1.2可线性化的回归分析学案备注【学习目标】 1.能直观的判断两个变量是否满足线性相关 2.用非线性的函数关系来描述不好用线性关系刻画的两个 变量之间的关系 【重点、难点】用非线性的函数关系来描述不好用线性关系 刻画的两个变量之间的关系 【自主学习】 1.若两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程 建立两个变量的相关关系，那我们应如何建立两个变量的 关系？例如bx y=怎么化成线性相关问题解决？（阅读教 ae 材第9页到13页） 2. 在具体问题中，我们首先应该作出原始数据) x , (y 的，从中看出数据的大致规律，再 根据这个规律选择适当的函数进行拟合。 3. 对于非线性回归模型一般可转化为模 型从而得到相应的回归方程。 4.几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型 （1）幂函数曲线x ab y=，作变换____________,得线性函数__________________ （2）指数曲线bx ae y=，作变换______________,得线性函数_______________
（3）倒指数曲线x b ae y =，作变换______________得线性函数 ________________ （4）对数曲线x b a y ln +=，作变换_______________得线性函数_____________ 【例题分析】 例1.（1）有5组（x,y ）数据(1,3),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12)，去掉一组______数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。 （2）已知幂函数曲线b ax y =做线性变换后得到的回归方程为v u 4.02+=，则a=_______,b=__________ 例2.为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x /天 1 2 3 4 5 繁殖个数y /个 6 12 25 49 95 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求 非线性回归方程为0.69 1.112?y =e x +.） 小结：利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：
1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 一、基础过关 3．对于指数曲线y＝a e bx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为() A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 4．下列说法错误的是() A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系 B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法 C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系 D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决 5．每一吨铸铁成本y c(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y c＝56＋8x，下列说法正确的是() A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8% C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
二、能力提升 7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2, 3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70. 下列哪个方程可以较恰当的拟合() A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604 C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x 8．已知x，y之间的一组数据如下表： 则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________． 9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： 如何建立y与x 11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示： 求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)
1.3 可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程 曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数
y＝ax b c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝a e bx c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝a e b x c＝ln a v＝ 1 x u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋b ln x v＝ln x u＝y u＝a＋bv 要点一线性回归分析 例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元)423 5 销售额y(万元)49263954 (1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解(1)x－＝ 4＋2＋3＋5 4 ＝3.5，y－＝ 49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a＝y－－b x－＝42－9.4×3.5＝9.1
一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：
从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下;
(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All
回归分析 实验内容：基于居民消费性支出与居民可支配收入的简单线性回归分析 【研究目的】 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。影响各地区居民消费支出的因素很多，例如居民的收入水平、商品价格水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、风俗习惯等等。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的经济模型去研究。 【模型设定】 我们研究的对象是各地区居民消费的差异。由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，现选用城镇居民消费进行比较。模型中被解释变量Y选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。从理论和经验分析，影响居民消费水平的最主要因素是居民的可支配收入，故可以选用“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X，选取2010年截面数据。 1、实验数据 表1： (
2010年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入
} 数据来源：《中国统计年鉴》2010年 2、实验过程 作城市居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)的散点图，如图1：
