高中物理第十一章第5节外力作用下的振动讲义含解析
新人教版选修340531127
一、固有频率和阻尼振动┄┄┄┄┄┄┄┄①
1．固有振动和固有频率
(1)固有振动：振动系统不受外力作用时的振动。
(2)固有频率：固有振动的频率。
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动：当振动系统受到阻力的作用时，称振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。
(2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图象如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
(3)实际振动的理想化：当阻尼很小时，在不太长的时间内看不出振幅有明显的减小，于是可以把它当做简谐运动来处理。
①[选一选]
[多选]一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
解析：选BD 因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小。而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确；又因单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减小，即机械能在减少，所以C项错误，D项正确。
[说明]
实际的弹簧振子在运动中除受到弹力之外，还受到摩擦力等阻力的作用，振幅逐渐减小，即做的是阻尼振动；如果阻力很小，可以忽略，那么振子的运动就是只在回复力作用下的运动，是简谐运动。
二、受迫振动与共振┄┄┄┄┄┄┄┄②
1．受迫振动
(1)持续振动的获得
实际的振动由于阻尼作用最终要停下来，要维持系统的持续振动，最简单的办法是使周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，使系统的振动维持下去。
(2)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。
(3)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。
(4)受迫振动的频率
做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。
2．共振
(1)条件：驱动力频率等于系统的固有频率。
(2)特征：共振时受迫振动的振幅最大。
(3)共振曲线：如图所示。
3．共振的应用与防止
(1)应用
采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。
(2)防止
采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。
②[判一判]
1．受迫振动的频率等于振动系统的固有频率(×)
2．驱动力频率越大，振幅越大(×)
3．生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率(×)
4．驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象(√)
振动类型
简谐运动阻尼振动受迫振动比较项目
产生条件
不受阻力作用，是一
种理想化模型
受阻力作用
受阻力和
周期性驱
动力作用频率固有频率频率不变
驱动力
频率
振幅不变减小
大小变
化不确
定振动图象
形状不
确定实例
弹簧振子振动，单摆
做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音
越来越弱
扬声器纸盆振动发
声，钟摆的摆动
例 1.[多选]一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，Y显著增大，当T比4 s小得多或大得多时，Y很小
D．当T在8 s附近时，Y显著增大，当T比8 s小得多或大得多时，Y很小
[解析] 由题中图乙可知弹簧振子的固有周期T0＝4 s，故A选项正确，B选项错误；根据受迫振动的特点：当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振，振幅最大；当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时，受迫振动物体振动稳定后的振幅越小，故C选项正确，D选项错误。
[答案] AC
[点评]
(1)根据简谐运动图线，可得固有周期。
(2)驱动力周期与振动系统固有周期相等时，产生共振，振幅最大。
[即时巩固]
1．[多选]如图所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图象，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是( )
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
解析：选BD 由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，C 错误，D正确；由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量(即位移)有关，B正确；振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，A错误。
1.从受力角度来看
振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，物体的振幅达到最大。
2．从功能关系来看
当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加。
3．利用共振解决问题
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件分析：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大。
(2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
(3)图象法解决问题直观方便，如图所示，利用共振图线可以找出最大振幅，以及振动
的固有频率或固有周期，然后再利用周期公式进行分析。
[典型例题]
例 2.如图为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大加速度为多少？(g 取10 m/s 2
