3.2 一元二次不等式及其解法(二)
自主学习
知识梳理
1．解分式不等式的同解变形法则： (1)f x g x >0?____________； (2)f x g x ≤0?________________； (3)f x g x ≥a ?f x －ag x g x
≥0. 2．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况： ax 2
＋bx ＋c>0 (a≠0)恒成立?____________； ax 2
＋bx ＋c≤0 (a≠0)恒成立?____________.
(2)一般地，若函数y ＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x∈D 恒成立?____________； a 自主探究 对于一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0 (a≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？ (1)两个正根?____________； (2)两个负根?____________； (3)一正一负根?____________； (4)两根都小于k ?____________； (5)一根大于k ，一根小于k ?____________. (注：答案不唯一) 对点讲练 知识点一 分式不等式的解法 例1 解分式不等式： (1)x ＋12－x ≥－2；(2)x 2 ＋2x －3－x 2＋x ＋6<0. 总结 简单的分式不等式在求解时多化为f x g x >0，f x g x <0的形式，在变形的过程 中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如f x g x ≥0应???? ?? f x ≥0 g x >0或 ? ?? ?? f x ≤0， g x <0但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点． 变式训练1 解不等式：x ＋2 x 2＋x ＋1 >1. 知识点二 恒成立问题 例2 设函数f(x)＝mx 2 －mx －1. (1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 总结 含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值． 变式训练2 若不等式2x －1>m(x 2 －1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x 的取值范围． 知识点三 一元二次方程根的分布 例3 设a∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2 －a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0 总结 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解． 变式训练3 若方程4x ＋(m －3)·2x ＋m ＝0有两个不相同的实根，求m 的取值范围． 1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零． 2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论： (1)a >f (x )恒成立?a >f (x )max ；(2)a 3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观. 课时作业 一、选择题 1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2或x ＝1} 2．不等式x 2－2x －2 x 2＋x ＋1 <2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2} B ．R C ．? D ．{x |x <－2或x >2} 3．若a >0，b >0，则不等式－b <1 x A ．－1b B ．－1a C ．x <－1a 或x >1 b D ．x <－1b 或x >1 a 4．设函数f (x )＝??? ?? x 2 －4x ＋6，x ≥0， x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3)． 5．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2 ＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1 B ．x <1或x >3 6．如果A ＝{x |ax 2 －ax ＋1<0}＝?，则实数a 的取值范围为________． 7．已知x ＝1是不等式k 2x 2 －6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 8．已知关于x 的不等式ax x －1 <1的解集为{x |x <1或x >3}，则a 的值是________． 三、解答题 9．已知函数f (x )＝x 2 ax ＋b (a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3， x 2＝4. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k >1，解关于x 的不等式：f (x )< k ＋1 x －k 2－x . 10．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2 ＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围． §3.2 一元二次不等式及其解法(二) 知识梳理 1．(1)f (x )·g (x )>0 (2)??? ?? f x · g x ≤0 g x ≠0 2．(1)? ?? ?? a >0 Δ<0 ? ?? ?? a <0 Δ≤0 (2)a >f (x )max a 自主探究 (1)???? ? Δ≥0x 1＋x 2>0x 1x 2>0 (2)???? ? Δ≥0x 1＋x 2<0 x 1x 2>0 (3)??? ?? Δ>0 x 1x 2<0 (4)???? ? Δ≥0x 1＋x 2<2k x 1－k x 2－k >0 (5)??? ? ? Δ>0 x 1－k x 2－k <0 对点讲练 例1 解 (1)x ＋12－x ≥－2?x ＋12－x ＋2≥0?5－x 2－x ≥0 ? x －5 x －2≥0?????? x －2 x －5 ≥0x －2≠0 ∴x <2或x ≥5. ∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}． (2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成． (1)? ???? x 2＋2x －3>0 ①x 2－x －6>0 ② ????? x 2 ＋2x －3<0 ③x 2－x －6<0 ④ 由①解得{x |x <－3或x >1}； 由②解得{x |x <－2或x >3}． ∴不等式组(1)的解集是{x |x <－3或x >3}． 由③解得{x |－3 ∴不等式组(2)的解集是{x |－2 综上，原不等式的解集是{x |x <－3或－2 变式训练1 解 因为x 2 ＋x ＋1>0， 所以原不等式可化为x ＋2>x 2 ＋x ＋1， 即x 2 －1<0，解得－1 所以原不等式的解集为{x |－1 例2 解 (1)要mx 2 －mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0. 若m ≠0，? ???? m <0， Δ＝m 2 ＋4m <0?