
0yy y '''+=满足初始条件0
1
1,2
x x y y =='
==
的特解是_________.
(4) 1lim
n n →∞=_____ . (5) 矩阵022222222--????-????--??
的非零特征值是_________.
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数()f u 可导，2
()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ?=-时，相应的函
数增量y ? 的线性主部为0.1，则(1)f '=( )
(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
(A)20()x
f t dt ? (B)20
()x
f t dt ?
(C)
[()()]x
t f t f t dt --?
(D)0
[()()]x
t f t f t dt +-?
(3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3x
y py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的
特解，则当0x →，函数2ln(1)
()
x y x +的极限( )
(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( )
(A)当lim ()0x f x →+∞
=时，必有lim ()0x f x →+∞
'=.
(B)当lim ()x f x →+∞
'存在时，必有lim ()0x f x →+∞
'=.
(C)当0
lim ()0x f x +→=时，必有0
lim ()0x f x +
→'=. (D)当0
lim ()x f x +→'存在时，必有0
lim ()0x f x +
→'=. (5) 设向量组123,,ααα线性无关，向量1β 可由123,,ααα线性表示，而向量2β 不能由
123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有( )
(A)123,,ααα , 12k ββ+线性无关； (B)123,,ααα , 12k ββ+线性相关； (C)123,,ααα,12k ββ+线性无关； (D)123,,ααα,12k ββ+线性相关
三、(本题满分6分)
已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=- ，求该曲线上对应于6
πθ=处的切线与法线的
直角坐标方程.
四、(本题满分7分)
设2232,10
2(),01
(1)
x
x x x x f x xe x e ?+-≤
=??≤≤?+?求函数1
()()x
F x f t dt -=
?
的表达式.
五、(本题满分7分)
已知函数()f x 在(0,)+∞内可导()0f x >，lim ()1x f x →+∞
= , 且满足
1
1
0()lim()()
h x h f x hx e f x →+=,求()f x .
六、(本题满分8分)
求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =， 与直线
1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.
七、(本题满分7分)
某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对 称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线 与线段AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之 比为5：4，闸门矩形部分的高h 应为多少m (米)？
八、(本题满分8分)
设1103,1,2,)n x x n +<<==，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.
九、(本题满分8分)
设0a b <<
，证明不等式22
2ln ln a b a a b b a -<<+- 十、(本题满分8分)
设函数 ()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且(0)0,(0)0,f f '≠≠(0)0.f ''≠ 证明:存在惟一的一组实数123,,λλλ，使得当0h →时，
123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++-
是比2
h 高阶的无穷小.
十一、(本题满分6分)
已知,A B 为3 阶矩阵，且满足1
24A B B E -=-,其中E 是3阶单位矩阵. (1) 证明：矩阵2A E -可逆；
(2) 若120120002B -????=??????
,求矩阵.A
十二、(本题满6分)
已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.
D
1m
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
(1)【答案】 -2
【详解】如果分段函数()f x 连续，则()f x 在0点处的左右极限相等，从而确定a 的值． 当0x →+时，tan 1tan x
e
x x ---；arcsin
22
x x
，所以有 tan 00001tan lim ()lim lim lim 2arcsin
222
x x x x x e x x
f x x x x
++++→→→→---==-==； 20
lim ()lim (0)x
x x f x ae a f --
→→=== 如果()f x 在0x =处连续，必有(0)(0)(0),f f f +
-
== 即 2.a =-
(2)【答案】 1 【详解】面积0
0x x x x
S xe dx xde xe e dx +∞
+∞
----+∞??=
=-=--???
?
?
lim 0
0x x
x x b b xe e xe e ----→+∞+∞
????=--=--??
??lim 11b b b be e --→+∞??=---=?? 其中 1lim lim
lim 0b
b b
b b b b be
e e -→+∞
→+∞→+∞==洛．
(3)
【答案】y =
【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型． 命,dp dp dy dp
y p y p dx dy dx dy
'''==
==． 原方程2
0yy y '''+=化为20dp
yp
p dy
+=，得 0p =或0dp
y
p dy
+= 0p =，即
0dy dx =，不满足初始条件1'02
y x ==，弃之；所以0p ≠
所以，0dp y
p dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1
.C dy dx y
=
由初始条件1
1,'
2
y
y x x ==
==，可将1C 先定出来：1111,212C C ==． 于是得
1
2dy dx y
=
解之得，22,y x C y =+=．以0
1x y ==
代入，得1=，所以应取“+”
号
且21C =．
于是特解是y =
方法2：将2
0yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=． 以初始条件1
(0)1,(0)2
y y '==
代入，有1112C ?
