2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)

专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分（B 卷）

一、选择题（每题5分，共30分）

1、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)

1

()x x e dx --?

=（ ）

A ．11e

--

B ．1-

C ．312e

-

+

D ．32

-

2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·9)6

22a x x ?

?+ ??

?展

开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2

y x =和圆

22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）

A ．1

46

π

- B ．

146

π

+

C ．

4

π D ．16

3. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f '，当0≠x 时，0)

()(>+

'x

x f x f ，若)1(s i n 1s i n f a ?=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是（ ）

A.a c b >>

B.b c a >>>

C.a b c >>

D. c a b >>

4.（2015·赣州市高三适用性考试·4）

5.（2015·赣州市高三适用性考试·12）若函数

2

|ln |+2,(0)()=3,(0)x x f x x x >??-≤?,方程[()]=f f x a 只

有五个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）

A.(2ln 2,]e +

B.(,2ln 3]e +

C.(2ln 2,3]+.

D. (3,2ln 2]+

6．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·12)定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在

1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=

-,2()()

'()f b f a f x b a

-=-,则称函数()

f x 是[a,b]上的“双中值函数”．已知函数32()f x x x a =-+是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．11

(,)32

B ．(3,32

)

C ．(

12

,1) D ．(

13

,1) 7.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·12）

8. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·9)已知

()()()sin cos 02015x f x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）

A.

()2014211x e e e

ππ

--

B. 21008π

C.

()22014211x e e e

ππ

--

D. 1008π

二、非选择题(60分)

9. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·16)函数x x x x f sin )(3

+--=，当

)2

,0(π

θ∈时，恒有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ成立，则实数m 的取值范围

是 .

10、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·15)若函数()ln f x x ax =+存在与直线

20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是 __.

11．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·15)设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且

))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ．

12. （2015·山东省实验中学第二次考试·11）定积分

()1

2x

x e dx +?= 。

13. （2015·山东省实验中学第二次考试·13）函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式

()()ln 1f x f <的解集为___________.

14．(2015·盐城市高三年级第三次模拟考试·14)若函数f （x ）=－lnx+ax 2+bx －a －2b 有两

个极值点x 1，x 2，其中－

2

1

0，且f （x 2）=x 2>x 1，则方程2a[f （x ）]2+bf （x ）－1=0的实根个数为 ．

15. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·17)（本小题满分10分）如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各一条正北方向的公路AC 和,BD 现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公

路PE 和.PF 设).2

0(π

αα<

<=∠EPA

（1）为减少周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定F E ,的位置，使PF PE +的值最小.

16.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·21)（本小题满分10分）已知函数kx

e x

f =)(（k 为不零的实数，e 为自然对数的底数）.

（1）若函数)(x f y =与3

x y =的图象有公共点，且在它们的某一处有共同的切线，

求k 的值；

（2）若函数)()33()(2x f kx x x h ?--=在区间)1,(k

k 内单调递减，求此时k 的取值范围.

17. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·20)（本小题满分10分）已知函数

,3

1)(23

b x ax x x f +-+=

其中b a ,为常数. （1）当1-=a 时，若函数)(x f 在]1,0[上的最小值为,31

求b 的值；

（2）讨论函数)(x f 在区间),(+∞a 上单调性；

（3）若曲线)(x f y =上存在一点,P 使得曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互

相垂直，求a 的取值范围.

专题2 不等式、函数与导数

第4讲 导数与定积分（B 卷）答案与解析

1.【答案】C

【命题立意】本题主要考查定积分的运算 【解析】

2011

11131()()|1()222x

x x e dx x e e e

---=-=---=-+?. 2.【答案】A

【命题立意】本题旨在考查定积分的计算． 【解析】二项式展开的通项公式为：

()66

2636

16

62,

23602,

k

k k k k r a T C x C x x k k ---+??

==? ?

??

-=?=

故由题意有：262

6215,2C a -?==，交点坐标为()()()0,0,1,1,1,1-，

所求解的面积为：1

2

20

1118

246S x dx R ah ππ??=+-=- ????．故选：A 3.【答案】A

【命题立意】考查导数法求函数的单调性，考查推理能力，较难题. 【解析】令)()(x xf x g =，则)()()(x f x x f x g '+='，

当0≠x 时，0)

()(>+

'x

x f x f ， ∴当0>x 时，0)(>'x g ，∴当0>x 时，函数)(x f 单调递增，

， 函数)(x f 是奇函数，∴)3(3)3(3f f b =--=，

又23ln 1<< ，11sin 0<<∴)1(sin )3(ln )3(f f f >>，1sin 3ln 3>> ，

)1(sin 1sin )3(ln 3ln )3(3f f f ?>>∴，即a c b >>.

4.【答案】C

【命题立意】本题主要考查积分的计算，根据积分的运算法则进行求解即可.

