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第三版实变函数论课后答案

1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ?.

证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ?-?U ，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?U U ，又x B ?∈，若x A ∈，则

()x B A A ∈-U ，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故

()B B A A ?-U ，从而有()B A A B -=U 。证毕

2. 证明c

A B A B -=I .

证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c

x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c

A B A B -?I .

另一方面，c

x A B ?∈I ，必有,c

x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，

所以 c

A B A B ?-I .

综合上两个包含式得c

A B A B -=I . 证毕

3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理

9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧

∈∧

?I I .

证：若x A λλ∈∧

∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?

λ∈∧）

成立

知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧

∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧

?I I .

定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧

∈∧

=U U U U U .

证：若

()

x A B λλλ∈∧

∈U U ，则有

'λ∈∧

，使

''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧

∈∧

∈?U U U U .

反过来，若()()x A B λλλλ∈∧

∈∧

∈U U U 则x A λλ∈∧

∈U 或者x B λλ∈∧

∈U .

不妨设x A λλ∈∧

∈U ，则有'

λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧

∈??U U U .

故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧

∈∧

?U U U U U .

综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧

∈∧

=U U U U U .

定理6中第二式()c c

A A λλλλ∈∧

∈∧

=I U .

证：()c x A λλ∈∧?∈I ，则x A λλ∈∧

?I ，故存在'

λ∈∧ ，'x A λ?所以

'c c x A A λλλ∈∧

??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧

?I U .

反过来，若c x A λλ∈∧

∈U ，则'

λ?∈∧使'c

x A λ?，故'x A λ?，

x A λλ∈∧

∴?I ，从而()c x A λλ∈∧

∈I

()c c A A λλλλ∈∧

∈∧

∴?I U . 证毕

定理9：若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升，即1n n A A +?（相应地

1n n A A +?）对一切n 都成立，则 1

lim n n n A ∞→∞

==U （相应地）1

lim n n n A ∞

→∞

==I .

证明：若1n n A A +?对n N ?∈成立，则i m i m

A A ∞

==I .故从定理8知

liminf n i m n m i m

m A A A ∞∞∞

→∞

=====U I U

另一方面,m n ?，令m i i m

S A ∞

==U ，从1m m A A +?对m N ?∈成立知

111

()()m i m i m i i m i m

i m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞

++==+=+=+==?==U U U U U U .故定理8表明

111

1limsup liminf n i m m n n n m i m

m m A A S S A A ∞∞∞∞

→∞

=========I U I U

故1

lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞

→∞

====U .

4. 证明()()A B B A B B -=-U U 的充要条件是B =?. 证

：

充

分

性

若

B =?

，则

()()A B B A A A A A -=-??=-?==?=?-?U U U U

必要性若()()A B B A B B -=-U U ，而B ≠?则存在x B ∈.

所以()()x A B B A B B ∈-=-U U 即所以,x A B x B ∈?U 这与x B ∈矛盾，所以x B ∈. 4. 设

{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求

()

F A .又如果

;1,2,3,,S n n

==????

01;A n ??=????为奇数,{}1111,,,,321A i ??

??=??????-?????

L ,问()()01,F A F A 是什么.

解:若{}{}{}{}

1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则

(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =?.

若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A n n i ??????====??????-??????

L L

L 为奇数, 则从1111111,,,,,,,35

21242c

i i ????

=????-????L L L L ,

易知()11

1111,,1,,,,,,,,35

2124

2F A S i i ??

????=???????-?????

L L L .

{}1111,,,,321A i ????

=??????-????

L . 令1

1;1,2,,;1,2,212B i C i i i ????====?

???-????

L L . {}{}{}

°1,F A S A K A B K C K A =?==?U U @为的子集，或.

证明: 因为{}111,,,,,321A B i ????

∈???

?-????

L L 的任何子集()1F A . 所以有()1B F A ∈,而c

B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ?∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ?=∈U ,且()1A C F A ∈U .

显°

S A ∈,故只用证°A 的确是一个σ-域. (1) °

,c c

S S A ?==?∈,且B ?的子集A ,若K =?,则

°,c K A A A C ?==U U

(B A -是B 的子集,故()

°°()

A A C F A ?

=∈U U )

又B ?的子集A ,()c

A C A C A

B ==U I I .

显然是B 的子集,所以()()

°c

c A C A B A =?∈U I U .

又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==L 或?. 则()°°111n n n n n n n A K A K A K ∞

∞∞===????== ? ?????

