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线性代数公式大全

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A B B A +=+

②()()C B A C B A ++=++

③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =

⑤00=?=c cA 或0=A 。 ()

A A

T =

()T T T

B A B A ±=±

()()

T T

A c cA =。

()T T T

A B AB =

()()()2

12112

=-n n C n n n τ

n n A a A a A a D 2222222121+++=

转置值不变A A T

逆值变A

- A c cA n =

γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+

()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+

()332211,,βαβαβα+++=+B A

332211,,βαβαβα+++=+B A B A B A B A =*

=*00

()()1,=c j i E

有关乘法的基本运算

nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()T T T

A B AB =

B A AB =

l k l k A A A += ()

kl l

k A A

()k k k

B A AB =不一定成立！

A AE =，A EA =

()kA kE A =，()kA A kE =

E BA E AB =?=

与数的乘法的不同之处

()k k k

B A AB =不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322

无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0=AB 时0=?/A 或0=B 由0≠A 和00=?/=B AB

由0≠A 时C B AC AB =?/=（无左消去律）特别的设A 可逆，则A 有消去律。

左消去律：C B AC AB =?=。

右消去律：C B CA BA =?=。

如果A 列满秩，则A 有左消去律，即

①00=?=B AB ②C B AC AB =?=

可逆矩阵的性质 i ）当A 可逆时， T A 也可逆，且()

()T

T A A

--=。

k A 也可逆，且()

()k

k A A

--=。

数0≠c ，cA 也可逆，()

1--=

A c

cA 。 ii ）A ，B 是两个n 阶可逆矩阵AB ?也可逆，且()

111

---=A B AB 。

推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =?= 命题：初等矩阵都可逆，且 ()()

()j i E j i E ,,1

()()()

???

? ????? ??=-c i E c i E 11

()()()()()c j i E c j i E -=-,,1

命题：准对角矩阵

A A A A 0

0000000002211

可逆?每个ii A 都可逆，记1122

111

00000000

----=

A A A A

伴随矩阵的基本性质：

E A A A AA ==** 当A 可逆时， E A A A

（求逆矩阵的伴随矩阵法）

()()

???

? ?

?==----A A

A A A 1

111

* 伴随矩阵的其他性质

*-=A A A

②()

(),**T

T A A = ④()*,**A B AB =

⑤()

()k

k A A **=，

2=n 时， ()A A =** ???

??--=d c b a A *

关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，*

i) 任何两个的次序可交换，如()

()T

T A A **=，

()

**11--=A A 等

ii) ()()111

,---=

=A B AB A B AB T T T

，

()***A B AB =

线性表示

s ααα,,,021 →

s i αααα,,,21 →

βααααααβ=+++?→s s s x x x 221121,,,有解 ()βααα=?x s ,,,21 有解()(

s x x x ,,1 =

β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示 ()s r r r C AB ,,,21 ==，()n A ααα,,,21 =，则n s r r r ααα,,,,,,2121 →。 s t αααβββ,,,,,,2121 →，

则存在矩阵C ，使得()()C s t αααβββ,,,,,,2121 =

线性表示关系有传递性当p s t r r r ,,,,,,,,,212121 →→αααβββ，则p t r r r ,,,,,,2121 →βββ。等价关系：如果s

ααα,,,21 与

t βββ,,,21 互相可表示

t s βββααα,,,,,,2121 ←→

记作t s βββααα,,,,,,2121 ?。

线性相关

1=s ，单个向量α，0=αx

α相关0=?α

2=s ，21,αα相关?对应分量成比例

21,αα相关n n b a b a b a :::2211===?