【解析】

1

2

3111

1(sin )(cos )|3x x dx x x --+=-+?112333

=+=，选C. 5.【答案】C

【命题立意】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数关系，利用数形结合是解决本题的关键.

【解析】设()t f x =则()a f t =,作出函数()t f x =和()a f t =的图象如图:

①若2a <时，()a f t =有一个根t ，且0t <，∴()t f x =只有一个解，则方程[()]a f f x =有1个根.

②若2a =时，()a f t =有两个根120,1t t <=，方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，则方程[()]a f f x =有2个根.

③若221

2a n <<+时，()a f t =有3个根1231

0,0,122

t t t <<<<<，此时每个方程()t f x =有各有1个解.则方程[()]a f f x =有3个根，

④若212a n =+时，()a f t =有3个根1231

0,0,22

t t t <<<

=，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，3()t f x =有2个解，则方程[()]a f f x =有4个根， ⑤若2123n a +<≤时，()a f t =有3个根1230,01,23t t t ≤<<<<，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，3()t f x =有3个解，则方程[()]a f f x =有5个根. ⑥若32ln 3a <≤+时，()a f t =有2个根1201,23t t <<<<，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有3个解，则方程[()]a f f x =有4个根.

⑦若2ln 3a >+时，()a f t =有2个根1201,3t t <<>，此时方程1()t f x =有1个解，

2()t f x =有2个解，则方程[()]a f f x =有3个根.

综上满足条件的a 的取值范围是(3,2ln 3]+，选C.

【易错警示】本题在求解的过程中，利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题是解决本题的关键.同时，根据条件要对a 进行分类讨论，比较复杂. 6.【答案】B

【命题立意】本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．

【解析】由题意可知，在区间[0,a]存在x 1，x 2（1＜x 1＜x 2＜a ），

满足f ′（x 1）=

=

=a 2﹣a ，

∵f （x ）=x 3﹣x 2+a ，∴f ′（x ）=x 2﹣2x ， ∴方程x 2﹣2x=a 2﹣a 在区间（0，a ）有两个解． 令g （x ）=x 2﹣2x ﹣a 2+a ，（0＜x ＜a ）

则解得＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是（，3）．故选B ．

7.【答案】D

【命题立意】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，难度较大. 【解析】在ln ()()x xf x f x x '+=

中，令x e =得1

()()ef e f e e

'+=，得()0f e '=，且ln ()

()x

f x x f x x

-'==

2ln ()

x xf x x -，令()ln ()g x x xf x =-， 则11ln 1ln ()()()()(())x x

g x f x xf x f x f x x x x x

-''=--=---=，

当0x e <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x e >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()()g x g e =110=-=，所以()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减，没有最值. 8.【答案】A

【命题立意】本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式，难度中等. 【解析】因为()(sin cos )(cos sin )2sin x x x f x e x x e x x e x '=-++=，所以当(2,2)x k k πππ∈+时，()0f x '>，当(2,22)

x k k ππππ∈++时，()0f x '<，即当2x k ππ

=+时，

()

f x 取得极大值，其极大值为

22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又因为02015x π≤≤，所

以

函

数

()

f x 的各极大值之和为

21007201435201522(1())(1)

11x e e e e S e e e e

e e

ππππππ

π

ππ

--=++++==-- . 9.【答案】),2

1

[+∞-

【命题立意】考查导数法求函数的单调性，函数的奇偶性，考查转化能力，较难题.

【解析】 x x x x f sin )(3+--=，∴0cos 13)(2

≤+--='x x x f ，∴)(x f 是R 的减函

数且为奇函数，由0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ可得2

2sin 2cos 2

+<+m m θθ在)2,0(π

θ∈恒成立， ∴]2sin 12

)sin 1[(21sin 1sin 121sin 222cos 22--+--=-+?-=-->

θ

θθθθθm 在)2

,

0(π

恒成立， 2sin 12

)sin 1(--+-=θ

θu 在)2,0(π单调递减， 1)0(=u ，

∴2

1-

≥m . 10.【答案】

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义 【解析】

11.【答案】1。

【命题立意】本题考查函数的零点位置问题.

【解析】对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由

6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故 2

ln 1

)(,log 4)(2x x f x x f =

'+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2

ln 1

log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零

点，分析易得04

ln 1

12ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，

故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a . 12.【答案】e

【命题立意】本题旨在考查定积分与微积分基本定理。【解析】1

?

