2018年浙江省高中数学竞赛试卷
一、填空题
1.已知a 为正实数，且11
()1
x
f x a a =
-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=???，则
2018
1
n
n a
==∑ ．
3.已知3,,4παβπ??∈
???，4cos()5αβ+=，
12sin 413πα??-= ???，则c o s 4πβ?
?+= ??
? ． 4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．
5.已知虚数z 满足3
10z +=，则2018
2018
111z z z ????+= ?
?--??
??
．
6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP tAB -≥，则PA PB ?的最小值为 ，此时PA PB += ．
7.在ABC ?中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解．
9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为 ．
10.四面体P ABC -，PA BC ==PB AC ==PC AB ==，则该四面体外
接球的半径为 ． 二、解答题
11.已知动直线l 与圆O ：2
2
1x y +=相切，与椭圆2
219
x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.
12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2
[0,1]
max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.
13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足21
2(1,2,,2016)n n n x
x x n ++≤=???和2018
1
1n n x ==∏，证明：
100910101x x ≤.
14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明
111()i j j i j i i n i j n
j n
a b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤--
-+-≥∑
∑
.
15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填
入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、填空题
1. 11(,)22-
2. 2019580771616-
3. 56
65
- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.
7
2
8. 3
9. 1414x -≤≤+
10. 二、解答题
11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.
因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1
1=.
原点到AB 的中垂线的最大距离为
43
. 12.解1：设2
()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥?≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02
a
-
≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥， 解得1a ≥. （2）当1
022
a <-
≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2
()124
a a f --=
<. （3）当
1122
a
<-≤时，
即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2
()124
a a f --=
<. （4）当12
a
-
≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.
解2：设2
[0,1]
max x m x ax b ∈=++，则有
m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++?≥+++≥+依题意，1112
a
a +≥?≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.
（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由2
12121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤?
≤100910101011100810091010
x x x
x x x ?≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ?≤?>，
同理
100910091008101110121012
100710081007101010111010
x x x x x x x x x x x x =?≤?=
100710121x x ?>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此
2018
1
1n
n x
=>∏，矛盾.
（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有
212
121
n n n n n n n x x x x x x x +++++≤?
≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j n
j n
T a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=
--
-+-∑
∑
，下面用归纳法证明n T n ≥.
当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.
2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，
当1121112122a b T b a b b b a ； 当11222112a b T b a a b >?=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设
121n a a a +<
1111
1
n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑11111
1
n n
n i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，
下证1
11
1
n
n n i n i i i b
a a
b ++==-+-∑∑111
1
0n n
n i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.
由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=???，得到
1
11
1
n
n n i n i i i b
a a
b ++==-+-∑∑111
1
n n
n i n i i i a a b b ++==----∑∑
11
2()0n
i n i k b a +=+=->∑；
（2）若11n a b +<，则
1
11
1
n
n n i n i i i b
a a
b ++==-+-∑∑111
1
n n
n i n i i i a a b b ++==----∑∑
11
()0n
i n i b a +==->∑.
15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =???，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即
mod k k i k j n -=，1,2,,k n =???.
根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和
1
1
()mod n n
k k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++???+-1
(1)mod 2n n n =
-.
于是n 必须是奇数.
