15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是
，用量纲分析方法确定风车
获得的功率 P 与 v 、S 、 的关系 .
解: 设 P 、 v 、 S 、
的关系为 f ( P, v, s, ) 0 ， 其量纲表达式为 :
[P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[
]=
ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 .
量纲矩阵为：
2 1 2
3 ( L)
A=
1
0 0 1 ( M )
3 1
(T )
( P) (v) (s) (
齐次线性方程组为：
2 y 1 y 2 2y
3 3y 4
y 1
y 4 0
3y 1
y 2
它的基本解为 y (
1,3 ,1,1)
由量纲 P i 定理得
P
1v 3 s
1
1 ，
P
v 3s 1 1
， 其中 是无量纲常数 .
16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度
g 有关，其中粘滞系数的定义
是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，
比例系数为粘滞系
数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 .
解：设 v ,
, , g
的关系为 f ( v ,
,
, g ) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0，
-2
-1 L -1
-1 -2
-2 -2 -1
-1
0 -2
, 其中 L ，M ， T 是基本量纲 .
[ ]=MLT （ LT ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T
量纲矩阵为
1 3 1 1 ( L)
A=
0 1 1
0 ( M )
1 0
1 2 (T )
(v)
( ) (
) ( g)
齐次线性方程组 Ay=0 ，即
y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0
y 2 y 3
- y 1 - y 3 - 2y 4
的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲 P i 定理 得
v
3
1
g .
v
3
g ，其中
是无量纲常数 .
16 * ．雨滴的速度 v 与空气密度
、粘滞系数 、特征尺寸
和重力加速度 g 有关，其中粘
滞系数的定义是： 运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，
比例
系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度
v 的表达式 .
解：设 v ,
, , ， g 的关系为 f (v, , , , g)
0 . 其量纲表达式为
[ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0，[
其中 L ， M ， T 是基本量纲量纲矩阵为
-2-1 -1 -1 -2
-2 -2-1-1
，[ ]=LM 0T 0
0 -2
]=MLT （ LT L ） L =MLL T T=L MT
，[ g ]=LM T .
1 1
3 1 1 (L)
A=
0 0 1 1 0 ( M )
1
1
2 (T )
(v) ( ) ( ) ( )
( g)
齐次线性方程组 Ay=0 即
y 1 y 2
3y 3
y 4 y 5 0
y 3
y 4
y 1 y 4 2 y 5
的基本解为
y 1 (1, 1
1 )
2 , 0, 0,
2 y 2 (0, 3
1 2 , 1,1, )
2 得到两个相互独立的无量纲量
1
v
1/ 2
g 1 / 2
2
3 / 2 1
g 1 / 2
即 v
g 1 ,
3 / 2
g 1 / 2
1
1
( 1 , 2 ) 0 , 得 1( 2 1 )
2
. 由
g (
3 / 2
g 1 / 2
1
)
, 其中 是未定函数 .
20. 考察阻尼摆的周期， 即在单摆运动中考虑阻力， 并设阻力与摆的速度成正比 . 给出周期的
表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期
.
解：设阻尼摆周期
t ,摆长 l , 质量 m ,重力加速度 g ，阻力系数 k 的关系为
f (t, l , m, g, k )
其量纲表达式为：
[ t] L 0 M 0T ,[ l ] LM 0T 0 , [m] L 0 MT 0 ,[ g] LM 0T 2 ,[k ] [ f ][ v] 1
MLT
2
( LT 1 ) 1
L 0 MT 1 ， 其中 L ， M ， T 是基本量纲 .
量纲矩阵为
0 1 0 1 0 ( L) 0 0 1 0 1 ( M ) A=
0 0
2
1 (T ) 1
(t ) (l ) (m) ( g)
(k)
齐次线性方程组
y 2 y 4 0
y 3 y 5
y 1 2 y 4 y 5
的基本解为
Y 1 (1,
1
,0, 1
,0)
2
2
Y 2 (0, 1
, 1, 1
,1)
2 2 得到两个相互独立的无量纲量
tl 1/ 2 g 1/ 2
1
l 1/ 2m 1 g 1 / 2 k
2
∴ t
l
1 ,
1
( 2 ) ,
2
kl 1 / 2
g
mg 1/ 2
∴ t
l ( kl 1/ 2 ) ，其中
是未定函数 .
g mg 1 / 2
考虑物理模拟的比例模型，设
g 和 k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为 t , t '
； l , l '
; m , m '
.
