一次函数面积问题和点的存在性问题
1、若一次函数y=k1x-4 与正比例函数y=k2x 的图像都经过点P（2，-1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数的图像与x轴所围成的三角形的面积.
2、如图，已知A（8,0）、B（0,6）、C（0，-2），连接AB，过点C的直线l与A B 相交于点P.
（1）如图，当P B=PC 时，求点P的坐标.
（2）如图，如果直线l交x轴于点E，且O C：OE=5:4，连结A C，求点E的坐标及△P AC 的面积.
3、已知点P（x，y）是第一象限的点，且x+y=8，点A的坐标为（10,0），设△OAP 的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值围.
（2）若△OAP 的面积为10，是否存在点Q（3，a），使得△PQA 的面积也等于10. 若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
4、如
图，
在平面直角坐标系中，
点
A 、
B
的坐标分别
为
（-3,
（0,3）.
（1）某一次函数图像与 x 、y 轴的交点分别为 P 、Q ，P 、Q 在直线 A B 的同侧，且 Q 点的纵坐标大于 3，若△P AB 与△QAB 的面积都等于 3，求这个一次函数的解析式. （2）在坐标轴上是否存在点 M ，使△MPQ 为等腰三角形，若存在，请求出点 M 的坐标（直接写出）；若不存在， 说明理由. 5、如图 12，直线 y =kx-1 与 x 轴、y 轴分别交与 B 、C 两点，OB ：OC=1
2
（1） 求 B 点的坐标和 k 的值； （2） 若点 A （x ，y ）是第一象限的直线 y =kx-1 上的一个动点.当点 A 运动过程中，试写出△AOB 的面积 S 与 x 的函数关系式； （3） 探索：
①当点 A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是
1
4
; ② 在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点 P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有 P 点的 坐标；若不存在，请说明理由.
6、已知长方形 A BCO ，O 为坐标原点，B 为坐标为（8,6），A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段 B C 上的动点，设 PC=m ，已知点 D 在第一象限且是直线 y =2x+6 上的一点，若△APD 是等腰直角三角形. （1）求点 D 的坐标. （2）直线 y =2x+6 向右平移 6 个单位后，在该直线上，是否存在点 D ，使△APD 是等腰直角三角形？若存在， 请写出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.
7、在平面直角坐标系中，取点 P （-1，1），Q （2,3）. 在 x 轴上有一点 R ，若使得 P R+QR 最小，求 R 点的坐标.
变式练习： ①在平面直角
坐标系中，取点 P （-1
，Q （2,3）. 在 y 轴上有一点 S ，若使得|PS-QS|的值最大，求 S 点的坐标.
②在平面直角坐标系中，有四个点 A （-8,3），B （-4,5），C （0，n ），D （m ，0），当四边形 ABCD 的周长最短时， 求 m n 的值.
8、如图，在平面直角坐标系中，在矩形 A BCO 的边长 A B=8，BC=6，点 E 为 B C 的中点. （1）在 x 轴上是否存在点 P ，使得 P A+PE 最小？求出点 P 的坐标； （2）线段 M N=2，且点 M 、N 在线段 O C 上（M 在 N 的左边），当四边形 AMNE 的周长最短时，求 M 、N 的坐标.
9、如图，点 A 为（2,0），点 B 在直线 y =x 上，且横坐标为 x ，过点 B 作 x 轴的垂线交直线 y
x 与点 C . 设△ ABC 的面积为 S . （1）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值围； （2）设点 P 为 y =x 上的一点，点 Q 为直线 y
=
x 上的点，连接 A P 、PQ ，求 A P+PQ 的最小值，并求出此时 P 和 Q 点的坐标.