对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =???-，可以验证
mod k k i k j n -=，
0n j =，12n j -=，24n j -=，…，12
1n n j
n --
=-，
12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，12
1n j -=，
符合题目要求！
2018年第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷 本卷共16题,满分200分 一、选择题.本题共5小题,每小题6分,在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分。 1.居里夫人发现了元素钋(Po),其衰变的核反应方程式为206 082a c e b d b f P P αγ→++,其中,a 、b 、 c 、 d 、 e 、 f 的值依次为[ ] A.211、84、4、2、1、0 B.210、84、4、2、0、0 C.207、84、1、1、0、1 D.207、83、1、1、0、0 2.如图,一劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上,下端连接一质量为 m 的小球,以小球的平衡位置O 作为坐标原点,x 轴正方向朝下。若取坐标 原点为系统势能的零点,则当小球位于坐标为x 0的位置时,系统的总势能 为[ ] A.20012kx mgx - B. 2001()2mg k x mgx k +- C.201()2mg k x k + D.2012kx 3.库伦扭摆装置如图所示,在细银丝下悬挂一根绝缘棒,棒水平静止;棒的 两端各固定一相同的金属小球a 和b,另一相同的金属小球c 固定在插入 的竖直杆上,三个小球位于同一水平圆周上,圆心银丝为棒的悬点O 。细 银丝自然悬挂时,a 、c 球对0点的张角α=4°。现在使a 和c 带相同电 荷,库伦力使细银丝扭转,张角a 增大,反向转动细银丝上端的旋钮可使张 角a 变小;若将旋钮缓慢反向转过角度β=30°,可使小球a 最终回到原来 位置,这时细银丝的扭力矩与球a 所受球c 的静电力的力矩平衡。设细 银丝的扭转回复力矩与银丝的转角B 成正比。为使最后a 、c 对0点的 张角α=2°,旋钮相对于原自然状态反向转过的角度应为[ ] A.β=45° B.β=60° C.β=90° D.β=120°
2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
信息技术试卷 第1页（共12页） 信息技术试卷 第2页（共12页） 绝密★启用前 浙江省普通高中2019学考选考（18年11月） 信息技术 一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分，每小题列出的四个备 选项中只有一个是符合题目要求的，不选、错选、多选均不得分。) 1.下列有关信息技术的说法，不正确的是 （ ） A .信息技术是伴随着计算机和互联网技术的发展而诞生的 B .信息技术是对信息进行采集、处理、传输、存储、表达和使用的技术 C .信息技术包含微电子技术、通信技术、计算机技术和传感技术等 D .物联网、人工智能、云计算等技术都是当前信息技术发展的热点 2.电子邮件服务器之间传送邮件时采用的协议名称是 （ ） A .URL B .SMTP C .HTTP D .POP3 3.使用Word 软件编辑某文档，部分界面如图所示。下列说法正确的是 （ ） A .实现图中的图文环绕效果可以采用“嵌入型”环绕方式 B .删除图中批注后，批注对象和批注内容同时被删除 C .当前光标位于标题行，按“Delete ”键一次，“离”字被删除 D .拒绝文档中的所有修订后，文字“应该说”被保留 4.使用Access 软件打开数据库，部分界面如图所示。下列说法正确的是 （ ） A .“表1”中第1条记录的“借阅ID ”字段值一定为“1” B .“表1”中“是否赔偿”字段的有效输入值可以为“已赔偿” C .“表1”中不同记录的“图书编号”字段值可以相同 D .“读者信息表”中不能包含“读者编号”字段 5.某算法的部分流程图如图所示。执行这部分流程，分别输入35、50、60，则输出值依次为 （ ） A .10，3 B .10，4 C .7，10，4 D .10，12，3 6.下列关于多媒体技术的说法，正确的是 （ ） A .多媒体技术中的媒体是指承载信息的载体，如文字、声音、图形和图像等 B .多媒体数据压缩标准中，MPEG 是静态图像压缩标准，JPEG 是动态图像压缩标准 C .某软件能根据文本内容自动朗读，该功能主要应用了多媒体技术中的语音识别技术 D .智能手机的指纹识别功能，主要应用了多媒体技术中的OCR 技术 7.使用UltraEdit 软件观察字符“A-Za-z0-9”的内码，部分界面如图所示。 （ ） 下列说法正确的是 A .字符“F ”、“d ”、“6”的内码值由小变大 B .字符“a ”与“A ”内码值之差的十进制表示为20 C .字符“2”内码值的二进制表示为“00000010” D .图中所有字符内码值的十进制表示均小于128 8.使用Photoshop 软件制作“阅读”作品，部分界面如图所示，将作品存储为JPEG 格式文件“阅读.jpg ”。关于文件“阅读.jpg ”，下列说法正确的是 （ ） -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上--------------------答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 毕业学校_____________ 姓名_____________ 准考证号_____________ ____________________________________________________