又 t
l ( kl 1 / 2
)
g m g 1 / 2
当无量纲量
m
l
时， 就有
t l g
l .
m
l
t
g l
l
（三）2． 建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数
k ，销售速
率为常数 r ， k r ．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间0
t T 0 一边生产一边 销售，后来的一段时间
(T 0 t T ) 只销售不生产，画出贮存量
g(t) 的图形 . 设每次生
产准备费为
c 1 ，单位时间每件产品贮存费为 c 2 ，以总费用最小为目标确定最优生产周
期，讨论 k
r 和 k r 的情况 .
解： 由题意可得贮存量 g(t ) 的图形如下：
g
g(t)
k r
r
O
T 0
T
t
n
T
(k r )T 0 T 贮存费为
c 2 lim
g( i )
t i c 2
0 g(t)dt
c 2
2
t 0 i 1
又
(k r )T 0 r (T T 0 )
T 0
r
T ,
贮存费变为
c 2
r (k r )T T
k
2k
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
C (T ) c 1
c 2 r ( k r )T 2
c 1 c 2 r ( k r )T
T
2kT T
2k dC c 1
c 2 r (k r )
dT T 2 2k
.
令 dC 0 ,
得 T
2c 1k dT
c 2 r (k r )
易得函数 C (T )在 T 处 取得最小值，即最优周期为：
2c 1 k T
c 2 r ( k r )
当k
r 时 ，T
2c 1
.
相当于不考虑生产的情况 .
c 2 r
当 k r 时 ，T .此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
3．在 3.3 节森林救火模型中， 如果考虑消防队员的灭火速度
与开始救火时的火势
b 有关，
试假设一个合理的函数关系，重新求解模型
.
解： 考虑灭火速度 与火势 b 有关，可知火势 b 越大，灭火速度
将减小，我们作如
下假设 :
k
，
(b)
b 1
总费用函数 c 1 t 12
c 1
2t 12
(b
1) c 2 t 1 x(b 1)
C x
2(kx b )
kx
b c 3 x
2
最优解为
c 1kb 2 2c 2b(b 1) (b
1) (b
1) x
2c 3 k 2
k
1. 对于 5.1 节传染病的 SIR 模型，证明：
（ 1）若 s 0
1
,则 i (t)先增加，在 s 1
处最大 ，然后减少并趋于零； s(t) 单调减少
至 s .
（ 2） 若s 0
1
, 则i (t)单调减少并趋于零，
解： 传染病的 SIR 模型（ 14）可写成
di
i ( s 1)
dt
ds
si
dt
由 ds
知 ds
单调减少 .
si,
0.
s(t )
dt dt
s(t )单调减少至 s .
而s(t) 0. lim s(t)
s 存在.
t
故 s(t)单调减少至 s .
（ 1） 若 s 0
1
. 由s(t)单调减少 .
s(t) s 0 .
当
1
s s 0时 , s 1 0. di
0,i (t )单调增加 ;
dt
当s
1
时, s 1
0.
di 0,i (t )单调减少 .
dt 又由书上 (18)式知 i
0.
即 lim i (t ) 0.
t
当s 1 时, di 0.
i (t)达到最大值 i m .
dt
（ 2） 若 s 0
1
, 则s t 1 ,
从而 s - 1 0.
di
0.
dt
i t 单调减少且 lim i t
0.即 i
0.
t
4． 在 5.3 节正规战争模型（
3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
a 4.
b
初始兵力 x 0与 y 0 相同 .
(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型, 讨论如何判断双方的胜负 .
解 : 用x t , y t表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数 , 则正规战争模型可近似表示为:
dx
ay
dt
dy
bx, 1
dt
x 0 x0 , y 0 y0
现求 (1) 的解 : (1)
0 a
的系数矩阵为 A
b
a 2
ab 0. ab
E A 1,2
b
2 2
1 , 2对应的特征向量分别为，
1 1
x t 2
abt 2
abt .
1 的通解为
C1 1 e
C
2 1 e
y t
再由初始条件，得
x t x0y0 e abt x0y0 e ab t 2
2 2
又由 1 可得dy
bx . dx ay
其解为ay 2bx 2k,而k ay02bx02 3
(1) 当x t1 0时， y t1 k ay02 bx02
y0
b 3
1 y0 .
