北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷
九年级数学 2015. 1
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，
E 为CD 延长线上一点，如果 ∠ADE =120°，那么∠B 等于
A ．
130°
B ．120°
C ．80°
D ．60°
3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
A ．()2
31y x =+- B ．()2
33y x =++ C ．()2
31y x =-- D ．()2
33y x =-+
5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104
x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是
A ．m ＞2
B ．m ≥3
C ．m ＜5
D ．m ≤5
7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90?，AC =12，BC =5，
CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是
A ．
512 B ．513 C ．1213 D ．125
8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内
接格点三角形，AB =且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜C x ＜B x ，那么符合上述条件的抛物线条数是
A ．7
B ．8
C ．14
D ．16
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6
y x
=-的图象上，AB ⊥x 轴于 点B ，那么△AOB 的面积等于 ．
10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ， 如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．
11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，
DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中
0m >）
，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=?，（1）线段OP 的长等于 （用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin60?+?-?． 14．解方程：2410x x -+=．
15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD
与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于
点E ．如果⊙O 的半径等于1
tan 2
CPO ∠=，求 弦CD 的长．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''．
（1）在正方形网格中，画出△AB C ''；
（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积． （结果保留π）
17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．
18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a
的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P
在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得 海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路
的距离PC 1.732，结果精确到1米）
20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点
E ，
F ，
G 分别在AB ，BC ，FD 上． （1）求证：△EBF ∽△FCD ；
（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．
21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =， 连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．
（1）请依题意补全图形； （2）求证：AOC DBC ∠=∠； （3）求BM
BC
的值．
22． 已知抛物线C ：2=23y x x +-.
（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直
角坐标系中画出抛物线C ； （2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的
1
2
，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物 线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数 表达式.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m
y x
=（m 为常
数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与 x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ．
（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式； （2）求点E 的坐标；
（3）求证：BAE ACB ∠=∠．
24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l 上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60?得到△BCQ ，记点P 的对应点为Q ，线段P A 的长为m （0m >）． （1） ①QBC ∠= ?；
② 如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于 ；
（2） 当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2
中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；
（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△P AQ 时，求m 的值．
25．如图1，对于平面上不大于90?的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．
如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ．
（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是 ，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于 ；
（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值； （3）如果抛物线21
2
y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末
九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28． 11.
4
15
． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 23tan30cos 452sin60?+?-?
2
322?=- ?? ……………………………………………………… 3分 1
21
.2
= ………………………………………………………………………………… 5分 14．解：2410x x -+=．
∵ 1a =，4b =-，1c =， ……………………………………………………… 1分
∴ 224(4)41112b ac -=--??=．……………………………………………… 2分
∴ x == ……………………………………………… 3分
2=
=
∴ 原方程的解是12x =22x =-…………………………………… 5分
15．解：连接OC ．（如图1）
∵ PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，
∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．
∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分
∵ 2
1tan =
∠CPO ， ∴ 1
tan tan 2
OCE CPO ∠=∠=
．……………3分
设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >）
∵ ⊙O
的半径等于 ∴
=3k =．
∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分
16．（1）画图见图2． …………………………… 2分 （2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，
所以AB=5．…………………… 3分 线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．
……………………………………… 4分 ∴ 221125
ππ5π444
AB B S AB '=
?=?=扇形． …………………………………… 5分
所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为
25
π4
． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分
整理，得 210024000a a -+=．
可得 (40)(60)0a a --=．
解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分 当140a =时，800108001040400a -=-?=（件）． 当260a =时，800108001060200a -=-?=（件）．
因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售
价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分 （2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．
∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，
∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分
∴ 2(2)4(1)0a a a ?=+-+=．………………………………………………3分
整理，得 2340a -=． 解得
a =．…………………………………………………………… 5分
综上，0a =
或a =． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=?．
∴ ∠P AC=∠APB ．
∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分
在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，
∴sin 400346.42
PC PB PBC =?∠=?