2018年全国中学生天文奥林匹克竞赛预赛试卷 北京天文馆2018-03-29 2018年3月24日14:00-15:30 【注意事项】请务必仔细阅读！ 1. 每位考生会拿到一张预赛试卷和一张答题卡。试卷和答题卡都需要逐题填写，并且填写的内容必须完全一致。试卷和答题卡填写内容不一致的题目每题得-4分。 2. 低年组考生（指2003年1月1日以后出生，并且没有参加过国际天文奥赛IAO和亚太天文奥赛APAO的考生）只答本卷的01-30题，高年组考生只答06-35题。 3. 本卷为闭卷考试，请答卷人按照自己的真实水平独立完成答卷，并认真、完整地用签字笔在试卷上填写有关信息、答卷并签字，用2B铅笔在答题卡上按要求签名（应与试卷上的签名一致；签名明显不一致的取消参赛资格），填涂试卷类型（见本注意事项之前的表格第二列）、准考证号（在空格处写数字，并填涂每个数字下面对应的部分）、组别，以及每道题的答案。未按要求填涂的取消考试成绩。考试开始30分钟之后才可交卷，并在不影响其他考生答题的情况下安静离开考场，否则取消考试成绩。在监考老师宣布考试结束时，该考场所有考生应停止答卷，将试卷和答题卡放在桌上，保持安静离开考场。 4. 每题选择一个最接近正确的答案。将对应的字母（A, B, C, D之一）填在试卷上并填涂在答题卡该题号下方的对应处。不会做的题目不选。已填涂的答案如需改正，请用橡皮将原答案尽量擦除干净。每道题答对得4分，答错或多选得-4分，不选得0分。满分120分。草稿可写在试卷“草稿区”处。 5. 本试题、答案及决赛名单将在北京天文馆网站公布。
试卷类型A 【试题】 1. M51位于（）。 (A)小熊座(B)大熊座(C)天琴座(D)猎犬座 02. 木星的卫星中体积最大的是（）。 (A)木卫一(B)木卫二(C)木卫三(D)木卫四 03. 以下恒星无法在今晚观测到的是（）。 (A)天狼星(B)织女星(C)大角星(D)北落师门 04. 下列星座中不相邻的是（）。 (A)英仙座与飞马座(B)宝瓶座与南鱼座 (C)天龙座与武仙座(D)室女座与后发座 05. 火星在2018年大冲时位于哪个星座天区内？（） (A)摩羯座(B)天秤座(C)巨蟹座(D)狮子座 06. 此时，太阳直射地球（）。 (A)北回归线附近(B)赤道北侧一点 (C)赤道南侧一点(D)南回归线附近 07. 此时，月球与太阳的角距离约为（）。 (A)45°(B)90°(C)120°(D)180° 08. 以下梅西叶天体中与银河系最相似的是（）。 (A)M31 (B)M32 (C)M82 (D)M87 09. 南河三和北河三分别位于天球上哪个大圆的两侧？（） (A)黄道(B)天赤道(C)银道(D)其他三个选项都不正确 10. 太阳的绝对星等是（）。 (A)-26.8 (B)0.0 (C)4.8 (D)8.6 11. 瑞典皇家科学院将2017年诺贝尔物理学奖授予美国科学家雷纳·韦斯、巴里·巴里什和吉普·索恩，以表彰他们对探测（）做出的贡献。 (A)引力波(B)中微子(C)暗物质(D)暗能量 12. 人类最近一次观测到银河系内的超新星爆发是在（）年。 (A)1054 (B)1604 (C)1987 (D)2018 13. 2017年6月15日，硬X射线调制望远镜（）在酒泉卫星发射中心发射升空，弥补了我国空间X射线探测的空白。 (A)悟空(B)天眼(C)慧眼(D)墨子
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =
2018年11月浙江省普通高校招生选考科目考试 技术试题 姓名：准考证号： 本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。全卷共16页，第一部分1至10页，第二部分11至16页。满分100分，考试时间90分钟。其中加试题部分为30分，用【加试题】标出。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。 第一部分信息技术(共50分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求 的，不选、多选、错选均不得分) 1．下列有关信息技术的说法，不正确的是（） A．信息技术是伴随着计算机技术和互联网技术的发展而诞生的 B．信息技术是对信息进行采集、处理、传输、存储、表达和使用的技术 C．信息技术包含微电子技术、通信技术、计算机技术和传感技术等 D．物联网、人工智能、云计算等技术都是当前信息技术发展的热点 2．电子邮件服务器之间传送邮件时采用的协议名称是（） A．URL B．SMTP C．HTTP D．POP3 3．使用Word软件编辑某文档，部分界面如图所示。下列说法正确的是（） A．实现图中的图文环绕效果可以采用“嵌入型”环绕方式 B．删除图中批注后，批注对象和批注内容同时被删除 C．当前光标位于标题行，按“Delete”键一次，“离”字被删除 D．拒绝文档中的所有修订后，文字“应该说”被保留 4．使用Access软件打开数据库，部分界面如图所示。下列说法正确的是（） A．“表1”中第1条记录的“借阅ID”字段值一定为“1” B．“表1”中“是否赔偿”字段的有效输入值可以为“已赔偿” C．“表1”中不同记录的“图书编号”字段值可以相同 D.“读者信息表”中不能包含“读者编号”字段 5．某算法的部分流程图如图所示。执行这部分流程，分别输入35、50、60，则输出值依次为（） A．10，3 B．10，4 C．7，10，4 D．10，12，3 6．下列关于多媒体技术的说法，正确的是（） A．多媒体技术中的媒体是指承载信息的载体，如文字、声音、图形和图像等 B．多媒体数据压缩标准中，MPEG是静态图像压缩标准，JPEG是动态图像压缩标准
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲，含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲（1） (1) §2数学方法选讲（2） (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列，组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆，圆锥曲线 (143)
§19立体图形，空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲（1） 同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出：善于―退‖，足够的―退‖，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？