3
即乙方取胜时的剩余兵力数为y0 .
2
x0 abt1x0 abt
1 0. 又令由（）得0,
2 y
0 e y0 e
x t1
2
2
注意到 x0 y0 2 abt1x0 2 y0
. 2 abt1 3, t1
ln 3
,得 e
x0 e .
2 y0 4b (2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则
dx
ay r
dt
dy
4
bx
dt
x(0) x0 , y 0 y0
由 4 得dx ay r
,即 bxdx aydy rdy . 相轨线为 ay 2 2ry bx2 k ,
dy bx
2
r 2
2 2ry 2 r bx 2 k. 此相轨线比书图11 中的轨线上移了
k ay0 0 bx.0或 a y
a
a
r r 2 r 2
b 2
a . 乙方取胜的条件为k 0, 亦即 y0 a a x0 a 2
.
（七） 1. 在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
(1) 分别就h rN / 4 ，h rN / 4 ，h rN / 4 这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳
定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1 节的产量模型有何不同．
解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为x t ，则由题设条件知：x t 变化规律的数学模型为
dx(t )x
rx (1)h
dt N
记 F ( x) rx (1 x ) h
N
(1). 讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由 F x
0 ，得 rx(1
x
) h 0 ．
N
即
r x
2
rx h 0
1
N
r 2
4rh r (r 4h ) ，
N N
N
1 4h N (1) 的解为： x 1, 2
rN
2
①当 h rN / 4 ，
0 ， (1) 无实根，此时无平衡点；
②当 h
rN / 4 ，
0 ， (1) 有两个相等的实根，平衡点为
x 0
N .
2
F '
( x) r (1
x )
rx r 2rx
， F ' ( x 0 )
不能断定其稳定性 .
N
N
N
但 x x 0
及 x x 0 均有 F (x)
x rN 0 dx 0 ． x 0 不稳定；
rx (1 )
，即
dt
N 4 ③当 h rN / 4 ，
0 时，得到两个平衡点：
N 1 4h N N 1 4h N x 1
rN ， x 2
rN
2 2
易知： x 1
N ， x 2 N ， F ' ( x 1 ) 0 ， F ' ( x 2 ) 0
2
2
平衡点 x 1 不稳定，平衡点 x 2 稳定 .
(2) 最大持续产量的数学模型为
max h s.t. F (x) 0
即
max h rx (1 x
) ，
N
易得 x 0* N
此时 h
rN ， x 1
N / 2
x 2
2
4
但 x 0*
N
这个平衡点不稳定．这是与 6.1 节的产量模型不同之处．
2
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量
x
N
，且尽量接近
N
，但不能等于
2
2
h rN / 4
h rN / 4
h rN / 4
rx 1 x / N
x
N ．
2
2. 与 Logistic
模型不同的另一种描述种群增长规律的是
Gompertz 模型：x '
t
rx ln N
．其
x
中 r 和 N 的意义与 Logistic 模型相同．
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为 h Ex ．讨论渔场鱼量的 平衡点及其稳定性， 求最大持续产量 h m 及获得最大产量的捕捞强度
E m 和渔场鱼量水平 x 0* ．
解： x t 变化规律的数学模型为
dx t
rx ln
N
dt
Ex
x
记
F ( x) rx ln N
Ex
x
0 ，得 rx ln
N
E
① 令 F x
Ex 0
x 0
Ne r ， x
0 ．
x
1
平衡点为 x 0, x 1 .
又 F '
x r ln
N
r E ， F '
x 0
r 0, F '
x 1．
x
平衡点 x o 是稳定的，而平衡点
x 1 不稳定 .
y
rx ln
N
x
y
Ex
rN e
y
f x 0
N x 0
x
e
②最大持续产量的数学模型为：
max h Ex
N s.t.
rx ln
Ex 0, x 0.
x
E
由前面的结果可得h
ENe r
E
E
dh Ne r
EN
e r ，令
dh
0.
dE
r
dE
得最大产量的捕捞强度
E m r ．从而得到最大持续产量
h m rN / e ，此时渔场鱼量水平
x 0*
N
．
3．设某渔场鱼量 x(t ) (时刻 t 渔场中鱼的数量 )的自然增长规律为：
dx(t )
x dt
rx(1)
N
其中 r 为固有增长率 , N`为环境容许的最大鱼量
. 而单位时间捕捞量为常数
h .
