北师大九年级圆讲义教
师版带答案
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
圆
知识点一、圆的定义及有关概念
1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．
解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.
知识点二、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r 时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r 时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r 时，点在圆内。
例如图，在Rt ABC
△中，直角边
3
AB=，4
BC=，点E，F分别是BC，AC 的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A 的_________．
解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部
练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(14)
--，．试判断点(31)
P-，与圆O的位置关系．
答案：点P在圆O上．
知识点三、圆的基本性质
1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。
例1如图，在半径为5cm的⊙O中，
圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长是（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm 解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R ，弦长为a ，圆心到此弦的距离为d ，?根据
垂径定理，有R2=d2+（2
a
）2，所以三个量知
道两个，就可求出第三个．答案C
例2、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是( )
A 、60°
B 、45°
C 、30°
D 、15° 解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A
例3、如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD?相交于MN?上的一点P ，?∠APM=∠CPM ．
（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(1) (2) 解题思路：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD
理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F
∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF
连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F
∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD 易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，
Rt △OAE ≌Rt △OCF
∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD
例
4．如图，AB 是⊙O
的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
解题思路：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，?只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24－30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC
又∵AC=AB ∴BD=CD 知识点四、圆与三角形的关系
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
B A C
3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B 、C?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．解题思路：连结AB 、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．
例2 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，
则∠BOC=（）
A．130° B．100° C．50° D．65°
解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A 例3如图，Rt△ABC，∠C=90°，
AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点
C的距离为（）．
A．5 cm B． C．3cm D．4cm
解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d ＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d ＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d ＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹
角。
例1、在
中，BC=6cm，
∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？
解题思路：作AD⊥BC于D
在中，∠B=30°?? ∴
在中，∠C=45°
∴ CD=AD??
∵ BC=6cm?? ∴
B
A C
D
O
∴
∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当
时，⊙A 与BC 相交；当时，⊙A 与BC 相离。
例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部 内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交：两圆只有两个公共点。 设两圆的半径分别为r 1、r 2，圆心距（两圆圆心的距离）为d ，则有两圆的位置关系，d 与r 1和r 2之间的关系．
外离?d>r 1+r 2
外切?d=r 1+r 2
