数学建模实验
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数学建模课程实验报告
专题实验7
班级数财系1班学号23 姓名李丛文实验题
目
常微分方程数值解
实验目的1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。
实验内容
(包括分析过程、方法、和代码，结果) 1. 用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较
解；M文件
function f=f(x,y)
f=y+2*x;
程序；
clc;clear;
a=0;b=1; %求解区间
[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；%% 以下利用Euler方法求解
y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;
x=a:h:b;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));
end
figure(1)
plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图
title('数值解与真解图');
legend('RK4','Euler','真解');
xlabel('x');ylabel('y');
figure(2)
plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差
title('龙格库塔方法的误差')
xlabel('x');ylabel('Error');
figure(3)
plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差title('Euler方法的误差')
xlabel('x');ylabel('Error');
4. 单摆运动是一个我们熟悉的物理模型，可以看作工程技术中一些振动问题的简化，图8中一根长l 的（无弹性的）细线，一端固定，另一端悬挂一质量为m 的小球，在重力作用下小球处于竖直的平衡位置，使小球偏离平衡位置一根小的角度0θ，然后让它无初速度的放开，小球就会沿圆弧摆动，在不考虑空气阻力的情况下建立θ关于时间t 的微分方程，设l=25cm ，在0θ等于?10和?30两种情况下求方程的数值解，并与近似解
t l g t cos )(0θθ=比较。
解；实验原理与数学模型：
在小球摆动过程中的任一位置θ，小球所受重力沿运动轨迹方向的分力为-mgsin θ（负号表示力的方向与θ的正方向相反），利用牛顿第二定律即得微分方程
)1(sin θθmg ml -=''
描述单摆运动规律的微分方程（1）是2阶微分方程，无解析解，但可用Matlab 或其它软件编程求其数值解，但都需要先将它化成方程组的形式。
二. 当οθ30=时，
ts=0::2;
从数据可以看出，角度为10o时精确（数值）解与近似解相差不大，而初始角度为30o时，随着时间的增加差别很大