第二节有效数字及其运算规则
学习目标：掌握有效数字的运算规则。
课前学习
一、复习回顾：
两把刻度尺的读数分别是厘米和。读数为何不同？哪一把的更准确？
第一把刻度尺的准确数值是；第二把的是。
二、课堂学习
（一）有效数字
（阅读课本P25倒数第二段，完成下列问题）
１有效数字是。
2．有效数字由两部分组成，它们分别是和。
即：。
3．有效数字的位数是怎样确定的？
。
例如：分析天平小数点后要保留位有效数字；托盘天平小数点后要保留位有效数字；
10ml量筒小数点后要保留位有效数字；滴定管小数点后要保留位有效数字；
4．有效数字中“0”的作用：
①在具体数字前面时，
②在数字中间时
③在数值后面时，
例如：3700分别可以有位、位、位有效数字，应分别记作、和。
5、对于含有对数的PH、lgK等的有效数字的位数取决于，例如：
PH = 8.32,,有个有效数字。
6.在计算中遇到分数、倍数的关系时，应视为多位有效数字。
[课堂练习]
1、分析工作中实际能够测量到的数字称为（）
A.精密数字
B.准确数字
C.可靠数字
D.有效数字
2、下面数值中，有效数字不是四位的是（）
A. ω(CaO)=25.30%
B.pH=11.50
C.π=3.141
D.1000
3、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）
A.[H+]=0.0003mol/L
B. pH=10.42
C. ω(MgO)=19.96%
D.4000
4、下列各数中，有效数字位数为四位的是（）
A. pH=11.25
B.C(Cl-)=0.0002 mol/L
C. ω(Fe)=0.040
D. ω(CaO)=38.56%
5、下列数值中有几位有效数字？
1、1.057
2、1500
3、5.24×10-10
4、0.0037
5、0.0230
6、pH=5.30
7、1.502 8、0.0234 9、0.00300
10、10.030 11、8.7×10-612、pH=2.0
13、114.0 14、40.02% 15、0.50%
16、0.0007% 17、pK=7.12 18、95.500
（二）、有效数字的修约规则
（阅读课本P25-P26,完成下列问题）
1、有效数字的修约规则可概括为：
具体解释为：
2、修约有效数字时应注意哪些问题？
【及时练习】
将下列数据修约为2位有效数字：
3.5497 2.66 0.1050
4.55 8.251
（三）有效数字的运算规则：
（阅读课本P26-P27,完成下列问题）
1、几个数据相加或相减时，它们的和或差的有效数字的保留，应以
为依据，将各数据多余的数字修约后再进行加减运算。
2、几个数据相乘或相除时，它们的积或商的有效数字的保留应以
为依据，将各数据多余的数字修约后再进行乘除运算。
3、有效数字运算时的注意事项：
①若数据的第一位数字大于8时，
②有关化学平衡的计算，应保留
③通常对于组分含量在10%以上，一般要求分析结果有效数字位，含量在1%--10%时，低于1%时，一般要求
位有效数字。
④以误差或偏差表示分析结果的准确度时，。
⑤用计算器连续运算得出的结果，应
[课堂练习]
1、在有效数字的运算规则中，几个数据相乘除时，它们的积或商的有效数字位数的保留应以（）
A.小数点后位数最少的数据为准
B.相对误差最大的数据为准
C.有效数字位数最少的数据为准
D.绝对误差最大的数据为准
2、当有效数字位数确定后，对其多余数字进行修约时，如果被修约的数字为5，正确的修约方法是（）
A.5后非零时舍弃
B.5后非零时进位
C.5后为零时舍弃
D.5后为零时进位
3、下列数据中具有三位有效数字的是（）
A.0.35
B.0.102
C.9090
D.pKa=4.74
4、算式（30.582-7.43）+（1.6-0.54）+2.4963中，绝对误差最大的数据是（）
A.30.582
B.7.43
C.1.6
D.0.54
5、下列数据均保留两位有效数字，修约结果错误的是（）
A.1.25→1.3
B.1.35→1.4
C. 1.454→1.5
D. 1.7456→1.7
6、下列四个数据修约为四位有效数字后为0.7314的是（）
A.0.73146
B.0.731349
C.0.73145
D.0.731451
7、用分析天平准确称量某试样重，下列记录正确的是（）
A.1.45g
B. 1.450g
C. 1.4500g
D. 1.45000g
8、下列数据中具有三位有效数字的是（）
A.0.030
B.1.020
C.8.00×103
D.pH=4.74
9、下列数据修约为两位有效数字，修约结果错误的是（）
A.1.24→1.2
B. 3.452→3.5
C. 0.289→0.29
D. 8.65002→8.6
10、算式
±1的绝对误差，哪个数据在计算结
果中引入的相对误差最大（）
A.2.034
B.0.5106
C.603.8
D.0.3512
11、由计算器算得0.000255937，按有效数字运算规则应将结果修约为（）
A.0.002 D.0.0002559
12、由计算器算得（2.236×1.1124）÷（1.036×0.200）的结果为12.004471，按有效数字运算规则应将结果
修约为（）
A.12
B.12.0
C.12.00
D.12.004
三、判断
1、将3.1424、3.2156、5.6235和4.6245处理成四位有效数字时，则分别为3.14
2、3.216、5.624和4.624
（）
2、将7.63350修约为四位有效数字的结果是7.634。（）
第二章 定量分析中的误差与数据评价 第二节 有效数字及其 运算规则一、有效数字 二有效数字的修约规则三、有效数字运算规则 2010-9-8
2010-9-8一、有效数字 1．实际上能测量到的数字;末位数欠准(±1)。如：分析天平 1.0912 g 1.0911 -1.0913 g 移液管：23.00ml 2 2.99 -2 3.01 ml 量筒: 20 ml 19 -21 ml 有效数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反映测量的精确程度。 结果（ml) 绝对误差(ml) 相对误差(%) 有效数字位数23.00 0.01 0.04 423.0 0.1 0.4323 1 42
2010-9-8 2．数据中零的作用 数字零在数据中具有双重作用： （1）位于其他数字之后，是有效数字，如0.5180 4位有效数字 5.180×10－1 （2）位于其他数字之前，作定位用：如0.0518 3位有效数字 5.18×10－2