U U U U U U . 这里°1n n A A B ∞

==?U 是B 的子集.

°1n

n K K C ∞

===U 或?. 所以()°1

n n n A K A ∞

=∈U U .

若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()°1

n n n A K S A ∞

==∈U U .

若n A 中有?,不影响1

n n A B ∞

=?U .

故°A 是σ-域,且()°1F A A =.

证毕.

6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x A

x x A ?∈?=???

证明：（1）()()liminf liminf n n A A x x ??=

（2）()()limsup limsup n n A A x x ??=

证明：x S ?∈，若()liminf n A x x ?∈

则()liminf 1n A x ?=。且只有有限个n ，使得n x A ? 所以? 00n > 使得 0n n ≥时 n x A ∈ 从而有

()1n

A x ?=

故()()liminf liminf 1n n A A x x ??== 若

()liminf n A x x ??，则()liminf 0n A x ?= 且有无限个

().1,2,3,4k n N k ∈=L

故()lim 0k A k x ?→∞

所以 ()()liminf liminf 0n n A A x x ??==. 故（1）成立.

（2）的证明： x S ?∈，若()limsup n A x x ?∈ 则()liminf 1n A x ?=.

且有无穷个 ().1,2,3,4k n N k ∈=L 使得k n x A ∈ ，1n k

A ?=

所以 ()lim 1k A k x ?→∞

= 注意到()01k A x ?≤≤

所以 ()()limsup limsup 1n n A A x x ??==.

若()limsup n A x x ??，则()limsup 0n

A x ?=

且只有有限个n 使得n x A ∈

所以 ? 00n > 使得 0n n ≥时n x A ? ，()0n A x ?= 所以 ()()limsup limsup 0n n A A x x ??==. 所以（2）也成立.

也可以这样证（2）：注意n

A R ??

()()1c

A A x x ??=-.

()()

()()()

()

()()

()

limsup limsup liminf liminf 11liminf 1limsup limsup 1limsup c

c n

n c

c n n c

n c n

c n n

A A A A A A A A x x x x x x x x ??

??????===-=-=+-=-=.

7.设f(x)是定义于E 上的实函数，a 为一常数，证明

（1）()()11;;n E x f x a E x f x a n ∞

?>=≥+????????

U （2）()()11;;n

E x f x a E x f x a n

∞

≥=>-???????

I . 证明：（1）()0;x E x f x a ?∈>???? 我们有()0f x a >，故存在n N ∈ 使

()01

f x a n

≥+

（因为()01

,n f x a n ?≤-使

）所以()01

1;n x E x f x a n ∞

=??∈≥+

???

?U . 从而有()()1

1;;n E x f x a E x f x a n ∞

=??>?≥+

???????

U ；反过来：若()01

1;n x E x f x a n ∞

∈≥+

????

U ，则 ()()()()000

011

1,,;1;;n n n f x a a n x E x f x a E x f x a E x f x a n ∞

=?≥?≥+>∴∈>????

?∴≥+?>????????

U 使

所以（1）成立.

下证（2） ()0;x E x f x a ?∈≥???? 我们有

()()()()()00011

1;1;n f x a a n N n

x E x f x a n N n x E x f x a n ∞

=≥>-

?∈?

?∈>-?∈?????

?∈>-??

?I 所以故

从而有()()11;;n E x f x a E x f x a n

∞

≥?>-???????

反过来，若()011;n x E x f x a n ∞

?∈>-???

8.若实函数序列(){}

n f x 在E 上收敛于()f x ，则对于任意常数a 都有

()()()1111;liminf ;liminf ;k k E x f x a E x f x a E x f x a k k ∞∞==????≤=≤+=<+????????????

I I

证明：先证第一个等式

由定理8知

()()()()111111liminf ;;11liminf ;;n i m i m n i k k m i m E x f x a E x f x a k k E x f x a E x f x a k k ∞∞==∞∞∞∞====?

???≤+=≤+????

??????

?≤+=≤+????

???U I I I U I 所以

()0;x E x f x a ?∈≤???? 我们有()01

f x a a k

≤≤+

对k N ?∈成立。又条件 ()(),lim n n x E f x f x →∞

?∈= ，有()()00lim n n f x f x →∞

= 故对k N ?∈， ?()m m k =，使得 i m ≥ 时，，

这表明

()()()011111;1;;i k m i m i

k m i m x E x f x a k E x f x a E x f x a k ∞

∞

===∞

∞

===?

?∈≤+??

???≤?≤+????????