10.如图，在平面直角坐标系中，函数 y =2x+12 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A 、B 两点，过点 A 的直线交 y 轴正半 轴于点 M ，且点 M 为线段 O B 的中点． （1）求直线 A M 的函数解析式． （2）试在直线 A M 上找一点 P ，使得 S △ABP =S △AOB ，请直接写出点 P 的坐标．
11.如图，一次函数y=ax－b 与正比例函数y=kx 的图象交于第三象限的点A，与y轴交于B（0，－4）且O A=AB，
△OAB 的面积为6.
（1）求两函数的解析式；
（2）若M（2，0），直线BM 与A O 交于P，求P点的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使S
=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理
△ABE
由。
北师大版八年级数学第四章一次函数压轴题专题训练
1、已知：一次函数的图象经过点（2，1）和点（－1，－3）．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此一次函数与x轴、y?轴的交点坐标以及该函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若一条直线与此一次函数图象相交于（－2，a）点，且与y轴交点的纵坐标是5，? 求这条直线的解析式；
（4）求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．
2、如图是表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿着相同路线由甲地到乙地行驶过程中行驶时间与行驶距离变化的情况，已知甲，乙两地之间的距离是60千米，?请你根据此图回答：（1）谁出发得较早？早多长时间？谁先到达？
（2）从自行车出发开始，几小时后两人在途中相遇？
（3）当摩托车出发后，在什么时间段，自行车在摩托车前？在什么时间段时，?自行车在摩托车后？
（4）设行驶时间为x （时），自行车与摩托车离开甲地的距离分别为y 1（千米），y 2（千米），分别写出x 与y 1，y 2之间的函数关系式．
3、如图，直线1l 的表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l 、2l 交于点C ．
（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC ?的面积；
4、如图，已知直线b kx y +=与n mx y +=交于点P （1，4），它们分别与x 轴交于A 、
B ，PA AB =，PB =
（1）求两个函数的解析式； （2）若BP 交y 轴于点C ，求四边形PCOA 的面积。
5、如图：正方形ABCD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 边落在x 轴的正半轴上，且A 点的坐标是（1，0）?
①、直线48
33
y x =-经过点C ，且与x 轴交与点E ，求四边形AECD 的面积； ②、若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式； ③、若直线1l 经过点F （0，5）且与直线3y x =平行，将②中直线l 沿着y 轴向上平移2个单位交x 轴于点P ，交直线1l 于点Q ，求PQF ?的面积。
6、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y=-
3
4
x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求OA ，OB 的长．
（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
7、已知，如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）．
（1）求直线l1，l2的表达式；
（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF（矩形是长方形）．
①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
②若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标．
l2
l1
y
x
B
A
O
8、如图直线L：y=
1
2
—x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿X轴向左移动.（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M移动的时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标.
9、如图，平面直角坐标系中，原点为O，点A、M的坐标分别为（0，8）、（3，4），AM
的延长线交x轴于点B．点P为线段AO上的一个动点，点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动，正方形PCEF边长为2（点C在y轴上，点E、F在y轴右侧）．设运动时间为t秒．（1）正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为（用含t
的式子表示），若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M，则时间t为秒．（2）若正方形PCEF始终在△AOB部运动，求t的围．
（3）在条件（2）下，设△PEM的面积为y，求y与t的函数表达式．
F
E D
C
l2
l1
y
x
B
A
O
10、如图，直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、
y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．
（1）求A B 、两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的
5
16
11、一次函数33+=x y 与坐标轴交于A 、C 两点，与过A 点的直线3+-=x y 与一次函数
2
1
21+=
x y 交于点B ，求ABC S ?