=≈346（米）
．………………4分 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4．
∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，
∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，
BC =CD ，GH=EF=FG ．
又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，
∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分 ∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分 （2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，
∴ CF =9
，15DF ==．
由（1）得
BE CF
BF CD
=
． ∴ 399
124
BF CF BE CD ??===． …………………………………………… 3分
∴
15
4
GH FG EF ====．……………………………………4分
454DG DF FG =-=． ∴ 1
tan 3
GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分
21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分 （2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，
∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分 又∵2AOC ABC ∠=∠，
∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分
（3）解：∵
，
∴ ∠A =∠D ．
又∵ AOC DBC ∠=∠，
∴ △AOE ∽△DBM ． 分
BF=BF
∴
OE BM
OA BD
=
． ∵ 3OC OE =，OA =OC ， ∴
1
3
BM OE OE BD OA OC ===． ∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴ BC =BD ． ∴
1
3
BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分
画图象见图6．……………………………………………………………… 3分
（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：
设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0） ∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-，
∴ 3
422
a -
=-． 解得 1
8a =．
∴ 221113
(2)28822
y x x x =+-=+-．……… 5分
∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113
822
y x x =+-
说明：其他正确解法相应给分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数m
y x =
（m 为常数）的图象G 上，
∴ 1
212
m =?=．………………………………………………………………1分
∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1
y x
=．
设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．
∵ 直线l 经过点1
(,2)2
A ，(1,0)D ，
∴ 1
2,
20.
k b k b ?+=???+=? 解得4,4.k b =-??=?
∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2
C --． ………… 3分 ∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴ E C y y =．
∴ 点E 的坐标为3(,2)2
E -．………………………………………………… 4分
（3）如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，
作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠．
∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C
--，3(,2)2
E -，
∴ 点F 的坐标为1(,2)2
F -．
∴ CF =EF ． ∴ AC =AE ．
∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分
∵ 点(3,)B n 在图象G 上，
∴ 1
3
n =，
∴ 1(3,)3B ，11
(,)23
G ，11(,)23H -．
在Rt △ABG 中，1223tan 13
32
AG ABH BG -
∠=
==-， 在Rt △BCH 中，12
2
3tan 13
32
CH CBH BH +∠=
==+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH ∠=∠．
∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分
24．解：（1）①QBC ∠= 90?；………………………………………………………………1分
② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于
．……………………………… 2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分 m =
4分
（3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．
∵ CA ⊥直线l ，
∴ ∠CAP =90?．
易证四边形ADFG 为矩形．
∵ 等边三角形ABC 的边长为4， ∴ ∠ACB =60?，122DF AG CG AC ===
=，1
302
CBG CBA ∠=∠=?． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60?得到△BCQ ， ∴ △ACP ≌△BCQ ．
∴ AP = BQ = m ，∠P AC =∠QBC =90?． ∴ ∠QBF =60?．
在Rt △QBF 中，∠QFB =90?，∠QBF =60?，BQ=m ， ∴
QF =
．…………………………………………………………… 5分 要使△P AQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两 种情况：
① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，
可得0m <<
Q 在直线l 的下方． ∴
2DQ DF QF =-=．
∵12APQ S AP DQ ?=?=，
∴
1(2)2m =
．
240m -+=．
解得1m =
或2m =
经检验，m =
0m << 7分
② 如图10，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重
合）时，可得
m >
Q 在直线l 的上方． ∴ 2DQ QF DF =--．
∵
124
APQ S AP DQ ?=
?=
， ∴
.12)2m -=
． 整理，得
2
330m --=．
解得
m （舍负）．
经检验，m =
在m >8分
综上所述，m =
32132+时，△P AQ
．
25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分
（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）
图形G 与坐标轴围成图形的面积等于
25
2
．…………………………………2分 （2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交
OB 于点D ，作BK ⊥x 轴于点K ．
由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43
y x =
． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444
DM =-=． ∴ OB =5，4
sin 5
BK AOB OB ∠=
=， 4
sin sin 5
MDE AOB ∠=∠=．
∴ 13413
sin 455ME DM MDE =?∠=?=．…… 3分
∴ 1318
(,)155
d M AOB ME MF ∠=+=+=．… 4分
（3）∵ 抛物线2
12
y x bx c =-
++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ?=-?++????=-?++??
解得2,5.2b c =???=??
∴ 抛物线对应的函数关系式为215
222
y x x =-
++．…………5分
如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作QN ∥x 轴，交OB 于点N ． 设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 则21522
2QH n m m ==-++
．
同（2）得 4sin sin 5
QNG AOB ∠=∠=
． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，3
4
NQ m n =-．
∴ 43
sin ()
54QG NQ QNG m n =?∠=-
43
55
m n =-． ∴ 434
(,)5555
d Q AOB QG QH m n n ∠=+=-+=
24215(2)5522m m m =+-++ 218
155m m =-++
2121
(4)55
m =--+．
∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（
21
5
）． ………………………………………………………… 6分
此时点Q 的坐标为5
(4,)2
．…………………………………………………7分