表2 模型汇总b 模型… R R方调整R方标准估计的误差 1.965a.93 2.930 a.预测变量:(常量),可支配收入X（元）。 b.因变量:消费性支出Y(元) ~ 表3 相关性 消费性支出Y (元) 可支配收入X（元） Pearson相关 性消费性支出 Y(元) .965 从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)大体呈现为线性关系，所以建立如下线性模型：Y=a+bX
案例分析报告（2014——2015学年第一学期） 课程名称：预测与决策 专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生姓名：陈维维 2014 年 11月
案例分析（一元线性回归模型） 我国城镇居民家庭人均消费支出预测 一、研究目的与要求 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，最低的青海省仅为人均8192.56元，最高的上海市达人均19397.89元，上海是黑龙江的2.37倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。 二、模型设定 我研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。 所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。 因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模
第十二章相关与回归分析 一、填空 1.如果两变量的相关系数为0，说明这两变量之间_____________。 2.相关关系按方向不同，可分为__________和__________。 3.相关关系按相关变量的多少，分为______和复相关。4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。 5．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（随机性）变量。 6．变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。 7．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y围绕每个估计值 c Y是服 从（）；（2）分布中围绕每个可能的 c Y值的（）是相同的。 7.已知：工资（元）倚劳动生产率（千元）的回归方程为 x y c 80 10+ = ，因此，当劳动生产率每增长1千元，工资就 平均增加 80 元。 8．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。这种分析方法，通常又称为（回归分析）。 9．积差系数r是（协方差）与X和Y的标准差的乘积之比。 二、单项选择 1．欲以图形显示两变量X和Y的关系，最好创建（D ）。A 直方图 B 圆形图 C 柱形图 D 散点图2．在相关分析中，对两个变量的要求是（ A ）。 A 都是随机变量 B 都不是随机变量 C 其中一个是随机变量，一个是常数 D 都是常数 3. 相关关系的种类按其涉及变量多少可分为( )。 A. 正相关和负相关 B. 单相关和复相关 C. 线性相关和非线性相关 D. 不相关、不完全相关、完全相关4．关于相关系数，下面不正确的描述是（ B ）。 A当0≤ ≤r1时，表示两变量不完全相关； B当r=0时，表示两变量间无相关； C两变量之间的相关关系是单相关； D如果自变量增长引起因变量的相应增长，就形成正相关关系。 5. 当变量X按一定数量变化时，变量Y也随之近似地以固定的数量发生变化，这说明X与Y之间存在( )。 A. 正相关关系 B. 负相关关系 C. 直线相关关系 D. 曲线相关关系 6．当x按一定数额增加时，y也近似地按一定数额随之增加，那么可以说x与y之间存在（ A ）关系。 A 直线正相关 B 直线负相关 C 曲线正相关 D 曲线负相关 7．评价直线相关关系的密切程度，当r在0.5～0.8之间时，表示（ C ）。 A 无相关 B 低度相关 C 中等相关 D 高度相关 8.两变量的相关系数为0.8,说明( ) A.两变量不相关 B.两变量负相关 C.两变量不完全相关 D.两变量完全正相关 9．两变量的线性相关系数为0，表明两变量之间（ D ）。 A 完全相关 B 无关系 C 不完全相关 D 不存在线性相关 10.兄弟两人的身高之间的关系是( )A.函数关系 B.因果关系 C.互为因果关系 D.共变关系 11．身高和体重之间的关系是（C ）。A 函数关系 B 无关系 C 共变关系 D 严格的依存关系
1.3可线性化的回归分析 自主整理 1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合. 2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程. 高手笔记 1.幂函数曲线y=ax b .作变换μ=lny,v=lnx c=lna，得线性函数μ=c+bv. 2.指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,得线性函数μ=c+bx. 3.倒指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,v= x 1 ，得线性函数μ=c+bv. 4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx ，得线性函数y=a+bv. 名师解惑 如何根据原始数据求拟合函数? 剖析：（1）可先由原始数据作散点图. （2）对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数y=ax b 型的图象为: ②指数曲线y=ae bx (3)倒指数曲线y=ae bx (4)对数曲线y=a+blnx （3）由散点图找出拟合函数的类型. （4）将非线性函数转化为线性函数.
（5）求出回归方程. 讲练互动 【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y 与月份x 之间满足函数关系模型为y=ae bx ，确定这个函数解析式. 分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出. 解：设μ=lny，c=lna ，则μ=c+bx. ∑=6 1 i xi =21，∑=6 1 i i μ =25.359 5， ∑=6 1 i xi 2 =91，∑=6 1 i i μ 2 =107.334， ∑=6 1 i i i x μ =90.341 3，x =3.5， μ=4.226 58， b= 2 2 6 1 26 1 1 5 .369122658.45.363413.9066?-??-= --∑∑==i i i i x x x x μ μ =558412 .1=0.09, c=μ-b x =4.226 58-0.09×3.5=3.911 58， ∴μ=3.911 58+0.09x. ∴y=e 3.911 58·e 0.09x . 绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.. 变式训练 1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3 万件、1.37万件， 为了估测以后每个月的产量，可用函数y=ae bx 来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，求模拟函数. ∑=4 1i i x =10， ∑=4 1 i i μ =0.759 5， ∑=4 1 i i x 2 =30， ∑=4 1 i i μ 2 =0.201 2， ∑=4 1 i i x μi =2.411，x =2.5，μ=0.189 9，