13、如图，直线1
12
y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
14、如图，已知直线m 的解析式为1
12
y x =-+，与x 轴、
y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP 的面
积与△ABC 的面积相等． （1）求△ABC 的面积； （2）求点P 的坐标．
15、如图，直线P A ：y =x +2与x 轴、y 轴分别交于A ，Q 两点，直线PB ：y =-2x +8
与x 轴交于点B ．
（1）求四边形PQOB 的面积．
（2）直线PA 上是否存在点M ，使得△PBM 的面积等于四边形PQOB 的面积？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
Q x
A
O
B
P
y
一次函数压轴题分类
题型一：求解析式
1.一次时装表演会预算中票价定位每100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；
⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少门票？需支付成本费用多少元？
（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）
题型二：函数直线与行程相结合
2.如图,lA 、lB 分别表示A 步行与B 骑车在同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系。
(1)B出发时与A相距___千米。
(2)走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是___小时。
(3)B出发后___小时与A相遇。
(4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式.(写出过程)
(5)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，___小时与A相遇，相遇点离B的出发点___千米。在图中表示出这个相遇点C.
3.在一条笔直的公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲，乙两人同时分别从A，B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村。设甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：
（1）A、C两村间的距离为km，a= ；
（2）求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）乙在行驶过程中，何时距甲10km？
4.在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地,乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,设甲、乙两人离B地的距离y（Km）与行驶时间x（h）之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出两地之间的距离为________Km;
(2)直接写出Y甲,Y乙与X之间的函数关系式(不写过程),求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间的距离不超过3Km时,能够用无线对讲机保持联系,求甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时X的取值围.
题型三：函数（两车或两人距离变化函数图）
5.一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，设先出发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像解决一下问题：
（2）求出点D的坐标并很据坐标解释图中点D的实际意义；
（3）求快车出发多长时间时，两车之间的距离为300km。
6.一列动车从开往,一列普通列车从开往,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究：
（1）两地相距___千米，两车出发后___小时相遇；
(2)普通列车到达终点共需___小时，普通列车的速度是___千米/小时。
(3)求动车的速度；
(4)普通列车行驶t小时后，动车到达终点，求此时普通列车还需行驶多少千米到达?
7.某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道做匀速直线运动的模型。甲、乙两车同时分别从，两处出发，沿轨道到达处，在上，甲的速度是乙的速度的倍，设（分）后甲、乙两遥控车与处的距离分别为，，则，与的函数关系如图，试根据图象解决下列问题。
（1）填空：乙的速度_____米/分。（2分）
（2）写出与的函数关系式。（3分）
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰。（4分）
题型四：与函数结合的动点问题
8.如图所示,A、M、N点坐标分别为,,,动点P从点A出发,沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动,且过点P的直线也随之移动,设移动时间为t秒.
(1)当时,求l的解析式;
(2)若点M,N分别位于l的异侧,试确定t的取值围.
（3）直接写出t为何值时，△PMN的周长最短。
9.如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B（2,0），C（0，-4）两点，
（1）求这条直线的表达式；
（2）若点A事第一象限这条直线上的一个动点，则当点Ａ运动到什么位置是，△AOB的面积是４？
（3）在(2)成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△APO是等腰三角形？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由。
一次函数综合题
1．（2018秋?历下区期中）如图，已知直线y=-3
4
x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再
将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．（1）点A的坐标为；点B的坐标为；
（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
（3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2018秋?长清区期中）已知，如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为（0，8），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（6，2）．
（1）直接写出直线l1的表达式，l2的表达式；
（2）点C为线段0B上一动点（点C不与点0，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，
①设点C的横坐标为3，则点D的坐标为；
②设点C的横坐标为m，则点D的坐标为；（用含m的代数式表示）．
③在②的条件下，若CD=2，则m的值为．
3．（2017秋?历下区期末）如图，直线AB与坐标轴交与点A（0，6），B（8，0），动点P沿路线O→B→A运动．
（1）求直线AB的表达式；
（2）当点P在OB上，使得AP平分∠OAB时，求此时点P的坐标；
（3）当点P在AB上，把线段AB分成1：3的两部分时，求此时点P的坐标．
4．（2018?历城区二模）已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C，点P（m，0）在x轴上运动．
（1）求直线l的解析式；
（2）过点P作l的平行线交直线y=x于点D，当m=3时，求△PCD的面积；
（3）是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2018秋?历下区期中）如图，直线y=kx+5经过点B（3，9）和A（-6，m）．
（1）求k，m的值；
（2）求△AOB的面积．
6．（2018秋?历城区期中）科技小组进行了机器人行走性能试验，如图1，甲，乙两机器人分别从M，N两点同时同向出发，经过7分钟，甲，乙同时到达P点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，图2是甲，乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图形，回答下列问题：
（1）M，N两点之间的距离是米
（2）求出M，P两点之间的距离（写出解答过程）；
（3）求甲前2分钟的速度（写出解答过程）；
（4）若前3分钟甲的速度不变，图2中，点F的坐标为；
（5）若线段FG∥x轴，则此段时间甲的速度为米/分．
7．（2017秋?历下区期末）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游．