2017年中国化学奥林匹克竞赛浙江省预赛试题 一、选择题(本题包括12小题，每小题4分，共48分。每小题只有一个选项符合题意) 1．2016年诺贝尔化学奖在瑞典皇家科学院揭晓，让·皮埃尔·索维奇，J·弗雷泽·斯托达特爵士和伯纳德·L·费林加三位科学家分享该奖，以表彰他们在“合成分子机器”方面的研究。下列关于分子机器说法不正确的是 A．“分子机器”尺寸小，可以依靠各种化学能、电能、光能等进行驱动，在纳米层次上控制单分子和多分子的运动 B．“分子机器”是通过分子和分子之间的共价键作用形成的结构固定的超分子组装体，再通过酸碱、离子、光、电等外界刺激，使分子之间发生相互运动，最终实现做功 C．“分子机器”可以通过它的分子钳子与特定的病毒相结合，向肿瘤部位集中运输药物 D．只要材料和环境条件具备，“分子机器”就能自动组装 2．化学与生活、社会发展息息相关，下列有关说法不正确的是 A．“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁”；屠呦呦改进提取青蒿素的方法，提取过程中发生了化学变化B．“时气错逆，霾雾蔽日”，雾所形成的气溶胶能产生丁达尔效应 C．《中国诗词大会》不仅弘扬了中国传统文化，还蕴含着许多化学知识。例如刘禹锡诗句“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金”可以看出金性质稳定，可通过物理方法得到 D．“外观如雪，强烧之，紫青烟起”。南北朝陶弘景对硝酸钾的鉴定过程中利用了焰色反应 3．离子液体（或称离子性液体）是指全部由离子组成的液体，如熔融NaCl、KOH等。室温附近呈液态的离子液体称为室温离子液体，其常见的阳离子有季铵盐离子、季鏻盐离子、咪唑盐离子、吡咯盐离子等，常见的阴离子有卤素离子、四氟硼酸根离子、六氟磷酸根离子等。离子液体具有许多传统溶剂无法比拟的独特性能，被广泛应用于化学研究的各个领域。下列说法不正确的是 A．离子液体在反应过程中可作为溶剂和催化剂，从而提高化学反应的速率 B．在使用含有重金属元素的离子液体时，要严格遵守安全守则，严禁用手直接触碰，同时佩戴防毒面具，防止离子液体易挥发而导致中毒 C．离子液体具有电导率高的特点，可作为电解质溶液应用于电化学研究 D．通过对离子液体的进一步研究，发现选择不同的阴阳离子可调节其对许多无机物、有机物的溶解度，在分离提纯物质方面具有良好的应用前景
2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+2 2，b y x =+2 2 ，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的 最大值为 （ ） A ．2 b a + B ．ab C ．22 2b a + D ．2 2 2b a + 2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），?? ? ??41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N 3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数 列，那么z y x ++的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B ．111 C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形 C ．111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形 D ．111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A ．不存在 B ．有且只有一对 C ．有且只有两对 D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 A B =___________________. 7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写 成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10．在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 （考试时间：2018年6月30日上午9:00—11:30） 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器． 一、填空题（每题8分，共64分，结果须化简） 1. 设三个复数l,i,z 在复平面上对应的三点共线，且|z |=5，则z =____． 2. 设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n =____． 3. 函数f (x )=|sin(2x)+sin(3x )+sin(4x )|的最小正周期=____． 4. 设点P ,Q 分别在函数y =2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=____． 5. 从l,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤l 的概率=____ 6. 在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC 1相切，则小球半径的最大值=____． 7. 设H 是△ABC 的垂心，且3HA +4HB +5HC =0，则cos ∠AHB =____． 8. 把l,2,…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是l,2,…,n. 例如：T 3=.设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i ,j )= ． 二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题每题22分，共86分） 9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ,F 分别是线段AD ,BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ,H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称．求证：∠HAB =3∠GAB ． A B C D E F G H l
