知识点梳理
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH
S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ?+-=，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三：1()()2
S a b a b =+?+梯形，2112S 22
2ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?
，则
c =
，b =
，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
c
b a
H
G F E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b a b
c
c
b
a
E D C
B
A
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；
② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，
b ，
c 为三边的三角形是锐角三角形；
③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ６.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222
,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三
角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相
成
，
完
成
对问题的
解决．常见图形：
A
B
C
30°D C
B
A A
D
C
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理典型题归类
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。 （1）求AB 的长； （2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】
为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2
。
【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。（2）求∠ADC 的度数
25
【练2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 【练3】如图字母B 所代表的正方形的面积是
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北
7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．
【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3
B 、
C 、
D 、1
【练3】如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高 为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短距离是多少？
B
D
E 小河
A B
北
牧童
小屋 B
C A B
C
D
L
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）三角形
A.直角
B.等腰
C.等腰直角
D.等腰或直角
【练3】三角形的三边长为
ab
c
b
a2
)
(2
2+
=
+,则这个三角形是( ) 三角形
（A）等边（B）钝角（C）直角（D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型七：利用勾股定理作长为n的线段
【例题】在数轴上表示10的点。