1 0
．求渔场鱼量的平衡点 ,并讨论其稳定性 ;
2 0
．试确定捕捞强度 E m ,使渔场单位时间内具有最大持续产量 Q m ,求此时渔场鱼量水平 x 0* .
解： 1 0 ． x(t ) 变化规律的数学模型为
dx(t) rx (1 x ) h
dt
N
记 f ( x)
rx (1 x ) h , 令 rx (1 x ) h 0
， 即
r x 2 rx h 0 ---- （ 1 ）
N N
N
4rh
4h
N
1 4h N
r 2
r (r
， （ 1）的解为： x 1, 2
rN
N )
2
N
① 当
0 时，（1）无实根，此时无平衡点；
② 当
0 时，（ 1）有两个相等的实根，平衡点为
f '
(x) r (1
x )
rx r 2rx ， f '
( x 0 ) 0
N N N
x ) rN 但 x
x 0
及 x x 0 均有 f ( x) rx(1
N 4
N
x 0
.
2
不能断定其稳定性 .
0 ，即 dx 0 x 0 不稳定；
dt
③ 当 0 时，得到两个平衡点：
N N 4h
N N
4h
1
1
x 1
rN ， x 2
rN
2
2
易知
x 1
N x 2 N f ' (x 1 ) 0 ， f ' ( x 2 )
，
2
2
平衡点 x 1 不稳定 ，平衡点 x 2 稳定 .
2
．最大持续产量的数学模型为：
max h 0
s.t. f (x)
即 max h
rx (1
x ) ， 易得 x 0* N 此时 h rN
，但 x 0*
N
这个平衡点不稳定 .
N 2
4 2 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 x N ,且尽量接近 N N 2 2 ,但不能等于.
2
第九章（ 2008 年 12 月 18 日）
19.1 节传送带效率模型中 , 设工人数 n 固定不变 .
若想提高传送带效率
D,
一种简单的方
．在
法是增加一个周期内通过工作台的钩子数
m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法
是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子， 其它条件不变， 于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子， 只要其中一只是空的， 他就可以挂上产品， 这种办法用的钩子数量与第一种办法一样． 试推导这种情况下传送带效率的公式， 从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．
解： 两种情况的钩子数均为
2m ．第一种办法是 2m 个位置，单钩放置
2m 个钩子；第二
种办法是 m 个位置，成对放置
2m 个钩子．
① 由 9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
2m
1
n
D
1
1
2m
n
当
n
较小， n
1 时，有
2m
D
2m 1 1 n n 1 1
n 1
1
2m
8m 2
4m
n
D 1 E
，
E
n
4m
② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于 m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，
考虑一个周期内通过的 m 个
钩对．
任一只钩对被一名工人接触到的概率是
1 ；
m 1
任一只钩对不被一名工人接触到的概率是
1
；
m
1
, q 1 1
记 p
．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空
m m
的概率为 q n ，其空钩的数为 2m ；任一钩对上只挂上１件产品的概率为 npq n 1 ，其空钩数
为 m ．所以一个周期内通过的
2m 个钩子中，空钩的平均数为
2m q n m npq n 1
m 2q n npq n 1
于是带走产品的平均数是
2m m 2q n npq n 1 ，
未带走产品的平均数是
n
2m m 2q n npq n
）
此时传送带效率公式为
2m m 2q
n
npq
n 1
m
n
n n 1
D '
2 1
1
1
n
2
m 1
m
n
m
③ 近似效率公式：
n
n n n 1 1 n n 1 n 2 1
由于
1 1 1
m
m
2
m 2
6
m 3
1 n 1
n 1 n 1 n
2 1
1
1
m m 2 m 2
D ' 1 n 1 n 2
6m
2
当 n
1 时，并令 E' 1 D ' ，则
E'
n 2
6m 2
④ 两种办法的比较：
由上知： E
n ， E' n 2
6m 2
4m
E '/ E
2n ，当 m n 时， 2n 1 ，
E' E ．
3m 3m
所以第二种办法比第一种办法好．
2.一报童每天从邮局订购一种报纸，
沿街叫卖 .已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利7
元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每
100 份报纸要赔 4 元 .报童每天售
出的报纸数 r 是一随机变量，其概率分布如下表：
售出报纸数 r （百份）
0 1
2 3 4 5 概率 P(r )
0． 05
0.1
0.25
0.35
0.15
0.1
试问报童每天订购多少份报纸最佳 (订购量必须是 100 的倍数 )？
解： 设每天订购 n 百份纸，则收益函数为
f ( r )
7r ( 4)(n r ) r n
7n r
n
n
收益的期望值为 G(n) =
(11r 4n)P( r ) + 7n
P(r )
r 0
r n 1
现分别求出 n = 0,1,2,3,4,5 时的收益期望值 .