I U I I U I 所以.

反过来 ()0111;i k m i m x E x f x a k ∞∞∞

===??

?∈≤+???

?I U I ，我们知对 k N ?∈，

?() m m k =，使得i m ≥ 时， ()01

i f x a k

≤+.

令 i →+∞，得 ()01 f x a k ≤+ 再令 k →+∞，得 ()0f x a ≤ ，

所以()0;x E x f x a ∈≤???? ，从而故（1）成立。

下证第二个等式，一样有

()()11111liminf ;;n i k k m i m E x f x a E x f x a k k ∞

∞∞∞====?

???<+=<+?????

???I I U I ， ()0;x E x f x a ?∈≤???? 我们有 ()0 f x a ≤

故对k N ?∈，? ()m m k =， i m ≥ 时，

()()()()0000111i i f x f x f x f x a k k k

-<<+≤+,即.

()()()011111;1;;i k m i m i

k m i m x E x f x a k E x f x a E x f x a k ∞

∞

===∞∞∞===?

?∈<+??

?≤?<+????????

I U I I U I 因为所以.

反过来 ()0111;i k m i m x E x f x a k ∞∞∞

===??

?∈<+???

?I U I ，我们知对k N ?∈，?

()m m k =，使得 i m ≥ 时，()01

i f x a k

<+ ，令 i →+∞，，利用

条件()()00lim i i f x f x →∞

= ，有

()01

f x a k

≤+

，再令k →+∞，得 ()0f x a ≤，所以()0;x E x f x a ∈≤???? ，

所以()()111;;i k m i m E x f x a E x f x a k

∞

===??<+?≤???????

I U I 故（2）得证。

注意：实际上有：对E 撒谎能够任何实函数列(){}

n f x 有

()(){

}

()()111;lim ;n i n k m i m x f x f x E x f x f x k ∞

∞

→∞===?

?==∴-

?I U I .

习题二（p18）

1. 用解析式给出)(1,1-和)(

,-∞∞ 之间的一个11-对应。解：)(

1,1x ?∈- ，令()tan 2

x x π

?= ，则())(,x ?∈-∞∞，且

()'2

2012

x x π

?π

>??+ ???

，故?严格单调于)(1,1-，1

lim x →±=±∞，

所以()tan 2

x x π

?= 为)(1,1-和)(,-∞∞ 之间的一个11-对应。

2.证明只需a b <就有)()(

,~0,1a b 。证明：)(

,x a b ?∈，令()x a

x x b

?-=

-，则())(0,1x ?∈，且显然为11-对应。

2. 证明平面上的任何不带圆周的圆上的点所作成的点集是和整个平面上的

点所作成对等的，进而证明平面上的任何非空的开集（开集的定义见数学分析或本书第二章）中的点所作成的点集和整个平面上的点所作成的点集对等。证明：? 平面上一个开圆

第三j 节习题

1. 证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。

证明：将全体有理数排成一列 12,n r r r L L ，则平面上的有理点

)({}

,;,j j Q Q r s r Q s Q A ∞

=?=∈∈=U ，其中)({},;1,2,j i

A r r i n =

=L L 为

可列集，故作为可数个j A 的并1

j j Q Q A ∞

=?=U 为可数集。（第20页定理5）。

2. 以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素. 证明：设

这里Λ为某指标集。

则我们可在任意I α∈A 这一开区间中选定一个有理数r α，与之对应，从而给出一个对应，

A Q I r αα

→→

由于I α互不相交，当αβαβ∈Λ≠，，时，显然r r αβ≠，故上述对应是11-的.

故A 与有理数集的一个子集对等，所以A 的势最多与Q 的势相同，不会超过Q 的势，

故A 要么为有限，要么为可数集.

3. 所有系数为有理数的多项式组成一可数集合. 证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式任取非负整数n ，全体n 阶有理多项式的集合的势是0?. 事实上，? n 阶有理数

()()120

,,,,n

i n i i n i X x a x a Q a a a ==∈∑L 令与之对应，这一对应显然是11-的，

即

0,m m

m Q Q Q Q ???=?L 14243

的势是，这是因为由第一题：已知2Q Q Q =?是

可数集，利用归纳法，设k

Q Q Q Q =??L 14243

是可数集，，

待证1

k k Q Q Q +=?是可数集，

将Q 中的点排成一列12,,m γγγL L ，将k

Q 中的点排成一列12,,m l l l L L ，

则1

k k

j j Q

Q Q A ∞

+==?=U ，其中(){}

,,,1,2,3,j i j A l i j γ==L 显然为可数集，

故

k j j Q

A ∞

+==U 也是可数集，

这表明0,n n ?≥阶有理多项式全体是一可数集，而全体有理多项式{}

n n ∞

=U 全体阶有理多项式作为可数集的并也是可数集.