()n A ααα,,,21 =，0=Ax 有非零解0=?A

如果n s >，则s ααα,,,21 一定相关

0=Ax 的方程个数

③如果s ααα,,,21 无关，而βααα,,,,21s 相关，则s αααβ,,,21 →

证明：设c c c s ,,,1 不全为0，使得011=+++βααc c c s s

则其中0≠c ，否则s c c ,,1 不全为0，011=++s s c c αα ，与条件s αα,,1 无关矛

盾。于是s s c

c c c ααβ---

= 11

。 ④当s ααβ,,1 →时，表示方式唯一s αα 1?无关

（表示方式不唯一s αα 1?相关）

⑤若s t ααββ,,,,11 →，并且s t >，则t ββ,,1 一定线性相关。证明：记()s A αα,,1 =，()t B ββ,,1 =，

则存在t s ?矩阵C ，使得 AC B =。

0=Cx 有s 个方程，t 个未知数，t s <，有非零解η，0=ηC 。

则0==ηηAC B ，即η也是0=Bx 的非零解，从而t ββ,,1 线性相关。

各性质的逆否形式

①如果s ααα,,,21 无关，则n s ≤。

②如果s ααα,,,21 有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果s αα 1无关，而s ααβ,,1 →/，则βααs ,,1 无关。

⑤如果s t ααββ 11→，t ββ 1无关，则s t ≤。

推论：若两个无关向量组s αα 1与t ββ 1等价，则t s =。

极大无关组

一个线性无关部分组()I ，若()I #等于秩()I →6421,,,αααα，()I 就一定是极大无关组 ①s ααα,,,21 无关?()s s =αααγ,,, 21

②()()s s s ααγβαααγαααβ,, ,,,, ,,,12121 =?→ 另一种说法：取s ααα,,,21 的一个极大无关组()I

()I 也是βααα,,,,21s 的极大无关组?()β,I 相关。证明：()()ββααβ,,,1I I s ?→?→ 相关。

③β可用s αα,,1 唯一表示()()s s s ==?ααγβααγ,, ,,, 11 ④()()s t s s t ααγββααγααββ,, ,,,,, ,,,,11111 =?→

()()s t ααγββγ,, ,, 11 ≤?

⑤??t s ββαα,,,,11 ()()()t t s s ββγββααγααγ,, , ,, 1111 ==

矩阵的秩的简单性质

(){}n m A r ,mi n

0≤≤ ()00=?=A A r A 行满秩：()m A r = A 列满秩：()n A r = n 阶矩阵A 满秩：()n A r =

A 满秩A ?的行（列）向量组线性无关 0≠?A A ?可逆

0=?Ax 只有零解，β=Ax 唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩 ①()()A r A

r T

②0≠c 时，()()A r cA r = ③()()()B r A r B A r +≤± ④()()(){}B r A r AB r ,min ≤

⑤A 可逆时，()()B r AB r =

弱化条件：如果A 列满秩，则()()B AB γγ= 证：下面证0=ABx 与0=Bx 同解。 η是0=ABx 的解0=?ηAB

ηη?=?0B 是0=Bx 的解

B 可逆时，()()A r AB r =

⑥若0=AB ，则()()n B r A r ≤+（A 的列数，B 的行数） ⑦A 列满秩时()()B r AB r = B 行满秩时()()A r AB r =

⑧()()()B r A r n AB r +≥+

解的性质

1．0=Ax 的解的性质。

如果e ηηη,,,21 是一组解，则它们的任意线性组合e e c c c ηηη+++ 2211一定也

是解。

()00,2211=+++?=?e e i i c c c A A ηηηη 2．()0≠=

ββAx

①如果e ξξξ,,,21 是β=Ax 的一组解，则

e e c c c ξξξ+++ 2211也是β=Ax 的解121=+++?e c c c e e c c c ξξξ+++ 2211是0=Ax 的解021=+++?e c c c i A i ??=βξ

()e e e e A c A c A c c c c A ξξξξξξ+++=+++ 22112211 ()βe c c c +++= 21

特别的：当21,ξξ是β=Ax 的两个解时，21ξξ-是0=Ax 的解 ②如果0ξ是β=Ax 的解，则n 维向量ξ也是β=Ax 的解0ξξ-?是0=Ax 的解。

解的情况判别

方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x 2211

n αααβ,,,21 →

()()A A γβγ=?|()()n n αααγβαααγ,,,,,,,2121 =?

