二次函数与根的判别式
韦达定理精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题
【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
讲点2：距离问题
【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点
，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，
D是抛物线的顶点，已知CD＝
求m的值．
【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛
物线与直线y＝2x，求a的值．
讲点3：隐藏判别式
【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段
PA,PB,PC,PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
讲点4：交点间的距离
【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A
（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）（x
1
＜x
2
）两点．
（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；
（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．
【练】如图，抛物线C
1
：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物
线C
1沿y轴翻折得新抛物线C
2
，过点C作直线l交抛物线C
1
于点M，交抛物线C
2
于
点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题
【例6】如图，已知抛物线y＝x2－2x－3，直线y＝kx－1与抛物线交于P,Q两
点，且y轴平分线段PQ，求k的值．
【练】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3，过点D（0，－5
2
）的直线与抛物线交于点M,N，与x轴交于点E，且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式．
四、与面积结合
【例7】如图，抛物线y＝x2－4x＋5顶点为M，平移直线y＝x交抛物线于点H,K，
若S
△MHK
＝3，求平移后直线的解析式．
【课后反馈】
1．如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D,E两个不同的点，求k的取值范围．
2．如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围．
3．如图，抛物线y＝1
4x2＋3
2
x＋2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与
y轴交于点C，将抛物线沿直线BC平移，与射线AC（含点A）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．
4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1
u OP ，求u 的值． 5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相
反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称．
（1）求抛物线C 2的解析式；
（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的
值；