2010-9-8 3．注意点 （１）实验记录数据：只保留一位欠准数字 ☆容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；有效数字记录至小数点后2位 ☆分析天平（万分之一）有效数字记录至小数点后4位☆标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L （2）pH值,对数小数点后的数字位数为有效数字位数 如：pH=11.02 [H +] = 9.6 ×10-12 (3)改变单位，不改变有效数字的位数 如：24.01mL 24.01 ×10－3L
2010-9-8 二、运算规则 1. 加减运算 结果的位数取决于绝对误差最大（小数点后位数最少）的数据的位数为准 例：0.0121 绝对误差：0.0001 + 25.64 0.01 +1.057 0.001 =26.71
2.2 分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1. 有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)，但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反映分析对象的量的多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，由确定的数字和它后面第 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(significant figure) 一位具有一定不确定度的不定数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 的多少因而不是有效数字。 ．．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品0.203 16g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0 mL，其不确定度为±0.1 mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2. 有效数字的确定 有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确定度 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。例如，称得样品的质量为(0.200 0±0.000 2)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。又如，氯的相对原子质量为35.452 7(9)，可见其不确定度为±0.000 9，相对不确定度为±0.03‰。 所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字 ．．．．．．．．．．．)．，或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字和末位不定数字 者说分析结果的有效数字可根据分析结果的准确度或不确定度来确定，有效数字最后一位数字必须是不定．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 数字并且只有最后一位数字是不定数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．。 [例2-8] 有效数字的确定举例如下： ①(0.305 0±0.000 2)g(样品质量)，78.96(3)(Se的相对原子质量)和20.43 mL(标准溶 液体积)均为四位有效数字；31.05%(百分含量，计算结果)也为四位有效敷字。 ②0.095 7(3)mol/L(标准溶液浓度，其中0为与单位有关的数字即不是有效数字)， 20.0 mL(试剂体积)和1.75×10-5 g/mol(HAc的酸度常数)，均为三位有效数字。 ③0.50 g(试剂质量)，7.8 mL(试剂体积)，2.0 mol/L(试剂浓度)和pH=8.35(溶液酸度，其中8是与单位有关的数字；即8不是有效数字，[H+]＝0.45×10-8 mol/L)，均为两位有效数字。 ④0.000 3 mol/L(标准偏差)和一0.3%(相对误差)，±2‰。(相对不确定度)，都只有一位有效数字。 由于误差、偏差、标准偏差和不确定度等衡量的是分析结果的最后—位不定数字的差异程度，因而分． 析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 错误的 ．．．。 3. 数字修约规则 舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。过去人们习惯采用“四舍五
有效数字及其运算法则 物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。 一、有效数字的概念 任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如0.0135m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。 二、直接测量的有效数字记录 物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要读出并记录。对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的
