线性代数课后习题答案
习题一
1.2.3（答案略）
4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数
故所求为127485639
(2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵τ
=
+
+++=
(偶数)
∴项前的符号位()6
11-=+ （正号）
（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+=
∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-? 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21)
1(1)(2)21n n n n n n τ--??---?? 原式=(1)(2)
2
(1)
!n n n --=-
（3）原式=((1)21)
12(1)1(1)
n n n n n a a a τ-?-- (1)2
12(1)1(1)n n n n n a a a --=-
7.8（答案略）
9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?=
∴7x =
10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得
[]
11(1)111001(1)
1110(1)1
1
(1)
1
1
1
x x n x x x n x x x n x x n x
x +-+--=
=+-+--
[]1
(1)(1)n x n x -=+--
（2）按第一列展开：
1
1
1
00000(1)
(1)
n n n
n n
y
x y D x x
y
x y
x
y
-++=?+-=+-
（3）
1231
1341
14512
(1)
2
1132
11221
n n
n
n n
D
n n n
n n
-
+
=
--
--
1231
01111
01111
(1)
2
01111
01111
n n
n
n
n n
n
n
-
-
-
+
=
-
-
1111
1111
(1)
2
1111
1111
n
n
n n
n
n
-
-
+
=
-
-
(2)(3)21
1111
1111
(1)
(1)
2
1111
1111
n n
n
n
n n
n
n
-+-+++
-
-
+
=?-
-
-
(1)(2)
2
1111
1111
(1)
(1)
2
1111
1111
n n
n
n n
n
n
--
-
--
+
=-?
--
--
(1)(2)(1)1
22
1000
100
(1)
(1)(1)
22
100
100
n n n n n n
n
n n n n
n
n
----
-
--
++ =-?=-?
--
--
习题二
1.2.3.4.5（答案略） 6. 设 11122122x x x x ??
=
???B 为与A 可交换的矩阵，则有=A B B A 即 111211122
1
2221
2
2111
11
11
1x x x x x x x
x ????????= ? ?
? ?????
???? 解之得 11122122,,,x a x b x b x a ====
7. （1）1122333012
3101
2x y x y x y -?????? ? ?
?= ? ?
? ? ? ?-?
?????
， 记为X =AY 11223111101y z y z
y ????
??
? ?=- ? ? ??? ? ??
?
?? ，记为Y =B Z （2）()()X =A BZ =AB Z 即 112233
25
013x z x z
x ????
?? ?
?= ? ? ??? ? ?-?
?
?? 8（答案略）
9.2345()3218
101034
1f -??
?=++= ? ??
?
A A A E 10.（1）2222()()+-=+--=-A
B A B A BA AB B A B
(2) 2()()()+=++A B A B A B
2
2
=+++A B A A B B
=222++A A B B
11. ∵21
,()2
==+A A A B E
∴ 222,44=-=-+=B A E B A A E E 反之 若 2=B E ,
则 244-=A A O ,即 2=A A
12. (1) 设2(),()ij ij a b ==A A ∵T =A A ∴ij ji a a =
又∵ 2=A O ∴0ii b =
又 1122ij i j i j in nj b a a a a a a =+++ 22212i i in a a a =+++ (,1,2,,
i j n =
当 1,2,,
i j n == 时，有1112121222120,0,0n n n n nn a a a a a a a a a ============ ∴ 0A =
（2）设 ()ij a =A ，()T ij b =A A 则1122ij i j i j in jn b a a a a a a =+++
∵ 0T =A A ∴ 0(,1,2,,)ij b i j n ==
当 i j = 时，有 222120(1,2,,)i i in a a a i n +++== 故 120(1,2,,)i i in a a a i n ===== 即 0=A 13.(1) ∵ ()T T T =A A A A ∴T A A 为对称矩阵
同理 T A A 也为对称矩阵
（2） ∵ ()T T T T +=+=+A A A A A A ∴ T +A A 为对称矩阵
又 ∵()()T T T T -=-=--A A A A A A ∴ T -A A 为反对称矩阵
（3）∵111()()()2
2
2
T T T T =++-=++-A A A A A A A A A
由（2）知，1()2
T +A A 为对称矩阵，1()2
T -A A 为反对称矩阵
故 A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。
14. （1）必要性：∵,,()T T T ===A A B B AB AB ∴()T T T ===AB AB B A BA 充分性： ∵ ,,T T ===A A B B AB BA ∴ ()()T T T T ===AB BA A B AB (2) 必要性： ∵222,,()===A E B E AB E
∴ 222()====BA EBAE A BAB A AB B AB 充分性：∵22,,===A E B E AB BA
∴ 222()()()()====AB AB AB A BA B A B E
(3) 必要性 ：∵222,,()==+=+A A B B A B A B
∴222()+=+++=+++=+A B A AB BA B A BA AB B A B
即 =-A B B A
充分性： ∵22,,===-A A B B AB BA ∴ 2()+=+A B A B
15（答案略）
16. ∵ 1()()k --++++=E A E A A A E ∴ -E A 可逆。
且 121()k ---=++++E A E A A A 17. ∵ 111()k k k k ----===A A A A A AA A E
∴ k A 可逆，且 11()()k k --=A A 18.（答案略）
19. ∵*=A A A E ,若 A 可逆，则0≠A
∴ *1??
