函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
（ 1）映射：设 A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f ，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A 、B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集
合 B 的映射，记作 f ：A → B 。
注意点：（ 1）对映射定义的理解。 （ 2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例 1、下列各对函数中，相同的是（
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（ 1 ）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；
（ 4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1； 例.（05 江苏卷）函数 y
log 0.5（4x 2 3x ） 的定义域为 _______________________
2 求函数定义域的两个难点问题 例
3 ：
（2） 已知f （2x －1）的定义域是 [-1,3], 求f （ x ）的定义域 。
2 x
x 2
例 4：设 f （x ） lg ，则 f （ ） f （ ）的定义域为 _____________
2 x 2 x
2
变式练习： f （2 x ） 4 x 2 ，
求 f （ x ）的定义域。
三、函数的值域
1 求函数值域的方法
①直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f （x ） 的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
A 、 f(x) 2
lg x 2 ,g(x) 2lg x B 、
f (x)
C 、 f (u)
例 2、 M 数关系的有（
A 、 0 个
1u
1 {x|0
,g(v) u x )
f （x ）
x1
lg x 1 ,g(x) lg(x 1) lg(x 1) x1
=x ， f (x)
x 2
3} 给出下列四个图形， 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函
D 、 B
2}, N {y|0
y
运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 x ∈R 的分式； 适合分子分母皆为一次式( x 有范围限制时要画图) ； 利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ③判别式法 ④分离常数 ⑤单调性法 ⑦利用对号函数 ⑧几何意义法： 例： 由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1． 直接法) 1 x 2
2x 3 ． f (x) 2 24 2x x 2
3． 换元法) x 2x 4. 3x Δ法) y x 23x 4
5.
2 x 2
x
6. ( 分 离 常 数 法 ) ① 3x
2x 1
1( 7. ( 单调性 ) 8. ① y
x x 1
②
x1 9． ( 图象法 ) y 11. ( 几何意义 ) 4) 23
x (x [ 1
x1 3 2x
，② x 2( 四．函数的奇偶性 1．定义 : 设 y=f(x) 1,3])
2x x1
x 2)
， x ∈A ，如果对于任意 如果对于任意 x1 (
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结合分子 / 分母有理化的数学方法 )
． (对号函数 ) y 2x 8(x
x
4)
x ∈ A ，都有 f( x) f (x) ，则称 y=f(x) 为偶函数。 x ∈ A ，都有 f ( x) f(x) ，则称 y=f(x) 为奇函数。 2. 性质 ： ① y=f(x) 称, ②若函数 是偶函数 y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 , y=f(x) 是奇函数 y=f(x) 的图象关于原点对 f(x) 的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 偶×偶=偶 奇×偶=奇［ 两函数的定义域 D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称］ ③奇±奇 =奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 3．奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 例： ②看 f(x) 与 f(-x) 的关系 1
已知函数 f (x) 是定义在 ( ) 上的偶函数 . 当 x ( , 0) 时，f(x) x x 4，则当 x (0, )
时， f (x) 2 已知定义域为 R 的函数 f (x) 2x
b
x 1
是奇函数。
2x 1 a
Ⅰ)求 a, b 的值；(Ⅱ)若对任意的 t R ，不等式 f(t 2
2
2t) f (2t 2 k) 0恒成立，求 k 的取值范
围；
3 已知f(x) 在(－1，1)上有定义，且满足x, y ( 1,1)有f (x) f (y) f ( x y),
1 xy
证明：f(x) 在(－1，1)上为奇函数；
4 若奇函数f (x)(x R)满足f (2) 1，f (x 2) f(x) f(2)，则f (5) ___________________
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：
2 设y f g x 是定义在M上的函数，若f(x) 与g(x) 的单调性相反，则y f g x 在M上是减函数；