?有效数字修约与运算法则 ? 1.有效数字的基本概念： ?（1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值,其最后一位数字欠准是允许的,这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值,即为有效数字。?（2）有效数字的定位(数位),是指确定欠准数字的位置,这个位置确定后,其后面的数字均为无效数字。 ?例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml,如果滴定管的体积介符于20.9ml到 21.0ml之间,则需估计一位数字,读出20.97ml,这个7就是个欠准的数字,这个位置确 定后,它有效位数就是4个,即使其后面还有数字也只是无效数字。 ?（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。 ?例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104; 若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或3.5×104。 ?（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数,例如：3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数;10.00为四位有效位数;12.490为五位有效位数。 ?（5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为 2无限多位。例如，H2SO4中的2和4是个数。常数л和系数等。数值的有效位数可视为无限多位。每1ml××滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度,规格项下的0.3g或“1ml:25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无限多位。 即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。 ?（6）pH值等对数值,其有效位数是由其小数点后的位数决定的,其整数部分只表明其真数的乘方次数。
§ 1.4 有效数字及其运算规则 、有效数字的一般概念 1. 有效数字 任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。 我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“ 8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。 2. 确定测量结果有效数字的基本方法 (1) 仪器的正确测读 仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。 例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。 此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。其中，83.8是可靠数，尾数“ 7” 是可疑数，有效数字为四位。 (2) 对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数 的位置。例如，一级电压表的最大指示俣差二舟X%. %为最大量程，若0 = 157,则 所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。如某测量值为 12.3V，若读出：12.32V，贝U尾数“ 2”无意义，因为它前面一位“ 3”本身就是可疑数字。 (3) 测量结果的有效数字由误差确定。不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。 如L=(83.87 ± 0.02)cm 是正确的，而L=(83.868 ± 0.02)cm 和L=(83.9 ± 0.02)cm
§1.4? 有效数字及其运算规则 ? 一、有效数字的一般概念 ? 1.有效数字 任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。 我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。 2.确定测量结果有效数字的基本方法 (1)仪器的正确测读 仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。 例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。 此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。 (2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数 所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。 (3)测量结果的有效数字由误差确定。不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。 3.关于“0”的问题
有效数字的位数与十进制的单位变换无关。末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。 小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。如 0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。 4.数值表示的标准形式 数值表示的标准形式是用10的方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如3.3×105m? 8.25×10-3kg等。 ? 二、有效数字的运算规则 ? 在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)： 1.有效数字的加减 的必要。 在上面两例中，我们按数值的大小对齐后相加或相减，并以其中可疑位数最靠前的为基准，先进行取舍，取齐诸数的可疑位数，然后加、减，则运算简便，结果相同。 2.有效数字的乘除 点后面是可疑数字，允许有所不同。 从以上两例中可得如下结论：诸量相乘或相除，以有效数字最少的数为标准，将有效数字多的其它数字，删至与文相同，然后进行运算。最后结果中的有效数字位数与运算前诸量中有效数字位数最少的一个相同。 3.有效数字的乘方和开方 有效数字在乘方和开方时，运算结果的有效数字位数与其底的有效数字的位数相同。 4.对数函数、指数函数和三角函数的有效数字 对数函数运算后，结果中尾数的有效数字位数与真数有效数字位数相同。