－4 ∴－4 (2)要f (x )<－m ＋5， 就要使m ? ????x －122＋3 4 m －6<0，x ∈[1,3]． 方法一 令g (x )＝m ? ????x －122＋3 4 m －6，x ∈[1,3]， 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)， ∴7m －6<0，得m <67.∴0 7 . 当m ＝0时，－6<0恒成立． 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数． ∴f (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6.∴m <0. 综上所述，m <6 7 . 方法二 ∵x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34 >0， 又∵m (x 2 －x ＋1)－6<0， ∴m <6 x 2－x ＋1 . ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ?? ??x －122＋34在[1,3]上的最小值为67.∴只需m <6 7 即可． 变式训练2 解 不等式变为m (x 2 －1)－(2x －1)<0， 即f (m )＝m (x 2 －1)－(2x －1)<0在{m |－2≤m ≤2}上恒成立， 故? ???? f 2 <0，f －2 <0.解得7－12 例3 解 设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2 －a －2. 因为x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 且0 所以???? ? f 0 >0，f 1 <0， f 2 >0 ?????? a 2 －a －2>0，7－ a ＋13 ＋a 2 －a －2<0，28－2 a ＋13 ＋a 2－a －2>0 ?????? a 2 －a －2>0，a 2 －2a －8<0，a 2－3a >0 ????? ? a <－1或a >2，－23 ?－2 所以a 的取值范围是{a |－2 变式训练3 解 令2x ＝t ，则原方程变为t 2 ＋(m －3)t ＋m ＝0， ∵t >0. ∴关于t 的二次方程有两不同正根的充要条件为：???? ? Δ＝ m －3 2 －4m >0x 1＋x 2＝－ m －3 >0 x 1·x 2＝m >0 ， 解得0 ∴所求m 的取值范围为(0,1)． 课时作业 1．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 2．A [原不等式?x 2－2x －2<2x 2 ＋2x ＋2 ?x 2＋4x ＋4>0?(x ＋2)2 >0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．] 3．D [－b <1 x 01 x ? x <01 x >－b ????? ? x >0x >1 a 或??? ? ? x <0bx <－1 ?x >1a 或x <－1 b .] 4．A [f (1)＝12 －4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2 －4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3 所以f (x )>f (1)的解集是x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)．] 5．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2 －4x ＋4) g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1] ?????? g 1 ＝x 2 －3x ＋2>0g －1 ＝x 2－5x ＋6>0?????? x <1或x >2x <2或x >3 ?x <1或x >3.] 6．0≤a ≤4 解析 a ＝0时，A ＝?；当a ≠0时，A ＝??ax 2 －ax ＋1≥0恒成立?? ?? ?? a >0 Δ≤0?0 综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4. 7．k ≤2或k ≥4 解析 x ＝1是不等式k 2x 2 －6kx ＋8≥0的解， 把x ＝1代入不等式得k 2 －6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2. 8.23 解析 原不等式化为ax x －1－1＝ a －1 x ＋1 x －1 <0，其等价于(x －1)[(a －1)x ＋1]<0. ∵不等式的解集为{x |x <1或x >3}， ∴x ＝11－a ＝3，解得a ＝2 3 . 9．解 (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程 x 2 ax ＋b －x ＋12＝0 得????? 93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8， 解得? ?? ?? a ＝－1 b ＝2， 所以f (x )＝x 2 2－x (x ≠2)． (2)不等式即为x 2 2－x < k ＋1 x －k 2－x ， 可转化为x 2－ k ＋1 x ＋k 2－x <0. 即(x －2)(x －1)(x －k )>0. ①当1 ②当k ＝2时，不等式为(x －2)2 (x －1)>0，原不等式的解集为{x |1 当1 10．解 (1)当a 2 －1≠0时， 由? ???? a 2－1>0，Δ＝ a ＋1 2－4 a 2 －1 <0， 得a <－1或a >53 . 又a 2 －1＝0时，得a ＝±1.a ＝－1时，满足题意． a ＝1时，不合题意． ∴实数a 的取值范围为a ≤－1或a >5 3 . (2)只要t ＝(a 2－1)x 2 ＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ， 故当a 2 －1≠0时， 有? ???? a 2－1>0，Δ≥0，得1 又当a 2 －1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意． a ＝－1时不合题意． ∴实数a 的取值范围为1≤a ≤5 3 . 二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ① 教学任务 教学过程设计 课后作业 一、选择： 1不等式038>-x 的解集是（ ） A ? B C 8{|}3x x ≠ D }3 8 { 2不等式04 1 2>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1 {|}2 x x ≠ 3设等于则B A x x B x x A I },11{},32{>-=<-= （ ） A }5201{<<<<-x x x 或 B }51{<<-x x C }01{<<-x x D }20{> 14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2） （1）求b 的值； （2）解不等式 40() x m f x +>． 答： 15、解关于x 的不等式 )0( 12 ) 1(>>--a x x a 答： - 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若 每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________． 三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1.二元二次方程组-解法-例题
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