4. 如果()f x 是(),-∞∞上的单调函数，则()f x 的不连续点最多有可数多个. 证明：我们在数学分析中知道(),-∞∞上的单调函数的不连续点，只能是跳跃间断点，其任取(),-∞∞上的单调函数()f x ，设其可能的间断点为

{};,A x αα=∈ΛΛ

为某指标集，在

x A

α?∈，令

()()lim ,lim ,x x

x x

f x y f x y αααα+

+-→→==则,y y αα+-=故A α?∈，有一1R 上的开

区间()

,y y αα-+与之对应. 不

妨

设

x x αβ

>，设

δ?>使

x x αβδδ

->+，

()(),,,x x x y x x ααββδδ?∈-?∈+，

有()()f x f y ≥，故()()lim lim x x

x x

f x y y f x αααα-

→→=≥=，

所以(

)(),,y y y

y αα

β-+

+=?I ..

故()f x 的间断点的集合A 与1

R 上的一族互不相交的开区间11-对应，而后

者的势为0?，故()f x 的间断点至多为可数多个.

5.设A 是一无穷集合，证明必有A A *

?，使~A A *

，且A A *

-可数. 证明：若A 为可数集，则不妨设{};1,2,i A a i n ==L L ，令

{}2;1,2,i A a i n *==L L ，则

~A A *

，且{}21,1,2,,i A A a i n *

+-==L L .

显然仍为可数集，故此时结论成立.

若A 为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1，A 中包含一个可数子集B ，令A A B *

=-，则由于A 是无穷集，且不是可数集，A B -是无穷集. 由P21定理7和B 为可数集知：.A A B A *

=U : 证毕

6. 若A 为一可数集合，则A 的所有有限子集构成的集合也是可数集.

证明：由第一，第三题的证明已知,m

m N Q Q Q Q ?∈???=L 1442443

（Q 为有理

数集）.由于A 是可数集，故m 个由全体A 中的一个元素组成的集合

{}{}1;A a a A N =∈:，1A 是可数集.

由全体A 中的两个元素组成的集合{}{}221

,;,A a a a a

A N =∈:，2A 是可

数集若{}{}1

,,,;,1,2,m m

A a a a a A i n =

∈=L L ，

记A 中的m 个元素组成的子集全体，则m

m m A N N N N ???=6447448

故是可数集.

显然A 的所有有限子集构成的集合可表示为1

m m A ∞

=U ，m A 为可数集，故1

m m A ∞

=U 作

为可数个可数集的并也是可数集.

注意：A 的全体子集构成的集合不是可数集.

7. 若A 是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可数无穷集合，则有0δ>，使A 中无穷多个区间的长度大于δ.

证明：设Λ为一指标集，{}

;,A I I ααα=∈Λ为非蜕化的开区间，记I α的长度为I α.

若本题的结论不成立，则n N ?∈，只有有限个12,,n m I I I ∈ΛL ，使1,I n

α>

{}

12,,n n m A I I I =L 记，由于A 中的区间都是非蜕化的，,0I A I αα?∈>，

{}1

;0n n A A I I αα∞

===>U

由于n A 是有限集，故作为可数个可数集的并，A 也是可数集，这与A 是不可数无穷集矛盾.

故0,δ?>，使A 中有无穷多个区间的长度大于0δ>. 事实上，A 中有不可数无穷多个区间的长度大于δ.

8. 如果空间中的长方形(){}1

21212,,;,,I x y z a

x a b y b c z c =

<<<<<<，

中的

121212,,,,,a a b b c c ()121212,,a a b b c c <<<都是有理数，则称I 为有理长方形，

证明全体有理长方形构成一可数集合.

证明：由前面题3，6中已知m

Q Q Q Q =???L 1442443

是可数集（Q 为有理数组成

的集合）设

{}

;A I I =为有理长方形，

任取(){}121212,,;,,I x y z a x a b y b c z c A =<<<<<<∈，

记

之

为

()1212126,,,,,121212,,,,,,a a b b c c I a a b b c c Q ∈.