2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==，
2018- 年中国化学奥林匹克竞赛浙江省预赛试题
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2018 年中国化学奥林匹克竞赛浙江省预赛试题 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷两部分，试题共有六大题， 26 小题。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2．本卷答案必须做在答题卷相应位置上，做在试题卷上无效，考后只交答题卷。 上写明县（市） 、学校、姓名、准考证号，字迹清楚。 必须在答题卷 3．可以使用非编程计算器。 一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题意。 ） 1．近年来，科学家通过萘为载体合成了一类明星的染料分子苝二酰亚胺（ PDI ）如下（图左） 已广泛应用于生产实践和有机半导体材料研究。 由萘的同分异构体薁为载体构筑了一种新型 有机结构砌块 —— 联薁二酰亚胺（ BAzDI ）如下图右） 。下列说法不正确的是： A ．材料的分子结构从根本上决定了材料的性能，因此有机材料的结构创制与合成一直 是有机光电子材料领域科学家关注的焦点； B ．从化学组成上看， PDI 和 BAzDI 的分子骨架只相差两个氢原子，这使得BAzDI 化合 物 的物理化学性质和光电功能备受期待； C ． PDI 和 BAzDI 分子结构均含有由苯环和酰亚胺基团； D ．薁和萘互为同分异构体，鉴于BAzDI 具有独特的分子结构和物理化学性质，故有望 成为一类重要的新有机半导体材料结构砌块。 2． 2017 年 8 月，南京理工大学化工学院胡炳成教授团队成功合成了系列全氮阴离子盐，如 [Na(H O)(N )] 2H · 2 O ，相关研究论文发表在国际顶级期刊 《 Nature 》上。下列说法正确的是： 2 5 A ．中间那个水和处于外界的水的区别是：中间的水与钠形成了共价键，外面的水形成 氢键和内界相连；
浙江省嘉兴市2018-2019学年高二下学期期末考试 技术I 试题卷 本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。满分100分，考试时间90分钟。 第一部分信息技术（共50分） 一、选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1.下列有关信息的说法，不正确 ．．．的是( ) A.信息的表示、传播、存储必须依附于某种载体 B.信息与物质、能源一样，在使用和传播的过程中会产生损耗 C.片面的感知与理解容易产生虚假信息 D.信息的价值可能会随着时间的变化而变化 2.关于信息的表达与交流，下列说法正确的是( ) A.在IE浏览器中使用“收藏夹”功能可以保存网页的内容 B.访问网页需要用到HTML协议 C.用Web方式发送电子邮件使用了SMTP协议 D.POP3协议可以将邮件发送至收件人邮箱 3.以下应用中，体现了人工智能技术的有( ) ①K歌软件对演唱者的表演进行智能打分 ②某支付APP支持的人脸识别付款方式 ③Word软件自动识别输入的拼写和语法错误 ④将学生的答卷扫描之后，教师进行网络阅卷 ⑤某购物网站提供的拍照搜索商品功能 A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①②⑤ 4.用Access软件打开数据库，部分界面如下图所示。
下列说法正确的是( ) A.该数据库文件名是“歌曲库.accdb” B.“价格”字段的数据类型不一定是货币型 C.可将当前记录的“编号”字段值修改为“21” D.该数据表只有7个字段 5.某校学籍编码由9位字符组成（如SY1611038），第1?2位字母表示学校名称缩写，第3?4位表示入学年份，，第5?6位表示班级号，最后3位表示班内学号。今年是2019年，下列能正确判断出学籍编号为num的学生目前所在年级的VB语句是( ) A.mid(num, 3, 2) B.val(mid(num, 3, 2)) C.19-val(mid(num, 3, 2)) D.19-mid(num, 3, 2) 6.下列关于数制的说法，正确的是( ) A.若二进制数末位为1，则该数可能是偶数 B.二进制数的10110中首位1对应的权值是25 C.二位十六进制数的值小于28 D.二进制数去掉末尾的一位，所得的数值是原来1/2 7.使用GoldWave软件处理音频文件“配音.wav”，部分界面如图所示。 下列说法正确的是( ) A.单击“复制”和“粘贴”按钮后，按原格式保存，音频文件存储容量不变
２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m <
2018年浙江省高中数学竞赛试题 共4页，第1页 2018年浙江省高中数学竞赛 一、填空题(每题8分，共80分) 1.已知a 为正实数，且f (x )=1a －1a x +1 是奇函数，则f (x )的值域为 . 2.设数列{a n }满足a 1=1，a n +1=5a n +1(n =1，2，…)，则∑n =1 2018 a n = . 3.已知α、β∈????3π4，π，cos(α+β)=45，sin(α－β)=1213，则cos ??? ?β+π4= . 4.在八个数2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数，这些分数中有 个既约分数. 5.已知虚数z 满足z 3+1=0，则????z z －12018+????1z －12018= . 6.设|AB |→=10.若平面上点P 满足对任意的t ∈R ，有||AP →－tAB →≥3，则PA →·PB →的最小值为 ， 此时，|PA →+PB →|= . 7.在△ABC 中，AB +AC =7，且三角形的面积为4，则sin A 的最小值为 . 8.