2.2分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1.有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值，就应正确反映分析对象的量的多少。由于随机误差不可避免，测定值都是些近似值，都有一定的不确定度，因此测定值包含确定的数字(重复测定时不会发生变化的准确数字)和它后面的不定数字(重复测定时会发生变化的数字)， 但是只有确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定数字才能正确反．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 映分析对象的量的多少 ．．．．．．．．．．。 能够正确反映分析对象的量的多少的数字称为有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (sign ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ificantfigure) ．．．．．．．．．．．．．．，由确定的数字和它后面第一位具有一定不确定度的不定 数字构成，决定于单位的数字和多余的不定数字不能正确反映分析对象的量的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 多少因而不是有效数字。 ．．．．．．．．．．．如用示值变动性为±0.0001 g的分析天平称得样品0.20316g，则末位数字6是多余的不定数字而首位数字0是决定于单位大小的数字，都不是有效数字；但数字2、中间的0、3和1能够正确反映对象的量的多少，都是有效数字，因此该数据只有四位有效数字。可见，实际能够测量到的数字就是有效数字的观点是错误的，但可以说准确测定的数字都是有效数字。 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0mL，其不确定度为±0.1mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2.有效数字的确定
有效数字的运算规则 https://www.doczj.com/doc/c817025435.html, 2005-6-11 19:20:59 来源：生命经纬 1）加法和减法 在计算几个数字相加或相减时，所得和或差的有效数字的位数，应以小数点后位数最少的数为准。如将3.0113、41.25及0.357相加，见下式（可疑数以“？”标出）； 可见，小数点后位数最小的数41.25中的5已是可疑，相加后使得44.6183中的1也可疑，所以，再多保留几位已无意义，也不符合有效数字只保留一位可疑数字的原则，这样相加后，结果应是44.62。 以上为了看清加减后应保留的位数，而采用了先运算后取舍的方法，一般情况下可先取舍后运算，即 2）乘法与除法 在计算几个数相乘或相除时，其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为准。如1.211与12相乘： 显然，由于12中的2是可疑的，使得积14.532中的4也可疑，所以保留两位即可，结果就是14。
同加减法一样，也可先取舍后运算，即： 3）对数 进行对数运算时，对数值的有效数字只由尾数部分的位数决定，首数部分为10的幂数，不是有效数字。如2345为4位有效数字，其对数lg2345=3.3701，尾数部分仍保留4位，首数“3”不是有效数字。不能记成lg2345=3.370，这只有3位有效数字，就与原数2345的有效数字位数不一致了。在化学中对数运算很多，如pH值的计算。若c（H+）=4.9×10-11mol·L-1，这是两位有效数字，所以pH=-lgc （H+）/cφ=10.31，有效数字仍只有两位。反过来，由pH=10.31计算c（H+）时，也只能记作｛c（H+）｝=4.9×10-11，而不能记成4.898×10-11。 4）首位数大于7的数有效数字的确定 对于第一位的数值大于7的数，则有效数字的总位数可多算一位。例如8.78，虽然只有3位数字，但第一位的数大于7，所以运算时可看作4位。
1.3 有效数字及其运算法则 物理实验中要记录数据并进行运算，记录的数据应取几位，运算后应保留几位，这些要由不确定度来决定，也涉及有效数字的问题。 1.3.1 有效数字的概念 任何一个物理量，既然其测量结果都包含有误差，该物理量的数值就不应该无限制地写下去。例如，cm应写成cm。因为由不确定度0.02cm可知，该数值在百分位上已有误差，在它以后的数字便没有意义了。 因此，测量结果只写到有误差的那一位数，并且在位数以后按“四舍五入”的法则取舍。最后一位虽然有误差，但在一定程度上也能反映出被测量的客观大小，也是有效的。所以我们把能反映出被测量实际大小的全部数字，称为有效数字。或者说，我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，统称为测量结果的有效数字。有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的 1.37cm 称为三位有效数字。 有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如0.0135 m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。 有效数字的位数多少大致反映相对不确定度的大小。有效数字位数越多，相对不确定度越小，测量结果的精确度越高。 1.3.2 如何确定有效数字 当给出（或求出）不确定度时，测量结果的有效数字由不确定度来确定。由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字只取一位（若首位为1、2时，不确定度可取二位）。测量值的最后一位要与不确定度的最后一位取齐。一次直接测量结果的有效数字可以由仪器允差或估计的不确定度来确定；多次直接测量结果（算术平均值）的有效数字，由计算得到的A类不确定度来确定；对于间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定。 当未给出（或未求出）不确定度时，直接测量还是间接测量结果的有效数字位数也不能任意选取。 对于直接测量量，在一般情况下，有效数字取决于仪器的最小分度是否估读以及估读的程度。如对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。 对于间接测量量，其有效数字位数由参与运算的各直接测量量的有效数字位数以及运算方式来估计。 为了达到不因计算而引进误差，影响结果；同时又尽量简洁，不作徒劳的运算这