相交?│r 1－r 2│ 内含?0≤d<│r 1－r 2│（其中d=0，两圆同心） 例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O ，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP 、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小． （1） (2) 解题思路：要求∠TPN，其实就是求 ∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示． 解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60° 又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO=90°，∠NPO′=90° ∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120° 例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？ (1) (2) (2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径． 解题思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距 d=r O+r A；（?2）?作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=r A－r O．解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，r A=15－7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm （2）作法：以A点为圆心，r A′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm 例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上． （1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系； （2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标． （1）AB=5>1+3，外离． （2）设B（x，0）x≠－2，则 ⊙B半径为│x+2│， ①设⊙B与⊙A 外切，则 ， 当x>－2 ，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0）， 当x<－2 －x－1，化简得 x=4>－2（舍）， ②设⊙B与⊙A －1， 当x>－2 ，得x=4>－2，∴B（4，0）， 当x<－2 －x－3，得x=0，知识点七、正多边形和圆 重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系．难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 正多边形的中心：所有对称轴的交点； 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应 例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?求正六边形的周长和面积． 解题思路：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在 Rt△AOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边 形，所以它的中心角等于360 6 ? =60°，?△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a， AM=1 2 AB= 1 2 a 利用勾股定理，可得边心距 22 1 () 2 a a -= 1 2 3 ∴所求正六边形的面积 =6×1 2 ×AB×OM=6× 1 2 ×a× 3 a= 3 2 3a2 例2．在直径为AB的半圆内，划出一块 三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC的边AB上的高h． （2）设DN=x，且 h DN NF h AB - =，当x 取何值时，水池DEFN的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树． 解题思路：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?应用圆的对称性就能圆满解决此题． 解：（1）由AB·CG=AC·BC得 h= 86 10 AC BC AB ? == （2）∵h= h DN NF h AB - =且DN=x ∴NF= 10(4.8) 4.8 x - 则S四边形DEFN=x· 10 4.8 （－x）=－ 25 12 x2+10x=－ 25 12 （x2－ 120 25 x） =－ 25 12 [（x－ 60 25 ）2－ 3600 625 ]=－ 25 x （x －）2+12 D E B O M ∵－ 25x （x －）2≤0 ∴－25 x （x －）2 +12≤12 且当x=时，取等号 ∴当x=时，S DEFN 最大． （3）当S DEFN 最大时，x=，此时，F 为 BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=，BF=3． ∴22223 2.4DE EF -- ∵BM=，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=时，DE=5 ∴AD=， 由圆的对称性知满足条件的另一设计 方案，如图所示: 此时，?AC=6，BC=8，AD=，BE=， 这样设计既满足条件，又避开大树． 知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积 重点：n°的圆心角所对的弧长L=180n R π， 扇形面积S 扇=2 360 n R π、圆锥侧面积面积及其它 们的应用． 难点：公式的应用． 1．n°的圆心角所对的弧长L= 180 n R π 2．圆心角为n°的扇形面积是S 扇形 =2 360 n R π 3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=πrL+r2． 例1．操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ． 解题思路：如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD?分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点M 与点A （点B ）重合时，点N 必与点D （点A ）重合，此时AM+AN 仍为定值a ．故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ． 例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 解题思路：（1）由S 扇形=2 360 n R π求出R ， 再代入L= 180 n R π求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形． 解：（1）如图所示： ∵300π=2 120360 R π ∴R=30 ∴弧长L= 12030 180 π??=20π（cm ） （2）如图所示： ∵20π=20πr ∴r=10，R=30 AD=900100 -=202 ∴S轴截面=1 2 ×BC×AD =1 2 ×2×10×202=2002（cm2） 因此，扇形的弧长是20πcm卷成圆锥的轴截面是2002cm2． 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算 例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交?BC于D． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径． 解题思路：运用圆的垂径定理等内容 解：(1)不同类型的正确结论有： ①BE=CE;②弧BD=弧CD ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD， ⑥AC⊥BC; ⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC; (2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE=1 2 BC=4． 