第12章多元线性回归 多元回归模型与回归方程 多元回归模型 (multiple regression model) 1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归 2.描述因变量y 如何依赖于自变量x1，x2，…，x k和误差项ε的方程，称为多 元回归模型 3.涉及k 个自变量的多元回归模型可表示为 多元回归模型 (基本假定) 1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0 2.对于自变量x1，x2，…，x k的所有值，ε的方差σ2都相同 3.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立 多元回归方程 (multiple regression equation) 1.描述因变量y 的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2，…，x k的方程 2.多元线性回归方程的形式为 E( y ) = β0+ β1 x1+ β2 x2+…+ βk x k 二元回归方程的直观解释 估计的多元回归方程 估计的多元回归的方程 (estimated multiple regression equation) 1.用样本统计量估计回归方程中的参数 时得到的方程 2.由最小二乘法求得 3.一般形式为 参数的最小二乘估计 参数的最小二乘法 参数的最小二乘法 (例题分析) 多重判定系数 多重判定系数 (multiple coefficient of determination) 1.回归平方和占总平方和的比例 2.计算公式为 3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例 修正多重判定系数 (adjusted multiple coefficient of determination) 1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 2.计算公式为 3.避免增加自变量而高估R2 4.意义与R2类似 5.数值小于R2 估计标准误差S y
第10章 1．在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ）。 A ．总体线性关系的显著性 B ．各回归系数的显著性 C ．样本线性关系的显著性 D ．H 0：β1＝β2＝…＝βk ＝0， 2．在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数βi 的取值（ ）。 A ．可能接近0 B ．可能为1 C ．可能小于0 D ．可能大于1 3．在多元线性回归方程01122i k k y x x x ββββ=++++中，回归系数k β表示 （ ）。 A ．自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β B ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β C ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的总变动总量为k β D ．因变量y 变动一个单位时，自变量x i 的变动总量为k β 4．在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R 2，这样可以避免R 2的值（ ）。 A ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1 B ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0 C ．由于模型中样本量的增加而越来越接近1 D ．由于模型中样本量的增加而越来越接近0 5．在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。 A ．在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著 B ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著 C ．在多个自变量变中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著 D ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著 6．在多元线性回归分析中， 如果t 检验表明回归系数βi 不显著，则意味着（ ）。 A ．整个回归方程的线性关系不显著 B ．整个回归方程的线性关系显著 C ．自变量x i 与因变量之间的线性关系不显著 D ．自变量x i 与因变量之间的线性关系显著 7．在多元线性回归分析中，多重共线性是指模型中（ ）。 A ．两个或两个以上的自变量彼此相关 B ．两个或两个以上的自变量彼此无关
一般线性回归分析案例 1、案例 为了研究钙、铁、铜等人体必需元素对婴幼儿身体健康的影响，随机抽取了30个观测数据，基于多员线性回归分析的理论方法，对儿童体内几种必需元素与血红蛋白浓度的关系进行分析研究。这里，被解释变量为血红蛋白浓度（y）,解释变量为钙(ca)、铁(fe)、铜(cu)。 表一血红蛋白与钙、铁、铜必需元素含量 (血红蛋白单位为g；钙、铁、铜元素单位为ug) case y（g）ca fe cu 17.0076.90295.300.840 27.2573.99313.00 1.154 37.7566.50350.400.700 48.0055.99284.00 1.400 58.2565.49313.00 1.034 68.2550.40293.00 1.044 78.5053.76293.10 1.322 88.7560.99260.00 1.197 98.7550.00331.210.900 109.2552.34388.60 1.023 119.5052.30326.400.823 129.7549.15343.000.926 1310.0063.43384.480.869 1410.2570.16410.00 1.190 1510.5055.33446.00 1.192 1610.7572.46440.01 1.210 1711.0069.76420.06 1.361 1811.2560.34383.310.915 1911.5061.45449.01 1.380 2011.7555.10406.02 1.300 2112.0061.42395.68 1.142 2212.2587.35454.26 1.771 2312.5055.08450.06 1.012 2412.7545.02410.630.899 2513.0073.52470.12 1.652 2613.2563.43446.58 1.230
第十二章简单回归分析习题 一、是非题 1．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互线性伴随变化关系. 2．对同一组资料，如相关分析算出的r越大，则回归分析算出的b值也越大. 3．对同一组资料，对r与b分别作假设检验，可得t r=t b 4．利用直线回归估计X值所对应的Y值的均数置信区间时，增大残差标准差可以减小区间长度. 5．如果直线相关系数r=0，则直线回归的SS残差必等于0. 二、选择题 1. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的( )． A．纵向距离之和最小 B. 纵向距离的平方和最小 C. 垂直距离之和最小D．垂直距离的平方和最小 E．纵向距离的平方和最大 2．Y＝14十4X是1~7岁儿童以年龄(岁)估计体质量(市斤)的回归方程，若体质量换成位kg，则此方程( ) A 截距改变 B 回归系数改变 C 两者都改变 D 两者都不改变 E．相关系数改变 4．直线回归系数假设检验，其自由度为( ) A．n B. n-1
C．n-2 D. 2n-1 E．2(n-1) 5．当r＝0时，Y＝a+b X回归方程中( ) A a必大于零 B a必大于X C a必等于零 D a必大于Y E a必等于b 6．在多元线性回归分析中，反应变量总离均差平方和可以分解为两部分，残差是指( )． A．观察值与估计值之差B．观察值与平均值之差 C．估计值与平均值的平方和之差D．观察值与平均值之差的平方和E．观察值与估计值之差的平方和 三、筒答题 1．用什么方法考察回归直线是否正确? 2．简述回归系数方差分析Y的平方和与自由度的分解. 3. 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？ 4. 直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？ 5. 简述曲线回归常用的几种曲线形式.
SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：
点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）
第12章多元线性回归 12.1 考点归纳 【知识框架】 【考点提示】 （1）多元线性回归模型，包括回归模型的基本假定（简答题考点），最小二乘估计（选择题、计算题考点）； （2）回归模型的拟合优度评价（简答题、计算题考点）； （3）显著性检验（计算题考点）； （4）多重共线性的含义、产生的问题、判别及处理方式（简答题考点）。 【核心考点】
考点一：多元线性回归模型 1．回归模型假定 （1）E （ε）＝0； （2）D （ε）＝σ2； （3）()2 cov ,0 i j i j i j σεε?==?≠? 2．参数的最小二乘估计 使残差平方和 Q ＝∑（y i －y ∧i ）2＝∑（y ∧i ＝β∧0－β∧1x 1－β∧2x 2－…－β∧k x k ）2达到最小的β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 。由此可以得到求解β∧0，β∧1，β∧2，…，β∧k 的标准方程组为： 00?0?00,1,2,,i i ββi ββQ βQ i k β==??=??????==??? 多元线性回归的最小二乘估计是最优线性无偏估计。 考点二：回归方程的拟合优度 表12-1 多元线性回归方程的评价
【提示】实际应用中，采用调整的判定系数来评价多元回归方程的拟合优度。 【真题精选】 多元线性回归模型的调整的多重判定系数取值范围在0至1之间。[对外经济贸易大学2018研] 【答案】√ 【解析】多重判定系数R2＝SSR/SST是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例，它是度量多元回归方程拟合程度的一个统计量，反映了在因变量y的变差中被估计的回归方程所解释的比例，取值为0～1。调整的多重判定系数R a2与多重判定系数R2不同之处在于：R a2同时考虑了样本量n和模型中自变量的个数k的影响，这就使得R a2的值永远小于R2，而且R a2的值不会由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1，因此R a2的取值也为0～1。
多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024
SPSS19.0实战之多元线性回归分析 (2011-12-09 12:19:11) 转载▼ 分类：软件介绍 标签： 文化 线性回归数据（全国各地区能源消耗量与产量）来源，可点击协会博客数据挖掘栏：国泰安数据服务中心的经济研究数据库。 1.1 数据预处理 数据预处理包括的内容非常广泛，包括数据清理和描述性数据汇总，数据集成和变换，数据归约，数据离散化等。本次实习主要涉及的数据预处理只包括数据清理和描述性数据汇总。一般意义的数据预处理包括缺失值填写和噪声数据的处理。于此我们只对数据做缺失值填充，但是依然将其统称数据清理。 1.1.1 数据导入与定义 单击“打开数据文档”，将xls格式的全国各地区能源消耗量与产量的数据导入SPSS中，如图1-1所示。 图1-1 导入数据 导入过程中，各个字段的值都被转化为字符串型（String），我们需要手动将相应的字段转回数值型。单击菜单栏的“ ”-->“ ”将所选的变量改为数值型。如图1-2所示：
图1-2 定义变量数据类型 1.1.2 数据清理 数据清理包括缺失值的填写和还需要使用SPSS分析工具来检查各个变量的数据完整性。单击“ ”-->“ ”，将检查所输入的数据的缺失值个数以及百分比等。如图1-3所示： 图1-3缺失值分析
表1-1 能源消耗量与产量数据缺失值分析 SPSS提供了填充缺失值的工具，点击菜单栏“ ”-->“ ”，即可以使用软件提供的几种填充缺失值工具，包括序列均值，临近点中值，临近点中位数等。结合本次实习数据的具体情况，我们不使用SPSS软件提供的替换缺失值工具，主要是手动将缺失值用零值来代替。 1.1.3 描述性数据汇总 描述性数据汇总技术用来获得数据的典型性质，我们关心数据的中心趋势和离中趋势，根据这些统计值，可以初步得到数据的噪声和离群点。中心趋势的量度值包括：均值（mean），中位数（median），众数（mode）等。离中趋势量度包括四分位数（quartiles），方差（variance）等。 SPSS提供了详尽的数据描述工具，单击菜单栏的“ ”-->“ ”-->“ ”，将弹出如图2-4所示的对话框，我们将所有变量都选取到，然后在选项中勾选上所希望描述的数据特征，包括均值，标准差，方差，最大最小值等。由于本次数据的单位不尽相同，我们需要将数据标准化，同时勾选上“将标准化得分另存为变量”。