精心整理 2.2分析化学中的有效数字及其运算 一、分析结果的有效数字及其处理 1.有效数字的概念 既然真值表示分析对象客观存在的数量特征，那么分析结果作为真值的估计值， 数字 、3和1 有效数字最后一位的不确定度常写在它后面的括号里，最后一位的不确定度为±0.02，最末一位不定数字9的不确定度为2。再如标称值为100mL的A级容量瓶量取溶液的体积为100.0mL，其不确定度为±0.1mL，最末一位不定数字0的不确定度为1，省略不写。 2.有效数字的确定
有效数字不但表明了分析对象的量的多少，还反映了分析结果的准确度或不确．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 定度 ．．。例如，称得样品的质量为(0.2000±0.0002)g，可见其不确定度为±0.0002 g，相对不确定度±1‰。又如，氯的相对原子质量为35.4527(9)，可见其不确定度为±0.0009，相对不确定度为±0.03‰。 所以，根据分析结果的准确度或不确定度可确定分析结果的有效数字 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(．准确数字 。 )，其中 字的差异程度，因而分析结果的误差、偏差、标准偏差和不确定度等参数都只有一 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 位有效数字，允许保留一位参考数字的做法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 3.数字修约规则 舍弃多余数字的过程称为数字修约，它所遵循的规则称为数字修约规则。过去人们习惯采用“四舍五入”规则，其缺点是见五就进，必然会导致修约后的测量值
系统偏高；现在则通行“大五入小五舍五成双一次修约”规则，逢五时有舍有入，由五的舍入所引起的误差本身可自相抵消。 “大五入小五舍五成双一次修约”规则规定，把多余的不定数字看成一个整体(一次修约)，与5(添零补齐位数)比较，前者大于后者就入(大5入)，前者小于后者就舍(小5舍)，前者等于后者就使修约后其前一位为偶数即前一位为奇数时进、为偶数时舍(5 =22222)0003.0(3)001.0()00006.0(2±?+±+±?±g/mol =±0.002 g/mol 这表明Na 2CO 3的摩尔质量的千分位(小数点后的第三位数字)有±2的不确定度，因此其有效数字应保留到千分位(小数点后第三位)，即 ＝[2×2298968(6)+12.011(1)+3×159994(3)]g/mol ＝(105.989±0.002)g/mol
一、目的：建立有效数字及其运算规程，规范药品生产时记录数据的运算规范、准确。 二、范围：适用于所有相关数据的计算。 三、责任者：生产部、质量管理部。 四、内容 1．有效数字 1.1定义 有效数字就是实际能测到的数字。有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。我们可以把有效数字这样表示。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 1.2有效数字位数 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 例：A.0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。 B.3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。 C.5200000000，全部都是有效数字。 D.0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。 E.1.20 有3个有效数字。 F.1100.120 有7位有效数字。 G.2.998*104（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*104。 H.对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。 1.3“0”的双重意义 1.3.1作为定位的标志。 例：滴定管读数为20.30毫升。两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。 1.3.2作为普通数字使用 例：改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。 2.有效数字的运算规则 2.1数字修约规则
题目有效数字及其运算规则编码: 页码：1/3 修订审核批准 修订日期审核日期批准日期 颁发部门质量管理部颁发数量份生效日期 分发单位生产部、质量管理部 一、目的：建立有效数字及其运算规程，规范药品生产时记录数据的运算规范、准确。 二、范围：适用于所有相关数据的计算。 三、责任者：生产部、质量管理部。 四、内容 1．有效数字 1.1定义 有效数字就是实际能测到的数字。有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。我们可以把有效数字这样表示。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 1.2有效数字位数 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 例：A.0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。 B.3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。 C.5200000000，全部都是有效数字。 D.0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。 E.1.20 有3个有效数字。 F.1100.120 有7位有效数字。 G.2.998*104（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*104。 H.对数的有效数字为小数点后的全部数字，如lg x=1.23有效数字为2.3，lg a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。 1.3“0”的双重意义 1.3.1作为定位的标志。 例：滴定管读数为20.30毫升。两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。 1.3.2作为普通数字使用 例：改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。 2.有效数字的运算规则