=，所以得1
2
yy '=． 即21yy '=，改写为2()1y '=． 解得2,y x C =
+y =
1=""+且21C =． 于是
特解y =
(4)
【答案】
π
【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限． 因为
1lim
...n n →∞ 1
1
lim
n
n i n
π
π
→∞
==
1
1
lim (
)n
i n i i f x n
π
π
→∞
==
?∑ 其中(),(1,2,,)i f x x i n n
π
=?=
=，所以根据定积分的定义，有
1lim n n →∞+
1
cos 2x dx π
π
π
π
π
==
=?
?
(5)【答案】4
【详解】记022222222A --????=-????--??
，则
02222222222222222E A λλ
λλλλλ--?????? ? ? ?
-=--=-- ? ? ? ? ? ?---??????
(对应元素相减)
两边取行列式，
E A λ-22222222λλλ=---22230222λλλ
λ+-行行22
2011222
λλλλ -把第行的公
因子提出来
012201
1
222
λλλ-? -行行11
11
1(1)22
λλλ+??--按第行展开
(其中11
(1)
+-指数中的1和1分别是λ所在的行数和列数)
2(22)λλ=--2(4)λλ=-
令
0E A λ-=，解得1230,4λλλ===，故4λ=是矩阵的非零特征值．(另一个特
征值是0λ=(二重))
二、选择题 (1)【答案】(D)
【详解】在可导条件下，0
()x x dy
y x o x dx
=?=?+?，
当0
0x x dy dx
=≠时
x x dy x dx
=??称为y ?的
线性主部．
而
2()2dy x f x x x dx '??=?，以1,0.1x x =-?=-代入得(1)0.2dy
x f dx
'??=?，由题设它等于0．1，于是(1)0.5f '=，应选(D)．
(2)【答案】(D)
【详解】对与(D)，令0
()[()()]x
F x t f t f t dt =+-?，则0
()[()()]x
F x t f t f t dt --=+-?，令
t u =-，则dt du =-，所以
()[()()]()[()()]x
x
F x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-??
[()()](),x
u f u f u du F x =-+=?
所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．
(3)【答案】(C)
【详解】由3x
y py qy e '''++=，且(0)(0)0y y '==，可知(0)1y ''=
方法1：因为当2
0x →时，2
2ln(1)
x x +，所以
20ln(1)lim ()
x x y x →+=2000222lim lim lim 2()()()1x x x x x y x y x y x →→→==='''=， 故选(C)．
方法2：由于(0)(0)0,(0)1y y y '''===． 将函数()y x 按麦克劳林公式展开
22
()00()2
x y x o x =+++，代入2ln(1)()x y x +，有
22200022
2ln(1)1
lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x
→→→+==++=．
(4) 【详解】方法1：排斥法．
令21()sin f x x x =
，则()f x 在(0,)+∞有界，2221
()sin 2cos f x x x x
'=-+， lim ()0x f x →+∞
=，但lim ()x f x →+∞
'不存在，故(A)不成立；
0lim ()0x f x +
→=，但 0lim ()10x f x +
→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B)． 方法2：证明(B)正确． 设lim ()x f x →+∞
'存在，记lim ()x f x A →+∞
'=，证明0A =．
用反证法，若0A >，则对于
02
A
ε=
>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222
A A A A
A f x A '=-<<+=
由此可知，()f x '有界且大于2
A
．在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有
()()()()()()2
A
f x f X f x X f X x X ξ'=+->+-
从而lim ()x f x →+∞
=+∞，与题设()f x 有界矛盾．类似可证当0A <时亦有矛盾． 故
0A =．
(5)【答案】A
【详解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关． 用反证法，若
123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123
,,ααα线性表出． 即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++
又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233
l l l βααα=++代入上式，得
121122332112233()k k l l l ββαααβλαλαλα+=+++=++
?2111222333()()()kl kl kl βλαλαλα=-+-+-
与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，选(A) 方法2：用排除法
B 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，否则因为123,,ααα，2β线性相关，又123,,ααα线性无关，故2β可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 2112233βλαλαλα=++与已知矛盾，排除(B)．
C 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，因为1β可由123,,ααα线性表出，123,,ααα，1β线性相关，排除(C)．
D 选项：0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立．若123,,ααα，12
k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++. 又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得
121122332112233()k l l l k ββαααβλαλαλα+=+++=++ ?2111222333()()()k l l l βλαλαλα=-+-+-
因为0k ≠，故
33
11
22
2123l l l k
k
k
λλλβααα---=
+
+
与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故123,,ααα,12k ββ+线性相关不成立，排除(D)． 故选(A)．
三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式cos sin x r y r θ
θ
=??
=?，化极坐标曲线1cos r θ=-为直
角坐标的参数方程为
(1cos )cos (1cos )sin x y θθ
θθ
=-??
=-?， 即 2cos cos sin cos sin x y θθ
θθθ
?=-?