设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5．∴⊙O的半径为5例2.已知：如图等边ABC △内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD AP =，连结CD． （1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②， PDC △又是什么三角形？为什么？ 解题思路：（1）PDC △为等边三角形． 理由：ABC ∵△为等边三角形 AC BC =∴， 又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠ 又AP BD =∵ APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=° 1 302 BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=° 303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形． （2）PDC △仍为等边三角形 理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴ 60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠ 又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形． 例3.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE (2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗?为什么? 解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力． 解答：(1)证明：连结OD 则OD ⊥CD ，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt △AOE 中，∠AEO+∠A=90° 在⊙O 中，OA=OD ∴∠A=∠ODA ， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED ，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD 仍然成立． ∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动 ∴CF ⊥AO 于F ， 在Rt △AFE 中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD ，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE ∴CD=CE A O C P B 图① A O C D P B 第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值. “圆的面积”教学设计 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级上册第69～71例1、例2。 【教学目标】 1．学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式。 2．能够利用公式进行简单的面积计算。 3．渗透转化思想，初步了解极限思想，培养学生的观察能力和动手操作能力。【教、学具准备】 1．CAI课件； 2．把圆8等分、16等分和32等分的硬纸板若干个； 3．剪刀若干把。 【教学过程】 一、尝试转化，推导公式 1．确定“转化”的策略。 师：同学们，你们想一想，当我们还不会计算平行四边形的面积的时候，是利用什么方法推导出了平行四边形的面积计算公式呢？ 预设： 引导学生明确：我们是用“割补法”将平行四边形转化成长方形的方法推导出了平行四边形的面积计算公式。 师：同学们再想想，我们又是怎样推导出三角形的面积计算公式的呢？ 师：对了，我们将平行四边形、三角形“转化”成其它图形的方法来推导出它们的面积计算公式。 2．尝试“转化”。 师：那么，怎样才能把圆形转化为我们已学过的其它图形呢？（板书课题：圆的面积） 请大家看屏幕（利用课件演示），老师先给大家一点提示。 师：（教师配合课件演示作适当说明）如果我们把一个圆形平均分成16份（如图三），其中的每一份（如图四，课件闪烁其中1份）都是这个样子的。同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？ 师：是的，其中的每一份都是一个近似三角形。请同学们再想一想，这个近似三角 形这一条边（教师指示）跟圆形有什么关系呢？ 预设： 引导学生观察，明确这个近似三角形的两条边其实都是圆的半径。 师：如果我们用这些近似三角形重新拼组，就可以将这个圆形“转化”成其它图形了。同学们，老师为你们每个小组都准备了一个已经等分好了的圆形，请你们动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其它图形，开始吧！ 预设： 学生利用这种近似三角形拼组图形会有一定的难度，教师要加强巡视和有针对性的指导，既鼓励学生拼出自己想象中的图形，又要引导他们拼出最简单、最容易计算面积的图形。一般情况下，学生会拼出如下几种图形（如图五、图六、图七）。 3．探究联系。 师：同学们，“转化”完了吗？好，请大家来展示一下你们“转化”后的图形。 预设： 分组逐个展示，并将其中“转化”成长方形的一组的作品贴在黑板上。如果有小组转化成了不规则的图形，教师应及时引导他们转化为我们已学过的平面图形。 师：好，各个小组都不错。现在请同学们思考一个问题：你们把一个圆形“转化”成了现在的图形之后，它们的面积有没有改变？请小组内讨论。 师：谁来告诉大家，它们的面积有没有改变？ 师：是的，没有改变，就是说：这个近似的长方形的面积＝圆的面积。 师：虽然我们现在拼成的是一个近似的长方形，但是如果把圆等分成32份、64份、128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，拼成的图形就变为真正的长方形（课件演示，如图八）。 4．推导公式。 师：现在我们就来看这个长方形。同学们，如果圆的半径为r，你们知道这个长方形的长和宽分别是多少吗？现在请小组为单位进行讨论讨论。 师：好，同学们，谁能首先告诉老师，这个长方形的宽是多少？ 预设： 根据学生的回答，教师演示课件，同时闪烁圆的半径和长方形的宽，并标示字母r，如图九。 、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆 车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距 2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、 如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、 讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边 A B C 圆的认识（一）教学设计 教学内容: 北师大版小学数学六年级上册教材第2页——第4页 教材分析: 学生已经认识了长方形，正方形，平行四边形，三角形，梯形等平面图形。圆与这些图形属于两类不同性质的图形。虽然圆对于六年级学生来说是司空见惯的，但是他们仅仅感知了圆这个图形的形状特征，并不认识圆内在的本质结构特征。为了帮助学生认识圆，教科书设计了由具体到抽象的几个层层递进的认识活动。首先围绕套圈游戏公平性问题的探究产生圆，体会圆的优越性及其特征；在此基础上探究如何画圆既不认识圆的特征，在画圆的基础上，明晰组成圆的要素。