设f (x )=|x +1|+|x |－|x －2|，则f (f (x ))+1=0有 个不同的解. 9.设x ，y ∈R 满足x －6y －4x －y +12=0，则x 的取值范围为 . 10.四面体P －ABC ，PA =BC =6，PB =AC =8，PC =AB =10，则该四面体外接球的半径为 . 二、解答题：(11、12、13题各20分，14、15各30分) 11.已知动直线l 与圆x 2+y 2=1相切，与椭圆x 29 +y 2 =1相交于不同的两点A 、B ，求原点到AB 的中垂线的最大距离. 12.设a ∈R ，且对任意实数b 均有max x ∈[0，1]|x 2+ax +b |≥1，求a 的取值范围. 13.设实数x 1，x 2，…，x 2018满足x 2n +1≤x n x n +2 (n =1，2，…，2018)和∏n =1 2018x n =1，证明： x 1009x 1010≤1. 14.将2n (n ≥2)个数分成两组a 1，a 2，…，a n 和b 1，b 2，…，b n .证明： ∑1≤i ≤n 1≤j ≤n |a i －b j |－ ∑1≤i 2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题：（本大题共10个小题,共70分,每小题7分．） 1．已知向量()1,3AP =uu u r ，() 3,1PB =-uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 ． 2．已知集合()(){}10A x ax a x =-->，且2A ∈，3A ?，则实数a 的取值范围是 ． 3．已知复数22cos sin 33 z i =+ππ，其中i 为虚数单位，则32z z += ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别是双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且2OM PF ⊥，1234PF PF =，则双曲线的离心率为 ． 5．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 ． 6．若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=（0m >）的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ． 7．若3tan 43 x =，则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += ． 8．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动， 其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ． 9．设数列12321,,,,a a a a L 满足：11n n a a +-=（1,2,3,,20n =L ），1a ，7a ，21a 成等比数列.若11a =，219a =，则满足条件的不同数列的个数为 ． 10．对于某些正整数n ，分数2237 n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ． 二、解答题 （本大题共4小题，每小题20分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11．设数列{}n a 满足： ①11a =；②0n a >；③2111 n n n na a na ++=+，*n ∈N . 求证：（1）数列{}n a 是递增数列； 2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的 2018年浙江省高中数学竞赛试卷 一、填空题 1.已知a 为正实数，且11()1 x f x a a = -+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=???，则 2018 1 n n a ==∑ ． 3.已知3,,4παβπ??∈ ???，4cos()5αβ+=，12sin 413πα??-= ???，则cos 4πβ? ?+= ?? ? ． 4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数． 5.已知虚数z 满足3 10z +=，则2018 2018 111z z z ?? ??+= ? ?--?? ?? ． 6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ?的最小值为 ，此时PA PB += ． 7.在ABC ?中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为 ． 二、解答题 11.已知动直线l 与圆O ：2 2 1x y +=相切，与椭圆2 219 x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离. 12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2 [0,1] max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围. 13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足21 2(1,2,,2016)n n n x x x n ++≤=???和2018 1 1n n x ==∏，证明：100910101x x ≤. 14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明 111()i j j i j i i n i j n j n a b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤-- -+-≥∑ ∑ .2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
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