= ???
A A E A 故 *A 可逆，且*1()-=A A A
20.设 ()ij a =A ，∵A 是对称矩阵 ∴ij ji a a = 记 *()ij N =A ，则
ij ji N N =，即*A 为对称矩阵，又∵ *
1-=A A A
, ∴ 1-A 为对称矩阵。
21.（1）设 *()ij N =A ，则 *11*()(1)(1)n n ij N ---=-=-A A （2） ∵ *=A A A E ∴*1-=A A A 又 ∵11*1()()---=A A A E ∴ 1*111()()----==-1A A A A A
于是 *1*11()---==A A A A A A E 即 1**1()()--=A A
(3)∵ *=A A A E ∴1-=*A A A
于是 *111*
()()()()()T T T T T T ---====A A A A A A A A
(4) (注意加条件：A 可逆) ∵ A 可逆 ∴ *1A -=A A ∴ 1
1
**1*1*
*1
()()()()
n n -----===A A A A
A A
A
1
2
11
()
n n ----==A
A A A
A
22. ∵ 1B C AC -= ∴ 1111()()()m m B C AC C AC C AC C A C ----== 23. 24.（答案略）
25. ∵ 2320--=A A E ∴ 1(3)2
?-=A A E E
∴ A 可逆，且 11(3)2
-=-A A E
26. ∵ 1-=P A P Λ ∴ 1-=A P ΛP
11111111()()()()----==A P ΛP P ΛP P ΛP P ΛP
又 ∵141
1--??=
???P , 1
141311-??= ?--??P , 11
11100
2-??
= ???Λ ∴ 11111410142731
2732131
10
21
1683
684---????????
==
? ? ?
?----????????
A 27（答案略）
28. ∵ =+C A C A ∴ 1()-=-C A E A 又 ∵ =+B E AB ∴1()-=-B E A
故 111()()()()----=---=--=B C E A A E A E A E A E 29. 1*1*1(3)223
---=-A A A A
**
*1112233??=
?-=- ???
A A A A A ()()*
*
24
233
=
-=-A A ∵ *=A A A E ∴ 1
*,n n -==*A A A A A
∴ ()()
32
1
*
4
116
(3)23
2
27
---=
=-
A A
30.（答案略）
31.（1） 132123123,2,,,22,,224=-=-=-?=-A A A A A A A A A
(2) 31213211233,3,,3,,3,326-==-=-?=-A A A A A A A A A A
32.
+++==
=--A B A B A B A B O A +B A B B
A
B
A
B
A B
33. (1) ∵
11
11
--
--
????
????
==
? ?
? ?????????
O A E O O B A A O
B O O E
A O O
B B
∴
11
1
--
-
????
= ? ?
????O A O B
B O A O
(2) ∵
1111111
11
-------
--
????
--+
????
==
? ?
? ?????????
A C E O
A A C
B AA AA CB CB
O B O E O B O BB
∴
1111
1
----
-
??