与之对应，由于两有理长方形1212121

21212

,,,,,,,,,,,a a b b c c a a

b b

c c I I 相等

112211221122,,,,,a a a a b b b b c c c c ?======，故上述对应是单射，

故A 与6

Q 这一可数集的一个子集°Q

11-对应. 反过来，01111,,r I r Q ∈与Q 显然11-对应，故6

Q 与01111,,r I r Q ??

∈????

11-对应

所以6

Q 与A 的一个子集对等. 由Berrstein 定理 6

A Q :对等所以A 是可数集.

P25 习题

1. 证明[]0,1上的全体无理数构成一不可数无穷集合.

证明：记[]0,1上的全体有理数的集合为°()12,,,,n

Q r r r =L L . []0,1全体无理数的集合为°R

，则[]°°0,1Q R =U . 由于°Q

是一可数集合，°R 显然是无穷集合（否则[]0,1为可数集，°°Q R U 是可数集，得矛盾）.

故从P21定理7得 []°°°0,1Q

R R =U :. 所以°R

=?，°R 为不可数无穷集合. 2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必

存在超越数（即非代数数）. 证明：记全体整系数多项式的全体的集合为z P ，全体有理多项式的集合为Q P . 则上节习题3，已知Q P 是可数集，而z Q P P ?，故z P 至多是可数集，()

z Q P P ≤，而z P 显然为无穷集合，故z P 必为可数集.,0z z m m P P ∞

==U .

任取一,0,z f P m ∈?≥有,z m f P ∈.

f 的不同零点至多有m 个，故全体,z m f P ∈的零点的并至多为无数.

（

(){}

,;0z m

f P z f z ∈=U

至多为可数集，所以全体代数数之集

(){},0;0z m

m f P z f z ∞

=∈=U U

也是至多可数集.

又{},1;1,2,n N nx n ?∈+=L 是可数集，110nx x n

+=?=. 带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.

3. 证明如果a 是可数基数，则2a

c =.

证明：一方面对于正整数N 的任意子集A ，考虑A 的示性函数

()()()10A

A A n n A

n n n A

???=∈??=?=???当当 {}2N A N ?∈@的子集所构成的集

令()()()0.1,2A A J A x ??==L 则()()0,1J A x =∈

若()()J A J B =，则()(),1,2,A B n n n ??=?=L

故A B =（否则()()0000,10A B n A n B n n ???∈??=≠=）

故2N

与()0,1的一个子集对等（()20,1N

≤）

另一方面，()0,1x ?∈.令±{}

;,x A r r x r R =≤∈ （这里±0

R 为()0,1中的全体有理数组成的集合）若(),,0,1x y x y ≠∈，则由有理数的稠密性，x y A A ≠

x A 是±0

R 这一与N 对等的集合的子集. 故()0,1与±0

R 的全体子集组成的集合的一个子集对等（()±00,1R ≤的全体子集组成集的势，即()()0,120,1N

≤≤）

也就与2N

的一个子集对等.

由Berrstein 定理()0,12N : 所以2a

c =.

4. 证明如果A B c =U ，则,A B 中至少一个为c . 证明：E A B c ==U ，故不妨认为

(){},;01,01E x y x y =<<<<，,A B 为E 的子集.

若存在x ，01x <<使得(){},;01x A E x y y ?=<<.

则由于x E c =（显然()0,1x E :）故A c ≥，而,A E A E c ?≤=. 由Berrsrein 定理A c =.

若,01,x x x E A ?<

(){},;01x B E B x y y =<<≠?I I

所以(),x x y B ?∈，则显然(){},;01x

x y x <<具有势c

故易知c B E c ≤≤= 由Berrsrein 定理B c = 证毕

5. 设F 是[]0,1上全体实函数所构成的集合，证明2c

F =

证明：[]0,1?的子集A ，作A 的示性函数

()10A x A

x x A

?∈?=?

?? 则映射()A A x ?a

规定了[]0,1的所有子集的集合到[]0,1上全体实函数所构

成的集合的一个对应，且若A ，B ?[]0,1使得()()[],0,1A B x x x ??=?∈成立

则必有A B = 所以[]

0,12

与F 的一个子集对等.

反过来，任取()f x F ∈，()()[]{},;0,1f A t f t t =∈，f

A 是f 在2

中的图

象，是2

R 中的一个子集. 且若,f g F ∈，使f g A A =

则[]0,1t ?∈，()()

,f g t f t A A ∈= 表明[]10,1t ?∈使()()()()

11,,t f t t g t =

()()1,,t t f t g t t ?==?