=-? 曲线上6
π
θ=
的点对应的直角坐标为31,42-- 226
6
6
cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dy d dx dx
d π
π
θθπ
θθθθθθθθ
θ
=
=
=+-==
=-+
于是得切线的直角坐标方程为
13(()2424y x --=--
，即504
x y --=．
(这是由直线的点斜式得到的，直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，由导数的几何意义知在6
π
θ=
时斜率为1
，且该点的直角坐标为31,2424
--)， 法线方程为
113(()),214y x -=---
即104
x y +-=．
(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得)
四【详解】当10x -≤<时
1()()x F x f t dt -=?223131
(2)()122
x x t t dt t t -=+=+-?3211.22x x =+-
当01x ≤<时，
01
1
()()()()x x
F x f t dt f t dt f t dt --==+???
2
32001()12
(1)t
x t te t t dt e =++-+?
0112(1)
x t td e =--+?010211x t t
x t dt e e =--+++?01211t
x x t x e dt e e --=--+++? 1ln(1)021
t x x x e e -=---++1ln ln 2211x x
x x e e e =--++++ 所以
32
11,1022
()1ln ln 2,01112x
x x x x x F x e x x e e ?+--≤
当当
五【详解】因为1
1
()ln h ()()()f x hx h
f x f x hx e
f x ??
+ ??
?
??+= ???
，
又 001()1lim
ln lim (ln ()ln ())()h h f x hx f x hx f x h f x h →→??+=+- ???
， 0x ≠ 0
ln ()ln ()
lim(
)h f x hx f x x hx
→+-=?()(ln ())()xf x f x x f x ''=?=
从而得到 1
()1
()
0()lim ()xf x h
f x x h f x hx e e
f x '→??
+= ???
由题设
于是推得
()1(ln ())()xf x f x x f x x ''==，即21
(ln ())f x x
'= 解此微分方程，得 11
ln ()f x C x
=-+，改写成 1
()x f x Ce -=
再由条件lim ()1x f x C →+∞
==，于是得1().x
f x e -=
六【详解】这是一阶线性微分方程2
1y y x
'-
=-，由通解公式(如果一个一阶线性方程为()()y p x y q x '+=那么通解为()()[()]p x dx p x dx
y e q x e dx C -?
?=+?)有 22
[]dx dx x x y e e dx C -??=-+?221[]x dx C x =-+?221(),12x C x Cx x x
=+=+≤≤
由曲线2
y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积为
2
2221
31157()(
)523
V x Cx dx C C ππ=+=++? (旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及
x 轴围成平面图形．该图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积为2()b
a
V f x dx π=?)
取C 使V 最小，由求最值的方法知先求函数的驻点，即
0dV
dC
=的点，
6215
()052dV C dC π=+= 解得75.124C =- 又()0V C ''>，故75
124
C =-
为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为
2
75.124
y x x =-
七【详解】方法1：建立坐标系如下图，
由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为
2y px q =+，由坐标轴的建立知此抛物线过
(0,0),(1,1)点，把这两点代入抛物线的方程，
得22
0011p q p q
?=?+?=?+?，所以0,1q p ==． 即底部的二次抛物线是2y x =，11x -≤≤．
细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微元2dA xdy =，因此压力微元
2(1)dp gx h y dy ρ=+- (这是由压力的公式得到的：压力=压强?面积)
平板ABCD 上所受的总压力为
111
2(1)h
P gx h y dy ρ+=+-?
其中以1x =代入，计算得2
1P gh ρ=．
抛物板AOB 上所受的总压力为
1
20
2(1),P gx h y dy ρ=+-?
其中由抛物线方程知x =
212
4()315
P g h ρ=+，
由题意12:5:4P P =，即
25
12
4
4()315
h h =+ 解之得2h =(米)(1
3
h =-舍去)，即闸门矩形部分的高应为2m ．
八【详解】由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故
D
211130(3).22x x x <≤+-= (2
()2
a b ab +≤,a b 为正数)
假设302k x <≤，则再一次用不等式2
()2
a b ab +≤，得
113
(3).22
k k k x x x +≤+-=
由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有3
02
n x <≤．
另一方面，1n n n x x x +-
20.≤
=
≥
所以{}n x 单调增加．单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞
存在，记为.a
由1n x +=
两边取极限，于是由极限的运算性质得
a =即2230,a a -=
解得3
2
a =
或0a =，但因10x >且单调增，故0a ≠，所以 3
lim 2
n n x →∞=．
九【详解】左、右两个不等式分别考虑. 先证左边不等式， 方法1：由所证的形式想到用拉格朗日中值定理．
ln ln 1
(ln ),0.x b a
x a b b a
ξ
ξξ
=-'
==
<<<-
而
221
12a b a b
ξ
>
>+中第二个不等式来自不等式222a b ab +>(当0a b <<时)，这样就证明了要证明的左边．
方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命
22
2()
()ln ln a x a x x a a x ?-=--
+，有()0a ?=．
22222124()
()()
a ax x a x x a x a x ?-'=-+++222222
()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++(当0a x <<)， 所以，当0x a >>时()x ?单调递增. 所以()()0x a ??>=，故()0b ?>，
即
222()()ln ln 0a b a b b a a b ?-=--
>+?