)
[解析] 从共振曲线可知，单摆的固有频率f ＝0.5 Hz ，
由f ＝1
2πg l 得l ＝g 4π2f
2 代入数据解得l ≈1 m
从共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅A max ＝8 cm
摆球在最大位移处加速度最大，有mg sin θ＝ma max
即a max ＝g sin θ≈g ·A l
代入数据解得a max ≈0.8 m/s 2
[答案] 1 m 8 cm 0.8 m/s 2
[点评] 解决此类问题的思路
[即时巩固]
2．[多选]把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图所示。筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s ，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min 。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A ．提高输入电压
B ．降低输入电压
C ．增加筛子质量
D ．减小筛子质量
解析：选AC 在题给条件下，筛子振动的固有周期T 固＝1510
s ＝1.5 s ，电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T 驱＝6036
s≈1.67 s，要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大，A 、C 正确。
1．[多选]一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小。下列说法正确的是( )
A ．机械能逐渐转化为其他形式的能
B ．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C ．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D ．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
解析：选AD 单摆在振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，A 、D 正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，B 、C 错误。
2．下列振动中属于受迫振动的是( )
A ．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B ．打点计时器接通电源后，振针的振动
C ．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D ．弹簧振子在竖直方向上沿竖直方向振动
解析：选B 受迫振动是振动物体在驱动力作用下的运动，B 正确；A 、C 是阻尼振动，D 是简谐运动。
3．[多选]日本是地震灾害多的国家，某次强震后，很多房屋坍塌，下列有关地震发生时的说法正确的是( )
A ．所有建筑物振动周期相同
B ．所有建筑物振幅相同
C ．建筑物的振动周期由其固有周期决定
D ．所有建筑物均做受迫振动
解析：选AD 地震中所有建筑物均做受迫振动，其振动周期与固有周期无关，都等于驱动力的周期，A 、D 正确。
4．(2016·台州高二检测)如图是探究单摆共振条件时得到的图象，它表示了振幅跟驱动力频率之间的关系，(取π2
＝g )试分析：
(1)这个单摆的摆长L 是多少？
(2)如果摆长变长一些，画出来的图象的高峰将向哪个方向移动？
解析：(1)如题图可知，单摆的固有频率f ＝0.3 Hz
又T ＝2πL g ，f ＝1T
解得摆长L ＝259
m (2)若摆长变长一些，由T ＝2πL g 知其周期变大，又由f ＝1T
知，固有频率变小，题图中最高峰对应的频率即为此频率，故向左移动。
答案：(1)259
m (2)向左
[基础练]
一、选择题
1．下列各种振动中，不是受迫振动的是( )
A ．敲击后的锣面的振动
B ．缝纫机针的振动
C ．人挑担子时，担子上下振动
D ．蜻蜓、蝴蝶翅膀的振动
解析：选A 受迫振动是物体在周期性驱动力作用下的运动，而锣面在敲击后并没有受
到周期性驱动力作用，A 不是受迫振动；B 、C 、D 都是在做受迫振动。
2．[多选](2016·聊城高二检测)下列说法中正确的是( )
A ．阻尼振动是减幅振动
B ．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C ．阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小
D ．阻尼过大时，系统将不能发生振动
解析：选ABD 阻尼振动是减幅振动，振动周期为振动系统的固有周期；实际的振动系统不可避免地要受阻尼作用；阻尼过大时，系统将不能发生振动，故选项A 、B 、D 正确。
3.如图所示，一根水平张紧的绳子上系着五个单摆，摆长从左至右依次为3l 2、l 、l 2
、l 、2l ，若让D 摆先摆动起来，周期为T ，稳定时A 、B 、C 、E 各摆的情况是( )
A ．
B 摆振动的振幅最大
B ．E 摆振动的振幅最大
C ．C 摆振动周期小于T
D ．A 摆振动周期大于T
解析：选A 这是一个受迫振动的问题，由D 摆提供驱动力，提供A 、B 、C 、E 摆振动的能量，A 、B 、C 、E 摆做受迫振动，其振动的频率和周期等于D 摆的振动频率和周期，C 、D 错误；因为B 摆的摆长与D 摆相等，B 摆的固有周期等于驱动力的周期，满足发生共振的条件，B 摆发生共振，振幅最大，A 正确，B 错误。
4．[多选]一洗衣机脱水筒在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A ．正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率比洗衣机的固有频率大
B ．正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率比洗衣机的固有频率小
C ．正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率等于洗衣机的固有频率