故f g =.

所以F 与2

R 的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从[]2

0,1R :知

[

]

0,122R F ≤=

即F 与[]

0,12

的一个子集对等.

所以由Berstein 定理[]0,1

22c F ==.

第二章习题

1.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ?.

证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ?>I 中有无穷多个点。现在设

()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，

故()0,y N p δη?∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-?

故()0,N p E δη-I 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-I (),N p δ?.这就证明了必要性，

事实上，(){}00,N p E p δη--I 是无穷集，故(),N p δ中有无穷多个异于0p 的E 中的点.

反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则

0δ?>，

(),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，

记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<

由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=< 由归纳法易知，有

{}11,1,2,,n n n n δδδδ+?=<<

()01,n n p E N p δ-∈I ，

0,1,2,n p p n ≠=L

这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈ 若0p 为E 的内点，则0,δ?>使()0,N p E δ?，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ?，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知

()()()00,,,N p p p N p E δρδ-??，故0p 为E 的内点.

2.设1

R R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'11,E E .

解：[]0,1x ?∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε?>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'

10,1E ?.

而另一方面，[]0,1x ??，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=?I ，故'01x E ? 故[]'

10,1E ?，所以[][]'

10,10,1E ??.

表明[]'

10,1E =

而[][]'11110,10,1E E E E ===U U 故[]'

110,1E E ==.

3. 设2

n R R =是普通的xy 平面(){}2

22,;1E x y x

y =+<，求'22,E E .

解：(){}'2

22,;1E x y x

y =+≤

事实上，若()'0002,p x y E =∈，则由于()22,f x y x y =+是2

R 上的连续函数，必存在0δ>，使()()0,,x y N p δ?∈有()2

,1f x y x y =+>.

故()02,N p E δ=?I ，故0p 不是'2E 中的点矛盾.

故22

001x y +≤时(){}2

20,;1p x y x

y ∈

+≤

反过来，若()(){}2

2000,,;1p x y x y x y =∈

+≤

则0δ?>，作[]0,1上的函数()()

00,f t tp p ρ==

t =

则()f t 是[]0,1上的

连续函数，()01f =

≤，()10f =，

01δ?<<，

[]0,1t δ?∈使()f t δδ=

现在任取()0,0min 1,ηδη>?<<，使()()00,,N p N p δη?. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.

故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈

（3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈ 所以(){}020,t p N p E p δη∈-I

由习题1的结论知'

02p E ∈，所以(){}'2

22,;1E x y x

y =

+≤.

而(){}''

2222,;1E E E E x y x

y ===

+≤U .

4. 设2

n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 00

x y x

x ?≠?=??=?的图形上的点

所作成的集合，求'3E . 解

：

设函数的图形是

()(){}{}'

131,;,,sin ;0x f x x R E

x x R x ????∈=∈-?? ?

????

(){}0,0U . 下证(){}'

0,;11E E δδ=

-≤≤U

()'0003,p x y E =∈?存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，

()000,,n n n n n p x y p x x y y =→?→→，()0,0n p p ρ→

设()'

0003,p x y E =∈，则存在()(){}30

,,n n x y E x y ∈-

使00,n

n x

x y y →→

若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大）则0011sin

sin n n y y x x =→= 所以()003,x y E ∈

若00x ≠，则0n x →，01

sin

n n

y y x =→，011y -≤≤ 所以()(){}

00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'33

0,;11E E δδ?

-≤≤U

反过来：()(){}

0003,0,;11p x y E δδ?=∈-≤≤U ，若00x ≠，00

sin

y x =，故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x → 从而0

sin

sin n x x → 即存在()001,sin

,n n x x y x ??

→ ??

故'

03p E ∈.

若()(){}

000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =，令()0

0,1,2,2k x k k x π=

≠=+L .

则()0001

sin

sin 2sin k

k x x y x π=+==，所以()3011,sin

,,sin 0,k k

k x E x y x x ????

∈→ ? ??

???

，()()00,0,k x y y → ()()00,0,k x y y ≠

故'

03p E ∈

故结论成立.

5. 证明当E 是n R 中的不可数无穷点集时，'

E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'

E B E -= 所以()'E E B B E B =-?U U .

若能证明B 是至多可数集，则若'

E 是有限集或可列集知'

E B E ?U 为至多可

数集，这将与E 是n

R 中的不可数无穷点集矛盾. 故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集

p B ?∈，0p δ?>使(){},p N p E p δ=I

故()

,n p p N p R δ?a 是B 到n

R 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的

11-对应.