()()A A γβγ>|

()()n

=γ

γ|

()()n

=γ

γ|

方程个数m：

()()m

A≤

≤γ

γ,

①当()m

γ时，()m

γ|，有解

②当n

m<时，()n

γ，不会是唯一解

对于齐次线性方程组0

Ax，

只有零解()n

?γ（即A列满秩）

（有非零解()n

?γ）

特征值特征向量

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

()()()

-x

（2）()1=

r时：A的特征值为()A

tr,0,

,0,0

特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值λ的重数()A

≥λ

命题：设A的特征值为n

λ ，则

命题：设η是A的特征向量，特征值为λ，即λη

η=

A，则

①对于A的每个多项式()A

f，()()η

ηx

②当A 可逆时，ηλ

η1

-A ，ηλ

η|

|*A A =

命题：设A 的特征值为n ,,, 2 1λλλ ，则

①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,, 2 1λλλ ②A 可逆时，1-A 的特征值为

,1, 12 1λλλ *A 的特征值为

A A A 2 1|

,||, ||λλλ ③T A 的特征值也是n ,, , 21λλλ 特征值的应用

①求行列式n A ,,, ||2 1λλλ = ②判别可逆性

E A λ-可逆λ?不是A 的特征值。

当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆

若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=?λf 。 ()c c f ?≠0不是A 的特征值AcE ?可逆。 n 阶矩阵的相似关系

当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠。

相似关系有i ）对称性：A B B A ~~? B AU U =-1，则1-=UBU A

ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则C A ~

B AU U =-1，

C BV V =-1，则

()()C BV V AUV U V UV A UV ===----1111

命题当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质 ①B A =

②()()B A γγ=

③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A 与

B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1

-?U 是B 的属于λ的特征向量。

()()

()

ληηληη

ληληη1111111 -------=?==?=U AUU U U A U U U B A

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

()n x x x f ,,,21 变为()n y y y g ,,,21 ，则它们同时正定或同时不正定

B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定。

例如AC C B T =。如果A 正定，则对每个0≠x ()0>==ACx Cx ACx C x Bx x T

T T T

（C 可逆，0≠x ，0≠∴Cx ！）我们给出关于正定的以下性质 A 正定E A -?~

?存在实可逆矩阵C ，C C A T =。 A ?的正惯性指数n =。 A ?的特征值全大于0。

A ?的每个顺序主子式全大于0。

判断A 正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。

基本概念

对称矩阵A A T

=。

反对称矩阵A A T -=。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。如果A 是一个n 阶矩阵，A 是阶梯形矩阵?A 是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况） ①写出增广矩阵()βA ，用初等行变换化()βA 为阶梯形矩阵()

γB 。 ②用()

γB 判别解的情况。

i ）如果()γB 最下面的非零行为()

d 0,,0 ，则无解，否则有解。 ii ）如果有解，记γ是()

γB 的非零行数，则 n = γ时唯一解。 n <γ时无穷多解。

iii ）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉()γB 的零行，得()

00 γB ，它是()c n n +?矩阵，0B 是n 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则0 ≠n n b ii n n b b ?≠?--01 1都不为0。

()

ηβE r B A ?→??→?

行

η就是解。

一个n 阶行列式

n n n n a a a a a a a a a

2222111211

的值：

①是!n 项的代数和

②每一项是n 个元素的乘积，它们共有!n 项 n nj j j a a a 2121其中n j j j 21是n ,,2,1 的一个全排列。

③n nj j a a 11 前面乘的应为()

()

n j j j 211τ- ()n j j j 21τ的逆序数

()

∑-=

n n j j j nj j j j j j a a a 212121211τ

()()()2

12112

=-n n C n n n τ

代数余子式

ij M 为ij a 的余子式。 ()

ij j

i ij M A +-=1

定理：一个行列式的值D 等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 n n A a A a A a D 2222222121+++=