G(0)=0 ； G(1)= 4 × 0.05+7 × 0.1+7×（ 0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;
G(2)= ( 8 0.05 3 0.1 14 0.25) 14 (0.35 0.15 0.1) 11.8; G(3)=( 12 0.05 1 0.1 10 0.25 21 0.35 ) 21 (0.15 0.1) 14.4
G(4)=( G(5)=
16 0.05 5 0.1 6 0.25 17 0.35 28 0.15 ) 28 0.1 13.15 20 0.05 9 0.1 2 0.25 13 0.35 24 0.15 35 0.1 10.25
当报童每天订300 份时，收益的期望值最大.
5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如
下表所示：
品种原材料能源消耗(百元)劳动力(人)利润(千元)
甲214 4
乙362 5 现有库存原材料1400 千克；能源消耗总额不超过2400 百元；全厂劳动力满员为2000 人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大 ,并求出最大利润.
解：设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S. 则此问题的数学模型为max S 4x 5y
s.t .2x 3 y 1400
x 6 y 2400
4x 2 y 2000
x 0, y 0, x, y Z
模型的求解：
用图解法 . 可行域为：由直线
l 1 : 2 x 3 y 1400
l
2: : x 6 y 2400
l 3 : 4 x 2 y 2000
及 x 0 , y 0
组成的凸五边形区域 .
直线 l : 4x 5y C 在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过 l 1与 l 3的交点时，S取
最
大值 . 由2 x 3y 1400
解得： x 400, y 200 4 x 2 y 2000
S
max 4 400 5 200 2600 （千元）.
故安排生产甲产品400 件、乙产品 200 件,可使利润最大 ,其最大利润为 2600 千元 .
7. 深水中的波速v 与波长、水深 d 、水的密度和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速 v 的表达式.
解：设 v ,
, d , ，
的关系为 f (v, , d , , g) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=LM 0T 0，
g
[ d ]=LM 0T 0 ， [ ]=L -3 MT 0 ， [
g ]=LM 0T -2 , 其 中 L ， M ， T
是 基 本 量 纲 .
---------4 分
量纲矩阵为
1 1 1 3
1 ( L)
A=
0 0 0 1 0 (M )
1
0 0
2
(T)
(v) ( ) ( d ) ( ) (g)
齐次线性方程组
Ay=0 ，即
y 1 y 2
y 3
3y 4 y 5 0
y 4
- y 1
- 2y 5 0
的基本解为 y 1 = (1,
1
,0,0, 1
), y 2 = (0, 1,1,0,0)
2 2
1
1
由量纲 P i 定理 得
v 2 g
2
1
1
d
2
∴ v
g
1
,
1
( 2 ) ,
2
d
v
g ( d
) ，其中
是未定函数 .
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模A试卷参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系： θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记H为脚A,C与地面距离之和， G为脚B,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?) 令X f(θ)=H(θ)-G(θ)图二 则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0 将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0) 从而f(π/2)=-H(0)<0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0 (二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和， G为脚C,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角 将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标
* 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。 论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 , 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了
数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是
一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；
。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由
(2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?