D ．当洗衣机振动最剧烈时，洗衣机脱水筒的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率 解析：选AD 切断电源后脱水筒的转速越来越小，即脱水筒的运转频率越来越小，由题意，当洗衣机脱水筒正常工作时，非常稳定，可知，正常工作时频率大于洗衣机的固有频率，A 正确；当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，D 正确。
5．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼(翅膀)很快就抖动起来，而且越抖越厉害。后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆
的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前装置配重杆的目的主要是( ) A．加大飞机的惯性B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率
解析：选D 飞机抖动的厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差别增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，D正确。
二、非选择题
6．如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来，此时b摆的振动周期________(选填“大于”、“等于”或“小于”)d摆的周期。图乙是a摆的振动图象，重力加速度g，则a的摆长为________。
解析：a摆摆动起来后，通过张紧的绳子对b、c、d三个摆施加周期性的驱动力，使b、c、d三摆做受迫振动，三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，由于驱动力频率相同，
则三摆的周期相同。据乙图可知：T＝2t0，再据：T＝2πl
g
可知，a摆摆长：l＝
gt20
π2
。
答案：等于gt20
π2
[提能练]
一、选择题
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是( )
A．机械能守恒
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
解析：选C 自由摆动的秋千可以看做阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换；系统由于受到阻力，消耗系统能量做功，而使振动的能量不断减小，但总能量守恒，C正确。
2．[多选]某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的( )
A ．a 点
B ．b 点
C ．c 点
D ．一定不是c 点
解析：选AD 振子的固有周期与驱动力周期的关系是T 驱＝32
T 固，所以受迫振动的状态一定不是图乙中的b 点和c 点，可能是a 点，A 、D 正确。
3．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f 固，如图所示，则( )
驱动力
频率/Hz
30 40 50 60 70 80 受迫振动
振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3
A.f 固固C ．50 Hz ＜f 固＜60 Hz D ．以上三项都不对
解析：选C 从图中所示的共振曲线，可判断出f 驱与f 固相差越大，受迫振动的振幅越小；f 驱与f 固越接近，受迫振动的振幅越大，并从中看出f 驱越接近f 固，振幅的变化越慢；比较各组数据知f 驱在50～60 Hz 范围内时，振幅变化最小，因此，50 Hz ＜f 固＜60 Hz ，C 正确。
4．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f 固＝2 Hz ，电动机皮带轮的直径d 1是
曲轴皮带轮d 2的12
。为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A ．60 r/min
B ．120 r/min
C ．30 r/min
D ．240 r/min
解析：选D 若使振子振幅最大，则曲轴转动频率为f ＝2 Hz ，即转速为2 r/s ，由于d 1
d 2
＝r 1r 2＝12，ω1r 1＝ω2r 2，故ω1ω2＝21
，所以电动机转速为4 r/s ，即240 r/min ，D 正确。 二、非选择题
5．如图所示是用来测量各种电动机转速计的原理图。在同一铁支架MN 上焊有固有频率依次为80 Hz 、60 Hz 、40 Hz 、20 Hz 的四个钢片a 、b 、c 、d 。将M 端与正在转动的电动机接触，发现b 钢片振幅最大。
(1)电动机的转速为________r/s 。
(2)四个钢片a 、b 、c 、d 的振动频率分别是________、________、________、________。 解析：(1)b 钢片的振幅最大，说明b 钢片发生了共振，或者是电动机转动的频率最接近60 Hz ，此时可认为b 钢片发生了共振，由共振发生的条件可知f 驱＝f 固，因此电动机的转动频率为60 Hz ，即转速为60 r/s 。(2)四个钢片a 、b 、c 、d 都是做受迫振动，其振动频率与固有频率无关，都等于驱动力的频率，即都等于电动机的转动频率60 Hz 。
答案：(1)60 (2)60 Hz 60 Hz 60 Hz 60 Hz
6．汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k ＝
1.5×105 N/m ，汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f ＝12π g L
(L 为车厢在平衡位置时，弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz ，已知汽车的质量为600 kg ，每个人的质量为70 kg ，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受？(取g ＝9.8 m/s 2)
解析：人体固有频率为 2 Hz ，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受。
即f ＝12π g L ＝f 固，所以L ＝g 4π2f 2固
解得L ≈0.062 1 m
由胡克定律有kL ＝(m 车＋nm 人)g
得n ＝kL －m 车g m 人g
≈5 故这辆车乘坐5个人时，人感觉最难受。
答案：5人