-
??
= ? ?
????A C A A C B
O B O B
习题三 1.2.3.4（答案略）
5. ∵ β不能由12,,,m ααα 线性表示
∴线性方程组 1122m m k k k +++=αααβ 无解
不妨假设 β能由12,,,()s s m <ααα 线性表示，则存在一组数12,,,s k k k ''' ，使
1122s s k k k '''+++=αααβ
从而 1122100s s s m k k k +'''++++?++?=αααααβ 此式与方程组1122m m k k k +++=αααβ 无解矛盾。 故 β不能由12,,,m ααα 的任何部分组线性表示
6. 依题意 112233
111
2
4βγβγβ??-???? ?= ?
? ????? ??? 1122332151311
4
1βαβαβα-????
?? ?
? ?= ? ? ? ? ? ?--??????
所以 111222333153
1174171311
2
4123
71
4
1ααγααγαα-??
????---??
????
? ?
?==
?
? ? ? ? ?-?????? ? ? ?
--?
???
??
即 11232123
7417237γαααγααα=-+-??
=+-?
7. ∵ 112321233123βαααβαααβααα=-+??=+-??=-++? ∴ 1122331
111
111
1
1βαβαβα-????
?? ?
?
?=- ? ? ? ? ? ?-??????
令 1111
1111
1-??
?
=- ? ?-?
?
A ∵ 40=≠A ∴
A 可逆，于是 11112223331
102211022110
2
2αββαββαββ-?
?
?
????
??
?
?
?
?
?== ? ? ? ? ? ? ???????
? ???
A
即 ()()()1122233131212
12αββαββαββ?
=+???
=+??
?=+??
8．（答案略）
9.当 2
21
2
02401
1
1
a
a a a =---=- 即当 3a =或2a =-时，123,,ααα线性相关
否则 123,,ααα线性无关。
10 .（1）设 112121()()0m m k k k ααααα++++++= 则 121232()()0m m m m k k k k k k k ααα+++++++++=
∴ 1220
00m m m k k k k k k +++=??
++=??
?
?=?
即 120
00m
k k k =??
=??
??=?
故 1121,,,m ααααα+++ 线性无关。 （2）设 1122231()()()0m m k k k αααααα-+-++-= 则 111221()()()0m m m m k k k k k k ααα--+-+++-+=
∵ 12,,,m ααα 线性无关 ∴ 112100
m m m k k k k k
k --=??
-+=??
??-+=? 解之得 l
11. 一方面，向量组1,2,,n ααα 能由基本单位向量组 12,,,n εεε 线性表示；
另一方面，基本单位向量组12,,,n εεε 由向量组1,2,,n ααα 线性表示为
112213321,,,,n n n εαεααεααεαα-==-=-=-
∴ 向量组 1,2,,n ααα 与向量组12,,,n εεε 等价。
12. 一方面 1,2,,r ααα 可由向量组1,2,,s ααα 线性表示；另一方面由于1,2,,r ααα 与
1,2,,s ααα 有相同的秩，所以 1,2,,r ααα 就是向量组1,2,,s ααα 的一个极大无关组，
从而1,2,,s ααα 可以由1,2,,r ααα 线性表示. 故 {}{}1,21,21,,,,,,,r r r s αααααααα+? 13.设β是向量组12,,,s ααα 中任意一个向量
∵β可由12,,,i i ir ααα 线性表示
又 ()12,,,s R r ααα= ，∴12,,,i i ir ααα 线性无关 ∴12,,,i i ir ααα 是12,,,s ααα 的一个极大无关组。
14. ∵ 12,,,n εεε 可由 12,,,n ααα 线性表示，而12,,,n ααα 也可由12,,,n εεε 线性表示
∴ {}{}1212,,,,,,n n αααεεε? 从而 ()()1212,,,=,,,=n n R R n αααεεε 故 12,,,n ααα 线性无关。
15.必要性：∵12,,,n ααα 是一组n 维向量，若12,,,n ααα 线性无关，显然任意n 维向量β都可由12,,,n ααα 线性表示。
充分性：∵ 任意n 维向量都可以由12,,,n ααα 线性表示，∴基本单位向量组12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，故()()1212,,,,,,n n n R R n αααεεε≥≥= ∴()12,,,n R n ααα= 从而12,,,n ααα 线性无关。
习题四
1.2.3.4.5.6(答案略) 7. 设 ()12ββ=B ，，由0
=AB
得 ()120ββ=A A ， 即120ββ=A A =0， 可见，12,ββ是方程组0
=AX
的两个解
又 ∵ ()12,=2R ββ ∴12,ββ是方程组0
=AX 的两个线性无关的解。 于是，问题就转化
为求解方程组
=0AX
∵
1171022131324881
3
2
40
8
5
55501
88?