一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

∏<-=j

i i j n

a a a a a )(1

11 2

n C 个

乘法相关

AB 的()j i ,位元素是A 的第i 行和B 的第j 列对应元素乘积之和。 nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211

乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设n m ?矩阵()n A ααα,,,21 =，n 维列向量()T

n b b b ,,,21 =β，则

n n b b b A αααβ+++= 2211 矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式

β=Ax ，()(

m b b b ,,,21 =β

方程组的向量形式

βααα=+++n n x x x 2211 （2）设C AB =，

()s A A A AB βββ,,,21 =

n ni i i i i b b b A r αααβ+++== 2211

AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合，组合系数是B 的第i 个列向量的各分量。

AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合，组合系数是A 的第i 个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵C 的每个列向量都是A 的列向量的线性组合时，可把C 分解为A 与一个矩阵B 的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

()??

?n n λλλααα000000000

0,,,2121 ()n n αλαλαλ,,,2211 =

对角矩阵从右侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各行向量于是A AE =，A EA =

()kA kE A =，()kA A kE =

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k 次方幂只须把每个对角线上元素作k 次方幂

对一个n 阶矩阵A ，规定()A tr 为A 的对角线上元素之和称为A 的迹数。于是 (

)()

T k T

T αβαβαβ

-=()[]T k T tr αβαβ1

-= ()T T tr αααα=

其他形式方阵的高次幂也有规律

例如：???

? ??=101020101A

初等矩阵及其在乘法中的作用

（1）()j i E ,：交换E 的第j i ,两行或交换E 的第j i ,两列（2）())(c i E ：用数()0≠c 乘E 的第i 行或第i 列

（3）())(,c j i E ：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上，或把E 的第i 列的c 倍加到第j 列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A 等同于对A 作一次相当的初等行（列）变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵A 和B 的乘积时，可以先把A 和B 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A 的纵向分割与

B 的横向分割一致。

两种常用的情况（1）B A ,都分成4块

????

??=22211211

A A A A A ，???

??=22211211

B B B B B 其中1i A 的列数和j B 1的行数相等，2i A 的列数和j B 2的行数相关。

???

??++++=22221221212211

212212121121

121111B A B A B

A A A

B A B A B A B A AB

（2）准对角矩阵

??kk A A A

0000002211

????

??=???????

?????????

?kk kk kk kk B A B A B A B B B A A A 0

000

0000022

2211

112211

2211

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程（都需求A 是方阵，且0≠A ） ()B Ax I = ()B xA II = （I ）的解法：

()

x E B A ?→?

行

（II ）的解法，先化为T T T B x A =。

()()

T T x E B A →。

通过逆求解：B Ax =，B A x 1-=

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得E AH =，且E HA =，则称A 是可逆矩阵，称H 是A 的逆矩阵，证作1

-A 。

求1

-A 的方程（初等变换法）

()

1-?→?

A E E A 行

伴随矩阵

()T

nn n n

n n A A A A A A A A A A A =??

??= 2122212

12111*

线性表示

β可以用s ααα,,,21 线性表示，即β可以表示为s ααα,,,21 的线性组合，

也就是存在s c c c ,,,21 使得 βααα=+++s s c c c 2211 记号：s αααβ,,,21 →

线性相关性

线性相关：存在向量i α可用其它向量s i i αααα,,,,,111 +-线性表示。线性无关：每个向量i α都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不全为0的s c c c ,,,21 ，使得02211=+++s s c c c ααα 则称

s ααα,,,21 线性相关，否则称s ααα,,,21 线性无关。

即：s ααα,,,21 线性相（无）关011=++?s s x x αα 有（无）非零解

()0,,,21=?x s ααα 有（无）非零解

极大无关组和秩

定义：s ααα,,,21 的一个部分组()I 称为它的一个极大无关组，如果满足： i ）()I 线性无关。

ii ）()I 再扩大就相关。

()I s ααα,,,21 ←→ ()()I II s ??αα 1

定义：规定s ααα,,,21 的秩()()I s #,,, 21=αααγ 。

如果s ααα,,,21 每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

(){}s n s ,min ,, 01≤≤ααγ

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：s s βββααα,,,,,,,2121 ，并且向量方程