2004数学建模试题及答案 1．设某产品的供给函数)(p ?与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(, 43)(+-=+=kp p f p p ? 其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-? 9431+-=+-n n kp p 即： k p k p n n 5 31+- =-经递推有： k k p k k k k p k p n n n n n n 5 )3 ()3 (5)53(31 1 02?-+ ?-=++-?-=-=-∑ p 表示初始时的市场价格:∞→ 时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13 n p k 即k <<<-。某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手) 由遗传学原理有： ??? ? ? ???? ++?=?++=?+?+?=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 设向量T n n n n c b a x )..(= 1-?=n n X M x 式中 ???????? ????????=12100211000M 递推可得：0X M X n n ?= 对M 矩阵进行相似对角化后可得： ???? ? ??? ??=Λ100 021 000 其相似对角阵
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇） 课后练习答案 第5章SPSS的参数检验 1、某公司经理宣称他的雇员英语水平很高，如果按照英语六级考试的话，一般平均得分为75分。现从雇员中随机选出11人参加考试，得分如下： 80, 81, 72, 60, 78, 65, 56, 79, 77,87, 76 请问该经理的宣称是否可信。 原假设：样本均值等于总体均值即u=u0=75 步骤：生成spss数据→分析→比较均值→单样本t检验→相关设置→输出结果（Analyze->compare means->one-samples T test；） 采用单样本T检验（原假设H0:u=u0=75,总体均值与检验值之间不存在显著差异）； 分析：指定检验值:在test后的框中输入检验值（填75），最后ok!
分析：N=11人的平均值（mean）为73.7，标准差（std.deviation）为9.55,均值标准误差(std error mean)为2.87.t统计量观测值为-4.22，t统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668，六七列是总体均值与原假设值差的95%的置信区间,为(-7.68,5.14),由此采用双尾检验比较a和p。T统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668＞a=0.05所以不能拒绝原假设；且总 体均值的95%的置信区间为(67.31,80.14),所以均值在67.31~80.14内,75包括在置信区间内,所以经理的话是可信的。 2、在某年级随机抽取35名大学生，调查他们每周的上网时间情况，得到的 数据如下（单位：小时）： （1）请利用SPSS对上表数据进行描述统计，并绘制相关的图形。 （2）基于上表数据，请利用SPSS给出大学生每周上网时间平均值的９５％的置信区间。 （1）分析描述统计描述、频率 （2）分析比较均值单样本T检验
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角） 0（πθθ≤≤ 表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(==g f ，那么结论成立。
〈〈数学模型及数学软件》上机报告 专业：班级：姓名：学号： 地点及机位编号：日期时间：5月26日 一、上机训练题目或内容 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 二、数学模型或求解分析或算法描述 解：设： 报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。设每日的订购量为n,如 果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要 确定最优订购量n。 n的意义:n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方 面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。 本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。 基本假设 1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。 2、假设报纸每日的需求量是r,但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的 分布函数，只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。 3、假设每日的定购量是n。 4、报童的目的是尽可能的多赚钱。 建立模型 应该根据需求量r确定需求量n,而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为 自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n值，我们可以 从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。 由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。 1、赚钱。赚钱又可分为两种情况： ①r>n,则最终收益为(a-b)n (1) r
1 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白 菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。 问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出 。 所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远 近 采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。 问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。 问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省
精品文档 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 15分）（解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。：因此对这个问题我们假设 ）地面为连续曲面（1 ）长方形桌的四条腿长度相同（2 ）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（3 ）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。（4 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条 以长方桌的中件成立，那么答案是肯定的。方桌心为坐标原点作直
角坐标系如图所示，D、A、B,C处，的四条腿分别在A、B、C、D再假设有一条在轴平行，的初始位置在与x旋转时，平行。当方桌绕中心0B，C、DAab,x轴上的线则ab也与、。 ab与x轴的夹角记为对角线?腿到地面的距离是不确定容易看出，当四条腿尚未全部着地时，为、B的。为消除这一不确定性，令离地距离之和，A为??))(f(g精 品文档． 精品文档 C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），,???)(f(g)均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故?g（若也为0，,=0必成立（）。不妨设???)(0)f(f(0)?0gg(0)?(0)g?则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知,均为的连续函数，,且对任意有????0)g(0)?ff((0))?g(0，求证存在某一，使。?????0(?f()f(g)())?0g00000证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。作??0(?)?0)gf(，显然，也是的连续函数，而 ?????0?g(0))?g((0))?f(0)?h()?f(h)h(，，，由连续函数的取零值定理，存在???????0?0?))?g(h()?f(00使得，即。又由于，故必有?????0)f()?g(g)(?)fh()?0(00000，证毕。??0)?g(?f()002.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人，B宿舍的委员数为y人，C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。则