?- ?-????
?=→→
? ?---
?????-
??
?
A
12
122234117
8855881001x x x x ρρ????- ? ???
? ? ?
? ? ?--∴=+ ? ? ?
? ? ? ? ???
? ?????
取12(1,5,8,0),(17,5,0,8)T T
ββ==-- 1211755
(,)8008B ββ-??
?-
?== ? ???
即为所求。 8、设所求方程组为2441
0.A X ??= 不妨设1
0,0
1
a b A c
d ??=
???
()2,R A = 依题设，120
0,
A A ξξ=??=?
即 23023103020a b c d a c +=??++=??+=??+=? 3221
a b c d =-??=?∴?=-??=?
故所求方程组为12
3
410220.0
1
2
1x x x x ?? ?
-?? ?=
? ?-?? ???
9、由题设可知121n x x x ==== 为0A X =的解，又因为()1R A n =-，所以
0A X =的基础解为所含向量个数为(1)1n n --=．
故(1,1,1)T y = 为0A X =的基础解系
于是0A X =的通解为 ()x cy c =为任意常数 １０、12340
x x x x +=??-=?的互解为3410100101x k k -???? ? ? ? ?=+ ? ? ? ?????
即1
23
40
1101210
0()12010
1
01k k k k -???? ? ?- ? ?=* ? ?- ? ?-????
01
1
012
1
1
210
011
01201
001
10101
000
A --???? ?
?--
? ?=→
? ?--- ?
?-???
?
()34R A =<∴方程组()*有非零解．
显然12341,1k k k k =-===满足方程()* 所以(1,1,1,1)T k *=-是所求非零的公
共解．
11（答案略）
１２．由题设知，方程组0A X =的基础解系含一个解向量． 123
123
2200ααααααα=-∴-
++?=
可见0(1,2,1,0)T
y =是方程组0A X =的基础解系
由AX β=知，112233441234123=2-x x x x ααααααααααα+++=+++，又知
23122334
4232-2-x x x αααααααααα∴+++=+++（）x （） 即12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-= 又234,,ααα 线性无关．
∴
134
23
0,1x x x x x +=??
-+=??=?可见12341x x x x ====为它的一个解， 从而(1,1,1,1)T
y *
=为AX β=的一个特解。
故AX β=的通解为 0
y y k y *
=+
１３ （１）假设1,2,,,,n r y ξξξ*
- 线性相关
1,2,
,n r ξξξ- 线性
y *∴纯由向量组1,2,,,n r ξξξ- 线性表示
从而y *是方程组0A X =的解 与已知矛盾
∴1,2,,,,n r y ξξξ*
- 线性无关．
（２）设11()()0n r n r ky k y k y ξξ***--+++++= 111()0n r n r n r k k k y k k ξξ*---∴++++++=
又 1,2,,,,n r y ξξξ*
- 线性无关 1120000
n r n r n r k
k k k k k ξ---+++=??=??∴=?
??=??