（1）设租车时间为x小时（0＜x≤24），租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1、y2与x间的关系式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个公司租车合算．
1、已知点O为等边ABC ?内一点，0 110 = ∠AOB，α = ∠BOC，以OC为一边作等边OCD ?，连接AD。 （1）当0 150 = α时，试判断AOD ?的形状，并说明理由。 （2）探究：当α为多少度时，AOD ?为等腰三角形。 2、（1）如图1：点E在正方形ABCD的边上，BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G，求证：△ADG ≌△BAF （2）如图2：已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC, 求证：△ABE≌△CAF （3）如图3：在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积的和是多少。 图1 图2 图3 3、.问题背景，请你证明以上三个命题； ①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM ②如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM ③如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线, O A B C D
若∠ANM=108°,则AN=NM 4、已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ， （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明． 提示：始终证明DCB ACE ???
））））））））） 1．如图 1，已知直线 y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于 A 、 B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作 等腰 Rt△ ABC （1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式． （2）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D ，连接 AD ，若 AD=AC ，求证： BE=DE ． （ 3）如图 3，在（ 1）的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M ， P（， k）是线段 BC 上一点， 在线段 BM 上是否存在一点N ，使直线 PN 平分△ BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ ABO ≌△ BCQ，根据全等三角形的性质求OQ， CQ 的长，确定 C 点坐标； （ 2）同（ 1）的方法证明△ BCH ≌△ BDF ，再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE，得出结论； （ 3）依题意确定 P 点坐标，可知△BPN 中 BN 变上的高，再由S△PBN= S△BCM，求 BN ， 进而得出 ON ． 解答：解：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q， ∵∠ OBA+ ∠ OAB=90 °，∠ OBA+ ∠QBC=90 °， ∴∠ OAB= ∠ QBC， 又∵ AB=BC ，∠ AOB= ∠ Q=90°， ∴△ ABO ≌△ BCQ ， ∴BQ=AO=2 ， OQ=BQ+BO=3 ， CQ=OB=1 ， ∴C（﹣ 3， 1）， 由 A （ 0， 2），C（﹣ 3， 1）可知，直线 AC ： y=x+2 ； （2）如图 2，作 CH⊥ x 轴于 H， DF ⊥x 轴于 F， DG ⊥ y 轴于 G， ∵ AC=AD ，AB ⊥ CB ，∴ BC=BD ， ∴△ BCH ≌△ BDF ，∴ BF=BH=2 ， ∴ OF=OB=1 ， ∴DG=OB ， ∴△ BOE ≌△ DGE ， ∴BE=DE ；
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．
2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D 与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点， 连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．①直接写出y关于x的函数关系式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形； （2）如果BE=2，请直接写出AD的长．
2.已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．（1）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．
3.已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3， 2） （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； （3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN ∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
4.已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°． （1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上， ①求证：△BDE≌△ADC； ②若DC=3，求AE的长； （2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．
一次函数综合题选讲及练习 例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式； （2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B 两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长； （3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③． 问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 变式练习： 1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3． （1）求点B的坐标； （2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标； （3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等． ①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．） ②求点P的坐标．
例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB． （1）求直线BC的函数表达式； （2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC； （3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习： 2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO． （1）点A坐标是，BC= ． （2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． （3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标． 课后作业： 1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点． （1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB （1）求直线AC的解析式； （2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．
精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图
. 1．△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？ 2．已知：如图，△ABC中，∠A的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F．求证：AB﹣AC=2CF．