§1.4有效数字及其运算规则 一、有效数字的一般概念 1.有效数字 任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。 我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。 2.确定测量结果有效数字的基本方法 (1)仪器的正确测读 仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。 例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。 此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。 (2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数 所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。 3.关于“0”的问题 有效数字的位数与十进制的单位变换无关。末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。 小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。如 0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。 4.数值表示的标准形式 数值表示的标准形式是用10的方幂来表示其数量级。前面的数字是测得的有效数字，并只保留一位数在小数点的前面。如3.3×105m 8.25×10-3kg等。 二、有效数字的运算规则 在有效数字的运算过程中，为了不致因运算而引进误差或损失有效数字，影响测量结果的精确度，并尽可能地简化运算过程，因此，规定有效数字运算规则如下(例中加横线的数字代表可疑数字)： 1.有效数字的加减 的必要。
有效数字运算规则 间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题。严格说来，应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。 有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位(最多两位)欠准确数字。 1．加减运算 根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度，等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。如： y x N += x y x N U U U U >+=22(或y U ) 因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐，或根据有效数字与不确定度的关系，计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。 【例3】235.31.32+和652.19.116-的计算结果各应保留几位数字？ 【解】先观察一下具体计算过程： 533.355 23.31 .32+ 842.115265.19.116- 可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减，其结果必然是欠准确数字。例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则 3.35235.31.32=+ 2.115652.19.116=- 分别为三位有效数字和四位有效数字， 2．乘除运算 乘除运算结果的相对不确定度，等于参与运算各量的相对不确定度平方和的开方，因此运算结果的相对不确定度大于参与运算各量中的最大相对不确定度。我们知道，有效数字位数越少，其相对不确定度越大。所以，乘除运算结果的有效数字位数，与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。 【例4】11.11111.1?的计算结果应保留几位数字？ 【解】计算过程如下： 因为一个数字与一个欠准确数字相乘，其结果必然是欠准确数字。所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其后的数字都是欠准确数字。按照保留一位欠准确数字 的原则 23.111.11111.1=? 为三位有效数字。这与上面叙述的乘除运算法则是一致的。即在该例中，五位有效数字与三1111.1 11.1? 1111111111 11111 123332.1
有效数字及运算规则 1.4.1 有效数字的基本概念 任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。 测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。 一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。而cm 600.4则有四位有效数字。实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。 1.4.2 直接测量的读数原则 直接测量读数应反映出有效数 字，一般应估读到测量器具最小分度 值的10/1。但由于某些仪表的分度较 窄、指针较粗或测量基准较不可靠等， 可估读5/1或2/1分度。对于数字式 仪表，所显示的数字均为有效数字， 无需估读，误差一般出现在最末一位。 例如：用毫米刻度的米尺测量长度， 如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。 “6.1”是从米尺上读出的“准确” 数，“7”是从米尺上估读的“欠准确” 数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。若如图(b )所示时，cm 00.2=L ，仍是三位有效数字，而不能读写为cm 0.2=L 或cm 2=L ，因为这样表示分别只有两位或一位有效数字。 图1-4-1 直接测量的有效数字