若f(x) 与g(x) 的单调性相同，则y f g x 在M 上是增函数。
例：
1 判断函数f (x) x3(x R) 的单调性。
2 函数f(x) 对任意的m,n R，都有f (m n) f (m) f (n) 1，并且当x 0 时，f (x) 1，
⑴求证：f (x) 在R上是增函数；⑵若f (3) 4，解不等式f(a2a 5) 2
3 函数y log 0.1(6 x 2x2) 的单调增区间是 _____________
(3a 1)x 4a,x 1
4(高考真题)已知f (x) 是( , )上的减函数，那么a的取值范围是 ( )
log a x,x 1
1 1 1 1
( A) (0,1) (B) (0,1) (C)[1 ,1) (D)[1 ,1)
3 7 3 7
六．函数的周期性：
1．(定义)若f (x T) f (x)(T 0) f (x) 是周期函数，T是它的一个周期。
说明：nT 也是f ( x)的周期。(推广)若f(x a) f (x b)，则f(x) 是周期函数，b a是它的一个周期对照记忆：
f(x a) f (x a) 说明：
f(a x) f (a x) 说明：
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2．若f (x a) f (x)；f (x a) ；f (x a) ；则f (x) 周期是2a f (x) f (x)
例：
1 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f ( x+2) =－f (x), 则,f (6) 的值为( )
(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D)2
2
定义在 R 上的偶 函数 f(x) ，满足 f(2 x) f(2 x) ， 在区间[-2,0 ]上单调递减，设 a f ( 1.5), b f( 2), c f (5) ，则 a,b,c 的大小顺序为 _____________________
3 已 知 f (x ) 是 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 ， 且 f (x 2)
1 f (x)
,若f (1) 2 3, 则 f 1 f (x) (2005)= . 4 已知 f(x)是(- ， )上的奇函数， f(2 x) f(x)，当 0 x 1时，f(x)=x ，则 f(7.5)= _______________________ 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 f (2 x) f (x) ，当 x [0,2] 时 2 f (x) 2x x 2
⑴ 求 证 ： f (x) 是 周 期 函 数 ； ⑵ 当 x [2,4] 时 ， 求 f (x) 的 解 析 ⑶计算：
七、反函数 1. 只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 ( 1)解 (2) 换 (3) 写定义域。 3、关于反函数的性质
(1) (2) (3) (4) (5) ( 6)y=f(x) 的图象与其反函数 y=f --1 (x) 的图象的交点一定在直线 y=f(x) 和 y=f -1(x) 的图象关于直线 y=x 对称； y=f(x) 和 y=f -1(x) 具有相同的单调性； -1 -1
已知 y=f(x) ，求 f (a) ，可利用 f(x)=a ，从中求出 x ，即是 f (a) ；
-1 f -1
[f(x)]=x;
若点 (a,b) 在 y=f(x) 的图象上，则 (b,a) 在 y=f --1 (x) 的图象上； y=x 上 ; 1 y f (2x 1) 的图像过点 ( ,1)， 例：设函数 y f ( x)的反函数为 y f 1(x) ，且 像必过 1 B ) (1,12)
-1
f 1(x) 的图
1 (A ) (1,1)
2 八．二次函数 ( 涉及二次函数问题必画图分析
2 ．二次 函数 f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0) 的图象是一条抛物线，对称轴 x C ) (1,0) D ) (0,1) 4 ac b 2
4a ) b ( 2a 2．二次函数与一元二次方程关系 元二次方程 ax 2
bx c 元二次不等式 ax 2 bx 二次函数 2
Y=ax 2
+bx+c (a>0)
，顶 点坐 标
2a
2 0(a 0) 的根为二次函数 f(x)=ax +bx+c(a ≠0) y
c 0( 0) 的解集 (a>0)
△情况 △ =b 2-4ac
0的 x 的取
值。
一元二次不等式解集 22
ax +bx+c>0 ax +bx+c<0
(a>0) (a>0)
△>0
例： 1、已知函数 f(x) 4x 2 mx 5 在区间 [ 2, ) 上是增函数，则 f(1) 的范围是( A ) f(1) 25 (B) f (1) 25 (C) f (1) 25 (D) f (1) 25 2、方程 mx 2 2mx 1 0 有一根大于 1，另一根小于 1，则实根 m 的取值范围是
九．指数式与对数式 1．幂的有关概念 (1) 零 指 数 幂 a 0
1 (a 0) (2) 负整数指数幂
n 1 a n a a
0,n
(3) 正分数指数幂 m a n
a 0,m,n N ,n
1；
m a n
1
m a n
(5) 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 2．有理数指数幂的性质
(4) 负分数指数幂
1 a 0,m,n nm
a
N ,n 1
3．根式 根式的性质 : 当 n 是奇数，则 n
a n
a ；当n 是偶数，则 n
a n
a0 a0
4．对数
(1) 对 数 的 概 念 : 如 果 a b N(a b
log a N(a 0,a 1) (2)对数的性质：①零与负数没有对数 (3)对数的运算性质 0,a 1) ,那 么 b 叫 做 以 a
② log a 1 0 ③ log a a 1
logMN=logM+logN
的对数,记