0,2211=+++s s x x x ααα 与02211=+++s s x x x βββ 同解，则称它们有相同的线性关系。 ①对应的部分组有一致的相关性。

421,,ααα的对应部分组421,,βββ，

若421,,ααα相关，有不全为0的421,,c c c 使得 0442211=++αααc c c ，

即()0,,0,,0,,421 c c c 是02211=+++s s x x x ααα 的解，从而也是02211=+++s s x x x βββ 的解，则有 0442211=++βββc c c ， 321,,βββ也相关。 ②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。

设：()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，则 02211=+++s s x x x ααα 即 0=Ax ， 02211=+++s s x x x βββ 即 0=Bx 。

s ααα,,,21 与s βββ,,,21 有相同的线性关系即0=Ax 与0=Bx 同解。反之，当0=Ax 与0=Bx 同解时，A 和B 的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵A 的行向量组的秩=列向量组的秩规定()=A r 行（列）向量组的秩。

()A r 的计算：用初等变换化A 为阶梯形矩阵B ，则B 的非零行数即()A r 。命题：()A A r =的非零子式阶数的最大值。

方程组的表达形式

1．??

?????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********

2．β=Ax η是解βη=?A

3．βααα=+++n n x x x 2211 有解n αααβ,,,21 →?

基础解系和通解

1．0=Ax 有非零解时的基础解系

e ηηη,,,21 是0=Ax 的基础解系的条件： ①每个i η都是0=Ax 的解

②e ηηη,,,21 线性无关

③0=Ax 的每个解e ηηηη,,,21 →

③/

()A n l γ-=

通解

①如果e ηηη,,,21 是0=Ax 的一个基础解系，则0=Ax 的通解为

e e c c c ηηη+++ 2211，i c 任意 ②如果0ξ是()0≠=ββAx 的一个解，e ηηη,,,21 是0=Ax 的基础解系，则β=Ax 的通解

为

e e c c c ηηηξ++++ 22110，i c 任意

特征向量与特征值

定义：如果0≠η，并且ηA 与η线性相关，则称η是A 的一个特征向量。此时，有数λ，使

得ληη=A ，称λ为η的特征值。

设A 是数量矩阵E λ，则对每个n 维列向量η，ληη=A ，于是，任何非零列向量都是E λ的特征向量，特征值都是λ。

①特征值有限特征向量无穷多

若ληη=A ，()()ηλληηηc c cA c A ===

()()2211221122112211ηηληηηηληηληηc c A c A c c c A A A +=+=+??

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算 0,≠=ηληηA

()0,0≠=-?ηηλA E

η?是()0=-x A E λ的非零解命题：①λ是A 的特征值0 =-?A E λ

②η是属于λ的特征向量η?是()0 =-x A E λ的非零解称多项式A xE -为A 的特征多项式。 λ是A 的特征值λ?是A 的特征多项式A xE -的根。

λ的重数：λ作为A xE -的根的重数。

n 阶矩阵A 的特征值有n 个：n ,, , 21λλλ ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。计算步骤：

①求出特征多项式A xE -。 ②求A xE -的根，得特征值。

③对每个特征值i λ，求()0 =-x A E i λ的非零解，得属于i λ的特征向量。

n 阶矩阵的相似关系

设A ，B 是两个n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵U ，使得B AU U =-1，则称A 与B 相似，记作B A ~。

n 阶矩阵的对角化

基本定理 A 可对角化?A 有n 个线性无关的特征向量。设可逆矩阵()n U ηηη,,,21 =，则

???