22
ln ln 2b a a b a a b ->-+ 再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命
()ln ln ),x x a x a ψ=--
-
有()0a ψ=，及1()0,
x x ψ'==<
所以当0x a >>时，()0x ψ<，再以x b =代入，得
ln ln ),b a b a
-<
-即ln ln b a b a -<-
右边证毕．
十【详解】从题目结论出发，要证存在唯一的一组123,,λλλ，使得
1232
()(2)(3)(0)
lim
0h f h f h f h f L h λλλ→++-==
由极限的四则运算法则知，分子极限应为0，即
[]1230
lim ()(2)(3)(0)h f h f h f h f λλλ→++=
由于()f x 在0x =连续，于是上式变形为123(0)()(0).f f λλλ++= 由(0)0,f ≠知
123 1.λλλ++= (1)
由洛必达法则，
1232
()(2)(3)(0)
lim
h f h f h f h f L h
λλλ→++-=
1
230()2(2)3(3)
lim 2h f h f h f h h
λλλ→'''++= (2) 由极限的四则运算法则知分子的极限应是0，即
1230
lim(()2(2)3(3))0h f h f h f h λλλ→'''++=
由于()f x '在0x =连续，于是上式变形为123(23)(0)0f λλλ'++=，由(0)0,f '≠知
123230λλλ++= (3)
对(2)再用洛必达法则，和()f x ''在0x =连续
1231230
()4(2)9(3)
1
lim
(49)(0)22
h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有
123490λλλ++= (4)
将(1)、(3)、(4)联立解之，由于系数行列式
11112320,149
=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕．
十一【详解】(1) 由题设条件124A B B E -=-，两边左乘A ，得124AA B AB A -=-，即
24B AB A =-24AB B A ?-=
所以 (2)A E B -2AB B =-4488A A E E ==-+4(2)8A E E =-+，
?(2)4(2)8A E B A E E ---=?(2)(2)48A E B A E E E ---?=
?(2)(4)8A E B E E --=?1
(2)(4)8
A E
B E E --=
根据可逆矩阵的定义知2A E -可逆，且1
1(2)(4)8
A E
B E --=-．
(2) 由(1)结果知1
1(2)(4)8
A E
B E --=-，根据逆矩阵的性质111()kA k A ---=，其中k
为不等于零的常数，有
1
112(4)8(4)8A E B E B E --??
-=-=-????
故 1
8(4)2A B E E -=-+
又 1204003204120040120002004002B E ---????????????-=-=-????????????-??????
(对应元素相减) 因为若()
()1
A E E A - →
初等行变换
，对[]4B E E -进行初等行变换，
[]3201004120010002001B E E ?--???-=-????-??13120010320100002001?-?
??
→--????-??
、行互换 2131200100801300011002+?????-??→-??
??
-?
??
?行行12()8010120130100880011002?-??
??-????→--??????-????
行
1221
1
04410013010088001100
2+???-?
?????→-
-??????-???
?
行行 故11
1
0441
3(4)088100
2B E -??-????
??-=-
-??????-???
?
，代入18(4)2A B E E -=-+中，则 18(4)2A B E E -=-+1
1
0442
1
3802882100
2??-??
????????=-
-+?
???????????-???
?
(常数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都需要乘以该常数)
220213020042-????????=--+????????-????020110002??
??=--????-??
(对应元素相加)
十二【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,
αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即
β可由1234,,,αααα线性表出，知
[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα=====
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解．
对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*
是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*
+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*
是Ax β=的一个特解，因
123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα????
-??-+-==??????
，
故[]1,2,1,0T
ξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0T
ξ=-是0Ax =的基础解系．
又
[]1234123411,,,11βαααααααα??????=+++=??????，即1111A β????
??=??????
故[]1,1,1,1T
η*
=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程
组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T T
k -+．(其中k 是任意常数) 方法2：令[]1234,,,T
x x x x x =，则线性非齐次方程为
[]1234,,,Ax x αααα=[]12
123434,,,x x x x αααα??????=??????
11223344x x x x ααααβ=+++=
已知1234βαααα=+++，故
11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++
将1232ααα=-代入上式，得
23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++
?21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+ ?12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--= ?12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=
由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得
2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当
12134
23010x x x x x +=??
-+=??-=? 其系数矩阵为210010100001??
?
- ? ???
，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次
线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解
431321,,,23x x k x x k x k =====-+
故方程组Ax β=有通解
123410232310101x k x k k x k x ????????????????-+-????????==+????????????????
??
??????．(其中k 是任意常数)