抽象函数常见题型解法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:
目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题
七、周期性与对称性问题 八、综合问题
一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为
。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。
11≤≤-x
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()?
??
?
??-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。
练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1
(x)，则y=f -1
(2-3x)
的定义域为
，值域为 。(]8,3,34,0??
???
?
二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;
例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,
得：f(0)=0, ∴f(1)=
2
1,.22001
)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即
②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .
解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.
例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
7
1)71(7)1(,,3)73
(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(2
1)],1([)1()24341()21()1()43
(,)41()21()1(522=
=∴===∴=+
===-++-=+
=+-==∴=b f b
f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a
a a f a f a f 同理则设可解得又、练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，
则f = （
12
）2.的值是则
且如果)2001(f )
2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。2000
2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++= .( ()2n
f n =,原式
=16)
3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C
A.-1
B.1
C. 19
D. 43
4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)
f =
（ ）（B ）
A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ） A ）
18 B ）1
16
C ）8
D ）16 的值
求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)7
1
()2()1()()()1()2
(
,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y
x f y x f f x f a a +-=+≤==<<
三、值域问题
例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在
21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。 由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2
≥??? ?
?=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2
+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2
+3x+1
(0≤u ≤2)
小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=??
? ??-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x
1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,
12)11()1(:x
1-x x
x x
f x
x f x -=-+-得代换用（2）
:)1(x
-11
得中的代换再以
x .12)()x -11f(
x
x
x f --=+---（3）
1)x 0(x x
2x 21
x x )x (f :2)2()3()1(2
23≠≠---=-+且得由
小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).
解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.
小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N; ②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;
③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) (数学归纳证明 略）
小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.
例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2
1()23
(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ） A ．2-x B ．4+x C ．12++x D ． 13+-x
解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+; 当)0,1(-∈x 时()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。
小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
练习：1、.23
2
|)x (f :|,x )x 1
(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥
=-=求证且为实数即是实数函数设 解
:
02)x (xf 3 x ,x
1
)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用
，
.23
2
|)x (f |,024)x (9f 02≥
∴≥?-≥?得由
2.（2006重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。
22222222(),(()-)() ((2)-22)(2)22
(2)3,(3-22322,(1)1 (0),(00)00,()I x R f f x x x f x x x f f f f f f f a f a a f a a
∈+=-++=-+=+=-+==-+=-+=解：因为对任意有所以又由得）即若则即2200020
2
00000
2000000220(II)(())(). () ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x x
∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==-因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1
若=0，则，即202202 0
()1,() 1. () 1 ()
x x x x x f x x x f x x x f x x x x R -=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为
3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；
（2）对任意的11
(0,)2x ∈，21(0,)2
x ∈，都有f (x 1)+2 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =， ∴ (0)2f =-． （2）由 ()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+， 由（1）知 (0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2 x ∈，∴2 2111111()2()24f x x x x +=+=+- 在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21 (0,)2 x ∈都有 12()2log a f x x +<成立，必有23log 4 a x ≤都成立.当1a >时，21 log log 2a a x <,显然不成立．当 01a <<时，213(log )log 24 a a x >≥，解得14a ≤<∴a 的取值范围是4． 方法提炼 怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题. 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决） 例10.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1 所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6. 练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有 f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在R 上为增函数。 证明：设R 上x 1 f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由 0) (1)(1)()()0(>-= =-=x f x f x f x f f 得， 故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性） 例11、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有 1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2 (21)2f x -< 解： （1）设210x x >>，则2 211 1 1 ()()()() x f x f x f x f x x -=?-221111 ()( )()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴ 211x x >，∴21 ()x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数 （2）(2)1f = ，∴(4)(2) (2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2 (21)2 f x -<可化为2 (|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴0≠2 |21|4x -< ，解得： {|x x x <≠ 练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－2 1 )=0,当x >－ 2 1 时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数； 证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－2 1 )>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－ 2 1 )－1=f ［(x 2－x 1)－ 2 1 ］>0, ∴f (x )是单调递增函数. 例12、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 解:(1)令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则f(xy)=f(2m+n )=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) , 2x ,2x n m ,x x 0:)2(n 2m 121==<<<且使可令设证明0n m )2(f )n m ()2(f )x x ( f )x (f )x (f )1(n m 2 1 21<-=-===--得由 故f(x 1) (3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质,得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(2)，解得 3 2 23)3..(;.........2)(1)2()2);.......(1()1()2 ( 2)()()0(),()()()),0(,(),0()(1+ <<<=+==<<=++∞∈+∞b x f f f b a f b f a f b a b a mn f n f m f n m n m x f 求证：，解不等式若求满足、且满足、任意的上的单调增函数，对于是定义在已知：练习 练习2、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； 2 231124010,24)2()2()2( 2)(12 ,)2( 2)(101,0)()()(,0)()(0)(),1(0)()1,0()0()(,0)1()3() 4,0(2)()2(0)1()1(22222+<<∴><--<∴<<--=∴+=∴?? ? ???+=+=∴=>++=<<<∴=∴=-=∴<<=>+∞∈<∈∴∞+=<------=b b b b a b b a b a b b a f b a f b f ab b a b a f b f b a ab ab f b f a f b a b f a f x f x x f x x f f x f f 又而即且又时，，时，上单调递增，，在的解集为解： )293()3--+?x x x f （3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围. （1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1. （2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）= ) (1x f ＞0. 又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0. （3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数. （4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数， ∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3. 关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明 单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略 练习3.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有 b a b f a f ++)()(＞ （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k ＜0对x ∈ [－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 （由 >0可得f(a)>f(b).122- 试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由. 解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x ( f )x (f R x 2>≠≥=?=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 1 22 121><∈+ 1 )x x (f )x (f ) x (f )x x (f )x (f )x x x ( f ) x (f ) x (f 1 21112111212<=?=?= ，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数. ) 2()0,2()1,3()2()1,3() 2,1()1,2() (0)1()1(0)2()0,()(5∞+?---∞+?-?-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A C x f x f x f 练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足： (1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f = (3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值； b a b f a f --+) ()( (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足* 12(3),n n S a n N =--∈. 求证：1231123 32()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+- . 解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤ 由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （2分） （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥ 22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴== （6 分） (III)* 12(3)()n n S a n N =--∈ 1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= (8分) 1 1 1112113333333()( )()()()23()4n n n n n n n n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1 111 43 333()()n n f f -∴≤+，即11433 ())(n n f a f a +≤+。 2211221 1414414444112133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故 1 1 3()2n n f a -≤+ 1213 13 1()1()()()2n n f a f a f a n --∴+++ ≤+ 即原式成立。 （14分） 六、奇偶性问题 例13. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)， 试判断函数f(x)的奇偶性。 解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系： 取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。 （2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ） A.x =1 B.x =2 C.x =－ 2 1 D.x = 2 1 解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。 例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足()) ()(1 )()()(1x f y f y f x f y x f -+=-，（2） 存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 证明：设t=x-y,则)() ()(1 )()()()(1)()()()(t f x f y f x f y f y f x f x f y f x y f t f -=-+-=-+=-=-，所以f(x)为 奇函数。 例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又 )123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。 解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232 >+-a a ，所以由)123()12(2 2 +-<++a a f a a f 得123122