体会圆心和半径的作用；然后结合“车轮为什么是圆的”这个问题进一步认识圆区别于其他图形的本质特征。 学习目标: 1.结合生活实际和丰富多彩的活动,在观察和操作中体会圆的结构特征。 2.在画圆的过程中理解同圆中半径、直径以及直径和半径之间的关系。体会圆心和半径的作用，会用圆规画圆。 3.能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受到数学与生活是密切相关的。教学课时:1 教学重点: 体会圆的结构特征 教学难点: 体会圆心和半径的作用，正确使用圆规画圆 教具准备:相关的课件、圆规、硬纸卡、 教学方法:操作法、讨论法等 教学过程: 一、谈话导入 同学们，数学在我们的生活中有广泛的应用，我们的衣食住行处处离不开数学，你看，就连图中小朋友们的游戏方式中也藏着数学知识呢！ 二、探究新知 1.课件出示教材中的情境图，请大家看这三幅图说说小朋友们在做什么？ 2.小组讨论交流:想一想在套圈游戏中，哪种方式更公平，为什么？ 3.全班交流:哪种方式更公平，为什么？ 引导学生认识到站成圆形的方式公平的原因是：小旗的位罝固定不变，每个同学到小旗的距离相等。 4.课件演示:用无数个点来代表参加游戏的无数个同学，我们眼前就出现了一个 2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 正切．． 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦，即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。用字母i 表示，即A l h i tan == （第二天）第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d 北师大版六年级上册数学圆练习题 一、填空题。 1、把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于（），长方形的宽就是圆的（）。因为长方形的面积是（），所以圆的面积是（）。 2、圆的直径是6厘米，它的周长是（），面积是（）。 3、圆的周长是25.12分米，它的面积是（）。 4、甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（），甲圆面积是乙圆面积的（）。 5、一个圆的半径是8厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。 6、周长相等的长方形、正方形、圆，（）面积最大。 7、圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了（）平方厘米。 8、要在一个边长为10厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是（）。 9、要在底面半径是12厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍，接头部分是8厘米，需用铁丝（）厘米。 10、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是7厘米，画出的这个圆的周长是（）厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。 11、圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积就扩大（）。 12、用长12.56厘米的铁丝分别围成一个正方形、圆、长方形，（）的面积最大。 13、一个半圆的直径是8厘米，这个半圆的面积是（）平方厘米。 14、一个正方形的边长是6厘米，在这个正方形里面画一个最大的圆，圆的面积是（）平方厘米。 15、一根铁丝可围成边长是3.14厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆，圆的半径是（）厘米，面积是（）平方厘米。 16、两个半径不同的同心圆，内半径是3厘米，外直径是8厘米，圆环的面积是（）平方厘米。 。））2CM，它的周长是（ CM，面积是（、一个圆的半径是17 ）。 518、用米长2CM 的绳子将一只羊拴在一根木桩上，这只羊的最大活动面积是（ 3 / 1 二、解决问题。 1、把一只羊用3米长的绳子拴在一根木桩上，这只羊能吃到草的最大面积是多少米? 圆 一、圆周角定理及其推论 1、 (2016兰州)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵ 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝( )。 A . 40° B . 45° C . 50° D . 60° 2、(2016济宁)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )。 A. 40° B . 30° C . 20° D . 15° 3、(2016永州)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连接AC ，则∠BAC ＝ 度。 （1） (2) (3) (4) 4、(2016青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°。 二、垂径定理及其推论 5、 (2016黄石)如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON ＝( )。 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6、(2016眉山)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC 等于( )。 A. 64° B. 58° C. 72° D. 55° 7、(2016安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，CD ＝6，则BE ＝ 。 (5) (6) (7) 三、与圆有关的位置关系 8、 (2016湘西)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2.5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( )。 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 9、(2016上海)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝7，点D 在边BC 上，CD ＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是( )。 A. 1＜r ＜4 B. 2＜r ＜4 C. 1＜r ＜8 D. 2＜r ＜8 圆的基础知识复习（总结） 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２r r ＝d 用文字表示为：半径=直径÷2直径=半径×2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：C=∏d 或C=2∏r 圆周长=∏×直径圆周长=∏×半径×2 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= r×r。圆的面积公式：Ｓ＝ｒ2，由于割拼成的长方形的长是近似于圆的周长的一半，所以圆的面积公式还要乘以一个常数∏：即S= 。 14．圆的面积公式：Ｓ＝ｒ2 或者S=（d2）2或者S=（C 2）2 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是S=R2－ｒ2 或S=（R 2－ｒ2）。 （其中R＝r＋环的宽度．） 