而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取

α∈Λ，取有理点

p A α∈，则从,A A αβαβ=?≠I 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应

故{},A αα∈Λ是至多可数集. 证毕

第二章第二节习题

1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'

F F F =U ，若F 为闭集，则'F F ? 所以'

F F F F F F F =?=?U U

故F F =

反过来，若'

F F F F =?U ，则必有'

F F ?

从而F 为闭集.

2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，

(){};x f x a >都是开集， (){};x f x a ≥都是闭集.

证明：任取常数a ，若 (){}

0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，

0,0a x δ?>，

使()(){

}

00,,;a x x N x x f x a δ∈?≥. 这表明(){

}

;x f x a >是开集.

任取常数a ，若{}(){}

;n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()

f x

连续知

()()0lim n n f x f x a →∞

=≥

故(){}

0;x x f x a ∈≥

这表明(){}(){}

;;x f x a x f x a ≥?≥. 故(){}

;x f x a ≥是闭集.

3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(

){

}

,;,N p p p p δρδ=<（N

通常称为一闭邻域）

证明：()0,p N p δ?∈，则()00,p p ηρδ≤<@

()0,Q N p δη?∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=

故()()0,,N p N p δηδ-?. 故(),N p δ是开集得证.

°(){}(){}

'''';,,;,n p p p p p p p p ρδρδ?∈≤∈≤且°n p p → 则°

()

(),0,,n n p p p p ρρδ→≤ °()°()()°()

,,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+.

令n →∞得°

()

,0p p ρδ≤+. 故(

){

}(){}'

;,;,p p p p p p ρδ

ρδ≤?≤.

表明(

){

}

;,p p p ρδ≤是闭集.

又°

(

){

}

;,p p p p ρδ?∈≤ 令°

11k p x p k k ??=

+- ???

，则()°°()

111,1,1,1k p x p p p p p k k k k ρρρδδ????????=+-=-≤-< ? ? ?

?????

????.

°()

°(

)

,,0k x p p p k

ρρ=

→ 故()°,,k k x N p x p δ∈→

这表明(

){

}()()'

;,,,p p p N p N p ρδδδ≤??

而()(

){}

,;,N p p p p δρδ?≤

故()(

){

}(

){

}

()'

,;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ?≤=≤?

这表明()(

){

}

,;,N p p p p δρδ=≤.

4.设?是一有限闭区间，()1,2,3,n F n =L

都是?的闭子集，证明如果

n n F ∞

==?I ，则必有正整数N ，使1

n n F ==?I .

证明：令1

n i i S F ==I ，则显知1

n n n n F S ∞

∞

===I I ，且12n S S S ????L L

(),1i n F i n ?≤≤为闭集，故n S 也为闭集.

下证 N ?，使1

n N n F S ===?I .

反证，设,n n S ?≠?，则n n x S ?∈??，

实变与泛函期末试题答案

06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分证明二对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分证明三由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ,选0,i 使0 1 ,i ε<则当0i n n >时,对一切

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限），令()(),f x m E a x b *=?<< ，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。（×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。证明因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ，且()n f x 是单调的。因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。

实变函数与泛函分析基础第三版

书籍目录：第一篇实变函数第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合第一章习题第二章点集 1 度量空间，n维欧氏空间 2 聚点，内点，界点 3 开集，闭集，完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛第四章习题第五章积分论 1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分

第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题

实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案

第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？解：若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ，假设 n A A A ,,,21是一集列，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ

第三版实变函数论课后答案

1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。证毕 2. 证明c A B A B -=I 、证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、综合上两个包含式得c A B A B -=I 、证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、证毕定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立）二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I

（C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 2．若()E R ?的外测度为0，则（）（A ）E 是可测集（B ）0mE = （C ）E 一定是可数集（D ）E 一定不是可数集 3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（）（A ）()E f x dx ?存在（B ）()f x 在E 上L -可积（C ）.()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=?? 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（）（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E - ∈至少有一个成立（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E - ∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值（D ）|()|()f x L E ∈

实变函数论课后答案第四章

实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设于，于，证明：于证明：，（否则，若，而，矛盾），则（）从而 2．设于，，且于，证明于证明：由本节定理2（定理）从知的子列使于设，，于，从条件于，设，,于上令，则，且故，则令，故有，从而命题得证