(2x+e x )dx=（x 2+e x ）

10

=

（12+e 1）-（02+e 0）=e 13.【答案】(

1

e

，e) 【命题立意】本题旨在考查函数的单调性与最值。

【解析】∵函数f （x ）=xsinx+cosx+x 2，满足f （-x ）=-xsin （-x ）+cos （-x ）+（-x ）2

=xsinx+cosx+x 2=f

（x ），故函数f （x ）为偶函数．

由于f ′（x ）=sinx+xcosx-sinx+2x=x （2+cosx ），

当x ＞0时，f ′（x ）＞0，故函数在（0，+∞）上是增函数， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，故函数在（-∞，0）上是减函数． 不等式f （lnx ）＜f （1）等价于-1＜lnx ＜1，∴

1

e

＜x ＜e ， 【易错警示】判断函数为偶函数是关键，利用导数求得函数在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，将所给的不等式等价变形为-1＜lnx ＜1，注意通过分类讨论解对数不等式得解。 14.【答案】5

【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，函数的极值，方程的根．

【解析】由于函数f （x ）=－lnx+ax 2+bx －a －2b 有两个极值点x 1，x 2，那么f ′（x ）=－

x 1+2ax+b=x

bx ax 122-+=x x x x x a ))((221--=0，可得x 1+x 2=－a b 2，x 1x 2=－a 21，而关于f （x ）的方程2a[f （x ）]2+bf （x ）－1=0有两个根，则f （x ）=x 1或f （x ）=x 2，而f （x 2）=x 2>x 1，那么根据对应的图形，数形结合可得f （x ）=x 1有三个实根，f （x ）=x 2有两个实根，故方程2a[f （x ）]2+bf （x ）－1=0的实根个数为5个．

15.【答案】（1）当AE =1km ， BF =8km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小；（2）当AE 为4km ，且BF 为2km 时，PE +PF 的值最小．

【命题立意】本题旨在考查三角函数的应用问题，三角形的面积公式，基本不等式，导数及其应用，函数的单调性等．

【解析】（1）在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，AP =8，则8tan AE α=．

所以1

32tan 2PAE S PA AE α=?= ． ………………………………………2分

同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，PB ＝1，则1

tan BF α

=

， 所以11

22tan PBF S PB BF α=?= ． ………………………………………………4分

故△PAE 与△PFB 的面积之和为1

32tan 2tan αα

+

…………………………5分

≥=8，

当且仅当132tan 2tan αα=

，即1

tan 8

α=时，取“＝”， 故当AE =1km ， BF =8km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小．………………6分 （2）在Rt △PAE 中，由题意可知APE α∠=，则8

cos PE α

=． 同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，则1

sin PF α

=． 令81

()cos sin f PE PF ααα=+=

+

，π02

α<<， ………………………………8分 则3322228sin cos 8sin cos ()cos sin sin cos f αααα

ααααα

-'=-=

， ………………………………10分 令()0f α'=，得1tan 2α=

，记01

tan 2α=，0π02

α<<， 当0(0,)αα∈时，()0f α'<，()f α单调减； 当0(,)2π

αα∈时，()0f α'>，()f α单调增．

所以1

tan 2

α=

时，()f α取得最小值， …………………………………12分 此时1tan 842AE AP α=?=?=，2tan BP

BF α

==．

所以当AE 为4km ，且BF 为2km 时，PE +PF 的值最小． ……………………14分 16.【答案】（1）e k 3=

；（2）

13

3

<≤k . 【命题立意】考查导数的几何意义，导数法求函数的单调性，考查转化能力，较难题.

【解析】（1）设曲线()y f x =与3

x y =有共同切线的公共点为00(,)P x y ，则3

0x e

kx =．

（1）式

又曲线()y f x =与2y x =在点00(,)P x y 处有共同切线，且'()kx

f x ke =，()2

'

30

3x

x =，

∴2

030

x ke

kx =（2）式，联立（1）

（2）有k

x x x kx 3

)03002

030==?=或（舍去，则e

k e x 03==，有。（2）由()kx f x e =得函数)3kx 3x ()x (h 2

--=kx e ， 所以 ()()()()()

k -x k -kx e k -x e -kx -x

ke

x h kx kx kx

'

6323233222

+=+=

()()kx e k -x kx 32+=

()kx e k x k -x k ??? ?

?

+=23，

又由区间1(,)k k 知，

1

k k

>，解得01k <<，或1k <-． ①当01k <<时，由(())h x '=()023

=kx e k x k -x k ，得k x k

-32

<<，即函数()h x 的单调减区间为??

?

??k k -

32，，要使得函数)33)((f )(h 2--=kx x x x 在区间1(,)k k 内单调递减，

则有?????

?

???

≤≥<

k -k k 31

210 解得

13

3

<≤k ， ②当1k <-时，由(())h x '=()023

?+

=kx e k x k -x k ，

得k x 3<，或2

x k

>-，即函数()h x 的单调减区间为()k -3，

∞和2

(,)k

-+∞， 要使得函数2

()()(22)h x f x x kx =--在区间1(,)k k

内单调递减，则有

???