19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 20．半圆面积＝圆的面积∏2 公式为：Ｓ= 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。 22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。 例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是４：９。 圆周长和直径的比是：1，比值是 圆周长和半径的比是2：1，比值是2 23．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２ａ厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加ａ厘米。 24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几． 25．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小 26．扇形弧长公式：扇形的面积公式：S=n∏r2/360（n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径） 《圆》教案 学习目标 1．知识技能：理解圆及相关概念，理解点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 2．过程与方法：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程． 3．情感态度：在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识．初步培养学生以定义为依据分析问题解决问题的良好习惯． 教学重点 1．圆的相关概念； 2．点与圆的位置关系． 教学难点 1．概念的融会贯通； 2．在具体问题中的点与圆的位置关系． 教学过程 一、情境导入： 用准备好的一根线可以围成怎样的图形？学生活动，用课件演示圆的形成过程． 设计意图：通过实际活动激发学生的学习兴趣，学生可以围成三角形，平行四边形，圆形等，引入圆． 二、温故知新： 复习回顾 1．举例说出生活中的圆． 2．结合圆的定义了解圆心和半径． 3．圆的周长公式圆的面积公式S= 三、交流展示： 阅读课本P65—P66找到相关概念． 1．圆的定义： 以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”． 决定圆的位置，决定圆的大小． 2．弦：连接圆上任意两点的叫做弦． 直径：经过圆心的叫做直径． 是圆中最长的弦． 3．弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆． 优弧：半圆的弧叫做优弧．用个点表示，如图中叫做优弧． 劣弧：半圆的弧叫做劣弧．用个点表示，如图中叫做劣弧． 4．等圆：能够的两个圆叫做等圆． 等弧：在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧． 四、提炼新知 点与圆的位置关系． 圆O的半径为r，点到圆心的距离为d． （1）点在圆内，即d 北师大版九年级下册数学期末试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30° 2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D． 4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（） A．B．C．D． 5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（） A．x 1=﹣3，x 2 =﹣1 B．x 1 =1，x 2 =3 C．x 1 =﹣1，x 2 =3 D．x 1 =﹣3，x 2 =1 7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（ ） A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 9．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（ ） A ．12 B ．15 C ．16 D ．18 10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是 ． 12．在将Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C ：∠B=1：2，则sinB= ． 13．已知cos α=，则 的值等于 ． 14．已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ． 15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+ 的值为 ． 16．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线 上，点N 在直线y=﹣x+3上， 设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为 ． 17．若⊙O 的直径为2，OP=2，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ． 北师大版六年级数学上册第一单元测试卷 一、填空。（19分） 1、画圆时，圆规两脚之间的距离为4厘米，那么这个圆的直径是（）厘米，周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。 2．在等圆中，所有的直径都( )，所有的半径都( )，直径是半径的( )。 3．圆的直径扩大3倍，它的周长就扩大( )倍，它的面积就扩大( )倍。 4．长方形有( )条对称轴。正方形有( )条对称轴，等腰三角形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 5．在一个边长为4分米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径为( )分米，半径为( )分米，周长为( )分米，面积为( )平方分米。 6．把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于长方形。长方形的长相当于圆的（），宽相当于圆的（）。 7．一个半圆形的花坛周长是30.84米，这个半圆形花坛的面积是( )。 二、判断。（6分） 1．一个圆的周长是它半径的2π倍。 ( ) 2．一个圆的直径，就是这个圆的对称轴。 ( ) 3．半圆的周长是与它等半径圆周长的一半。 ( ) 4．通过圆心的线段，叫做直径。 ( ) 5．半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。( ) 6．一个圆的直径等于一个正方形的边长，那么正方形面积小于圆的面积。( ) 三、选择。（7分） 1．一个圆的半径乘以π等于这个圆 ( )。 (1)周长的一半 (3)半圆的周长 2．在一个长6厘米，宽4厘米的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是________平方厘米( ) (1)28.26 (2)19.625 (3)12.56 3．一个圆的半径1分米，它的半圆周长是________分米。 ( ) (1)3.14 (2)4.14 (3)5.14 4．一个圆的直径扩大6倍，它的面积就 ( ) (1)扩大6倍 (2)扩大36倍 (3)扩大12倍 5．下面三幅图的阴影部分的面积相比较，________的面积大。 ( ) (1)图(1)大 (2)图(2)大 (3)图(3)大 (4)同样大 6．如图，已知正方形面积是16平方分米，图中圆的面积是________平方分米。 ( ) (1)12.56 (2)6.28 (3)15.7 课时教学设计首页 授课时间2016年月日 授课时间2016年月日 教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧 形）队形比较公平？ 二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能 根据自己的理解试着给圆下个 定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中， 并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成 圆形（或圆弧形）队形比较公平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 引导学生发现：每一人 到玩具的距离相等时才 公平.为抽象出“平面上 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫 做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线 段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记 作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； 授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素： 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径： 弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧： 优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能 在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的 距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位 置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内 统一意见?各组派代表表述本组讨论 结果? 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交 流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答： 这点可能在圆外、在圆上、或在圆 内。 学生口答并完成课文66页想一想。 点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理 主要环节的效果学 生发言踊跃，思维得到 了有效的激发，多数学 生能抓住到定点的距离 相等的条件，只是表达 还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲 解生回答教师引导 通过此问题的探究，使 学生理解点与圆的位置 关系，并体会定性分析 与定量分析的关系? 2.3确定二次函数的表达式(1) 一、选择题： 1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( ) A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3 C．y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3 2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( ) A．x=3 B．x=－3 C．x=3 2 D．x=－ 3 2 3．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（） A．y 最大=-4 B．y 最小 =-4 C．y 最大 =-3 D．y 最小 =3 4．（2014?舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A ﹣2 B 或 C 2或 D 2或﹣或 5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图2 - 78所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 二、填空题： 6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，?则此时抛物线的解析式是________． 7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你 写出一个满足条件的二次函数的表达式________． 8．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．9.如图2 - 79所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示) 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为． 三、解答题： 10．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题． (1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大? (3)当x取何值时，y的值大于0? 11．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，?其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； （3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0． 六年级数学上册第一单元练习 一、填空题 1.圆的周长总是它的直径的，它是一个固定的值用字母表示。同一个圆中直径是半径的，半径是直径的 。一个圆的半径是3厘米，直径是厘米，周长是厘米，面积是平方厘米。 2.将一个圆沿半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是圆的，宽是圆的。如果这个长方形的宽是2厘米，那么这个长方形的长是厘米，周长是厘米，面积是平方厘米。如果拼成的长方形的 长9.42分米，那么原来圆的面积是平方分米。 3.甲圆的半径是3厘米，乙圆的直径是9厘米，那么，甲、乙两圆直径的比是，周长的比是，面积的比是。 4.一个圆的周长为9.42厘米，这个圆的半径是厘米，直径是厘米，面积是平方厘米。 5.做半径为1.5分米的铁环，20米长的铁丝够做个。 6.如右图所示，已知正方形的面积是8平方分米， 那么这个圆的面积是（）平方分米。 7.如图所示，小圆的面积是大圆面积的。 8.把一个圆剪拼成一个和它面积相等的长方形，周长增加了6厘米，原来这个圆的面积是（）平方厘米。9.圆周率是表示圆的（）和（）的关系，用字母（） 表示。 10.一个圆的周长是25.12米，它的直径是（）米，面积是（）平方米。 11.一座古钟的分针长15厘米，经过 2小时扫过的面积是（）平方厘米。 12.一张正方形纸的周长是16分米，把它剪成一个最大的圆，剪去部分的面积是（）平方厘米。 13.已知半圆的直径是2厘米，它的周长是（）厘米 ，面积是（）平方厘米。 14.一个圆的直径由5厘米增加到10厘米，周长增加（）厘米，面积增加（）平方厘米。 15.在面积是50平方分米的正方形内做一个最大的圆，那么，这个圆的面积是（）平方厘米。 16.在一个半径3厘米的圆中画一个最大的正方形，正方形的面积是（）。 17.用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。 