等差数列基础习题选
一．选择题（共26小题）
1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）
A．B．1C．D．﹣1
2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）
A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列
C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列
3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）
A．23 B．24 C．25 D．26
4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）
A．一1 B．2C．3D．一2
5．两个数1与5的等差中项是（）
A．1B．3C．2D．
6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）
A．1B．2C．3D．4
8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）
A．0B．8C．3D．11
9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）
A．25 B．24 C．20 D．19
10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）
A．5B．3C．﹣1 D．1
11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）
A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
13．（2009?安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）
A．﹣1 B．1C．3D．7
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）
A．B．C．D．
15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）
A．6B．7C．8D．9
16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）
A．30 B．35 C．36 D．24
17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7
19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）
A．﹣1 B．0C．1D．2
20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）
A．6B．7C．8D．9
21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）
A．4或5 B．5或6 C．4D．5
22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）
A．12 B．10 C．8D．4
23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）
A．230 B．140 C．115 D．95
24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）
A．5B．25 C．50 D．100
25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）
A．1B．2C．3D．4
26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）
A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项
二．填空题（共4小题）
27．如果数列{a n}满足：=_________．
28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．
29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．
30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）
A．B．1C．D．﹣1
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：
本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．
解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，
解得，即等差数列的公差d=﹣1．
故选D
点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．
2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）
A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列
C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．
解答：解：因为a n=2n+5，
所以a1=2×1+5=7；
a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．
故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．
故选A．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）
A．23 B．24 C．25 D．26
考点：等差数列．
专题：综合题．
分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解答：
解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，
则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23
故选A
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．
4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）
A．一1 B．2C．3D．一2
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，
S3=6，
∴a2=2
∵a4=8，
∴8=2+2d
∴d=3，
倍，这样可以简化题目的运算．
5．两个数1与5的等差中项是（）
A．1B．3C．2D．
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：
由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．
解答：
解：1与5的等差中项为：=3，
故选B．
点评：
本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．
6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
考点：等差数列．
专题：计算题．
分析：
设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
所以a6=23+5d，a7=23+6d，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，
所以，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以d=﹣4．
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．
7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）
A．1B．2C．3D．4
考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11
分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．
解答：解：∵为等差数列，，，
∴
∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8
∵
∴b8=a8﹣a1
∵数列的首项为3
∴2×8﹣8=a8﹣3，
∴a8=11．
故选D
点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．
9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）
A．25 B．24 C．20 D．19
考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a n}的公差d=3×4=12，
∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．
设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，
即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．
根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．
A．5B．3C．﹣1 D．1
考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．
解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），
∴等差数列{a n}的公差是2，
由S3=3a1+=9解得，a1=1．
故选D．
点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．
11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）
A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5
考点：等差数列的性质．
分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．
解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0
∴a1+a8=a4+a5
∴故选B
点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．
12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）
A．1B．﹣1 C．2D．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得
a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，
∴====1，
故选A．
点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．
13．（2009?安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）
A．﹣1 B．1C．3D．7
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，
a2+a4+a6=3a4=99，
∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．
∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．
故选B
点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）
A．B．C．D．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．
解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；
∴公差d=；
∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；
∴；
∴的前n项和，
=
两式相减得
=
∴
故选B
点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．
15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，
，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求
解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①
根据等差数列的前n项和公式可得，
所以a1+a7=6②
②﹣①可得d=2，a1=﹣3
所以a7=9
故选D
点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．
16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）
A．30 B．35 C．36 D．24
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．
解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，
∴a3=5
∴a1+a6=a3+a4=12
∴s6=×6=36
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．
17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：由，知a
1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．
解答：解：由，
知a1+a11=0．
∴a6=0，
故选C．
点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．
18．（2012?辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）