??≤-

k 31

1，或1

2k k k <-???≥-??，这两个不等式组均无解. 综上，当

133<≤k 时，函数)33)((f )(h 2--=kx x x x 在区间1

(,)k k

内单调递减. 17.【答案】（1）b=2；（2）

当a ≥

时，f (x )在区间(a ，+∞)上是单调增函数；

当a ≤<时，f (x )在区间(a

，a -)上是单调减函数，在区间

(a -，+∞)上是单调增函

数；当a <时，f (x )在区间(a

，a -)，

(a -，+∞)上是单调增函数，在区

间(a -，a -)上是单调减函数；（3）(,)-∞+∞ ． 【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的几何意义，两直线的位置关系，函数的单调性与最值，考查分类讨论思维．

【解析】（1）当a =-1时，f '(x )=x 2-2x -1，所以函数f (x )在[0，1]上单调减， ………2分

由f (1)= 13，即13-1-1+b =1

3，解得b =2． ………………………4分 （2） f '(x )=x 2+2ax -1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x =-a ，

因为△=4a 2+4>0，f '(x )=0有两个不等实根x 1,2=a - …………………5分 ①当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上无实根时，有

,()0,a a f a -??

'?

≤≥解得a ………………6分 ②当方程f '(x )=0在区间(]a -∞，与 (a ，+∞)上各有一个实根时，有

f '(a )<0，或()0,,f a a a '=??->? 解得a ≤<． …………………………8分

③当方程f '(x )=0在区间(a ，+∞)上有两个实根时，有,()0,

a a f a ->??'>? 解得a <．

综上，当a ≥时，f (x )在区间(a ，+∞)上是单调增函数；

当a ≤<时，f (x )在区间(a ，a -)上是单调减函数，

在区间(a -，+∞)上是单调增函数；

当a

在区间(a -，a -+)上是单调减函数． ……10分

（3）设P (x 1，f (x 1))，则P 点处的切线斜率m 1=x 12+2ax 1-1，

又设过P 点的切线与曲线y =f (x )相切于点Q (x 2，f (x 2))，x 1≠x 2， 则Q 点处的切线方程为y -f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x -x 2)， 所以f (x 1)-f (x 2)=( x 22+2ax 2-1)(x 1-x 2)，

化简，得x 1+2x 2=-3a ． ………………………12分 因为两条切线相互垂直，所以(x 12+2ax 1-1)(x 22+2ax 2-1)= -1， 即(4x 22+8ax 2+3a 2-1)(x 22+2ax 2-1)= -1．

令t =x 22+2ax 2-1≥-(a 2+1)，

则关于t 的方程t (4t +3a 2+3)= -1在t ∈2[(1),0)a -+上有解， …………………14分 所以3a 2+3=-4t -1t ≥4，当且仅当t =-1

2时，取“=”，

解得a 2≥13，故a 的取值范围是(,)-∞+∞ ． ……………………16分

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

常用求导与定积分公式(完美)

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+?

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；

高三数学导数压轴题

导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

常用的求导和定积分公式(完美)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的 反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数）

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

常用基本初等函数求导公式积分公式.doc

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a

⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

最新导数公式、微分公式和积分公式

基本公式 导数公式微分公式 积分公式 反三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式

基本三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式 其他积分公式 C a x x a x x C a x a x a x dx x a + ± + = ± + + - = - ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln d arctan 2 2 () C x x e x x e C x x e x x e C a x x a x x x a x x x x x + + = + - = + ± + + ± = ± ? ? ? ) cos (sin 2 1 d cos cos sin 2 1 d sin ln 2 d2 2 2 2 2 2

青岛市高三统一质量检测 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位，复数 i i +12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2. 设全集R U =，集合{} 2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N M = A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π - =x y B. )2 2cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π +=x y 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54 C ．54- D ．72- 5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α?,则l α⊥ B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα// C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是 A ．16π B ．14π C ．12π D ．8π 7. 已知抛物线x y 42 =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物 线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于 正视图 俯视图 左视图

导数与定积分

洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题 姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用 一、选择题： 1、曲线 3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ） A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．设2 1sin x y x -=，则'y =（ ） A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin )1(sin 22--- 3．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18 B ．38/3 C ．16/3 D ．16 4.函数y=2x 3-3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A 、5 、-15 B 、5 、 4 C 、-4、 -15 D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ） A ．单调递增 B 、有增有减 C 、单调递减 D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ） A. 2e B. e C. ln 2 2 D. ln 2 7、由直线21=x ，x=2，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面 积是（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 8、若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数， 则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图 象可能是 二、填空题

校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

定积分导数

高三数学第一轮复习教案—导数、定积分、极限 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数； ③会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化： （1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题； （2）今年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。 定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得

，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+