从而120n r k k k k -===== 故1,,,n r y y y ξξ***
-++ 线性无关．
１４．设y *
是AX β=的一个解，1,2,,n r ξξξ- 是0A X =的基础解系
由１３知1,2,(,,)1n r R y n r ξξξ*
-=-+
又 AX β=的任一解y 都可由向量组1,,,n r y ξξ*
- 线性表示．
∴AX β=的解向量组所含向量个数1,2,(,,)1n r R y n r ξξξ*
-≤=-+
１５．设0y 是AX β=的一个特解
12,,n r ααα- 是0A X =的一个基础解系 则AX β=的任意解011n r n r X y t t αα--=+++ 即010200n r X y t y t y t y -=---- 1020
01
1
n r
n
r
n r
t y t y t y t t αα
-
--++
+++++
101012020(1)()()()n r n r n r t t y t y t y t y ααα---=---+++++++ 令0101201,,,n r n r y y y y y y αα--+=+=+=
显然121,,n r y y y -+ 是AX β=的1n r -+个线性无关的解. 则112211n r n r X k y k y k y -+-+=+++ 其中1211n r k k k -++++=
习题五
1（答案略）
2、设α是1A -的属于特征值1
λ
的特征向量，则
11
,A ααλ
-=
即A αλα=
()0,E A λα∴-=解此方程组得12k =-或1k =
3、设λ是A 的特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则A αλα= 222,,A E A αλα=∴= 即(1)0λα-= 故21,λ=即1λ=或1λ=-
4、1
1
1()3332B A A A
E A
E ?--==
+=+
19(1)336,(2)33,
2
2
1(3)33 4.
3
???∴=+==?
+=
=?
+=
故 1
32B A E *
=
+的特征值为9
6,,42
.
5.由题设知4λ=-为A 的特征值。
40,E A ∴--= 于是4x = 又9A y =Λ
∴=
6.1
1
()BA A ABA A AB A --== AB BA ∴ 7.A B ∴存在可逆矩阵P ，使1
.B P AP -=
于是2121B P A P P A P B --=== 故B 是幂等矩阵. 8.令1231(,,),0
1P ααα??
?=Λ=
? ?-?
?
依题设1P AP -=Λ 1
1
021012322
0A P P
--?? ?∴=Λ= ? ??
?
50
111
()()()A
P P P P P P ---=ΛΛΛ
501
54214
5292
2
8P P
--?? ?=Λ= ? ?-??
9.由0E A λ-=，得11λ=（二重），2 1.λ=- 可见方程1()0E A x λ-=的基础解系含2个解向量， 从而1()()1R E A R E A λ-=-= 又1
01100
0010
110
0E A x
y x x y -????
? ?
-=--→--- ? ? ? ?--?
??
?
0x y ∴+= 10（答案略）
11.（1）设123(2,1,1),(1,1,1),(0,1,1).T T T
ααα=-=-=
11α≠ ∴原矩阵不是正交矩阵.
（2）110022*********
010
122010111200220
1
1110
2
2?? ? ??? ?-
? ?- ? ?= ? ? ? ?-??
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令121111(
,
,0,0),(0,0,
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2
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T
αα==-
341111(
,,0,0),(0,0,
,).2
2
2
2
T
T
αα=-
=
1,(,1,2,3,4)0,T
i j i j i j i j
αα=?==?≠? 所以原矩阵为正交矩阵.
12(答案略)
13. 设123(,,)T
x x x α=为与1α正交的向量.
则10,αα?= 即 230x x +=，此方程组的通解为
12100101X k k ???? ? ?
=+ ? ? ? ?-????
（1） A 的属于特征值1λ=的特征向量为 23(1,0,0),(0,1,1).T T αα==-
（2）记123(,,),P ααα= 则11
1
1P AP -?-?????
?=Λ=
?? ? ????
???
1A PAP -∴= 又0
101
0110
1P ??
?= ? ?-?
?
11100022
()0
101001100
1
2
2P E ?? ?
?→ ? ?
- ??
? 1
110221
001102
2P -?
?
? ?∴= ? ?- ??
?
1
1
00001.01
0A P P
-?? ?=Λ=- ? ?-?
?
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )
(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1）3 81141 1 02---； （2）b a c a c b c b a （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x + ++. 解 注意看过程解答（1） =---3 811411 2 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2）=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n ； （6）1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 （1） 23112 =； （2） cos sin 1sin cos θθθ θ -=； （3） 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b （4） 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 （1）103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a （3）a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235. 123t 112217t （3）() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n
其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： （1） 0001 002003004000(4321) (1) 2424 （2） 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===-
2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = =====
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）
6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l
10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)