3．举例说明时定理不成立解：取，作函数列显然于上，但当时，不故时定理不成立，即于不能推出于周民强《实变函数》P108 若是非奇异线性变换，，则（）表示矩阵的行列式的绝对值. 证明：记显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有，现在假定（）式对于成立（）则因为，所以得到这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体，）对一般开集，，为二进方体，互补相交则

1-1 ，连续，连续开，则开，从而可测于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令有界，令即可. 连续，则开，开，可测（），，故（开）若为无界集，令，则，为有界集，线性，则若，则（后面证），则由注释书P69定理3，存在集，，若有界，则，故（1-1）则，故若无界，则，线性，若，则证明：为的基，，，,,令，则则（即是连续的）一边平行于坐标平面的开超矩体于

，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知是可测集若（）式成立，则矩体，，为正方体，则对开集也有，特别对开区间这一开集有则可知，若，则事实上，，开区间，，令知若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积（i）坐标之间的交换（ii） (iii) 在（i）的情形显然（）成立在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到从而可知（）式成立在（iii）的情形，此时（）

实变函数论习题选解

《实变函数论》习题选解一、集合与基数 1.证明集合关系式：（1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ；（2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--；（3）C B A C B A Y )()(-?--；（4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？证（1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律）， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证必要性（左推右，用反证法）：若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?；但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示：故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ，即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对

实变函数论课后答案第三版

1. 证明：()B A A B -=U 的充要条件是A B ?. 证明：若()B A A B -=U ，则()A B A A B ?-?U ，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?U U ，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-U ，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ?-U ，从而有()B A A B -=U 。证毕 2. 证明c A B A B -=I . 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?I . 另一方面，c x A B ?∈I ，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-I . 综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I . 证：若x A λλ∈∧ ∈I ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈I ，这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I . 定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U . 证：若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ，则有'λ∈∧，使 ' ' ()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U . 反过来，若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U . 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ，则有'λ∈∧使' ' ' ()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U . 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U .

实变函数论第三版课后答案高等教育出版社

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则() ()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈，则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有() x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-，所以c A B A B -?. 另一方面，c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈ ，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧）成立知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()( )( )A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若()x A B λ λλ∈∧ ∈ ，则有'λ∈∧，使 ''()( )( )x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈ 或者x B λλ∈∧ ∈. 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = .

西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案

1：[单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A 2：[单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B 3：[单选题] A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C 4：[单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B 5：[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 6：[单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A 7：[单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可数集

参考答案：A 8：[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 9：[判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 10：[判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 11：[判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 12：[判断题] 参考答案：正确 13：[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 14：[判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 15：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 16：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 1：[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C 2：[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A 3：[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1 C:2 参考答案：A

实变函数标准答案第三版第二章点集

第二章点集 1、证明：' 0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ?（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0o P E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ?（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ??. ()()()'00100010101001001'0010 000:min ,,,,..o P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈?=-????∈?∈?∈?∈∈∈?∈? 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一（P ）也有异于P 的点，故若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,. o d P P d P P E P E δδδδδδ?∈??=-????∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而 4、设3E 是函数 1 sin ,0,0,0 x y x x ?≠?=??=?当当的图形上的点所作成的集合，在2 R 内讨论' 333o E E 的E 与. (){}'33=0y 11. o E y E φ?-≤≤=解：E ， 8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。 (){} ()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}. {, |}. ' ',o o o o o c o x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>?∈=><=≥=<=≥∈=≥?' 任取则由在处连续及极限的保号性知，存在当时有即即为的内点，从而证明为开：集；类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集. 9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。

(完整word版)实变函数论与泛函分析基础(第三版程其襄)习题答案第二章

(完整word版)实变函数论与泛函分析基础(第三版程其襄)习题答案第二章亲爱的读者：本文内容由我和我的同事精心收集整理后编辑发布到文库，发布之前我们对文中内容进行详细的校对，但难免会有错误的地方，如果有错误的地方请您评论区留言，我们予以纠正，如果本文档对您有帮助，请您下载收藏以便随时调用。下面是本文详细内容。最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~

结尾处，小编送给大家一段话。米南德曾说过，“学会学习的人，是非常幸福的人”。在每个精彩的人生中，学习都是永恒的主题。作为一名专业文员教职，我更加懂得不断学习的重要性，“人生在勤，不索何获”，只有

不断学习才能成就更好的自己。各行各业从业人员只有不断的学习，掌握最新的相关知识，才能跟上企业发展的步伐，才能开拓创新适应市场的需求。本文档也是由我工作室专业人员编辑，文档中可能会有错误，如有错误请您纠正，不胜感激！ At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!

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