?=-n AU U λλλ00

000000000

()()n n n n U A ηληληλλλληηη,,,00

0000000

,,,22112

21 =????

?=? i i i A ηλη=?，n i ,,2,1 = 判别法则

A 可对角化?对于A 的每个特征值λ，λ的重数()A E n --=λγ。

计算：对每个特征值i λ，求出()0=-x A E i λ的一个基础解系，把它们合在一起，得到n 个线性无关的特征向量，n ηη,,1 。令()n U ηηη,,,21 =，则

????

?=-n AU U λλλ00

000000000

，其中i λ为i η的特征值。

二次型（实二次型）二次型及其矩阵

一个n 元二次型的一般形式为 ()j i j

i ij n

i i ii

n x x a x a

x x x f ∑∑<=+=

2,,,1

221

只有平方项的二次型称为标准二次型。

形如：2

2122221q p p p x x x x x ++---+++ 的n 元二次型称为规范二次型。对每个n 阶实矩阵A ，记()T

n x x x x ,,,21 =，则Ax x T 是一个二次型。

()Ax x x x x f T

n =,,,21

称A 的秩()A γ为这个二次型的秩。标准二次型的矩阵是对角矩阵。

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线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

考研线性代数公式速记大全

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解， 0总有唯一解是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵存在阶矩阵使得或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号

线性代数性质公式

线性代数第一章行列式一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：

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线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

线性代数重要公式、定理大全

1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

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线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：

2020考研线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组

线性代数性质公式整理教学文案

线性代数性质公式整

的乘积的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式线性代数第一章行列式町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素

行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等的。 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同（或两行成比例），行列式的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ］帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ］n an - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2［订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式，记为，即A 产（-1严叫 ii ；称 A 】】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i

线性代数公式大全

概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P

()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ

线性代数公式必记

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0；

考研线性代数公式

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１、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列)的元素乘以其它行(列）元素的代数余子式为0； ③、某行(列)的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置）,所得行列式为3D ，则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积; ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明０是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵)； ?()r A n =（是满秩矩阵) ?A 的行（列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;

精心整理线性代数公式大全

1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;

线性代数公式精简版

1、行列式 1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 逆序数计算 2. 行列式的重要公式：（1）、主对角行列式：主对角元素的乘积；（2）、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()----===T T T T A A A A A A *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 方阵行列式性质。(1)||||;(2)||||;(3)|||||===T n A A A A AB A B λλ 注意：矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ??? = ???；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤； ②、()()T r A r A =； ③、若A B ，则()()r A r B =； ④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+； ⑥、()()()r A B r A r B +≤+； ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；

学习线性代数总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除学习线性代数总结篇一：线性代数学习总结线性代数学习总结 ----------应化11王阳（2110904024）时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体会。老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面

听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是

线性代数公式定理大全

线性代数公式大全第一章行列式 1．逆序数 1.1 定义 n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。 1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成1 11l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()21 21111m τττ+=-=-，故原命题成立。 2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质2：互换任意两行（列）其值变号。性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。对性质4的重要拓展：设n 阶同型矩阵， ()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。韦达定理的一般形式为：

高数线性代数数学公式全集(共15页)

高等数学线性代数公式大全 1、导数公式： 2、基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

04184线性代数公式_(自考)

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质 1.余子式和代数余子式的定义 2.行列式按一行或一列展开的公式 1） 2） 3.行列式的性质 1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开. 6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等. 二、行列式的计算 1.二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算. 3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念 1.要分清矩阵与行列式的区别 2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算 1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件 2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）. 3.转置对称阵和反对称阵 1）转置的性质 2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵 4.逆矩阵

1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时， . 2）方阵A的伴随阵的定义。重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，） 3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A. 4）逆矩阵的性质： ; ; . 5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。） 5.方阵的行列式 6.分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1.初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩. 2.初等矩阵的定义和性质 1）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系3）对任意m×n阶矩阵 A，总存在一系列m阶初等阵和一系列n阶初等阵使得

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