18.圆的周长是这个圆的直径的（）倍，是半径的（）倍。 19.如果圆的半径扩大2倍，那么圆的直径扩大（）倍，那么圆的周长扩大（）倍，圆的面积扩大（）倍。 20.半圆的周长=（） 21.圆周率π表示的是（）和（）之间的倍数关系。 圆北师大版九年级下册 知识点及题库 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 圆 圆一章中在近年的考试中有所弱化，从分值上由原来的20分降到10分左右；从难度上看，只需垂径定理、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质的简单运用。所以，教师复习时，要在难易方面有所体现。 一、知识系统图 二、考点分析 1 圆、圆与圆的位置关系。 2、探索圆的性质：垂径定理，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距间的关系定理，直径与圆周角的性质。 3、探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线。 4、了解三角形的内心、外心。 5、a、h、r、d中，知二求二 6、会计算弧长及扇形的面积，阴影图形面积，圆锥的侧面积和全面积。 三、技能和方法 1、能正确利用用辅助线解决圆的证明和计算（已知r，作弦；与弦有关作弦心距；与切线有关作半经） 2、能用比较、分析、综合、数形结合、化归、建模等数学思想方法解答比较简单的综合性、实际性问题。 3、充分感受数学与现实生活的紧密联系。 四、例题解析 1.己知：⊙Ｏ１和⊙Ｏ２直径分别是１０和8，Ｏ１Ｏ２＝７，则两圆的位置关系是： ； 2.己知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２内切，且⊙Ｏ１的半经为6 cm ，两圆的圆心距为3 cm ，那么⊙Ｏ２的半径长为： ； 3.己知：直角三角形的两直角边分别为3和4cm ，求以一条直角边为轴 旋转所得图形的表面积。 4．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB 于点C ，OA = 5，AB = 8，求OC 的长。 5．如图，AB 是的直径，BD 是的弦，延长BD 到C ，使CA = AB 。BD 与CD 的大小有什么关系为什么 五、练习拓展 3．1 车轮为什么做成圆形 1.⊙O 外一点P 和⊙O 上一点的距离最小3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________． 2.⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为O （0，0），点A 的坐标为A 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 内 B.点A 在⊙O 上 C.点A 在⊙O 外 D.点A 在⊙O 3.如图，一根绳子长4 m ，一端拴着一只羊，另一端拴在 墙BC 边A 处的柱子上，请画出羊的活动区域． 4.如图，已知在同心圆O 中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D BOD ． 3．2 圆的对称性（一） 1.若⊙O 的直径为10厘米，弦AB 的弦心距为3厘米，则弦AB 2.已知⊙O 的半径为8cm ，OP =5cm ，则在过点P 最长的弦长为___________ 3.已知⊙O 的半径为5cm ，则垂直平分半径的弦长为__________． 4.已知圆的两弦AB 、CD 的长分别是18和24，且AB ∥CD 圆的半径长是（ ） 或15 5.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分）， 水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度CD ． 3．2 圆的对称性（二） 1.在⊙O 中，60°的圆心角所对的弦长为5cm ，则这个圆的半径为2.若⊙O 的弦AB 的长为8cm ，O 到AB 的距离为，弦AB __________． 3.下列结论中正确的是（ ）A.长度相等的两条弧相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.圆是轴对称图形 D.平分弦的直径垂直于弦 4.如图，三点A 、B 、C 在⊙O 上．（1）已知：∠ABC =∠ACB ， 求证：AB=AC ； （2）已知：AB=AC ，求证：∠ABC =∠ACB 3．3 圆周角和圆心角的关系（一） 1.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上． 最新北师大版小学六年级数学上册第一章《圆》测试卷及答案 班级：_______姓名：_________等级：__________ 一．选择题 1．.数学课上，同学们把一个圆形纸片沿它的半径平均分成若干份以后剪开，用它们拼成一个面积不变的近似的长方形．这个长方形的周长是16.56厘米，这个圆形纸片的面积是( )平方厘米． A ．12.56 B ．16.56 C ．8.28 【解答】解：圆的半径是： 16.56(2 3.142)÷+? 16.56(2 6.28)=÷+ 16.568.28=÷ 2=（厘米） 圆的面积是： 23.142? 3.144=? 12.56=（平方厘米） 答：这个圆形纸片的面积是12.56平方厘米． 故选：A ． 2.一个圆的半径由4厘米增加到9厘米，面积增加了( )平方厘米． A ．25π B ．16π C ．65π D ．169π 【解答】解：9944ππ??-? 8116ππ=- 65π=（平方厘米） 答：面积增加了65π平方厘米． 故选：C ． 3.从直径4分米的圆形钢板上挖去一个直径2分米的圆，求剩余部分的面积．下面列式正确的是( ) A ．22(42)2ππ÷- B ．22[(42)(22)]π÷-÷ C ．22(42)π÷ D ．22[(42)(22)]π÷+÷ 【解答】解：422÷=（分米） 221÷=（分米） 2221ππ?-? 22(21)π=?- (41)π=?- 3π=（平方分米） 答：剩下部分的面积是3π平方分米． 即列式正确的是22[(42)(22)]π÷-÷． 故选：B ． 4.世界上第一个把圆周率的值精确到六位小数的数学家是( ) A ．刘徽 B ．祖冲之 C ．欧几里德 【解答】解：世界上第一个把圆周率的值精确到六位小数的数学家是祖冲之． 故选：B ． 5.在边长2a 的正方形里面画一个最大的圆，则正方形的面积与圆的面积之比是( ) A ．2:1 B ．4:1 C ．4:π D ．:4π 【解答】解：222(2):[( )]2a a π? 224:a a π= 4:π=， 答：正方形的面积与圆的面积的比是4:π． 故选：C ． 二．填空题 6.要剪一个周长是12.56厘米的圆形纸片，它的半径是 厘米，这个圆形纸片的面积是 平方厘米． 【解答】解：12.56 3.1422÷÷=（厘米） 23.142? 3.144=? 12.56=（平方厘米）最新北师大版九年级数学下册全套教案
新北师大版小学数学六年级上册《一 圆：圆的面积(二)》 优质课获奖教案_0
九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版
2020新版北师大版数学九年级下册教案(全)
北师大版小学数学六年级上册《圆的认识(一)教学设计》li
北师大版数学九年级下册：圆 知识点总结
北师大版六年级上册数学圆练习题
新北师大版九年级下册圆专题专项练习
北师大版小学六年级圆知识点归纳(含用圆的知识求阴影部分的面积)
北师大版九年级数学下册 圆教案
北师大版九年级下册数学期末试卷
新北师大版六年级上册第一单元圆测试卷及答案
新北师大版九年级数学下册圆的教学设计
数学北师大版九年级下册练习题
北师大版六年级数学圆专项练习
圆北师大版九年级下册知识点及题库
最新北师大版小学六年级数学上册第一章《圆》测试卷及答案
相关主题
文本预览