专业资料． . 3．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 4．已知：如图，点D、E分别在AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：
（1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF． 专业资料． . B两市相距200千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M5．已知A、地汽车出现故障不能行驶，立即通知技术人员乘乙车从A市赶去维修（通知时间忽略不计），乙车到达M 地后用24分钟修好甲车后以原速度原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲车提速后的速度是千米/小时，点C的坐标是，点C的实际意义是；（2）求乙车返回时y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值围； （3）乙车返回A市多长时间后甲车到达B市． 专业资料．
初二数学上册压轴题 一、选择题（每题5分） 1、已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限，那么点N(b, －a)在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、已知点A （2，－3），线段AB 与坐标轴没有交点，则点B 的坐标可能是 （ ） A ．（－1，－2） B ．（ 3，－2） C ．（1，2） D ．（－2，3） 3、一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为6，满足条件的点共有 （ ） A ．2 个 B ．4 个 C ．8 个 D ．10 个 4、已知函数13+=x y ，当自变量x 增加m 时，相应函数值增加（ ） A 、3m+1 B 、3m C 、m D 、3m －1 5、若点A （－2，n ）在x 轴上，则B （n －1，n+1）在 （ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、m 为整数，点P （3m －9，3－3m ）是第三象限的点，则P 点的坐标为（ ） A 、（－3，－3） B 、（－3，－2） C 、（－2，－2） D 、（－2，－3） 7、观察下列图象，可以得出不等式组 ? ? ?>-->+015.00 13x x 的解集是 ( ) A 、31 A B C D 9．将某图形的横坐标都减去2 ，纵坐标不变，则该图形 （ ） A ．向右平移2个单位 B ．向左平移 2 个单位 C ．向上平移2 个单位 D ．向下平移2 个单位 10．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是 （ ） 二．填空（每题4分） 11、点A （－3，5）到x 轴的距离为______ ，关于y 轴的对称点坐标为_________。 12、在函数y =x 的取值范围是__________ 。 13.已知关于x,y 的一次函数y=(m-1)x-2的图像经过平面直角坐标系中的 10题图 A . B . C . D . 一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考 一．解答题（共30小题） 1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO 于D，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值． 2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可． 数学八年级上册压轴题期末复习试卷测试卷附答案 一、压轴题 1．如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD． （1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2．在平面直角坐标系中点A（m?3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，?5），且点 B 在第二象限． （1）点B 向平移单位，再向下平移（用含m 的式子表达）单位可以与点A 重合；（2）若点B 向下移动 3 个单位，则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等，且有点 C（m?2，0）． ①则此时点A、B、C 坐标分别为、、． ②将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 n 个单位，若平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点，求 n 的取值范围． ③当 m ．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标 b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围． 4．如图①，在ABC ?中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)． (1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ； (2)当ABM ?与MCN ?全等时， ①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值； ②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值； (3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ?与MCN ?全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． 八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系并证明。 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？ 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 八年级上册数学压轴题期末复习试卷测试卷附答案一、压轴题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3 4 x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B 点坐标为（12，0），直线y＝3 8 x与直线AB相交于点C． （1）求点A的坐标． （2）求△BOC的面积． （3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d． ①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）． ②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H （1 2 ，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t 的取值范围． 2．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变． （1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数； （2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式； （3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数． 3．如图，直线 11 2 y x b =-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线 26 y kx =-交于点() C4,2． （1）b= ；k= ；点B坐标为； （2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形； （3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 4．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC ＝； （2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）； （3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由； （4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= ゜，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ゜． 5．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)
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