第十二章 相关与回归分析 第一节 变量之间的相关关系 相关程度与方向·因果关系与对称关系 第二节 定类变量的相关 双变量交互分类（列联表）·削减误差比例（PRE ）·λ系数与τ系数 第三节 定序变量的相关分析 同序对、异序对和同分对·Gamma 系数·肯德尔等级相关系数（τa 系数、τb 与τc 系数）·萨默斯系数（d 系数）·斯皮尔曼等级相关（ρ相关）·肯德尔和谐系数 第四节 定距变量的相关分析 相关表和相关图·积差系数的导出和计算·积差系数的性质 第五节 回归分析 线性回归·积差系数的PRE 性质·相关指数R 第六节 曲线相关与回归 可线性化的非线性函数·实例分析（二次曲线指数曲线） 一、填空 1．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，依变量则一般是（ 随机性 ）变量。 2．变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的全部误差E 1，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的联系误差E 2，再将其化为比例来度量，这就是（ 削减误差比例 ）。 3．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y 围绕每个估计值c Y 是服从（ ）；（2）分布中围绕每个可能的c Y 值的（ ）是相同的。 4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。自变量是作为（ 变化根据 ）的变量，因变量是随（ 自变量 ）的变化而发生相应变化的变量。 5．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（ 回归方程 ），并据以进行估计和预测。这种分析方法，通常又称为（ 回归分析 ）。 6．积差系数r 是（ 协方差 ）与X 和Y 的标准差的乘积之比。 二、单项选择 1．当x 按一定数额增加时，y 也近似地按一定数额随之增加，那么可以说x 与y 之间 存在（ A ）关系。 A 直线正相关 B 直线负相关 C 曲线正相关 D 曲线负相关
1.3可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程
要点一 线性回归分析 例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： (1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝9.4，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y － ＝49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a ＝y － －b x － ＝42－9.4×3.5＝9.1 ∴回归直线方程为y ＝9.1＋9.4x . (2)当x ＝4时，y ＝9.1＋9.4×4＝46.7， 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元． 跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据： (1)对变量x ，y 进行相关性检验； (2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．
1 利用Excel2000进行一元线性回归分析 第一步，录入数据 以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。录入结果见下图（图1）。 图1 第二步，作散点图 如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在 “插入”菜单中打开“图表（H）”。图表向导的图标为。选中数据后，数据变为蓝色（图2）。 图2 点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3）：
图3 在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出现散点图的原始形式（图4 第三步，回归 观察散点图，判断点列分布是否具有线性趋势。只有当数据具有线性分布特征时，才能采用线性回归分析方法。从图中可以看出，本例数据具有线性分布趋势，可以进行线性回归。回归的步骤如下： ⑴首先，打开“工具”下拉菜单，可见数据分析选项（见图5）：
图5 用鼠标双击“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框（图6）： 图6 ⑵然后，选择“回归”，确定，弹出如下选项表：
图7 进行如下选择：X、Y值的输入区域（B1:B11，C1:C11），标志，置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图。 或者：X、Y值的输入区域（B2:B11，C2:C11），置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图。 注意：选中数据“标志”和不选“标志”，X、Y值的输入区域是不一样的：前者包括数据标志： 最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩) 后者不包括。这一点务请注意。 图8-1 包括数据“标志”
图8-2 不包括数据“标志” ⑶再后，确定，取得回归结果（图9）。 图9 线性回归结果 ⑷最后，读取回归结果如下：