有效数字及其运算规则 一、测量结果的有效数字 1．有效数字的定义及其基本性质 测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。 有效数字具有以下基本特性： （1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。 对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。例如用千分尺（最小分度值0.01mm ，0.004mm ?=仪）测量某物体的长度读数为 4.834mm 。其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的?仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。如果改用最小分度值（游标精度）为0.02mm 的游标卡尺来测量，其读数为 4.84mm ，测量值就只有三位有效数字。游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02mm ?仪＝也是在同一数位上。 （2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。 2．有效数字与不确定度的关系 在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。如3 (8.9270.005)/g cm ρ=±，测量值的末位“7”刚好与不确定度0.005的“5”对齐。 由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。 3．数值的科学表示法 二、有效数字的运算规则 1．数值的舍入修约原则 测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以
有效数字及运算规则 有效数字的基本概念 任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。 测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。 一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。而cm 600.4则有四位有效数字。实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。 直接测量的读数原则 直接测量读数应反映出有效数 字，一般应估读到测量器具最小分度 值的10/1。但由于某些仪表的分度较 窄、指针较粗或测量基准较不可靠等， 可估读5/1或2/1分度。对于数字式 仪表，所显示的数字均为有效数字， 无需估读，误差一般出现在最末一位。 例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。若如图(b )所示时，cm 00.2=L ，仍是三位有效数字，而不能读写为cm 0.2=L 或cm 2=L ，因为这样表示分别只有两位或一位有效数字。 如图(c)所示，cm 70.90=L 有四位有效数字。若是改用厘米刻度米尺测量该长度时，如图(d )所示，则cm 7.90=L ，只有三位有效数字。所以，有效数字位数的多少既与使用仪器的精度有关，又与被测量本身的大小有关。 在单位换算或小数点位置变化时，不能改变有效数字位数，而是应该运用科学记数法，图1-4-1 直接测量的有效数字
1. 有效数字及其运算规则 1. 1 有效数字 1. 定义 有效数字就是实际能测到的数字。有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量 方法、测量仪器的准确度有关。我们可以把有效数字这样表示。 有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字 表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。 例：7.5克用的是粗天平 7.52克用的是扭力天平 7.5187克用的是分析天平 2. “0”的双重意义 作为普通数字使用或作为定位的标志。 例：滴定管读数为20.30毫升。两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。 改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。 3. 规定 (1)．倍数、分数关系无限多位有效数字 (2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。 例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。 1. 2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）
规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。 例：将下列数字修约为4位有效数字。 修约前修约后 0.526647--------0.5266 0.36266112------0.3627 10.23500--------10.24 250.65000-------250.6 18.085002--------18.09 3517．46--------3517 注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。如：13.4748－13.47 1. 3 计算规则 1. 加减法 先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。 例：计算50.1+1.45+0.5812=? 修约为：50.1+1.4+0.6=52.1 先修约，结果相同而计算简捷。 例：计算 12.43+5.765+132.812=? 修约为：12.43+5.76+132.81=151.00 注意：用计数器计算后，屏幕上显示的是151，但不能直接记录，否则会影响以后的修约；应在数值后添两个0，使小数点后有两位有效数字。 2. 乘除法